第9章 MATLAB符号计算

4．符号表达式的化简 ． MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有： 提供的对符号表达式化简的函数有： 提供的对符号表达式化简的函数有 simplify(s)：应用函数规则对 进行化简。 进行化简。 ：应用函数规则对s进行化简 simple(s)：调用 的其他函数对表达式进行综合化简， ：调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简， 的其他函数对表达式进行综合化简 并显示化简过程。 并显示化简过程。
9.1.4 符号矩阵 符号矩阵也是一种符号表达式， 符号矩阵也是一种符号表达式，所以前面介绍的符 号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。 号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。但应注 意这些函数作用于符号矩阵时， 意这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩 阵的每一个元素。 阵的每一个元素。 由于符号矩阵是一个矩阵， 由于符号矩阵是一个矩阵，所以符号矩阵还能进行 有关矩阵的运算。 有关矩阵的运算。MATLAB还有一些专用于符号 还有一些专用于符号 矩阵的函数，这些函数作用于单个的数据无意义。 矩阵的函数，这些函数作用于单个的数据无意义。 例如 transpose(s)：返回 矩阵的转置矩阵。 矩阵的转置矩阵。 ：返回s矩阵的转置矩阵 determ(s)：返回 矩阵的行列式值。 矩阵的行列式值。 ：返回s矩阵的行列式值 其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数， 其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数，如 diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可 、 、 、 、 、 、 等 直接应用于符号矩阵。 直接应用于符号矩阵。
9.2.2 符号导数 diff函数用于对符号表达式求导数。该函数的一般调用格式 函数用于对符号表达式求导数。 函数用于对符号表达式求导数 为： diff(s)：没有指定变量和导数阶数，则系统按 ：没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指 函数指 求一阶导数。 示的默认变量对符号表达式s求一阶导数 示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。 diff(s,'v')：以v为自变量，对符号表达式 求一阶导数。 为自变量， 求一阶导数。 ： 为自变量 对符号表达式s求一阶导数 diff(s,n)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式 求n 函数指示的默认变量对符号表达式s求 ： 函数指示的默认变量对符号表达式 阶导数， 为正整数 为正整数。 阶导数，n为正整数。 diff(s,'v',n)：以v为自变量，对符号表达式 求n阶导数。 为自变量， 阶导数。 ： 为自变量 对符号表达式s求 阶导数 求下列函数的导数。 例9-2 求下列函数的导数。
求下列极限。 例9-1 求下列极限。 极限1： 极限 ： syms a m x; f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/(x+a); limit(f,x,a) ans = (1/2*a*exp(sin(a))+1/2*a-exp(tan(a))+1)/a 极限2： 极限 ： syms x t; limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) ans = exp(6*t)
9.1.2 符号表达式运算 1．符号表达式的四则运算 ． 符号表达式的加、 除运算可分别由函数symadd、 符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数 、 symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由 来实现， 、 和 来实现 幂运算可以由sympow 来实现。 来实现。 2．符号表达式的提取分子和分母运算 ． 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式， 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可 利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其 函数来提取符号表达式中的分子或分母。 利用 函数来提取符号表达式中的分子或分母 一般调用格式为： 一般调用格式为： [n,d]=numden(s) 该函数提取符号表达式s的分子和分母 分别将它们存放在n 的分子和分母， 该函数提取符号表达式 的分子和分母，分别将它们存放在 与d中。 中
2．建立符号表达式 ． 含有符号对象的表达式称为符号表达式。 含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有 以下3种方法： 以下 种方法： 种方法 (1)利用单引号来生成符号表达式。 利用单引号来生成符号表达式。 利用单引号来生成符号表达式 (2)用sym函数建立符号表达式。 函数建立符号表达式。 用 函数建立符号表达式 (3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。
极限3： 极限 ： syms x; f=x*(sqrt(x^2+1)-x); limit(f,x,inf,'left') ans = 1/2 极限4： 极限 ： syms x; f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2))/sqrt(x*x-4); limit(f,x,2,'right') ans = -1/2
3．符号表达式的因式分解与展开 ． MATLAB提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，函 提供了符号表达式的因式分解与展开的函数， 提供了符号表达式的因式分解与展开的函数 数的调用格式为： 数的调用格式为： factor(s)：对符号表达式 分解因式。 分解因式。 ：对符号表达式s分解因式 expand(s)：对符号表达式 进行展开。 进行展开。 ：对符号表达式s进行展开 collect(s)：对符号表达式 合并同类项。 合并同类项。 ：对符号表达式s合并同类项 collect(s,v)：对符号表达式 按变量 合并同类项。 按变量v合并同类项 ：对符号表达式s按变量 合并同类项。
(3) limit(f)：求符号函数 的极限值。 ：求符号函数f(x)的极限值。符号函数 的极限值 符号函数f(x)的变量 的变量 为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标 确定的默认变量； 为函数 确定的默认变量 值时，系统默认变量趋近于0， 的情况。 值时，系统默认变量趋近于 ，即a=0的情况。 的情况 (4) limit(f,x,a,'right')：求符号函数 的极限值。'right'表示变 的极限值。 ：求符号函数f的极限值 表示变 从右边趋近于a。 量x从右边趋近于 。 从右边趋近于 (5) limit(f,x,a,‘left’)：求符号函数 的极限值。‘left’表示变量 的极限值。 ：求符号函数f的极限值 表示变量 x从左边趋近于 。 从左边趋近于a。 从左边趋近于
(2) syms函数 函数 函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。 一次只能定义一个符号变量， 函数 一次只能定义一个符号变量 使用不方便。 MATLAB提供了另一个函数 提供了另一个函数syms，一次可以定义 提供了另一个函数 ， 多个符号变量。syms函数的一般调用格式为： 多个符号变量。syms函数的一般调用格式为： 函数的一般调用格式为 syms 符号变量名 符号变量名 … 符号变量名 符号变量名1 符号变量名2 符号变量名n 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符 串分界符(‘)，变量间用空格而不要用逗号分隔。 串分界符 ，变量间用空格而不要用逗号分隔。
5．符号表达式与数值表达式之间的转换 ． 利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式。 可以将数值表达式变换成它的符号表达式。 利用函数 可以将数值表达式变换成它的符号表达式 函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式。 可以将符号表达式变换成数值表达式。 函数 或 可以将符号表达式变换成数值表达式
9.2 符号微积分 9.2.1 符号极限 limit函数的调用格式为： 函数的调用格式为： 函数的调用格式为 (1) limit(f,x,a)：求符号函数 的极限值。 ：求符号函数f(x)的极限值。即计算当 的极限值 变量x趋近于常数 趋近于常数a时 函数的极限值。 变量 趋近于常数 时，f(x)函数的极限值。 函数的极限值 (2) limit(f,a)：求符号函数 的极限值。 ：求符号函数f(x)的极限值。由于没有 的极限值 指定符号函数f(x)的自变量，则使用该格式时，符 的自变量， 指定符号函数 的自变量 则使用该格式时， 号函数f(x)的变量为函数 的变量为函数findsym(f)确定的默认自 号函数 的变量为函数 确定的默认自 变量，即变量x趋近于 趋近于a。 变量，即变量 趋近于 。
9.2.3 符号积分 符号积分由函数int来实现 该函数的一般调用格式为： 来实现。 符号积分由函数 来实现。该函数的一般调用格式为： int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按 ：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函 函 数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分 求不定积分。 数指示的默认变量对被积函数或符号表达式 求不定积分。 int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式 求不定积 为自变量， ： 为自变量 对被积函数或符号表达式s求不定积 分。 int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上 ：求定积分运算。 分别表示定积分的下限和上 该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以 上的定积分。 和 可以 限。该函数求被积函数在区间 上的定积分 是两个具体的数，也可以是一个符号表达式， 是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无 关于变量x在闭区间 上可积时， 穷(inf)。当函数 关于变量 在闭区间 。当函数f关于变量 在闭区间[a,b]上可积时，函数 上可积时 返回一个定积分结果。 中有一个是inf时 返回一个定积分结果。当a,b中有一个是 时，函数返回 中有一个是 一个广义积分。 中有一个符号表达式时， 一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回 中有一个符号表达式时 一个符号函数。 一个符号函数。 求下列积分。 例9-3 求下列积分。
9.1.3 符号表达式中变量的确定 MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。findsym 中的符号可以表示符号变量和符号常量。 中的符号可以表示符号变量和符号常量 可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。 可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函 数的调用格式为： 数的调用格式为： findsym(s,n) 函数返回符号表达式s中的 个符号变量，若没有指定n， 中的n个符号变量 函数返回符号表达式 中的 个符号变量，若没有指定 ，则 返回s中的全部符号变量 中的全部符号变量。 返回 中的全部符号变量。