数列的概念与通项公式
数列的通项公式与部分和公式
数列的通项公式与部分和公式数列的通项公式是指能够表示数列中第n个数与n的关系的公式，而部分和公式则是指数列的前n项和能够表示成与n的关系的公式。
本文将分别介绍数列的通项公式和部分和公式，以及应用举例。
一、数列的通项公式数列是指按照一定规律排列的一组数，通项公式是能够表示数列中第n个数与n的关系的公式。
1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则该等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d其中，an表示数列的第n个数。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，……，其首项a₁为1，公差d为3，根据通项公式可得：an = 1 + (n-1)3 = 3n - 2因此，该等差数列的通项公式为3n - 2。
2. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则该等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)其中，an表示数列的第n个数。
例如，对于等比数列2，6，18，54，……，其首项a₁为2，公比q 为3，根据通项公式可得：an = 2 * 3^(n-1)因此，该等比数列的通项公式为2 * 3^(n-1)。
二、数列的部分和公式数列的部分和是指数列前n个数的和，部分和公式是能够表示数列前n项和与n的关系的公式。
1. 等差数列的部分和公式对于等差数列，前n项和（部分和）Sn可以表示为：Sn = (a₁ + an) * n / 2其中，a₁表示数列的首项，an表示数列的第n个数。
以等差数列1，4，7，10，13，……为例，根据通项公式3n - 2，部分和公式可表示为：Sn = (1 + (3n - 2)) * n / 2 = (3n + 1) * n / 22. 等比数列的部分和公式对于等比数列，前n项和（部分和）Sn可以表示为：Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)其中，a₁表示数列的首项，q表示数列的公比。
数列知识点归纳总结
数列知识点归纳总结一、基本概念1. 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数，通常用a1, a2, a3, …,an来表示，其中ai表示数列中的第i个数。
数列中的数称为项，n称为项数。
2. 数列的类型数列可以根据项的规律和性质进行分类，主要包括等差数列、等比数列、递推数列等。
3. 数列的通项公式数列的通项公式是描述数列中任意一项与其序号之间的关系的公式，通常用an或者Un 表示第n个项，用n表示项数。
数列的通项公式可以根据数列的类型和性质进行求解。
二、等差数列1. 定义如果一个数列满足任意相邻两项之差都相等的条件，那么这个数列就是等差数列，差值为d。
2. 性质（1）通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an=a1+(n-1)d。
（2）前n项和：等差数列的前n项和Sn= (a1+an) * n /2。
（3）求和公式推导：对于等差数列Sn= (a1+an) * n /2，可用数学归纳法进行证明。
3. 等差数列的应用等差数列在数学和现实生活中有着重要的应用，如计算机算法中的序列求和、物理学中等速直线运动、金融学中的等额本息贷款等。
三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中的任意相邻两项的比值都相等的数列，比值为q。
2. 性质（1）通项公式：对于等比数列an，其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
（2）前n项和：等比数列的前n项和Sn= (a1*(q^n - 1)) / (q-1)。
3. 等比数列的应用等比数列在数学和现实生活中也有着重要的应用，如复利计算、生物学中种群增长问题、物理学中的指数衰减等。
四、递推数列1. 定义递推数列是指数列中的每一项都可以由前面的一项或几项通过某种规律得到的数列。
2. 性质递推数列的通常是通过递推关系式进行求解，递推数列的解可以是显式公式和递推公式。
3. 递推数列的应用递推数列是数学中的重要概念，它在代数、离散数学、概率论等领域都有着广泛的应用。
五、常见数列形式1. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第n项等于其前两项之和的数列，通常用F(n)表示，前几项为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …2. 调和数列调和数列是指数列中的每一项是调和级数的一部分的数列，通常用H(n)表示，前几项为1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …2. 等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中的相邻两项之间既满足等差数列的条件，又满足等比数列的条件的数列。
数列的概念和计算
数列的概念和计算数列是数学中常见的概念，它由一系列有序的数字组成。
数列的概念与计算对于数学的学习和应用都具有重要的意义。
本文将介绍数列的定义、常见类型和计算方法。
一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为这个数列的项，用a₁，a₂，a₃，……表示。
数列中的每个项之间有着特定的关系，这种关系可以用公式、递推公式、递归式等形式来表示。
二、常见类型的数列1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差等于同一个常数的数列。
设数列为{a₁，a₂，a₃，……}，公差为d，那么有 a₂ - a₁ =a₃ - a₂ = d。
等差数列的通项公式为 an = a₁ + (n-1)d，其中n表示项数。
2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与前一项的比等于同一个常数的数列。
设数列为{a₁，a₂，a₃，……}，公比为r，那么有 a₂/a₁ = a₃/a₂ = r。
等比数列的通项公式为 an = a₁ * r^(n-1)，其中n表示项数。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和的数列。
斐波那契数列的前两项通常为1，1或0，1，根据定义可以得到后续项。
斐波那契数列的递推公式为 an = a(n-1) + a(n-2)，其中n表示项数。
三、数列的计算1. 求和求和是数列计算中经常遇到的问题之一。
在数列求和时，常用的方法有以下几种：- 等差数列求和公式：Sn = n/2 * (a₁ + an)，其中Sn表示前n个项的和。
- 等比数列求和公式：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n 个项的和。
- 斐波那契数列求和：Sn = a(n+2) - 1，其中Sn表示前n个项的和。
2. 项数计算在一些问题中，我们需要求解数列的项数。
常用的计算方法如下：- 等差数列的项数：n = (an - a₁) / d + 1，其中n表示项数。
数列的概念知识点总结
数列的概念知识点总结一、数列的基本概念数列是由一组按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为数列的项。
数列中的数字可以是正整数、负整数、小数、分数等。
数列通常用{an}或an表示，其中n表示数列的位置。
例如{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个简单的数列，其中每一项的值依次递增1。
在数列中，通常会出现一些特殊的数列，如等差数列、等比数列等。
等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差等于一个常数d，如{1, 3, 5, 7, 9, ...}就是一个等差数列，其中公差d=2。
等比数列是指数列中任意两个相邻项之间的比等于一个常数r，如{1, 2, 4, 8, 16, ...}就是一个等比数列，其中公比r=2。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指数列中每一项与项号之间的关系式。
通过通项公式可以方便地求出数列中任意一项的值，以及根据数列的规律预测未知的项。
对于等差数列和等比数列，其通项公式分别为an=a1+(n-1)d和an=a1*r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示等差数列的公差，r表示等比数列的公比。
除了等差数列和等比数列外，还存在其他形式的数列，如递推数列、周期数列、递减数列等。
这些数列的特点和规律各不相同，其通项公式也具有不同的形式。
三、数列的性质数列具有丰富的性质，通过研究数列的性质可以深入理解数列的规律和特点。
1. 数列的有界性数列可能是有界的，也可能是无界的。
如果数列中的项都不超过某一有限的数M，则称该数列是有上界的，M称为数列的上界。
类似地，如果数列中的项都不小于某一有限的数m，则称该数列是有下界的，m称为数列的下界。
如果数列同时有上界和下界，则称该数列是有界的。
2. 数列的单调性数列可能是单调递增的，也可能是单调递减的，还可能是交替单调的。
对于单调递增的数列来说，一般其通项公式中的a(n+1)>an。
类似地，对于单调递减的数列来说，其通项公式中的a(n+1)<an。
数列的通项公式及其应用
数列的通项公式及其应用数列是数学中常见的概念，它由一系列有规律的数字组成。
数列可以在各种数学问题中起到重要的作用，而数列的通项公式是描述数列中每一项与项数之间的关系的公式。
在本文中，我将介绍数列的通项公式的概念和应用，并通过实例来帮助读者更好地理解。
一、数列的基本概念数列是由一系列数字按照一定的顺序排列而成。
我们可以将数列记作{a₁, a₂, a₃, ...}，其中a₁，a₂，a₃等表示数列中的每一项。
数列的项数可以通过小写字母n表示，即数列中的第n项记作aₙ。
数列的前n项和可以用Sn表示，即Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ。
数列的通项公式是用来表示数列中每一项与项数之间关系的公式。
通项公式的形式因数列的类型而各异，接下来我将详细介绍一些常见的数列及其通项公式。
二、等差数列的通项公式及应用等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列的通项公式为an=a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。
应用举例：假设一个等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的第10项。
按照通项公式an=a₁+(n-1)d，代入a₁=2，d=3，n=10，可得：a₁₀ = 2 + (10-1) * 3= 2 + 9 * 3= 2 + 27= 29因此，该等差数列的第10项为29。
三、等比数列的通项公式及应用等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列。
等比数列的通项公式为an=a₁*r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比。
应用举例：假设一个等比数列的首项为3，公比为2，求该数列的第8项。
按照通项公式an=a₁*r^(n-1)，代入a₁=3，r=2，n=8，可得：a₈ = 3 * 2^(8-1)= 3 * 2^7= 3 * 128= 384因此，该等比数列的第8项为384。
四、斐波那契数列的通项公式及应用斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项都等于前两项的和。
斐波那契数列的通项公式为an=an-1+an-2，其中a₁=1，a₂=1。
数列的知识点
数列的知识点数列是数学中一个重要的概念，是一系列按一定规律排列的数字集合。
数列在数学和其他学科领域中都有较为广泛的应用，因此对数列的理解和掌握是学习和研究的基础。
一、数列的概念。
数列是按照一定的顺序排列的一组数的集合。
数列中的每个数称为数列的项，用an表示。
数列中的第一项用a1表示，第二项用a2表示，依次类推。
二、数列的分类。
1.等差数列。
等差数列是指数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的差都相等。
差称为公差，用d表示。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
2.等比数列。
等比数列是指数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的比值都相等。
比值称为公比，用q表示。
等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)。
3.等差数列与等比数列之外的数列。
除了等差数列和等比数列，还存在着其他形式的数列，如斐波那契数列、阶乘数列等。
这些数列的通项公式可能没有明确的表达式，但仍然可以通过递推或递归的方式来定义。
三、数列的性质。
1.有界性。
数列可以是有上界或下界的，也可以同时有上界和下界。
有界数列是指存在一个上界和下界，使得数列中的每一项都不超过这个上界和下界。
2.单调性。
数列可以是递增的，也可以是递减的。
递增数列是指数列中的项按照从小到大的顺序排列；递减数列是指数列中的项按照从大到小的顺序排列。
3.极限性。
数列中的每一项都可以有一个极限，即随着项数的增加，数列的值趋于某个数值。
这个极限可以是有限的，也可以是无限的。
数列的极限可以用极限符号来表示，如lim(a_n)=L。
四、数列的应用。
1.数列在数学分析和微积分中有广泛的应用，如泰勒级数、幂级数等都可以表示为数列的和式。
2.数列在函数的连续性和导数的定义中也有应用。
通过研究数列的收敛性质，可以给出函数的连续性和导数的定义，从而对函数进行更深入的研究。
3.数列在统计学中也有应用，如样本的有序排列、时间序列分析等都需要对数列进行处理和分析。
总之，数列是数学中一个重要的概念，它不仅在数学分析和微积分中有广泛的应用，也在其他学科中有着重要的地位。
数列的极限与通项公式
数列的极限与通项公式数列是数学中的一个重要概念，经常在各个领域中被使用。
数列的极限与通项公式是数列研究中的关键内容，本文将介绍数列的基本概念，探讨数列极限及其性质，最后讲解数列的通项公式及应用。
一、数列的基本概念数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
一般用字母表示数列的一般项，常用形式为{a_n}或(a_1, a_2, a_3, ...)。
其中，a_n表示数列的第n项，n表示项的顺序。
二、数列的极限数列的极限是指当数列中的项数趋于无穷大时，数列中的项的极限值。
记作lim(a_n)或a_n→∞。
1. 数列的极限存在若存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，当n>N时，有|a_n - L| < ε，则称L为数列{a_n}的极限，并记作lim(a_n) = L。
2. 数列的极限性质（1）极限的唯一性：如果数列{a_n}有极限，则极限是唯一的。
（2）夹逼准则：若数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足a_n ≤ b_n ≤ c_n，并且lim(a_n) = lim(c_n) = L，则lim(b_n) = L。
（3）有界性：若数列{a_n}有极限，则数列是有界的。
（4）收敛数列与发散数列：若数列{a_n}有极限，则称之为收敛数列；反之，称为发散数列。
三、数列的通项公式数列的通项公式是表示数列第n项的一般形式。
通过通项公式，我们可以根据项的顺序n计算数列中的特定项的值。
1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。
若等差数列的首项为a_1，公差为d，则它的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d。
2. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都相等的数列。
若等比数列的首项为a_1，公比为q，则它的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)。
3. 斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指首项和第二项都为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和的数列。
数列的通项公式和应用
数列的通项公式和应用数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数字组成。
在数列中，每个数字被称为数列的项，而数列中的规律可以通过通项公式来表示和描述。
本文将介绍数列的通项公式及其应用，并探讨其中的数学理论和实际应用。
一、数列的定义和基本概念数列是一组按照特定规律排列的数，通常以 a₁, a₂, a₃,..., aₙ 的形式表示。
其中 a₁, a₂, a₃,..., aₙ 分别表示数列的第一项、第二项、第三项、...、第 n 项。
数列中的规律可以通过第 n 项与前面项之间的关系来确定。
二、等差数列的通项公式及应用等差数列是指数列中连续两个项之间都有相同的差值。
设等差数列的第一项为 a₁，公差为 d，则它的通项公式可以表示为 an = a₁ + (n-1)d，其中 an 表示数列的第 n 项。
等差数列的通项公式在实际中有广泛的应用。
例如，在财务分析中，等差数列可以用来计算投资的回报率。
此外，在物理学和工程学中，等差数列可以用来描述速度、加速度等连续变化的量。
三、等比数列的通项公式及应用等比数列是指数列中连续两个项之间的比值都相同的数列。
设等比数列的第一项为 a₁，公比为 q，则它的通项公式可以表示为 an = a₁ *q^(n-1)，其中 an 表示数列的第 n 项。
等比数列的通项公式在实际中也有广泛的应用。
例如，在复利计算中，等比数列可以用来计算贷款或投资的本息总额。
此外，在生物学和经济学中，等比数列可以用来描述生长速度、复利增长等连续变化的现象。
四、斐波那契数列及其应用斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项都为 1，而后面的每一项都是其前两项的和。
斐波那契数列的通项公式可以表示为 an = an-1 + an-2，其中 a₁ = 1，a₂ = 1。
斐波那契数列在实际中有广泛的应用。
例如，在自然界中，许多植物的生长规律和动物的繁殖规律都可以用斐波那契数列来描述。
此外，在计算机科学和金融学中，斐波那契数列也被广泛应用于算法设计和金融模型的建立。
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an 2 ． 若 数 列 {an}中 ， a1 ＝ 1 ， an ＋ 1 ＝ ， 2an＋1 则 a6＝( C ) 1 A. 6 1 B. 36 1 C. 11 1 D. 10
1 1 1 【 解 析 】 a1 ＝ 1 ， a2 ＝ ， a3 ＝ ， a4 ＝ ， 3 5 7 1 1 a5＝ ，a6＝ . 9 11
【命题立意】本题考查了赋值思想及Sn与an 的 关系，又考查了特殊与一般的数学思想及分析 问题、解决问题的能力．
1．若某数列{an}的前四项为 0， 2，0， 2， 则下列各式： 2 ①an＝ [1＋(－1)n]；②an＝ 1＋－1n； 2 2 n是正偶数 ③an＝ . 0 n是正奇数 其中可作为数列{an}的通项公式的是( D ) A．① B．①② C．②③ D．①②③
孤立的点 值，它的图象是一群__ __.
2．数列的表示 数列的表示方法有：列举法、图示法、
递推法 _(用递推关 _ 解析法 (用通项公式表示)和__
系表示)． 3．数列的分类 有穷数列；无穷数列；常数列；递增数列；递 减数列；摆动数列；有界数列；无界数列．
4．数列通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系 ①Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an＝
【 点 评 】 本 例 的 关 键 是 应 用
S1 Sn－Sn－1
an ＝
n＝1 ， 求数列的通项， 特别要注意验 n≥2
证 a1 的值是否满足“n≥2”的一般性通项公式．
三、单调数列及应用 例 3 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝a， an＋1＝Sn＋3n(n∈N*)． (1)设 bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式； (2)若 an＋1≥an，n∈N*，求 a 的取值范围．
1 1 1 2．设 an＝ ＋ ＋„＋ (n∈N*) n＋1 n＋2 2n＋1 则 an＋1 与 an 的大小关系是( C ) A．an＋1＞an B．an＋1＝an C．an＋1＜an D．不能确定
1 1 1 【解析】因为 an＋1－an＝ ＋ － 2n＋2 2n＋3 n＋1 1 1 ＝ － ＜0，所以 an＋1＜an.故选 C. 2n＋3 2n＋2
【解析】(1)依题意，Sn＋1－Sn＝Sn＋3n，即Sn＋1 ＝2Sn＋3n， 由此可得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)， 即bn＋1＝2bn，故{bn}为等比数列， 又b1＝S1－3＝a－3，公比q＝2. 故bn＝b1·2n－1＝(a－3)·2n－1(n∈N)．
(2)由(1)知 Sn＝3n＋(a－3)·n－1(n∈N*) 2 于是当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝[3n＋(a－3)·n－1] 2 －[3n－1＋(a－3)·n－2]＝2·n－1＋(a－3)2n－2. 2 3 又 an＋1－an＝4·n－1＋(a－3)·n－2 3 2 ＝2
1 3 7 15 3．数列－ ， ，－ ， „的一个通项公式为 2 4 8 16
2n－1 (－1)n· n 2 an＝ .
4．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，
0 1 n∈N*，则 a2011＝____；a2018＝____. 【解析】依题意，得a2011＝a4×503－1＝0，
〔备选题〕例 4 设数列{an}满足 a1＋3a2＋32a3＋„ n n－1 ＋3 an＝ ，n∈N＋.求数列{an}的通项公式． 3 n 2 n－1 【解析】a1＋3a2＋3 a3＋„＋3 an＝ ① 3 n＋1 2 n－1 n a1＋3a2＋3 a3＋„＋3 an＋3 an＋1＝ ② 3 1 n ②－①得 3 an＋1＝ 3 1 1 ∴an＋1＝ n＋1，∴an＝ n(n≥2) 3 3
a2018＝a2×1009＝a1009＝a4×253－3＝1.
5．数列 {an}的前 n 项之和为 Sn ，a1 ＝1， 1 an＋1＝ Sn(n∈N＋)，则 an 的通项公式为 3
an＝
1，n＝1 1 4 n－2 3·3 ，n≥2
.
1 【解析】an＋1＝ Sn① 3 1 an＋2＝ Sn＋1② 3 1 ②－①得，an＋2－an＋1＝ an＋1 3 4 1 1 1 ∴an＋2＝ an＋1，又 a2＝ S1＝ a1＝ 3 3 3 3 4 n－ 2 1 4 n－ 2 ∴当 n≥2 时，an＝a2· ) ＝ · ) ( ( 3 3 3 1，n＝1 ∴an＝1 4 n－2 33 ，n≥2 .
n2－n＋6 2 的第 3 个数是
.
【解析】前 n－1 行共有正整数 1＋2＋„＋(n－1) nn－1 n2－n ＝ 个，即 个，因此第 n 行第 3 个数是 2 2 n2－n n2－n＋6 全体正整数中第 ＋3 个，即为 . 2 2
n 3．已知数列{an}的通项公式是 an＝ 2 ， n ＋156 则数列{an}的最大项是( C ) A．第 12 项 B．第 13 项 C．第 12 项或第 13 项 D．不存在
1 n 【解析】an＝ 2 ＝ . 156 n ＋156 n＋ n ∴an 在[1， 156]为增，在[ 156，＋∞)为减， 1 1 而 a12＝ ，a13＝ ，故选 C. 25 25
an－ 3 5． 已知数列{an}满足 a1＝0， n＋1＝ a (n∈N*)， 3an＋1 则 a20＝ 3 .
0－ 3 【解析】由 a1＝0，所以 a2＝ ＝－ 3， 3×0＋1 － 3－ 3 3－ 3 a3＝ ＝ 3，a4＝ ＝0， 3×－ 3＋1 3× 3＋1 可知{an}是周期数列，且周期是 3， 所以 a20＝a3×6＋2＝a2＝－ 3.
第五章
数列、推理与证明
1．数列 (1)数列的概念和简单表示法
①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表 、图象、通项公式)．
②了解数列是自变量为正整数的一类函数．
(2)等差数列、等比数列 ①理解等差数列、等比数列的概念．
②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和 公式．
③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等 比关系，并能用有关知识解决相应的问题． ④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数 的关系．
n 4．若 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝ ， n＋1 1 则 ＝( D ) a5 5 6 1 A. B. C. D．30 6 5 30 n－1 n 【解析】 n≥2 时，n＝Sn－Sn－1＝ 当 a － n n＋1 1 1 1 ＝ － ＝ . n n＋1 nn＋1 1 1 1 ∴a5＝ ＝ ，∴ }的前 n 项和 Sn 满足： Sn＋Sm＝Sn＋m，且 a1＝1，那么 a10＝( A ) A．1 B．9 C．10 D．55 【解析】 ∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且 a1＝1，∴S1＝1. 可令 m＝1，得 Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1. 即当 n≥1 时，an＋1＝1，∴a10＝1.
5 n＝1 an＝ n－1 2 n≥2
.
1 (2)当 n＝1 时，S1＝a1＝ (a1＋1)2，解得 a1＝1， 4 1 1 2 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ (an＋1) － (an－1 4 4 ＋1)2， 所以(an－1)2－(an－1＋1)2＝0， 所以(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 又 an＞0，所以 an－an－1＝2，可知{an}为等差 数列，且公差为 2， 所以 an＝a1＋(n－1)· 2＝2n－1， 1 也适合此式． a
S1 ②an＝ Sn－Sn－1
a
i 1
n
i
.
n＝1 n≥2.
一、归纳、猜想求通项 例 1 根据下面各数列的前 n 项，写出数列 的一个通项公式． (1)0,3,8,15,24，„； 2 10 17 26 37 (2) ，－1， ，－ ， ，－ ，„； 3 7 9 11 13 (3)3,33,333，„.
S1 n＝1 二、公式 an＝ 的应用 Sn－Sn－1 n≥2
例 2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， 分别求 其通项公式． (1)Sn＝3＋2n； 1 (2)Sn＝ (an＋1)2(an＞0)． 4
【解析】(1)当 n＝1 时，S1＝a1＝3＋21＝5， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝(3＋2n)－(3＋2n－1)＝2n－1， 又 a1＝5 不适合上式， 故
第32讲 数列的概念与通项公式
【学习目标】 1．理解数列的概念，能用函数的观点认识数列， 了解数列的通项公式和递推关系式的意义． 2．理解数列前n项和的含义，掌握an与Sn的基本关 系，并能准确运用． 3．培养学生的观察能力与归纳思想．
【基础检测】 1．已知数列 2， 5，2 2， 11，„，则 2 5 是该数列的( B ) A．第 6 项 C．第 10 项 B．第 7 项 D．第 11 项
n－2
3 n－2 · [12( ) ＋a－3]， 2
3 n－ 2 因为当 n≥2 时，n＋1≥an⇒12· ) ＋a－3≥0， a ( 2 对 n∈N*，且 n≥2 恒成立，从而 a≥－9.
【点评】转化是数列中最基本、最常用的解题
策略，本例中an与Sn之间的转化，an＋1≥an对
∀n∈N*恒成立与最值转化充分说明转化是问题 探究的有效成功途径．
【解析】(1)an＝n2－1； n2＋1 (2)an＝(－1)n＋1 ； 2n＋1 1 n (3)an＝ (10 －1)． 3
【点评】根据数列的前n项归纳出通项时，常用方法 是观察法，体现从特殊到一般的思维规律，观察时， 可从以下几个方面着手：①符号规律，正负相间时可 用 (－1)n或(－1)n＋1表示；②各项结构为分数时可将分 子、分母分开考察；③递增时可考虑关于n为一次递 增或以2n,3n等形式递增．
2．推理与证明 (1)合理推理与演绎推理
①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简 单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模 式，并能运用它们进行一些简单推理． ③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．