5.1.任意角和弧度制及任意角的三角函数

授课主题：任意角、弧度制、同角三角函数基本关系教学目标1．理解任意角的概念，特别是象限角、区间角、终边相同的角的概念及其表示法．2．理解并掌握弧度制的定义，理解1弧度的定义，能熟练进行弧度与角度的互化．3．理解弧度制表示的弧长、扇形面积公式，能运用弧长、扇形面积公式计算．4．理解并掌握任意角的三角函数的定义及其表示，能熟练求三角函数的值．5．掌握同角三角函数的基本关系式并灵活运用于解题，提高学生分析，解决问题的能力．6．灵活运用同角三角函数基本关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法．教学内容1．象限角和轴线角象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，如果角的终边落在坐标轴上，就把这个角叫做轴线角．注意：直角坐标系中角的分类是根据角在坐标系内终边的位置而定义的，而初中学习的角的分类是根据角的范围而定义的，通过定义比较我们可以知道锐角是第一象限的角，钝角是第二象限的角，直角，平角，周角都是轴线角．但要注意反之则不然，也就是说第一象限的角不都是锐角．2．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合为{}β|β＝α＋k·360°，k∈Z．即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．由终边相同的角的定义可知，相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．3．弧度制的概念1）弧度制：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．2）由弧度定义，一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是确定的，与圆的半径大小无关．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．sin α＝yr ，其中r >0，于是sin α的符号与y 的符号相同，即：当α是第一、二象限角时，sin α>0；当α是第三、四象限角时，sin α<0；cos α＝xr ，其中r >0，于是cos α的符号与x 的符号相同，即：当α是第一、四象限角时，cos α>0；当α是第二、三象限角时，cos α<0；tan α＝yx ，当x 与y 同号时，它们的比值为正，当x 与y 异号时，它们的比值为负，即：当α是第一、三象限角时，tan α>0；当α是第二、四象限角时，tan α<0.根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：(1) “sin α＝y r ：上正下负横为0；cos α＝x r ：左负右正纵为0；tan α＝yx ：交叉正负”．(2) “一全正二正弦，三正切四余弦”8．诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值相等，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α，k ∈Z.注意：公式一中的角α不一定是锐角．也就是说，对于任意角α，公式一都成立． 9．三角函数的定义域三角函数 sin α cos α tan α定义域RR⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠k π＋π2，k ∈Z题型一 象限角的确定例1 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，在0°≤α<360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．(1)－150°； (2)730°；(3)－795°； (4)950°18′解析：(1)∵－150°＝－360°＋210°，∴在0°≤α<360°范围内，终边与－150°相同的角是210°，它是第三象限角； (2)∵730°＝2×360°＋10°，∴在0°≤α<360°范围内，终边与730°相同的角是10°，它是第一象限角； (3)∵－795°＝－3×360°＋285°，∴在0°≤α<360°范围内，终边与－795°相同的角是285°，它是第四象限角； (4)∵950°18′＝2×360°＋230°18′，∴在0°≤α<360°范围内，终边与950°18′相同的角是230°18′，它是第三象限角． 题型二 终边相同的角的表示例2 分别写出终边落在以下直线上的角的集合：(1)终边落在x 轴上； (2)终边落在直线y ＝x 上．解析：(1)在0°≤α<360°范围内，终边落在x 轴上的角有0°和180°， 与0°角终边相同的角的集合为S 1＝{α|α＝k ·360°，k ∈Z}， 与180°角终边相同的角的集合为S 2＝{α|α＝180°＋k ·360°，k ∈Z}．故终边在x 轴上的角的集合为：S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝k ·360°，k ∈Z}∪{α|α＝180°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝2k ·180°，k ∈Z}∪{α|α＝(2k ＋1)·180°，k ∈Z}＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z}．(2)在0≤α<360°范围内，终边落在直线y ＝x 上的角有45°和225°， 与45°角终边相同的角的集合为：S 3＝{}α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z ， 与225°角终边相同的角的集合为：S 4＝{}α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z ， 故终边在直线y ＝x 上的角的集合为：S ＝S 3∪S 4＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z}∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z}＝{α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z}． 巩 固 与－457°角终边相同的角的集合是( )A.{}α|α＝k ·360°＋457°，k ∈Z B.{}α|α＝k ·360°＋97°，k ∈Z C.{}α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z D.{}α|α＝k ·360°－263°，k ∈Z 解析：∵－457°＝－2×360°＋263°， ∴－457°与263°是终边相同的角，选C. 答案：C巩 固 分别写出终边落在以下直线上的角的集合：(1)终边落在y 轴上； (2)终边落在直线y ＝－x 上； (3)终边落在坐标轴上．解析：(1)在0°≤α<360°范围内，终边落在y 轴上的角有90°和270°，与90°角终边相同的角的集合为：S 1＝{}α|α＝90°＋k ·360°，k ∈Z ， 与270°角终边相同的角的集合为：S 2＝{α|α＝{270°＋k ·360°，k ∈Z}，故终边在y 轴上的角的集合为：S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝90°＋k ·360°，k ∈Z}∪{α|α＝270°＋k ·360°，k ∈Z} ＝{α|α＝90°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{α|α＝90°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z}＝{}α|α＝90°＋k ·180°，k ∈Z . (2)在0°≤α<360°范围内，终边落在直线y ＝－x 上的角有135°和315°， 与135°角终边相同的角的集合为：S 3＝{}α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z ， 与315°角终边相同的角的集合为：S 4＝{α|α＝315°＋k ·360°，k ∈Z}，故终边在直线y ＝－x 上的角的集合为：S ＝S 3∪S 4＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}∪{α|α＝315°＋k ·360°，k ∈Z} ＝{α|α＝135°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{α|α＝135°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z}＝{α|α＝135°＋k ·180°，k ∈Z}． (3)在0°≤α<360°范围内，终边落在坐标轴上的角有0°，90°，180°和270°. 与0°角终边相同的角的集合为S 5＝{}α|α＝k ·360°，k ∈Z ＝{}α|α＝4k ·90°，k ∈Z ， 与90°角终边相同的角的集合为S 6＝{α|α＝90°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝(4k ＋1)·90°，k ∈Z}， 与180°角终边相同的角的集合为S 7＝{α|α＝180°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝(4k ＋2)·90°，k ∈Z}， 与270°角终边相同的角的集合为S 8＝{α|α＝270°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝(4k ＋3)·90°，k ∈Z}， 故终边在坐标轴上的角的集合为：S ＝S 5∪S 6∪S 7∪S 8＝{}α|α＝k ·90°，k ∈Z . 题型三 区间角的表示例3 已知集合A ＝{α|k ·180°＋30°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z}，集合B ＝{β|k ·360°－45°<β<k ·360°＋45°，k ∈Z}，求A ∩B .解析：∵A ＝{α|k ·180°＋30°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z}，当k ＝2n ，n ∈Z 时，A ＝{α|n ·360°＋30°<α<n ·360°＋90°，k ∈Z}， 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，A ＝{α|n ·360°＋210°<α<n ·360°＋270°，k ∈Z}，∴角α为第一或第三象限角，而β角为第一或第四象限角或终边在x 轴正半轴上， ∴A ∩B ＝{α|k ·360°＋30°<α<k ·360°＋45°，k ∈Z}．巩 固 (1)分别写出第一、三象限角的集合；(2)写出第一、三象限角的集合．解析：(1)设角α的顶点与坐标原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，终边落在第一象限内，则角α的集合为 A ＝{α|k ·360°＋0°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z}；同理，设角β的顶点与坐标原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，终边落在第三象限内，则角β的集合为 B ＝{β|k ·360°＋180°<β<k ·360°＋270°，k ∈Z}． (2)由(1)知，终边落在第一或第三象限角的集合为A ∪B ＝{α|2n ·180°<α<2n ·180°＋90°}∪{B |(2n ＋1)·180°<β<(2n ＋1)·180°＋90°，n ∈Z} ＝{a |k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z}． 题型四 等分角的表示例4 已知角α是第二象限角，试问：α2是第几象限角？解析：方法一 ∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ， ∴k ·180°＋45°<α2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，n ∈Z ，此时，α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，n ∈Z ，此时，α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角． 方法二 如图所示，先将各象限分成二等分，再从x 轴正向的上方依次将各区域标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，则标有Ⅱ的区域即为α2的终边所在的区域．故α2是第一、三象限角．巩 固 已知角α是第二象限角，试问：2α是第几象限角？解析：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ， ∴2k ·360°＋180°<2α<2k ·360°＋360°，k ∈Z ，∴2α是第三或第四象限角或终边在y 轴的非正半轴上． 题型五 弧度制的概念 例5 下列说法正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位解析：本题考查弧度制下，角的度量单位1弧度的概念．根据1弧度的定义，我们把长度等半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即可判断D 正确．答案：D巩 固 下列说法不正确的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角C ．根据弧度的定义知，180度一定等于π radD ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径的长短有关解析： 根据角度与弧度的定义可知，无论是角度制还是弧度制，角的大小都与半径的长短无关，所以D 错误，故选D.答案：D题型六 弧度制与角度制的换算例6 将下列各角化成2k π＋α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式，并指出是第几象限角？(1)1 140°； (2)－316π； (3)196π； (4)－315°.解析：(1)1 140°＝193π＝6π＋π3，193π与π3的终边相同，故193π是第一象限角；(2)－316π＝－6π＋5π6，－316π与5π6的终边相同，是第二象限角； (3)196π＝2π＋7π6，是第三象限角； (4)－315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4，是第一象限角．巩 固 (1)把－1 480°角化成2k π＋α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式；(2)若β∈[－4π，0]，且β与－1 480°角的终边相同，求β. 解析： (1)－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9＝2×(－5)π＋16π9；(2)β与－1 480°角的终边相同， ∴β＝2k π＋α＝2k π＋16π9，又∵β∈[－4π，0]，∴β1＝－2π＋16π9＝－2π9，β2＝－4π＋16π9＝－20π9.巩 固 (1)把－1 480°角化成2k π＋α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式；(2)若β∈[－4π，0]，且β与－1 480°角的终边相同，求β.解析： (1)－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9＝2×(－5)π＋16π9；(2)β与－1 480°角的终边相同， ∴β＝2k π＋α＝2k π＋16π9，又∵β∈[－4π，0]，∴β1＝－2π＋16π9＝－2π9，β2＝－4π＋16π9＝－20π9.题型七 用弧度制表示角例7 用弧度制表示顶点在原点，始边重合x 轴非负半轴，终边落在下图中阴影部分内的角的集合(包括边界)．解析：(1)图(1)中的阴影部分表示为{α|45°＋k ·180°≤α≤90°＋k ·180°，k ∈Z}， 化为弧度制为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫π4＋k π≤α≤π2＋k π，k ∈Z ； (2)图(2)中的阴影部分表示为{α|k ·90°≤α≤45°＋k ·90°，k ∈Z}， 化为弧度制为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫k π2≤α≤π4＋k π2，k ∈Z ； (3)图(3)中的阴影部分表示为{α|－120°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z}， 化为弧度制为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫－2π3＋2k π≤α≤5π6＋2k π，k ∈Z . 题型八 弧长公式与扇形面积公式的应用例8 (1)已知扇形周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积；(3)已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 解析：由l ＝|α|·R 及S ＝12l ·R 单独应用或联立，可做到知二求一．(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，12l ·r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，l ＝2， 代入弧长公式l ＝θ·r ⇒θ＝lr，所以有θ＝8 rad>2π(rad)(舍去)或θ＝12(rad)．(2)设扇形弧长为l ，因为圆心角72°＝72×π180＝2π5 rad ，所以扇形弧长l ＝|α|·r ＝2π5×20＝8π， 于是，扇形的面积S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π.(3)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ， 则l ＋2r ＝4，所以l ＝4－2r ⎝⎛⎭⎫21＋π<r <2，所以S ＝12l ·r ＝12×(4－2r )×r ＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，所以当r ＝1时，S 最大，且S max ＝1， 此是时，θ＝l r ＝4－2×11＝2(rad)．巩 固 一扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？解析：设扇形的圆心角为α，半径为r ，由已知条件得，扇形的弧长l ＝α·r ， ∴2r ＋αr ＝20，α＝20r －2，S ＝12·α·r 2＝10r －r 2＝－(r －5)2＋25，当r ＝5，α＝2时，S max ＝25(cm)2. 题型九 利用三角函数的定义求三角函数值例9 已知角α的终边过点P (－3,2)，求sin α，cos α，tan α的值．分析：本题考查角α的三角函数值，已知x ＝－3，y ＝2，先求出r ，然后根据三角函数的定义求解． 解析：∵x ＝－3，y ＝2，∴r ＝－32＋22＝13，∴sin α＝y r ＝213＝21313，cos α＝x r ＝－313＝－31313，tan α＝y x ＝2－3＝－23.点评：(1)解已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有两种；①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b 2. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论 巩 固 在平面直角坐标系中，若角α终边经过点P (－3,4)，则cos α的值为 ( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45解析： ∵x ＝－3，y ＝4，∴r ＝－32＋42＝5，∴cos α＝x r ＝－35＝－35，故选B.答案：B巩 固 已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．分析： 因为角α的终边是一条射线，故应分两种情况进行讨论．可在直线上取一特殊点转化成例1类似的问题，进而求解．解析： 当角α的终边在第一象限时，角α的终边上取点P (1,2)， ∵x ＝1，y ＝2，∴r ＝12＋22＝5，∴sin α＝y r ＝25＝255，cos α＝x r ＝15＝55，tan α＝y x ＝21＝2.当角α的终边在第三象限时，角α的终边上取点Q (－1，－2)， ∵x ＝－1，y ＝－2，∴r ＝－12＋－22＝5，∴sin α＝y r ＝－25＝－255，cos α＝x r ＝－15＝－55，tan α＝y x ＝－2－1＝2.题型十 应用诱导公式(一)进行化简、求值 例10 求下列各三角函数的值：(1)cos(－1 050°)； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－314π.解析：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°， ∴－1 050°角与30°角的终边相同，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32； (2)∵－314π＝－4×2π＋π4，∴－314π角与π4角的终边相同，∴sin ⎝⎛⎭⎫－314π＝sin ⎝⎛⎭⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. 巩 固 求值：cos 94π＋tan ⎝⎛⎭⎫－116π＝________. 解析：∵cos 94π＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π4＝22，tan ⎝⎛⎭⎫－116π＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝tan π6＝33， ∴cos 94π＋tan ⎝⎛⎭⎫－116π＝22＋33. 答案：22＋33题型十一 判断三角函数值的符号问题例11 (1)若角α分别是第二、三、四象限角，则点P (sin α，cos α)分别落在第________、________和________象限．(2)依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4；③tan π8>tan 3π8；④sin 3π5>sin 4π5. 其中判断正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：(1)当角α是第二象限角时，sin α>0，cos α<0，则点P (sin α，cos α)在第四象限； 当角α是第三象限角时，sin α<0，cos α<0，则点P (sin α，cos α)在第三象限； 当角α是第四象限角时，sin α<0，cos α>0，则点P (sin α，cos α)在第二象限． (2)在平面直角坐标系中作单位圆，依次作相关角的三角函数线，由图象可知 sin π6≠sin 7π6，cos π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4，tan π8<tan 3π8，sin 3π5>sin 4π5，∴序号②④判断正确，答案选B.答案：(1)四 三 二 (2) B巩 固 判断下列各三角函数值的符号：sin 3，cos 4，tan 5.解析： ∵π2<3<π，π<4<32π，3π2<5<2π， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.A 组1．下列说法正确的是( )A ．1弧度角的大小与圆的半径无关B ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大C ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等D ．用弧度表示的角都是正角解析： ∵1 rad ＝180°π＝57.3°＝57°18′，其大小与圆的半径无关． 答案：A2．某扇形的面积为1 cm 2，周长为4 cm ，那么该扇形圆心角的弧度数为( )A ．2°B ．2C ．4°D ．4 解析： ∵4＝|α|·r ＋2r ⇒r ＝42＋|α|，且1＝12|α|·r 2， ∴1＝12|α|·⎝⎛⎭⎫4|α|＋22，解得|α|＝2，故选B. 答案： B3．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A.π3B.π6C ．1D ．π 答案：A4．扇形弧长为π，面积为π，圆的半径是 .解析：弧长l ＝π.∵S 扇＝12lr ＝π， ∴12×πr ＝π，即r ＝2，∴圆的半径为2. 答案：2B 组1．将－300°化为弧度等于( )A －4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π6答案：B2．将－1 485°化成2k π＋α，(0≤α<2π，k ∈Z)的形式是( )A ．－8π＋π4B ．－8π－7π4C ．－10π－π4D ．－10π＋7π4答案：D3．已知半径为1的扇形面积为38π，则扇形的圆心角为( ) A.316π B.38π C.34π D.32π 答案：C4．终边在x 轴正半轴上的角的集合为________，终边在x 轴负半轴上的角的集合为________，终边在x 轴上的角的集合为________，终边在y 轴正半轴上的角的集合为________，终边在y 轴负半轴上的角的集合为________，终边在y 轴上的角的集合为________，终边在坐标轴上的角的集合为________.答案：{}α|α＝2k π，k ∈Z {}α|α＝π＋2k π，k ∈Z {}α|α＝k π，k ∈Z ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π2＋2k π，k ∈Z ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝－π2＋2k π，k ∈Z ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π2＋k π，k ∈Z ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈ZA 组1．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )A ．90°－αB ．90°＋αC ．360°－αD ．180°＋α解析： ∵α是第一象限角，∴k ·360°＋0°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ，∴k ·360°－90°<－α<k ·360°＋0°，k ∈Z ，∴k ·360°＋270°<360°－α<k ·360°＋360°，k ∈Z ，∴360°－α是第四象限角，故选C.答案：C7．角α＝－5π2，则sin α，tan α的值分别为( ) A ．－1，不存在 B ．1，不存在C ．－1,0D ．1,0解析：由三角函数的定义及终边相同角的概念知A 正确，故选A.答案：A8．有下列四个命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不相等；③若sin α>0，则α是第一或第二象限角；④若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2 . 其中，不正确命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析： ①正确；②不正确；③不正确，例：α＝π2也成立；④不正确．故选C. 答案：C9．若sin α<0且tan α>0，则α( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：∵sin α<0，∴α在第三、四象限．又∵tan α>0，∴α在第一、三象限．故α在第三象限．答案：CB 组1．角α的终边落在y ＝－x (x >0)上，则sin α的值等于( )A ．±12 B.22 C ．±22 D ．－22答案：D2．sin 330°等于( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32 答案：B3．若角θ的终边经过点⎝⎛⎭⎫－32，12，则tan θ的值是( ) A ．－33 B ．－32 C. 3 D.12答案：A4．判断正误．(1)锐角是第一象限角( )答案：√ (2)第一象限角一定是锐角( ) 答案：×(3)直角是终边在y 轴非负半轴上的角( ) 答案：√(4)终边在y 轴非负半轴上的角是直角( ) 答案：×(5)钝角是第二象限角( ) 答案：√(6)第二象限角是钝角( )答案：× 5．设M ＝{小于90°的角}，N ＝{第一象限的角}，则M ∩N ＝( )A ．{锐角}B ．{小于90°的角}C ．{第一象限的角}D ．以上都不对 答案：D6．与－1 500°终边相同的角可以表示为( )A ．k · 360°＋1 500°，k ∈ZB ．k · 360°＋60°，k ∈ZC ．k · 360°－60°，k ∈ZD ．k · 360°＋100°，k ∈Z答案：C7．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A ．{α|－45°≤α≤120°}B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k · 360°－45°≤α≤k · 360°＋120°，k ∈Z}D ．{α|k · 360°＋120°≤α≤k · 360°＋315°，k ∈Z}答案：C8．若α＝k · 180°＋45°，k ∈Z ，则α是第______象限角( )A ．一或三B ．一或二C ．二或四D ．三或四答案：AC 组1．若θ是第三象限角，且cos θ2>0，则θ2是第____角( ) A ．一象限 B ．二象限C ．三象限D ．四象限解析：∵θ是第三象限角，∴2k π＋π<θ<2k π＋32π(k ∈Z)， ∴k π＋π2<θ2<k π＋34π(k ∈Z)，即θ2是第二或第四象限角，又由cos θ2>0，∴θ2只能是第四象限角，故选D. 答案：D2．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( ) A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解析：∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，∴k ·180°＋90°<α2<k ·180°＋135°，k ∈Z ， 当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋90°<α2<n ·360°＋135°，n ∈Z ，此时，α2是第二象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋270°<α2<n ·360°＋315°，n ∈Z ，此时，α2是第四象限角． ∴α2是第二或第四象限角．故选D. 答案：D3．与－1 000°终边相同的最小正角是________．解析：∵－1 000°＝－3×360°＋80°，∴与－1 000°终边相同的最小正角是80°.答案：80°。