陕西省商洛市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析

商洛市2019~2020学年度第一学期期末教学质量检测高二数学试卷（理科）一、选择题1. 命题“20,11x x ∀≥-≥-”的否定是（ ） A. 20,11x x ∀≥-<- B. 20,11x x ∀<-<- C. 20,1x x ∃≥-<-1 D. 20,11x x ∃<-<-【答案】C 【解析】 【分析】利用全称命题的否定解答即得解.【详解】所给命题为全称量词命题，故其否定为存在量词命题，同时要否定结论， 所以所给命题的否定为20,1x x ∃≥-<-1. 故选C【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2. 已知向量()2,3,1a =-，()1,2,4b =-，则a b +=（ ） A. ()1,1,5- B. ()3,5,3-- C. ()3,5,3- D. ()1,1,5--【答案】A 【解析】 【分析】根据向量加法的坐标运算直接得出结果.【详解】()()()2,3,11,2,41,1,5a b +=-+-=-. 故选：A.【点睛】本题考查空间向量加法的坐标运算，属于简单题.3. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c .若45A =︒，60B =︒，1a =，则b =（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可.【详解】因为sin sin a bA B=，所以1sin sin 2a Bb A ===.故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.4. 已知,,a b c 是任意实数，a b >，且0ab ≠，则下列结论不正确的是（ ）A. 2211a bc c >++ B. 33a b > C. 220a ba b->D. 22a b >【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】若a b >，210c +>，则2211a bc c >++成立； 若a b >，则33a b >成立； 若a b >，则220a ba b ->成立； 若0b a <<，则22a b >不成立. 故选：D【点睛】本题主要考查了由条件判断所给不等式是否正确，属于基础题. 5. 若等差数列{}n a 的公差2d =，87:7:8a a =，则1a =（ ） A. 15- B. 28- C. 15 D. 28【答案】B【解析】 【分析】由题意可设87a k =，78a k =，根据等差数列的定义可得k 的值，从而可得7a 的值，根据176a a d =-即可得结果.【详解】设87a k =，78a k =，87782a a k k k -=-=-=，则2k =-. 即716a =-，故176161228a a d =-=--=-， 故选：B.【点睛】本题考查等差数列首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列定义的合理运用．6. 若椭圆22:143x y C +=，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大，最小值分别为（ ）A. 3，1B. 22C. 2，1D.1【答案】A 【解析】 【分析】根据题中椭圆方程求出椭圆基本量a ，b ，c ，然后根据a ，b ，c 的值求出椭圆上的点到两焦点距离的最大，最小值即可.【详解】由题知2a =，b =所以1c ==，所以距离的最大值为3a c +=， 距离的最小值为1a c -=. 故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到焦点的距离最值，属于基础题. 7. 命题“[]1,2x ∃∈，20x x a +-≤”为假命题，则a 的取值范围为（ ） A. (),2-∞B. (),6-∞C. (],2-∞D. (],6-∞【答案】A 【解析】 【分析】由于命题是假命题，可得其否定为真命题，然后可以建立关系即可求解. 【详解】∴命题“[]1,2x ∃∈，20x x a +-≤”为假命题,∴该命题的否定“[]1,2x ∀∈，20x x a +->”为真命题，即20x x a +->在[]1,2x ∈上恒成立，2y x x a =+-在[]1,2单调递增， min20y a ，解得2a <.故选：A.【点睛】本题考查根据命题的真假求参数范围，属于中档题.8. 如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A. 111442a b c --B.111442a b c -+ C. 111442a b c +-D. 111442a b c -++【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的加减运算以及数乘运算求解即可. 【详解】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++.故选：D.【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用.属于较易题. 9. 设x ∈R ，则ln 0x >的一个充分不必要条件是（ ）A. x >B. 0x >C. 1x >D. 1x <-【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式ln 0x >的解集，然后选择该集合的真子集即可. 【详解】由不等式ln 0x >可解得1x >，则ln 0x >的一个充分不必要条件表示的集合是不等式ln 0x >的解集的真子集， 则只有选项A 满足. 故选：A.【点睛】本题考查与集合相关的充分条件和必要条件的判断，属于基础题. 10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123451111110a a a a a ++++=，则31a =，5S =（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25【答案】A 【解析】 【分析】对已知等式左侧的式子一、五两项，二、四两项分别通分，结合等比数列的性质再和第三项通分化简可得521234531111110S a a a a a a ++++==，结合3a 的值进而可得结果. 【详解】15123455242212345152433311111110a a a a a a a S a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++=++===， 则510S =， 故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，利用性质化简是解题的关键，属于中档题. 11. 已知,a b 为正数，2247a b +=，则的最大值为（ ）A.B.C. D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】22114122222a b ⎛⎫++=⨯≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2241a b =+时，取得最大值.故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.12. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，P 为抛物线C 上一点，且P 在第一象限，当PFPK取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A. 12⎛⎝ B. ()1,2C. (2,D. ()4,4【答案】B 【解析】 【分析】过点P 作PE 垂直于抛物线C 的准线，垂足为点E ，由抛物线的定义可得PE PF =，可得出cos cos PF PE KPE PKF PKPK==∠=∠，结合图形可知，当直线PK 与抛物线相切时，PKF ∠最大，则PF PK最小，设直线PK 的方程为()10x my m =->，将该直线方程与抛物线C 的方程联立，利用0∆=，求出方程组的解，即可得出点P 的坐标. 【详解】如下图所示：过点P 作PE 垂直于抛物线C 的准线l ，垂足为点E ，由抛物线的定义可得PE PF =， 抛物线C 的准线为:1l x =-，则点()1,0K -， 由题意可知，//PE x 轴，则KPE PKF ∠=∠，cos cos PF PE KPE PKF PKPK==∠=∠， 由图形可知，当直线PK 与抛物线相切时，PKF ∠最大，则PF PK最小，设直线PK 的方程为()10x my m =->，将该直线方程与抛物线C 的方程联立214x my y x =-⎧⎨=⎩， 消去x 得2440y my -+=，216160m ∆=-=，0m >，解得1m =，则2440y y -+=，解得2y =，此时，2214x ==，因此，点P 的坐标为()1,2.故选：B.【点睛】本题考查根据抛物线上线段比的最值来求点的坐标，涉及抛物线定义的转化，解题的关键就是要抓住直线与抛物线相切这一位置关系来分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题13. 已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线方程为3y x =，则该双曲线的离心率为__________.【答案】3【解析】 【分析】 由渐近线方程得出3ab=，结合离心率公式即可得出答案. 【详解】由题可得3a b =，故3c e a ===.【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.14. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a =，c =，1cos 3C =，则b =______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据余弦定理可直接列出方程，解出即可. 【详解】由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，代入数据整理可得2230b b --=，解得3b =或1b =-（舍去）， 所以3b =. 故答案为：3.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，属于基础题.15. 设x ，y 满足约束条件20040x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值是______.【答案】8【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，由z x y =+，即y x z =-+，把直线y x z =-+平移到可行域的A 点时，此时目标函数取得最大值，进而求解目标函数的最大值．【详解】画出约束条件所表示的可行域，如图(阴影部分)所示， 又由z x y =+，即y x z =-+，把直线y x z =-+平移到可行域的A 点时，此时直线y x z =-+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值， 又由040x y y -=⎧⎨-=⎩，解得(4,4)A ，所以目标函数的最大值为max 8z =. 故答案为：8.【点睛】本题主要考查了利用线性规划求最大值问题，其中解答中正确画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，平移目标函数确定最优解，即可求解目标函数的最大值，着重考查了推理与计算能力，属于较易题．16. 在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1AC 上的一点，且11PC t AC =，若BPD ∠为锐角，则t 的取值范围是______. 【答案】10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】如图，建立空间坐标系，设正方体的边长为1，设(),,P x y z ，写出点的坐标，代入已知条件，利用空间向量的数量积坐标公式求解即可得出结果. 【详解】如下图，建立空间坐标系，设正方体的边长为1，设(),,P x y z ，则()()()()10,0,0,1,1,1,1,0,0,0,1,0A C B D ， 由11PC t AC =，得01t ≤≤，()()11,1,11,1,111x tx y z t y t z t =-⎧⎪---=⇒=-⎨⎪=-⎩，则()(),1,1,1,,1PB t t t PD t t t =--=--，BPD ∠为锐角，0PB PD ∴⋅>，()()()2211103410t t t t t t t ∴-+-+->⇒-+>，则1t >或13t <， 又01t ≤≤， 故103t ≤<. 故答案为：10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查了利用空间向量的数量积坐标公式求解参数的问题.属于较易题.三、解答题17. 设a R ∈，p ：函数()2ln 41y x ax =++的定义域为R ，q ：函数2()4f x x x a =--在区间[]0,3上有零点.（1）若q 是真命题，求a 的取值范围； （2）若()p q ∨⌝是真命题，求a 的取值范围. 【答案】（1）[]4,0-（2）{4a a <-或1}2a >- 【解析】 【分析】（1）将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，从而得出a 的范围； （2）由判别式小于0得出p 中a 的范围，根据或命题的性质得出a 的范围. 【详解】解：（1）当q 是真命题时，24a x x =-在[]0,3x ∈上有解 即函数y a =与函数[]24,0,3y x x x =-∈有交点又[]24,0,3y x x x =-∈的值域为[]4,0-所以a 的取值范围为[]4,0-.（2）当p 是真命题时，由题意，2410x ax ++>在x ∈R 上恒成立， 则2(4)40a -<，则1122a -<<. 记当p 是真命题时，a 的取值集合为A ，则1122A a a ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭； 记当q ⌝是真命题时，a 的取值集合为B ，则{|4B a a =<-或}0a >， 因为()p q ∨⌝是真命题 所以a 的取值范围是AB ={4a a <-或1}2a >-【点睛】本题主要考查了由命题为真命题求参数的范围，属于中档题.18. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin C c B =+． （1）求角B 的值；（2）若2b =，且ABC ABC 的周长．【答案】（1）3B π=（2）周长为6．【解析】 【分析】（1）cos sin sin A B C C B =+，结合三角形内角和，诱sin sin sin B C C B =，由商数关系即可得出角B 的值；（2）由三角形面积公式化简得出4ac =，再由余弦定理得出4a c +=，即可得出ABC 的周长.【详解】（1cos sin sin A B C C B =+． ∵A B C π++=，∴()sin sin A B C =+，代入得cos sin cos sin sin B C B C B C C B +=+，sin sin sin B C C B =．∵0C π<<，∴sin 0C ≠，tan B = 又∵0B π<<，∴3B π=．（2）∵1sin 2ABCSac B ===4ac = 由余弦定理得()22222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+- ∴()22316a c b ac +=+=，∴4a c += ∴ABC 的周长为6．【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式以及三角形面积公式，余弦定理，属于中档题.19. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，()112n n S a n -=-≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log n n b a +=，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n na （2）()121n n T n =-⋅+【解析】 【分析】（1）根据n S 与n a 的关系得出数列{}n a 为等比数列，即可得出数列{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法求解即可.【详解】解：（1）当2n =时，121S a =-，即2112a a =+=； 当2n ≥时，11n n S a -=-①，11n n S a +=-② 由②-①得11n n n n S S a a -+-=-，即1n n n a a a +=-，∴12n na a += 即34232a a a a ===，又212a a = ∴数列{}n a 为等比数列，公比为2，首项为1∴11122n n n a --=⋅=（2）由（1）可得12n n a +=，2log 2n n b n ==，12n n n a b n -=⋅， ∴01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅③()12312122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅④③-④得()()2111212222212112nn n nnn T n n n -⋅--=++++-⋅=-⋅=-⋅--，∴()121nn T n =-⋅+．【点睛】本题主要考查了利用n S 与n a 的关系求数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.20. 如图.四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是直角梯形，BC AD ∥，AB AD ⊥，22AD BC ==，四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形.（1）证明；平面11ABB A⊥平面ABCD；（2）求二面角1B CD A--的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)66【解析】【分析】（1）证明1AA⊥平面ABCD，再利用面面垂直判定定理证明（2）由（1）知1AA，AB，AD两两互相垂直，故以A为坐标原点，AB，A D，1AA所在直线分别为x，y，z轴建系，求出两个半平面的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可【详解】（1）证明：因为四边形11ABB A和11ADD A均为正方形，所以1AA AD⊥，1AA AB⊥. 又AD AB A⋂=，所以1AA⊥平面ABCD.因为1AA⊂平面11ABB A，所以平面11ABB A⊥平面ABCD.（2）（法—）由（1）知1AA，AB，AD两两互相垂直，故以A为坐标原点，AB，A D，1AA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，则(0,0,0)A，1(2,0,2)B，(2,1,0)C，(0,2,0)D，则(2,1,0)CD=-，1(0,1,2)CB=-.设(,,)m a b c=为平面1B CD的法向量，则120,20,m CD a bm CB b c⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1a =，则2b =，1c =，所以(1,2,1)m =.又因为1AA ⊥平面ABCD ，所以1(0,0,2)AA =为平面ABCD 的一个法向量.所以1cos ,6m AA 〈〉==因为二面角1B CD A --是锐角.所以二面角1B CD A --（法二）过B 作BH CD ⊥于H ，连接1B H . 由（1）知1BB ⊥平面ABCD ，则1BB CD ⊥， 而1BHBB B =，所以CD ⊥平面1BB H所以1B H CD ⊥从而1BHB ∠为二面角1B CD A --的平面角.12=⨯，即BH =.所以1B H ==故11cos 6BH BHB B H ∠==. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．21. 已知函数()22()22f x ax a x a =-++.（1）若不等式()60f x x +≤的解集是(,2][1,)-∞--+∞，求a 的值； （2）当0a ≤时，求不等式()0f x ≤的解集. 【答案】（1）4-（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得出()22420ax a x a --+=的根，将其代入方程即可得出a 的值；（2）将不等式变形为(2)()0(0)ax x a a --≤≤，讨论参数a 的值，利用一元二次不等式的解法得出解集.【详解】解：（1）∵不等式()60f x x +≤的解集是(][),21,-∞--+∞∴2-与1-是方程()22420ax a x a --+=的实根，且0a <则243220a a aa a ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪<⎪⎪⎩解得4a =-. （2）不等式()0≤f x 可化为(2)()0(0)ax x a a --≤≤ ①若0a =，则20x -≤，即0x ≥. ②若0a <，则22(2)()0()0()0ax x a a x x a x x a a a ⎛⎫⎛⎫--≤⇔--≤⇔--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 方程2()0x x a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭的解为x a =或2x a =，当2a a=，即a =R ； 当2a a >，即0a <<时，原不等式的解集为[)2,,a a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦；当2a a >，即a <(]2,,a a ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 综上所述，原不等式的解集情形如下：当0a =时，解集为[)0,+∞；当0a <<时，解集为[)2,,a a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦；当a =R；当a <(]2,,a a ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查了已知一元二次不等式的解集求参数以及分类讨论解一元二次不等式，属于中档题.22. 已知椭圆2222:1x y W a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =，且1167PF PQ ⋅=-. （1）求W的方程；（2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆W 交于M ，N 两点，若26CD MN =，求2F CD S △.【答案】（1）2214x y +=；（2. 【解析】 【分析】（1）设12(,0),(,0)F c F c -，由已知227PF F Q =，求得Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入椭圆方程，得2234c a =；再由1167PF PQ ⋅=-，求得222c b -=，结合222a b c =+，求出,a b 值，即可求得结论；（2）先讨论直线2l 斜率不存在和斜率为0的情况，验证不满足条件，设直线2l 的方程为(()0y k x k =+≠，与椭圆方程联立，消元，由韦达定理和相交弦长公式，求出||MN ；再将直线1l 方程1=-y x k与椭圆联立，求出2CD ，由26CD MN =求出k 的值，进而求出||CD ，再求出点2F 到直线CD 的距离，即可求解.【详解】（1）设椭圆W 的焦距为2c ，∵227PF F Q =，∴Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∵Q 在W 上，将8,77Q c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭代人22221x y a b +=，得2234c a =.又∵1167PF PQ ⋅=-，∴()8816,777,c b c b ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭--， ∴222c b -=.又∵222a b c =+，∴24a =，21b =，W 的方程为2214x y +=.（2）当直线2l 的斜率不存在时，||2CD =，||4MN =，不符合题意； 当直线2l 的斜率为0时，||4CD =，||1MN =，也不符合题意. ∴可设直线2l的方程为(()0y k x k =≠,联立(22,1,4y k x xy ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得()2222411240k x x k +++-=，则212241x x k -+=+，212212441k x x k -=+.()2241||41k MN k +==+.由221,1,4y x kx y ⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()222161||4k CD k +=+.又∵26||||MN CD =，∴()()2222241161444k k k k ++=++，∴22k =，∴||CD =∵2F 到直线CD的距离1d ==，∴2112F CD S =⨯⨯=△. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设直线方程时要注意特殊情况，要熟练掌握求相交弦长的方法，考查计算能力，属于较难题.。