11.5随机变量的分布

14
k
故商店只要在月底保证存货不少于15件就能 以95%以上的把握保证下月该商品不会脱销.
离 散 型 随 机 变 量 的 分 布

两点分布
一点分布 两点分布 二项分布 泊松分布
n1
二项分布
n 10 , p 0.1
泊松分布
四、随机变量的分布函数 1、概念的引入 对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些 值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的 是想知道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如 求随机变量 X 落在区间( x1 , x2 ]内的概率.
X
p
0 1 p
1 p
则称 X 服从 (0—1) 分布或贝努里分布)。
实例1
“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
0, 当e 正面, X X (e ) 1, 当e 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
其分布律为
X
0
1 2
1
1 2
p
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件 不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 xk ( k 1, 2, ), X 取各个可能值的概率 , 即事件
{ X xk } 的概率, 为 P{ X xk } pk , k 1, 2, 称此为离散型随机变量 X 的分布律 . .
说 明
(1) pk 0, k 1, 2,
(2) pk 1.
k 1
;
用这两条性质判断 一个函数是否是 概率函数
离散型随机变量的分布律也可表示为
X
p
x1 x2 xn p1 p2 pn
例1 下列表中列出的是否是某个随机变量的
分布律？
X p 1 3 4
0.6
0.2
0.3
解： 因为0.6＋0.2＋0.3＝1.1>1 所以这不会是某个随机变量的分布律。
公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
地震
火山爆发
特大洪水
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
上面我们提到 二项分布
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np ( n )
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泊松分布
例4 某商店根据过去的销售记录知道某种 商品每月的销售量可以用 的泊松分布来描述. 为了以95%以上的把握保证不脱销,问商店在 月底应存有多少件该种商品？(假设只在月底 进货).
Z的分布如下
Z X2
0 0.20
1 0.40
4 0.25
9 0.15
p
三、常见离散型随机变量的分布
1．一点分布(退化分布)
一个随机变量 X 以概率1取某一常数 ,
即 P{ X a} 1 , 则称 X 服从点 a 处的一点
分布(退化分布).
2．两点分布(贝努里分布) 设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为
x
x ( , );
x
(2)F ( ) lim F ( x ) 0 ，F ( ) lim F ( x ) 1;
(3) F ( x1 ) F ( x2 ), ( x1 x2 );
(4) lim F ( x ) F ( x0 ), ( x0 ).
随机变量的定义
设 E 是随机试验 , 它的样本空间是 { e }. 如果对于每一个 e , 有一个实数 X ( e ) 与之 对应 , 这样就得到一个定义在 上的单值实值 函数 X ( e ), 称 X ( e ) 为随机变量.
说明
1、“随机”性的表现 随机变量取什么值,在试验前无法确知,要 随机会而定. 2、随机变量与普通的函数不同 随机变量是一个函数 , 但它与普通的 函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实 数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上 的 (样本空间的元素不一定是实数).
实例2 抛掷骰子,观察出现的点数. 则有
={1，2，3，4，5，6}
样本点本身就是数量
X (e ) e
恒等变换
X (1) 1, X ( 2) 2, X ( 3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有
1 P{ X i } , ( i 1,2,3,4,5,6). 6
随机变量概念的产生是概率论发展 史上的重大事件. 引入随机变量后，对 随机现象统计规律的研究，就由对事件 及事件概率的研究扩大为对随机变量及 其取值规律的研究.
事件及 事件概率 随机变量及其 取值规律
实例3 掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个
结果:
e1 (反面朝上),
e2 (正面朝上),
例2 设随机变量 X 的概率分布为 X p 2 -1 0 1 2 3 0.05 0.15 0.20 0.25 0.2 0.15

求 Y 2 X 1 和 Z X 2 的概率分布. 解： Y的分布如下
Y 2X 1
-3
-1
Байду номын сангаас
1
3
5
7
p
0.05 0.15 0.20 0.25 0.20 0.15
1, 取得不合格品, X 0, 取得合格品.
X
0
190 200
1
10 200
p
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一 个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生 婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是 否发芽等, 都属于两点分布.
3．二项分布
设 X 表示n重贝努里试验中事件 A 发生的
2. 随机变量的引入
实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸 一个球,观察摸出球的颜色.
={红色、白色}
?
将 数量化
非数量 可采用下列方法
X (e )
0
1
R

红色白色
即有
X (红色)=1 , X (白色)=0.
1, X (e ) 0, e 红色, e 白色.
这样便将非数量的 ={红色，白色} 数量化了.
射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击
中目标的次数 X 服从 B (5,0.6) 的二项分布.
X
p
0
5
1
2
3
4
C54 0.64 0.4
5
0 .6 5
3 3 2 1 4 2 2 3 C 0.6 0.4 C 0.6 0.4 (0.4) C5 0.6 0.4 5 5
例3 某人进行射击, 设每次射击的命中率为
P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 }

?
F ( x2 ) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).
F ( x1 ) 分布 函数
2.分布函数的定义
定义 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数, 函数 F ( x ) P{ X x } 称为X的分布函数.
第五节 随机变量的分布
一、随机变量
二、离散型随机变量的分布
三、常见离散型随机变量的分布 四、随机变量的分布函数 五、连续型随机变量的分布 六、常见连续型随机变量的分布
一、随机变量
1. 为什么引入随机变量? 概率论是从数量上来研究随机现象内 在规律性的，为了更方便有力的研究随机 现象，就要用数学分析的方法来研究， 因 此为了便于数学上的推导和计算，就需将 任意的随机事件数量化．当把一些非数量 表示的随机事件用数字来表示时， 就建立 起了随机变量的概念．
设该商店每月的销售量为 X ,据题意 解：
X ~ p(10)
10 10 P{ X a} e 0.95 k 0 k !
a
k
查表得：
10 10 e 0.9166 0.95, k 0 k !
10 10 e 0.9513 0.95, k 0 k !
15 k
0.02, 独立射击 400 次, 试求至少击中两次的概率.
解 设击中的次数为X ,
则 X ~ B(400, 0.02).
X 的分布律为
P{ X k} C (0.02) (0.98)
k 400 k
400k
,
k 0,1,,400.
因此 P{ X 2} 1 P{ X 0} P{ X 1}
次数,则 X 所有可能的取值为0,1,„, n ,且相 应的概率为
k k k k nk P{ X k} Cn p (1 p)nk Cn pq
( q 1 p)
k=0,1,…,n
称 X服从参数为 n、p 的二项分布,记作
X ~ B( n, p)
二项分布的图形
例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次
若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
e1 (反面朝上) e2 (正面朝上)
X (e )
0 X (e1 ) 0
1 X ( e2 ) 1
即 X (e) 是一个随机变量.
实例4 设某射手每次射击打中目标的
概率是0.8,现该射手不断向目标射击 , 直到
击中目标为止,则
X (e ) 所需射击次数 ,
1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
4. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2, 各个值的概率为 k! 其中 0 是常数.则称 X 服从参数为 的泊松分 布, 记为X ~ p( ). P{ X k } , 而取