2018-2019学年高一数学人教B版必修一课时分层作业：8 函数的单调性
新教材人教B版高中数学必修第一册练习-函数的单调性答案含解析
3.1.2函数的单调性第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.2函数的单调性考点1函数单调性的定义1.(2019·山东栖霞二中高一月考)下列命题正确的是()。
A.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2∈(a,b),当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2∈(a,b),当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数C.若函数f(x)在区间I1上为减函数,在区间I2上也为减函数,那么f(x)在区间I1∪I2上一定是减函数D.若函数f(x)是区间I上的增函数,且f(x1)<f(x2)(x1,x2∈I),则x1<x2答案：D解析：A项中,并不是对任意x1,x2都成立,故A错;B项中,虽然有无穷多对,但也不能代表“所有”“任意”,为例,虽然在(-∞,0)及(0,+∞)上均为减函数,但在整个定义域上却不具有单调性,故C错。
故B错;C项中,以f(x)=1x故选D。
2.若函数f(x)在R上是减函数,则下列关系式一定成立的是()。
A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a2)答案：D解析：因为f(x)是R上的减函数,且a2+1>a2,所以f(a2+1)<f(a2)。
故选D。
3.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中不一定正确的是()。
>0A.f(x1)-f(x2)x1-x2B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)D.f(x1)≠f(x2)答案：C解析：由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D中结论正确;对于C,若x1>x2,则f(x1)>f(x2),故C中结论不一定正确。
《3.1.2函数的单调性》作业设计方案-高中数学人教B版19必修第一册
《3.1.2 函数的单调性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《函数的单调性》第一课时的学习，使学生能够：1. 理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。
2. 能够通过实例分析，加深对函数单调性在实际问题中应用的理解。
3. 培养学生的数学逻辑思维和问题解决能力。
二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 理论学习：复习函数单调性的定义，理解增函数和减函数的含义，掌握判断函数单调性的基本方法。
2. 练习题：设计一系列练习题，包括选择题、填空题和解答题，涵盖函数单调性的基本概念、判断方法和应用。
（1）选择题：挑选出几个典型的函数图像，让学生判断其单调性。
（2）填空题：提供未完成的问题，要求学生根据函数单调性的定义完成填空。
（3）解答题：设计实际问题的情境，要求学生运用函数单调性的知识解答。
3. 拓展应用：设计一些涉及函数单调性的实际问题，如经济学中的成本函数、市场营销中的价格与销售量关系等，以提高学生运用知识解决实际问题的能力。
三、作业要求1. 学生需在规定时间内独立完成作业，并保证答案的准确性。
2. 学生在完成练习题时，应注重理解题目背后的数学原理和解题思路。
3. 对于拓展应用部分，学生需结合实际情境，运用所学知识进行分析和解答。
4. 作业需字迹工整，步骤清晰，答案完整。
四、作业评价1. 教师将根据学生作业的准确性和解题思路进行评价，对正确答案进行批改和点评。
2. 对于解题思路有创新或独特见解的学生，给予鼓励和表扬。
3. 对于作业中出现的错误，教师需进行详细指导，帮助学生找出错误原因并改正。
五、作业反馈1. 教师将根据学生作业的完成情况，进行针对性的教学调整，以提高教学效果。
2. 对于普遍存在的问题，将在课堂上进行讲解和答疑。
3. 对于个别学生的问题，可通过课后辅导或线上交流的方式进行个别指导。
4. 定期收集学生对于作业设计的反馈意见，以便不断优化作业设计，提高学生的学习效果。
《3.1.2函数的单调性》作业设计方案-高中数学人教B版19必修第一册
《3.1.2 函数的单调性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在帮助学生巩固和深化对“函数的单调性”的理解，通过实际操作和练习，掌握判断函数单调性的方法和技巧，为后续学习打下坚实的基础。
二、作业内容1. 基础知识巩固- 要求学生复习函数单调性的定义，理解增函数和减函数的概念，并能够正确使用数学语言描述函数的单调性。
- 布置相关练习题，如填空题和选择题，考察学生对基本概念的掌握情况。
2. 函数单调性判断- 指导学生通过图像、导数、差分等方法判断函数的单调性。
- 设计一定数量的应用题，让学生在具体情境中应用单调性的概念。
3. 函数单调性与实际生活的联系- 通过实例分析，如气温变化、商品销售量与价格的关系等，让学生理解函数单调性在实际生活中的意义。
- 要求学生分析生活中的一些现象，用数学语言表达其单调性，并给出简要的解释。
4. 综合练习- 设计一组综合题目，涵盖函数单调性的判断、计算和实际应用等内容。
- 要求学生独立完成综合练习，并在课堂上进行讨论和交流。
三、作业要求1. 学生需在规定时间内独立完成作业，并保证答案的准确性和规范性。
2. 对于每个题目，学生需写出详细的解题步骤和思路，以便于教师了解学生的掌握情况。
3. 学生在完成作业过程中，应注重理解题目的意图和解题方法，而不仅仅是追求答案的正确性。
4. 对于涉及图像的题目，学生需使用数学软件绘制准确的函数图像，并标注关键点。
5. 学生在完成作业后，需进行自我检查和修正，确保答案的准确性。
四、作业评价1. 教师将根据学生的答案，对学生的理解和应用能力进行评估。
2. 教师将对解题步骤和思路的规范性、准确性和完整性进行评价。
3. 对于有创意的解题思路和方法，教师将给予额外的加分和表扬。
4. 对于存在的问题和不足，教师将给出具体的指导和建议。
五、作业反馈1. 教师将在课堂上对作业进行讲解和点评，帮助学生纠正错误并加深理解。
2. 学生需根据教师的反馈和建议，对作业进行修正和完善。
高一数学人教B版必修1课后强化作业：2.1.3第1课时《函数的单调性的定义》总结
第二章 2.1.3 第 1 课时一、选择题1．以下函数中，在 (－∞， 0)上为减函数的是 ()13A ． y＝x2B ． y＝ xC． y＝ x0D． y＝ x2[答案 ]D[分析 ]∵函数 y＝ x2的图象是张口向上的抛物线，对称轴为y 轴，∴函数y＝ x2在 (－∞，0)上为减函数．2．设函数 f(x)＝ (2a－ 1)x＋ b 是R上的增函数，则有 ()11A ． a>2B ． a≤211C． a>－2D． a<2[答案 ]A1[分析 ]由题意 2a－ 1>0 ，∴ a> 2.3．假如函数 f(x)在 [a，b] 上是增函数，关于随意的x1、x2∈ [a， b]( x1≠ x2 )，则以下结论中不正确的选项是 ()A.f x1－ f x2x1>0－ x2B． (x1－ x2)[f (x1)－ f(x2)]>0C． f(a)<f(x1)< f(x2 )< f(b)x1－x2D.f x1－ f x2>0[答案 ]C[分析 ]由函数单一性的定义可知，若函数 y＝ f(x)在给定的区间上是增函数，则 x1－ x2与 f(x1)－ f(x2)同号，由此可知，选项 A 、 B 、 D 正确；关于 C，若 x1<x2时，可能有 x1＝ a 或 x2＝ b，即f(x1 )＝ f (a)或 f(x2)＝ f(b)，故 C 不建立．4．函数 f(x)＝ 4x2－ mx＋ 5 在区间 [ － 2，＋∞ )上是增函数，在区间(－∞，－ 2]上是减函数，则 f(1) 等于 ()A．－ 7 B ． 1C． 17D． 25[答案 ]Dm＝－ 2，∴ m＝－ 16.[分析 ] 由题意知8∴ f(x)＝ 4x2＋ 16x＋ 5，∴ f(1)＝ 25.5．若函数 f(x)在区间 (a，b] 上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间 ( a，c)上 ()A ．必是增函数B ．必是减函数C．是增函数或是减函数D．没法确立单一性[答案] D[分析 ]函数f(x)在两个单一增区间的并区间上其实不必定是增函数．如下图．6．设 f(x)是 (－∞，＋∞ )上的减函数，则()A ． f(1)> f(2)B ． f(－ a)< f(a)C． f(0)< f(a)D． f(1)< f(2)[答案]A[分析 ]∵ f(x)是(－∞ ，＋∞ )上的减函数，∴f(1)> f(2) ，应选 A.二、填空题7．已知f(x)在 (0，＋∞ )上是减函数，且m＝ f(34)， n＝ f(a2－ a＋ 1) ，则 m 与 n 的大小关系是____________ ．[答案 ]m≥ n[分析 ]a2－ a＋ 1＝ (a－12)2＋34≥34，∵f(x)在(0 ，＋∞)上是减函数，∴ f(34)≥ f(a2－ a＋ 1) ，∴m≥ n.8．已知函数f(x)的图象如图．则 f (x)的单一减区间为________ ，最大值为 ________ ，最小值为________ ．[答案 ] [－3,1] 2－3[分析 ] 由图可知 f (x)的单一减区间为 [－ 3,1] ，最大值为 2，最小值为－ 3.三、解答题1在 x9． (2013 ～ 2014 学年度湖南怀化市怀化三中高一上学期期中测试)证明函数 f(x)＝ x ＋ x ∈[1 ，＋∞ )上是增函数，并求函数 f(x)在区间 [2,4] 上的值域．[证明 ] 设随意 x 1、 x 2∈ [1 ，＋ ∞ )， 且 x 1<x 2，∴ x 2－ x 1>0.f(x 2)－ f(x 1)＝ x 2＋ 1－ x 1－ 1x 2x 1x 1 － x 2＝ x 2 － x 1＋x 1x 21＝ (x 2－ x 1)(1－ x 1x 2)，∵ x 1 ≥ 1， x 2>1，∴ x 1x 2>1，∴ 0< 1 <1，∴ 1－ 1>0，x 1 x 2x 1x 21∴(x 2－ x 1)(1－ x 1x 2)>0 ，∴ f(x 2)> f(x 1)．即函数 f(x)在区间 [1，＋ ∞ )上是增函数．∴函数 f(x)在区间 [2,4] 上的最小值为 f(2) ＝ 2＋ 1＝ 5，2 2 最大值为 f(4) ＝ 4＋ 1＝ 17，4 45 17故函数 f(x)在区间 [2,4] 上的值域为 [2， 4 ].一、选择题1．在 (－∞， 0)上是减函数的是( )21 A ． y ＝ 1－ xB ． y ＝－ x4C ． y ＝ x － 1D ． y ＝ x[答案 ]D[分析 ]函数y ＝ 1－ x 2， y ＝－ 1，y ＝ x － 1 在区间 x(－ ∞ ，0) 上是增函数，函数y ＝ 4在 (－ ∞，x0)上为减函数，应选D.2．已知函数 f(x)＝ 8＋ 2x － x 2，那么 ( )A ． f(x)在 (－∞， 0)上是减函数B． f(x)是减函数C． f(x)是增函数D ． f(x)在 (－∞， 0)上是增函数[答案 ]D[分析 ]函数 f(x)＝ 8＋ 2x－ x2的图象为张口向下，对称轴是 x＝ 1 的抛物线，∴函数 f(x)在 (－∞， 0)上是增函数．3．函数 y＝ |x＋ 2|在区间 [ － 3,0] 上是 ()A ．递减B ．递加C．先减后增D．先增后减[答案 ]C[分析 ]x＋ 2x≥ － 2y＝ |x＋ 2|＝，－ x－ 2x<－ 2作出 y＝ |x＋ 2|的图象，易知在 [－ 3，－ 2]上为减函数，在 [－ 2,0] 上为增函数．4．已知f(x)在 (－∞，＋∞ ) 内是减函数，a、 b∈R，且 a＋ b≤ 0，则有 ()A． f(a)＋ f(b)≥ f(－ a)＋ f(－ b)B． f(a)＋ f(b)≤ f(－ a)＋ f(－ b)C． f(a)＋ f(b)≤－ f(a)－ f(b)D ． f(a)＋ f(b)≥－ f(a)－ f(b)[答案 ]A[分析 ]∵ f(x)在(－∞ ，＋∞ )内是减函数，a、 b∈R，且a＋ b≤ 0，∴ a≤ － b， b≤ － a，∴f(a)≥ f(－ b)， f(b) ≥f(－ a)，∴f(a)＋ f(b)≥ f(－ a) ＋ f(－ b)．二、填空题5．若 f(x)＝ x2＋ 2mx＋ 2 在 (－∞， 1] 上是减函数，则实数m 的取值范围为 ________ ．[答案 ]m≤－ 1[分析 ]∵函数 f(x)＝ x2＋ 2mx＋ 2 的对称轴为x＝－ m，∴要使函数在 (－∞，1]上是减函数，应知足－ m≥ 1，∴ m≤ － 1.6．函数 y＝ x2＋ x＋ 1(x∈R)的递减区间为 ________ ．1[答案 ](－∞，－2][分析 ]函数 y ＝ x 2＋ x ＋ 1 的图象是张口向上的抛物线，对称轴为x ＝－ 1，2∴函数的递减区间为(－ ∞，－ 12]．三、解答题2x － 17．已知函数f(x)＝ x ＋ 1 .(1) 求 f(x)的定义域；2x － 1(2) 证明函数 f(x)＝ x ＋ 1 在 [1 ，＋∞ )上是增函数．[分析 ](1) 由题意知 x ＋ 1≠ 0，即 x ≠ － 1.∴ f(x)的定义域为 (－ ∞ ，－ 1)∪ (－ 1，＋ ∞ )．(2) 任取 x 1， x 2∈ [1，＋ ∞ )，且 x 1<x 2 ，2x 2－ 12x 1 － 1则f(x 2 )－ f(x 1 )＝ x 2＋ 1 －x 1＋ 12x 2－ 1 x 1＋ 1 － 2x 1 － 1 x 2 ＋ 1＝x 2＋ 1 x 1 ＋ 13 x 2 － x 1＝x 1＋ 1 .x 2＋ 1 ∵ x 1 <x 2，∴ x 2－ x 1>0. 又∵ x 1 ， x 2 ∈ [1，＋ ∞ )，∴ x 2 ＋ 1>0， x 1＋ 1>0.∴ f(x 2)－ f(x 1)>0 ，∴ f(x 2 )>f(x 1)．∴函数 f(x)＝2x － 1在 [1，＋ ∞ )上是增函数．x ＋ 18．设函数 f(x)是 R 上的单一增函数， F(x)＝ f(x)－f (2－ x)．求证：函数 F(x)在 R 上是单一增函数． [证明 ]任取 x 1、 x 2∈ R ，且 x 1< x 2，∵函数 f(x)是 R 上的单一增函数，∴ f(x 121)>f(2 2)< f(x )， f (2－ x － x )，即 f(x 1 )－ f(x 2 )<0， f(2－ x 1)－ f(2－ x 2)>0，∴ F (x 1 )－ F(x 2)＝ [f(x 1)－ f(2－ x 1)] － [f(x 2)－ f(2－ x 2)] ＝ [f(x 1)－ f (x 2)] ＋ [f(2 － x 2)－ f(2－ x 1)]<0 ，即F(x 1)－ F(x 2)<0 ，所以 F(x 1)< F(x 2) ．∴函数 F (x)在 R 上是单一增函数．ax ＋ 119．议论函数 f(x)＝ x ＋ 2 (a ≠ 2)在 (－ 2，＋∞ )上的单一性．[分析 ] 设 x 1， x 2 为 (－ 2，＋ ∞ )内的随意两个实数，且 x 1<x 2，则 f(x 2 )－ f(x 1 )＝ax 2＋ 1 ax 1 ＋ 1x 2＋ 2 － x 1＋ 2＝ax 2＋ 1 x 1＋ 2 － ax 1 ＋ 1 x 2 ＋ 2x 1＋ 2 x 2 ＋ 22a － 1 x 2－ x 1＝x 1＋ 2 x 2＋ 2.∵ x 1 >－ 2， x 2>－ 2， x 1< x 2 ，∴ x 1 ＋ 2>0， x 2＋ 2>0， x 2－ x 1>0.所以，当 a>1时， 2a － 1>0，此时 f(x 2)－ f(x 1)>0，即 f(x 1)<f(x 2 )，此时函数f(x)＝ ax ＋ 1 在(－ 2，2x ＋ 2 ＋ ∞ )上是增函数；当 a<1时， 2a － 1<0，此时 f(x 2 )－ f(x 1)<0，即 f(x 1)>f(x 2 )，此时函数f(x)＝ax ＋ 1在 (－ 2，＋ ∞ )2x ＋ 2上是减函数．。
2019-2019学年北师大版必修一 函数的单调性课时作业
课时跟踪检测（八） 函数的单调性层级一 学业水平达标1.如图是函数y ＝f (x )的图像，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图像，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B.2．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0”的是( ) A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x ＋1x 解析：选C f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在(0，＋∞)上为增函数，而f (x )＝2x 及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故排除A 、B.f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故排除D.3．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[1,2 D.⎝⎛⎦⎤－∞，32 解析：选D 由二次函数y ＝x 2－3x ＋2图像的对称轴为x ＝32且开口向上，所以该函数的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，32，故选D. 4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x ＜0在R 上是( ) A ．减函数B ．增函数C ．先减后增D ．无单调性解析：选B 画出该分段函数的图像，由图像可知，该函数在R 上是增函数．5．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( )A ．y ＝－3x ＋2B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：选D 显然A 、B 在(0,2)上为减函数，排除；对C ，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合条件；对D ，函数在⎝⎛⎭⎫－43，＋∞上为增函数， 所以在(0,2)上也为增函数．故选D.6.函数y ＝f (x )的图像如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案：(－∞，1 和(1，＋∞)7．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，则m 的取值范围是________．解析：由题意知m 4≤－2，解得m ≤－8. 答案：(－∞，－88．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x －3)＜f (2－x )，则x 的取值范围为________．解析：∵f (x )是定义在R 上的增函数，又∵f (x －3)＜f (2－x )，∴x －3＜2－x ，∴x ＜52， 即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，52. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，52 9．证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是区间[2，＋∞)上的任意两个实数，且x 2＞x 1≥2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1－1)－(x 22－4x 2－1)＝x 21－x 22－4x 1＋4x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－4(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)．∵x 2＞x 1≥2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞4，即x 1＋x 2－4＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．10．已知函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，对于任意的x ＞0，y ＞0，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且满足f (2)＝1.(1)求f (1)，f (4)的值；(2)求满足f (x )－f (x －3)＞1的x 的取值范围．解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.f (4)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)，而f (2)＝1.∴f (4)＝2×1＝2.(2)由f (x )－f (x －3)＞1，得f (x )＞f (x －3)＋1，而f (x －3)＋1＝f (x －3)＋f (2)＝f (2(x －3))，∴f (x )＞f (2(x －3))．∵函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，x －3＞0，x ＞2(x －3)，解得3＜x ＜6.∴x 的取值范围是(3,6)．层级二 应试能力达标 1．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定解析：选D 根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x 1，x 2不在同一单调区间内，故f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定，选D.2．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )A ．f (a )＞f (2a )B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2－1)＜f (a )D ．f (a 2＋1)＜f (a )解析：选D ∵a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，∴a 2＋1＞a .∴f (a 2＋1)＜f (a )．而A 、B 、C 中的大小关系均无法判断．故选D.3．函数f (x )的单调增区间是(－2,3)，则y ＝f (x ＋5)的单调增区间是( )A ．(3,8)B ．(－7，－2)C ．(－2,3)D ．(0,5)解析：选B ∵函数f (x )的单调增区间是(－2,3)，∴y ＝f (x ＋5)的单调增区间满足－2＜x ＋5＜3，解得x ∈(－7，－2)，此即为函数y ＝f (x ＋5)的单调增区间，故选B.4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x在区间[1,2 上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∩(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1解析：选D 因为g (x )＝a x在区间[1,2 上是减函数，所以a ＞0.因为函数f (x )＝－x 2＋2ax 的图像开口向下，对称轴为直线x ＝a ，且函数f (x )在区间[1,2 上为减函数，所以a ≤1.故满足题意的a 的取值范围是(0,1 ．5．已知y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数，则f⎝⎛⎭⎫34与f (a 2－a ＋1)的大小关系为________________．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34， ∴由函数的单调性知f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫34.答案：f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫346．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2b －1)x ＋b －1，x ＞0，－x 2＋(2－b )x ，x ≤0在R 上为增函数，则实数b 的取值范围为________． 解析：要使此分段函数为R 上的增函数，必须使函数g (x )＝(2b －1)x ＋b －1在(0，＋∞)上是增函数；函数h (x )＝－x 2＋(2－b )x 在(－∞，0 上是增函数，且满足h (0)≤g (0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得⎩⎪⎨⎪⎧2b －1＞0，－2－b 2×(－1)≥0，0≤b －1，解得1≤b ≤2.即实数b 的取值范围是[1,2 ．答案：[1,27．用定义判断函数f (x )＝ax ＋1x ＋2⎝⎛⎭⎫a ≠12在(－2，＋∞)上的单调性．解：设－2＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 2＋1x 2＋2－ax 1＋1x 1＋2＝(ax 2＋1)(x 1＋2)－(ax 1＋1)(x 2＋2)(x 2＋2)(x 1＋2)＝(x 2－x 1)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)，∵－2＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0，故当a ＜12时，f (x 2)－f (x 1)＜0，∴f (x )在(－2，＋∞)是减函数．当a ＞12时，f (x 2)－f (x 1)＞0，∴f (x )在(－2，＋∞)是增函数．综上得，a ＜12时，f (x )在(－2，＋∞)是减函数；a ＞12时，f (x )在(－2，＋∞)是增函数．8．已知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (x )＞0，f (3)＝1.判断g (x )＝f (x )＋1f (x )在(0,3上是增函数还是减函数，并加以证明．解：函数在(0,3 上是减函数，证明如下：任取x 1，x 2∈(0,3 ，且x 1＜x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝⎣⎡⎦⎤f (x 1)＋1f (x 1)－⎣⎡⎦⎤f (x 2)＋1f (x 2)＝[f (x 1)－f (x 2) ⎣⎡⎦⎤1－1f (x 1)f (x 2). ∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＜0. 又∵f (x )＞0，f (3)＝1，∴0＜f (x 1)＜f (x 2)≤f (3)＝1. ∴0＜f (x 1)f (x 2)＜1.∴1f (x 1)f (x 2)＞1,1－1f (x 1)f (x 2)＜0. ∴g (x 1)－g (x 2)＞0，于是函数g (x )＝f (x )＋1f (x )在(0,3 上是减函数．。
新教材人教B版必修第一册 函数的单调性 函数的最大小值 作业 课件(26张)
8．函数 f(x)在区间[－3，－1]上是增函数，且最小值为－2， 最大值为 1，那么|f(x)|在[－3，－1]上( C )
A．最小值为－2，最大值为 1 B．最小值为 0，最大值为 1 C．最小值为 0，最大值为 2 D．最小值为－2，最大值为 0
解析：可用排除法去掉 A，D，再利用绝对值的性质排除 B.
2．函数 f(x)＝2－3x在区间[1,3]上的最大值是( D )
A．2
B．3
C．－1 D．1
解析：容易判断函数 f(x)在区间[1,3]上是增函数，所以在区间 [1,3]上的最大值是 f(3)＝1.
3．已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f1x＜f(1)的实数 x
的取值范围是( C )
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2 在[2,4]上是单调函数， ∴m＋2 2≤2 或m＋2 2≥4，即 m≤2 或 m≥6. 故 m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
——能力冲关——
14．(5 分)函数 f(x)＝1x，x≥1，
的最大值为( B )
－x2＋2，x<1
若 t＜1＜t＋2，即－1＜t＜1，则 ymin＝f(1)＝1. 综上，当 t≥1 时，ymin＝2t2－4t＋3； 当－1＜t＜1 时，ymin＝1； 当 t≤－1 时，ymin＝2t2＋4t＋3.
(2)要使 f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调， 则 2a＜1＜a＋1，解得 0＜a＜12. 故实数 a 的取值范围是(0，12)． (3)由(1)知，y＝f(x)图像的对称轴为直线 x＝1. 若 t≥1，则 y＝f(x)在[t，t＋2]上是增函数， ymin＝f(t)＝2t2－4t＋3； 若 t＋2≤1，即 t≤－1，则 y＝f(x)在[t，t＋2]上是减函数， ymin＝f(t＋2)＝2t2＋4t＋3；
人教B版数学高一版必修1课后导练函数的单调性
课后导练基础达标1.定义在R 上的函数f(x)对任意两个不等实数a 、b ，总有ba b f a f --)()(成立，则必有（ ） A.函数f(x)是先增后减函数 B.函数f(x)是先减后增函数C.f(x)在R 上是增函数D.f(x)在R 上是减函数 解析：ba b f a f --)()(>0,∴f(a)-f(b)与a-b 同号,即f(a)>f(b)时，a>b;f(a)<f(b)时，a<b,函数为增函数.答案：C2.已知函数f(x)=8+2x-x 2,那么( )A.f(x)在(-∞,0)上是减函数B.f(x)是减函数C.f(x)是增函数D.f(x)在(-∞,0)上是增函数解析：x=(-1)× 2 2-=1, ∴f(x)在（-∞,0）上递增.答案：D3.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( )A.y=-x+1B.y=xC.y=x 2-4x+5D.y=x2 答案：B4.函数y=x 2-6x+10在区间(2,4)上是( )A.递减函数B.递增函数C.先递减再递增D.先递增再递减答案：C5.已知函数f(x)在区间［a,b ］上具有单调性,且f(a)·f(b)＜0,则方程f(x)=0在区间［a,b ］上( )A.至少有一个实根B.至多有一个实根C.没有实根D.必有唯一实根解析：由函数是单调函数，并且f(a)·f(b)<0,知f(x)=0必有唯一实根.答案：D6.函数f(x)=21x -的单调递增区间是( )A.（-∞,0］B.［-1,0］C.［0,1］D.［0,+∞）解析：∵1-x 2≥0,∴x ∈[-1,1],1-x 2在[-1,0]上递增.故y=21x -的单调递增区间是\[-1,0\].答案：B7.设函数f(x)=(2a-1)x+b 是R 上的减函数,则有…( ) A.a≥21 B.a≤21 C.a>21- D.a<21 答案：D8.函数f(x)在区间(-4,7)上是增函数,则y=f(x-3)在_______上是增函数.解析：y=f(x)向右平移3个单位变为y=f(x-3),而图象的形状不变，故f(x-3)在（-1，10）上为增函数.答案：（-1，10）9.如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小. 解析：由题意知,f(x)的对称轴为x=2,故f(1)=f(3).∵f(x)在［2,+∞)上是增函数,∴f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4).10.判断函数y=1-x 1的单调性，并证明你的结论.解析：函数在（-∞,0）上是增函数，在（0，+∞）上也是增函数.任取x 1、x 2且x 1<x 2<0,则f(x 1)-f(x 2)=111x --1+21x =2121x x x x-,因为x 1<x 2<0,所以x 1x 2>0,且x 1-x 2<0,即f(x 1)<f(x 2).因此y=1x 1-在（-∞,0）上是增函数.同理可证y=1x 1-在（0，+∞）上也是增函数.综合运用11.函数f(x)=2x 2-mx+3,当x ∈［-2,+∞）时是增函数,当x ∈（-∞,-2］时是减函数,则f(1)等于() A.-3 B.13 C.7 D.由m 的值而定的常数解析：由题意,得对称轴为 x=22⨯--m=-2,∴m=-8.∴f(x)=2x 2+8x+3.∴f(1)=2×12+8×1+3=13.答案：B12.已知函数f(x)在R 上是增函数,若a+b ＞0,则( )A.f(a)+f(b)＞f(-a)+f(-b)B.f(a)+f(b)＞f(-a)-f(-b)C.f(a)+f(-a)＞f(b)+f(-b)D.f(a)+f(-a)＞f(b)-f(-b)解析：∵a+b>0,∴a>-b.∴f(a)>f(-b).又b>-a,∴f(b)>f(-a).∴f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).答案：A13.函数f(x)=2x 2-3|x|的单调减区间是_______.解析：f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-.0,32,0,3222x x xx x x 画出图象，写出减区间.答案：[0,4334]和(-∞,43-]14.已知A=[1,b](b>1),对函数f(x)=21(x-1)2+1,若x ∈A 时，f(x)∈A,则b=_______. 解析：函数f(x)=21(x-1)2+1表示开口方向向上，顶点坐标是（1，1），对称轴是x=1的抛物线.因此，当x ∈[1,b]时，f(x)是增函数.∴当x=b 时，f(x)取最大值f(b),而f(b)∈[1,b],故f(b)=b,即21（b-1）2+1=b. 整理,得b 2-4b+3=0,解得b=1,b=3.又∵b>1,∴b=3.答案：315.已知函数f(x),当x 、y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时，f(x)<0,试判断f(x)在（0，+∞）上的单调性.解析：设0<x 1<x 2,则x 2-x 1>0,由条件得f(x 2-x 1)<0.又x 2=(x 2-x 1)+x 1,∴f(x 2)=f\[(x 2-x 1)+x 1\]=f(x 2-x 1)+f(x 1).∵f(x 2-x 1)<0,∴f(x 2)=f(x 2-x 1)+f(x 1)<f(x 1),即f(x 2)<f(x 1).∴f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数.拓展探究16.已知f(x)=-x 3+ax 在（0，1）上是增函数，求实数a 的取值范围.解析：设0<x 1<x 2<1,则x 2-x 1>0,∵f(x)在（0，1）上是增函数，∴f(x 2)-f(x 1)=(-x 23+ax 2)-(-x 13+ax 1)=(x 13-x 23)+a(x 2-x 1)=(x 1-x 2)(x 22+x 1x 2+x 12-a)>0,∵x 2-x 1>0,∴x 1-x 2<0.∴x 22+x 1x 2+x 12-a<0.则a>x 22+x 1x 2+x 12.又∵0<x 1<x 2<1,∴x 12+x 1x 2+x 22<3.∴a≥3.。
人教B版数学高一版必修1练习函数的单调性
2.1.3 函数的单调性知识点一：函数的单调性 1．下列命题正确的是A ．定义在R 上的函数f(x)，若存在x 1，x 2∈(a，b)，使得x 1<x 2时，有f(x 1)<f(x 2)，那么f(x)在(a ，b)上为增函数B ．定义在(a ，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x 1，x 2∈(a，b)，使得x 1<x 2时，有f(x 1)<f(x 2)，那么f(x)在(a ，b)上为增函数C ．若f(x)在区间I 1上为增函数，在区间I 2上为增函数，那么f(x)在I 1∪I 2上也一定为增函数D ．若f(x)在区间I 上为增函数，且f(x 1)<f(x 2)(x 1，x 2∈I)，那么x 1<x 22．定义在R 上的函数f(x)对任意两个不相等实数a 、b ，总有f a －f ba －b >0成立，则必有A ．函数f(x)是先增加后减少B ．函数f(x)是先减少后增加C ．f(x)在R 上是增函数D ．f(x)在R 上是减函数 3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是A ．y ＝3－xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝1xD ．y ＝－|x|4．关于函数y ＝2x单调性的表达正确的是A ．在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减B ．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减C ．在[0，＋∞)上递减D ．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都递减5．已知函数f(x)＝4x 2－mx ＋1在(－∞，－2]上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f(1)＝__________.6．设函数f(x)＝(2a －1)x ＋b 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是__________． 知识点二：函数的单调区间与最值7．函数f(x)＝11＋x 2(x∈R )的值域是A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1] 8．函数f(x)＝－1－2x 的单调区间为__________，在此区间上是__________(填“增函数”或“减函数”)．9．函数f(x)＝xx ＋2在区间[2,4]上的最大值为__________，最小值为__________．10．画出函数y ＝－x 2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． 11．讨论函数f(x)＝x ＋x －1的单调性，并求其值域．能力点一：函数单调性的判定与证明12．如果函数f(x)在区间(a ，b)和(c ，d)上都是增函数，且x 1∈(a，b)，x 2∈(c，d)，x 1<x 2，那么A ．f(x 1)<f(x 2)B ．f(x 1)>f(x 2)C ．f(x 1)＝f(x 2)D ．无法确定 13．下列命题中正确命题的序号是__________．①函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上不是增函数②函数y ＝1x ＋1在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数③y＝－5－4x －x 2的单调区间是[－2，＋∞)④已知f(x)在R 上是增函数，若a ＋b>0，则有f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)14．已知f(x)<0(x>0)，且f(x)单调递增，试判断F(x)＝1f x 在(0，＋∞)上的单调性并证明．能力点二：函数单调性的简单应用15．已知y ＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f(34)与f(a 2－a ＋1)的大小关系为__________．16．f(x)，g(x)都是单调函数，有如下四个命题：①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递增； ②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增； ③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减； ④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减． 则上述说法中正确的是__________．17．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x －2)<f(1－x)，求x 的取值范围．18．已知f(x)＝－x 3＋ax 在(0,1)上是增函数，求实数a 的取值范围．19.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f(xy )＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式：f(x)－f(1x －3)≤2.能力点三：函数最值的求法及应用20．函数f(x)＝1x －1在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是A.15，1 B ．1，15 C.17，1 D ．1，1721．已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a x ，x∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．22．已知函数f(x)＝x －1x ＋1，x∈[1,3]，证明函数的单调性，并求其最大值和最小值．23．设函数f(x)是实数集R 上的单调增函数，令F(x)＝f(x)－f(2－x)． (1)求证：F(x)在R 上是单调增函数； (2)若F(x 1)＋F(x 2)>0，求证：x 1＋x 2>2.24．讨论函数y ＝x 2－2(2a ＋1)x ＋3在[－2,2]上的单调性．答案与解析基础巩固1．D2．C 由条件知，f(a)－f(b)与a －b 同号，故f(x)在R 上为增函数． 3．B 4.D5．21 由已知，－－m2×4＝－2，∴m＝－16，f(x)＝4x 2＋16x ＋1. ∴f(1)＝21.6．a>12 由2a －1>0，得a>12.7．B ∵x 2≥0，∴1＋x 2≥1.∴0<11＋x 2≤1.8．(－∞，12] 增函数9.23 12 ∵f(x)＝x x ＋2＝1－2x ＋2， ∴f(x)在[2,4]是增函数，∴f(x)min ＝f(2)＝12，f(x)max ＝f(4)＝23.10．解：y ＝－x 2＋2|x|＋3＝函数图象如图所示．由图象可知：函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数； 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．∴函数的单调递增区间是(－∞，－1]，[0,1]；单调递减区间是[－1,0]，[1，＋∞)．11．解：由故x≥1，即函数f(x)的定义域是[1，＋∞)． 对于任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，有f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋x 1－1)－(x 2＋x 2－1) ＝(x 1－x 2)＋(x 1－1－x 2－1)＝x 1－x 2x 1＋x 2＋x 1－1－x 2－1x 1－1＋x 2－1＝(x 1－x 2)(1x 1＋x 2＋1x 1－1＋x 2－1)．∵1≤x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，1x 1＋x 2＋1x 1－1＋x 2－1>0.∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)．∴函数f(x)＝x ＋x －1在[1，＋∞)上单调递增． ∴当x ＝1时，y min ＝1＋1－1＝1，无最大值． 故所求函数的值域是[1，＋∞)．能力提升12．D 例如y ＝－1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)都为增函数，但f(－1)>f(1)；而对于y＝x(x≠0)在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，但是f(－1)<f(1)，故选D.13．④ ①因为函数在(－14，＋∞)上为增函数，所以在(0，＋∞)上也是增函数，故①错；②应该在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上均为减函数，故②错；③函数y ＝－5－4x －x 2的定义域为[－5,1]，所以增区间为[－2,1]，故③错；④∵f(x)为R 上的增函数，又a ＋b>0，∴a>－b 且b>－a.∴f(a)>f(－b)且f(b)>f(－a)，两式相加，得f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)，故④正确． 14．解：F(x)在(0，＋∞)上为减函数，下面给出证明： 任取x 1、x 2∈(0，＋∞)，且Δx＝x 2－x 1>0，∵F(x 2)－F(x 1)＝1f x 2－1f x 1＝fx 1－f x 2f x 2f x 1，又y ＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数且Δx＝x 2－x 1>0， ∴Δy＝f(x 2)－f(x 1)>0， 即f(x 2)>f(x 1)． ∴f(x 1)－f(x 2)<0. 而f(x 1)<0，f(x 2)<0， ∴f(x 1)f(x 2)>0. ∴F(x 2)－F(x 1)<0.又Δx>0，∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．15．f(34)≥f(a 2－a ＋1) ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34>0，且y ＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数， ∴f(34)≥f(a 2－a ＋1)．16．②③17．解：x 应满足解得∴1≤x<32.∴x 的取值范围是1≤x<32.18．解：在(0,1)上任取x 1，x 2，使0<x 1<x 2<1.∵f(x)＝－x 3＋ax 在(0,1)上是增函数， ∴有f(x 1)－f(x 2)<0，即－x 31＋ax 1－(－x 32＋ax 2) ＝x 32－x 31＋a(x 1－x 2)＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＋a(x 1－x 2)＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22－a) <0.∵0<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0. ∴x 21＋x 1x 2＋x 22－a<0.∴a>x 21＋x 1x 2＋x 22恒成立，即a>(x 21＋x 1x 2＋x 22)max.又∵x 21＋x 1x 2＋x 22<3， ∴a≥3.∴a 的取值范围是a≥3. 19．解：f(2)＋f(2)＝2.∵f(xy )＝f(x)－f(y)，∴f(y)＋f(xy)＝f(x)．在以上等式中取x ＝4，y ＝2， 则有f(2)＋f(2)＝f(4)， ∵f(2)＝1，∴f(4)＝2.∴f(x)－f(1x －3)≤2可变形为f[x(x －3)]≤f(4)．又∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴解得3<x≤4.∴原不等式的解集为{x|3<x≤4}． 20．B21．(1)解：当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x ＋2，因为f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，所以f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2)解法一：在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x 2＋2x ＋a x >0恒成立x 2＋2x ＋a>0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，∵y＝(x ＋1)2＋a －1在[1，＋∞)上递增，∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，∴a>－3.解法二：f(x)＝x ＋ax＋2，x∈[1，＋∞)，当a≥0时，函数f(x)的值恒为正； 当a<0时，函数f(x)递增． 故当x ＝1时，f(x)min ＝3＋a.于是当且仅当f(x)min ＝3＋a>0，函数f(x)>0恒成立， ∴－3<a<0.故a>－3.22．解：f(x)＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1.设x 1，x 2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则Δx＝x 1－x 2<0， Δy＝f(x 1)－f(x 2)＝1－2x 1＋1－1＋2x 2＋1＝2x 2＋1－2x 1＋1 ＝2x 1＋1－2x 2＋1x 1＋1x 2＋1＝2x 1－x 2x 1＋1x 2＋1.由1≤x 1<x 2≤3，得(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 又因为Δx＝x 1－x 2<0， 所以Δy<0.所以，函数f(x)＝x －1x ＋1是区间[1,3]上的增函数．因此，函数f(x)＝x －1x ＋1在区间[1,3]的两个端点上分别取得最小值与最大值，即在x ＝1时，取得最小值，最小值是0，在x ＝3时取得最大值，最大值是12.拓展探究23．证明：(1)任取x 1<x 2， ∵f(x)在R 上为单调增函数，∴f(x 1)<f(x 2)，f(2－x 1)>f(2－x 2)，即f(x 1)－f(x 2)<0，f(2－x 1)－f(2－x 2)>0.∴F(x 1)－F(x 2)＝[f(x 1)－f(2－x 1)]－[f(x 2)－f(2－x 2)]＝[f(x 1)－f(x 2)]＋[f(2－x 2)－f(2－x 1)]<0，即F(x 1)<F(x 2)．∴F(x)在R 上是单调增函数． (2)∵F(x 1)＋F(x 2)>0， ∴F(x 1)>－F(x 2)．而－F(x 2)＝－[f(x 2)－f(2－x 2)]＝f(2－x 2)－f(x 2)＝f(2－x 2)－f[2－(2－x 2)]＝F(2－x 2)，∴F(x 1)>F(2－x 2)．又∵F(x)在R 上是增函数， ∴x 1>2－x 2，即x 1＋x 2>2.24．解：由题意，函数的对称轴方程为x ＝2a ＋1；(1)当2a ＋1≤－2，即a≤－32时，函数在[－2,2]上为增函数．(2)当－2<2a ＋1<2，即－32<a<12时，函数在[－2,2a ＋1]上是减函数，在[2a ＋1,2]上是增函数．(3)当2a ＋1≥2，即a≥12时，函数在[－2,2]上是减函数．综上所述：当a≤－32时，函数在[－2,2]上为增函数；当－32<a<12时，函数在[－2，2a ＋1]上是减函数，在[2a ＋1,2]上是增函数；1当a≥2时，函数在[－2,2]上是减函数．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时分层作业(八)
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．下列结论中，正确的是()
A．函数y＝kx(k为常数，且k<0)在R上是增函数B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数y＝1
x在定义域内是减函数
D．y＝1
x在(－∞，0)上是减函数
D[当k<0时，y＝kx在R上是减函数；y＝x2在R上不单调；函数y＝1 x只
可以说在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，但不可以说在定义域内为减函数，只有D正确．]
2．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是()
A．y＝x2－2B．y＝3 x
C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2 C[函数y＝x2－2在(－∞，0]内是减函数；
函数y＝3
x在(－∞，0)内图象是下降的，也不是增函数；
y＝1＋2x在R上都是增函数，
所以在(－∞，0]上是增函数；
y＝－(x＋2)2在(－∞，－2]上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．]
3．函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2均有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，则f(x)在(a，b)上是()
A．增函数B．减函数
C ．不增不减函数
D ．既增又减函数
B [∵(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2<0，f (x 1)－f (x 2)>0或⎩⎪⎨⎪⎧
x 1－x 2>0，
f (x 1)－f (x 2)<0.
即当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)或当x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)． 不论哪种情况，都说明f (x )在(a ，b )上为减函数．]
4．f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f (x )＞f (8(x －2))的解集是
( )
A ．(0，＋∞)
B ．(0,2)
C ．(2，＋∞)
D ．⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，167
D
[由f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数得，⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，8(x －2)>0，
x >8(x －2)
⇒2＜x ＜16
7，
选D.]
5．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的范围是( )
A ．f (1)≥25
B ．f (1)＝25
C ．f (1)≤25
D ．f (1)＞25
A [由y ＝f (x )的对称轴是x ＝m 8，可知f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫
m 8，＋∞上递增，
由题设只需m
8≤－2，即m ≤－16，∴f (1)＝9－m ≥25.应选A.] 二、填空题
6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x
，0<x <1，
x ，x ≥1
的递减区间是________.
(0,1) [f (x )＝1
x 在(0,1)上是减函数，f (x )＝x 在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )
＝⎩⎨
⎧
1
x ，0<x <1，x ，x ≥1
的单调减区间是(0,1)．]
7．函数y ＝1－3m
x 在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，＋∞ [∵函数y ＝
1－3m x 在区间(0，＋∞)上是增函数，∴1－3m ＜0，解得m ＞1
3.]
8．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12的实数x 的取值
范围为________．
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－1，12 [由题设得⎩⎨⎧
－1≤x ≤1，x <12，即－1≤x <1
2.]
三、解答题
9．作出函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x －3，x ≤1
(x －2)2
＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间. [解] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x －3，x ≤1
(x －2)2
＋3，x >1
的图象如图所示．
由图可知：函数的单调减区间为(－∞，1]，(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)． 10．判断函数y ＝x x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
[解] y ＝
x x ＋1
在(－1，＋∞)上是增函数．
证明：设x 1>x 2>－1，
则y 1－y 2＝x 1
x 1＋1－x 2
x 2＋1＝x 1－x 2
(x 1＋1)(x 2＋1)，
∵x 1>x 2>－1，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 1－x 2
(x 1＋1)(x 2＋1)>0，即y 1－y 2>0，y 1>y 2， ∴y ＝
x x ＋1
在(－1，＋∞)上是增函数．
[冲A 挑战练]
一、选择题
1．下列有关函数单调性的说法，不正确的是( ) A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数 B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数 C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数 D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数
C [∵若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )的增减性不确定． 例如：f (x )＝x ＋2为R 上的增函数，当g (x )＝－12x 时，则f (x )＋g (x )＝x
2＋2为增函数；
当g (x )＝－3x ，则f (x )＋g (x )＝－2x ＋2在R 上为减函数．∴不能确定f (x )＋g (x )的单调性．]
2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
(2b －1)x ＋b －1，x >0，
－x 2＋(2－b )x ，x ≤0是(－∞，＋∞)上的增函数，
则实数b 的范围是( )
A ．[1,2]
B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2
C ．(1,2]
D ．(1,2)
A [f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，首先分段函数在每段上都是增函数，则需满足⎩⎪⎨⎪
⎧
2b －1>0，2－b
2≥0，
即1
2<b ≤2，其次，还需满足在x ＝0时，(2b －1)×0＋b
－1≥－02＋(2－b )×0，即b ≥1，综上实数b 的范围是1≤b ≤2，故选A.]
二、填空题
3．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________．
⎣⎢⎡
⎭
⎪⎫1，32 [由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，
x －2<1－x ，
解得1≤x <32，
故满足条件的x 的取值范围是1≤x <3
2.] 4．函数f (x )＝ax ＋1
x ＋2
(a 为常数)在(－2,2)内为增函数，则实数a 的取值范围是________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞ [函数f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2， 由于f (x )存在增区间， 所以1－2a <0， 即a >12.] 三、解答题
5．设函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)f(y)．
(1)求f(0)的值；
(2)证明：f(x)在R上是减函数.
[解](1)∵x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，当x＜0时，f(x)＞1，令x＝－1，y ＝0，
则f(－1)＝f(－1)f(0)．
∵f(－1)＞1，∴f(0)＝1.
(2)证明：若x＞0，－x＜0，
∴f(x－x)＝f(0)＝f(x)f(－x)，
∴f(x)＝
1
f(－x)
∈(0,1)，
故x∈R，f(x)＞0，
任取x1＜x2，f(x2)＝f(x1＋x2－x1)＝f(x1)f(x2－x1)，∵x2－x1＞0，
∴0＜f(x2－x1)＜1，∴f(x2)＜f(x1)．
故f(x)在R上是减函数.。