6.1 数论综合(一)
六年级数论综合奥数题
六年级数论综合奥数题一、数论基础知识回顾1. 整除的概念若整数公式除以非零整数公式，商为整数，且余数为零，我们就说公式能被公式整除（或说公式能整除公式），记作公式。
例如公式，余数为公式，则说公式。
2. 因数与倍数如果公式能被公式整除，公式就叫做公式的倍数，公式就叫做公式的因数。
例如在公式中，公式是公式的倍数，公式是公式的因数。
3. 质数与合数质数是指在大于公式的自然数中，除了公式和它本身以外不再有其他因数的自然数。
例如公式、公式、公式、公式等。
合数是指自然数中除了能被公式和本身整除外，还能被其他数（公式除外）整除的数。
例如公式，公式，所以公式、公式是合数。
4. 分解质因数把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。
例如公式。
二、典型数论综合奥数题及解析求公式的因数有多少个？解析：1. 先将公式分解质因数：公式。
2. 根据因数个数定理：对于一个数公式（公式为质数，公式为正整数），它的因数个数为公式。
3. 对于公式，其因数个数为公式个。
题目2：已知两个数的最大公因数是公式，最小公倍数是公式，其中一个数是公式，求另一个数。
解析：1. 根据两个数的积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的积。
设另一个数为公式。
2. 则公式。
3. 先计算公式，那么公式。
题目3：有一个三位数，它是公式的倍数，且它各位数字之和是公式的倍数，百位数字与个位数字之和等于十位数字，这个三位数是多少？1. 设这个三位数为公式（公式为百位数字，公式为十位数字，公式为个位数字）。
2. 已知公式，且公式是公式的倍数。
将公式代入公式可得公式是公式的倍数，因为公式是一位数，所以公式。
3. 又因为这个数是公式的倍数，根据公式的倍数特征：各个数位上的数字之和是公式的倍数，这个数就是公式的倍数。
已知公式。
4. 满足公式的组合有公式、公式、公式、公式等，所以这个三位数可以是公式、公式、公式、公式等。
01数论综合1学生版
数论综合1【质数与合数】（1）已知a 是质数，并且10+a 、20+a 也是质数。
则a = 。
（2）三个质数x,y,z 。
若x+y=z,则三个质数中的最小的数是__________。
（3）用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成_________个质数。
（4）7个连续质数从大到小排列是a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 已知它们的和是偶数，那么d 是_________。
（5）从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有 种不同的值。
【分解质因数】（6）把5、11、14、15、21、22六个数填入下面的括号内，使等式成立。
（ ）×（ ）×（ ）=（ ）×（ ）×（ ）（7）91575=÷÷÷÷学数蕾春，春= ，蕾= ，数= ，学= 。
（8）○△□⨯⨯⨯=ABC ABCABC ，求：□= ，△= ，○= 。
（9）一个三角形的面积是12平方厘米，它的底和高都是整厘米数，则底和高不同的三角形有 种。
（10）若A 、B 、C 、D 是四个互不相等的自然数，且A×B×C×D=2016，则A+B+C+D 的最大值是 。
【最大公因数与最小公倍数】（11）小朋友们围成一圈, 按逆时针方向连续报数13和报数41是同一个人, 报5和报47的是同一个人, 那么参加报数的小朋友最多有____人。
（12）有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成 份同样的礼物；在每份礼物中，苹果有 个，桔子有 个，梨有 个。
（13）一个整数的最大公约数是12，最小公倍数是240，这两个数的差最大是 。
（14）已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，这两个数的和是 。
六年级奥数(精品)数论综合(可编辑修改word版)
第 19 讲数论综合知识点精讲一、特殊数的整除特征1.尾数判断法1)能被2 整除的数的特征：2)能被5 整除的数的特征：3)能被4（或25）整除的数的特征：4)能被8（或125）整除的数的特征：2.数字求和法：3.99 的整除特性：4.奇偶位求差法：5.三位截断法：特别地：7×11×13=1001，abcabc=abc×1001二、多位数整除问题技巧：1>目的是使多位数“变短”，途径是结合数的整除特征和整除性质2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。
三、质数合数1.基本定义【质数】——【合数】——注：自然数包括0、1、质数、合数.【质因数】——【分解质因数】——用短除法和分拆相乘法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=a1×a2×a3×……×a n，其中a1、a2、a3……a n都是合数N 的质因数，且a1<a2<a3<……<a n。
【互质数】——【偶数】——【奇数】——2.质数重要性质1)100以内有25个质数：2)除了2和5，其余的质数个位数字只能是：3)1既不是质数,也不是合数4)在质数中只有2是偶数,其他质数都是奇数5)最小的质数是2.最小的奇质数是36)有无限多个3.质数的判断：1)定义法：判断整除性2)熟记100以内的质数3)平方判断法：例如：对2011，首先442<2011<452，然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数.4.合数1)无限多个2)最小的合数是43)每个合数至少有三个约数5.互质数1) 什么样的两个数一定是互质数？注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式.因此,要分解的合数应写在等号左边,如：21=3 ⨯ 7,不能写成：3 ⨯ 7=21.6.偶数和奇数1)0 属于偶数2)十进制中，个位数字是0,2,4,6,8 的数是偶数；个位数字是1,3,5,7,9 的数是奇数3)除2 外所有的正偶数均为合数4)相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数是他们乘积的一半5)奇±奇=偶偶±偶=偶偶±奇=奇奇×奇=奇偶×奇=偶偶×偶=偶四、约数与倍数1.约数与倍数概念：2.一个数约数的个数：3.平方数与约数个数的关系：4.最大公约数与最小公倍数求法：分解质因数：辗转相除法：5.两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。
第5讲 数论模块综合(一)
知识要点：
2． 标准因数分解式：每一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即
n
P a1 1
P a2 2
L
Pk ak
，其中
p1＜p2＜…＜pk 为质数，a1，a2，…，ak 为自然数，并且这
种表示是唯一的．上式称为 n 的标准分解式． 3． 位值原理：同一个数字，由于它在不同数中的位置不同，所表示的数值也不同．也 就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”．例如“9”,写在个 位上，就表示 9 个一，写在百位上，就表示 9 个百，这种数字和数位结合起来表示数的 原则，称为写数的位值原理．
数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数 (包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。 例如：判断491678能不能被11整除。 →奇位数字的和 9+6+8=23 ，→偶位数位的和4+1+7=12 ，23-12=11 因此,491678能被11整除。 这种方法叫“奇偶位差法”。
知识要点：
• （整数被8或125整除） 如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个 数就一定能被8或125整除．
知识要点：
• （整数被11整除） (1) 如果一个整数将其最后三位数字去掉后得到的位数少3 位的新整数与该整数末三位数字组成的数之差能被11整除， 则该整数能11整除.即如果
11 anan1...a3 a2a1a0，则11︱N. (2)把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的
方法二：设原四位数为 ABCD ，则 DCBA － ABCD ＝8802，利用位值原理，得（1000D＋100C＋10B＋
A）－（1000A＋100B＋10C＋D）＝8802，解得 A＝1，B＝0，C＝9，D＝9，原四位数为 1099．
数论综合课件
（3）一个数除了____和____，不再有别的因数，这个数就叫做质数 ，如果还有别的因数，这个数就叫作____.
【练习3】王老师家的电话号码从左往右依次是①最小的质数；② 最小的合数；③最小的偶数；④既是7的因数又是7的倍数；⑤既不 是质数也不是合数的非零自然数；⑥既是质数又是偶数；⑦10以内 最大的质数。王老师的电话号码是？
1.质数与合数 （1）定义 （2）0和1 （3）常用的100以内的质数 2. 质因数与分解质因数 （1）质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个指数 是这个数的质因数。 （2）互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数。 （3）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫 做分解质因数。 3.判断一个数是否为质数 “N”法。例：149是否为质数？
【练习6】四个连续自然数的乘积为3024，这四个自然数中最大的 一个是多少？
数论综合（二）
因数与倍数
1.短除法求最大公因数与最小公倍数。 例：18和27 2.最大公约（因）数的性质 ①几个数都除以他们的最大公约（因）数，所得的几个商是互质数 ； ②几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数；
例5 .完成填空 （1）若a÷b=c，其中b≠0，且a，b，c均为整数，则称a是b的倍 数；b是a的因数；那么，24÷3=8中，___是___的倍数；___是___ 的因数。 （2）一般情况下来看，因数都是成对出现的，如 12=1×12=2×6=3×4，所以12的因数为：1,2,3,4,6,12一共3对， 6个。类似的，我们可以写出 18的所有因数： 36的所有因数：
例1. 写出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。
第一组 最大公 因数
最小公 倍数
3和4
7和9
5和37
10_数论综合(一)
涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。
所以n小于5．:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4；所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足．：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足．至于n取1显然不满足了．所以满足条件的n是4．2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168．所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．3．如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．【分析与解】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件．其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14．所以两位幸运数只有14．4．在555555的约数中，最大的三位数是多少?【分析与解】555555=5×111×1001=3×5×7×11×13×37显然其最大的三位数约数为777．5．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?【分析与解】从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商．而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77．231÷77=3．不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米．6．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．【分析与解】设这三个数为a、b、c，且a＜b＜c，因为两两不互质，所以它们均是合数．小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=2×7，其中质因数7只有14含有，无法找到两个不与14互质的数．所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列．所以，所有可能的答案为(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18)．7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1．那么最少要分成多少组?【分析与解】26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=23×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．由于质因数13出现在26、91、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3组：将26、33、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．所以，至少要分成3组．8．图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?【分析与解】圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远．如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远．小圆周长为π×30=307r，大圆周长为48π，一半便是24π，30与24的最小公倍数时120．120÷30=4．120÷24=5．所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个12圆周长，即爬到了过A的直径另一点B．这时两只甲虫相距最远．9．设a与b是两个不相等的非零自然数．(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?(2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?【分析与解】 (1)a与b的最小公倍数72=2×2×2×3×3，有12个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．不妨设a＞b．:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b≥72+1=73；:当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值；：当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第一、二种情况中的值；当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值；：当a=12时，b无解；:当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值．总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值．(2)60=2×2×3×5，有12个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．a、b为60的约数，不妨设a＞b．：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是a－b可取11种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30；．当a=30时，b可取4，12，20，于是a－b可取26，18，10；：当a=20时，b可取3，6，12，15，所以a－b可取17，14，8，5；当a=15时，b可取4，12，所以a－b可取11，3；: 当a=12时，b可取5，10，所以a－b可取7，2．总之，a－b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值．10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳142米，黄鼠狼每次跳324米，它们每秒钟都只跳一次．比赛途中，从起点开始每隔3128米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?【分析与解】由于3128÷142=114，3128÷324=92．所以狐狸跳4个3128米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳2个3128米的距离时，将掉进陷阱．又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了9秒.距离为9×142=40.5(米)．11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【分析与解】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．12．甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少?【分析与解】由题意知4倍393除以A的余数，等于2倍939除以A的余数，等于甲603除以A的余数．即603÷A=a……k；(2×939)÷A=b……k；(4×393)÷A=c……k．于是有(1878－603)÷A=b－a；(1878－1572)÷A=b－c；(1572－603)÷A=c－a．所以A为1275，306，969的约数，(1275，306，969)=17×3=51．于是，A可能是51，17(不可能是3，因为不满足余数是另一余数的4倍)．当A为51时，有603÷51=11……42；939÷51=18……21；393÷51=7……36．不满足；当A为17时，有603÷17=35……8；939÷17=55……4；393÷17=23……2；满足．所以，除数4为17．13．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．【分析与解】我们知道奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以4余1，偶数的完全平方数能被4整除．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．4n+4n+1，显然除以4余1．评注：设奇数为2n+1，则它的平方为214．有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖?【分析与解】我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍．八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216．从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6．观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31．因此甲取走的一盒中有3l块奶糖．15．在一根长木棍上，有三种刻度线．第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份．如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段?【分析与解】 10，12，15的最小公倍数[10，12，15]=60，把这根木棍的160作为一个长度单位，这样，木棍10等份的每一等份长6个单位；12等份的每等份长5个单位；15等份的每等份长4单位．不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等份)，共计34个．由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1．又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2．同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4．由于这些相重点各不相同，所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点．沿这些刻度点把木棍锯成28段．。
数学六年级 第08讲 数论综合一(教师版+学生版,含详细解析)
第8讲：数论综合一兴趣篇1. 如果某整数同时具备如下三个性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5。
那么我们称这个整数为“幸运数”。
求出所有的两位幸运数。
【答案】14【分析】 方法一：从条件③入手，则概数应为5、14、23,而该数为2的倍数，所以应为偶数，所以应为14、32、 50、68、86中的一组，满足条件的只有1个，14。
方法二：题目给出了所谓幸运数具备的三个条件，要求的是所有的两位幸运数．这就使求解的范围缩小在两位数之内．可以先从条件②入手，再利用条件①和③，最终求出所有的两位幸运数．设所求的幸运数是质数p 的两倍，即此幸运数为2p ，则p 的所有可能取值为5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47．于是21p -的所有可能取值为9、13、21、25、33、37、45、57、61、73、81、85、93．根据条件①，21p -应为质数，因此21p -只可能为13、37、61或73．再由条件③知21p -除以9所得余数应为4，于是21p -只能等于13，从而这个幸运数只能是214p =．2. 一个五位数825，空格中的数未知。
请问：（1）如果该数能被72整除，这个五位数是多少？（2）如果该数能被55整除，这个五位数是多少？【答案】（1）86256；（2）85250【分析】（1）从8，9整除特征考虑，8需要个位填6；9千位填6。
（2）从5，11的特征考虑，5个位填5或0，当个位为5时，该数为a 8255，奇数位数字和为：15；偶数位数字和为：5a +，则不符合情况；当个位为0时，该数为a 8250，奇数位数字之和为：10，偶数位数字之和为5a +，则千位可填5。
3. 在小于5000的自然数中，能被11整除、并且所有数字之和为13的数共有多少个？【答案】18个 【分析】令为abcd ，数位不够高位补0，和为奇数有①()()11a c b d +-+=，且13+++=a b c d12a c +=，1b d += 7×2=14个②()()11b d a c +-+=，且13a c b d +++=12b d +=，1a c += 7×2=14个共28个4. 一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）。
第10讲 数论综合(一)
个正整数的平方和，因此只有 k=12 与 k=16 时有正整数解 m1 , n1 。 当 k=12，由 m1 当 k=16，由 m1 (ii) 若 3| k (k
2 2 =41，得( m1 , n1 )=(4, 5)，则 a=6 m1 =24，b=6 n1 =30，c=2k m2 2 =29，得( m1 , n1 )=(2, 5)，则 a=6 m1 =12，b=6 n1 =30，c=2k m2
4． （东南赛）求满足 a
2
b2 c2 2005 ，且 a b c 的所有三元正整数组(a, b, c)。
4
高二数学竞赛班二试讲义 第 10 讲
数论综合（一）
例 1．分析：首先 n 9 ，如 8,9,10,11,12,13,14,15 这 8 个正整数，每个正整数的各位数字 之和都不是 7 的倍数。由于进位的原因，并不是所有的连续正整数的各位数字之和，除 以 7 的余数依次从 0 变化到 6 的。能否找到一列数，进位之前的连续正整数的各位数字 之和除以 7 的余数依次从 1 变化到 6 ，进位之后的连续正整数的各位数字之和除以 7 的 余数依次从 1 变化到 6 ？ 解：我们可以指出 12 个连续正整数， 例如：994,995,996,997,998,999,1000,1001,1002,1003,1004,1005 其中任一数的各位数字之和都不是 7 的倍数。因此 n 13 。 再证，任何连续 13 个正整数中，必有一数，其各位数字之和是 7 的倍数。 对每个非负整数 a ，称如下 10 个数所构成的集合： Aa 10a,10a 1, ,10a 9 为一 个“基本段” ，13 个连续正整数，要么属于两个“基本段” ，要么属于三个“基本段” ， 当 13 个连续正整数属于两个“基本段”时，根据抽屉原理，其中必有连续的 7 个数，属 于同一个“基本段” ； 当 13 个连续正整数属于三“基本段” Aa 1, Aa , Aa 1 时，其中必有连续的 10 个数同属 于 Aa 。现在设 ak ak 1 a1a0 ， ak ak 1 a1 (a0 1) ，„， ak ak 1 a1 (a0 6) 是属于同一个 “基本段”的 7 个数，它们的各位数字之和分别为
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01数论综合（一）
学习目标:
1、比较系统地掌握有关整数、分数的基础知识，进一步弄清概念间的联系与区别。
2、能运用整数分数数位及各部分特点意义解决问题。
3、通过整理和复习，感悟数学知识之间的内在联系和区别，初步学会知识的整理。
教学重点:
使学生比较系统地运用分数的基础知识解决问题。
教学难点：
整数及分数的意义的应用
教学过程：
一、游戏激趣
师宣布游戏规则：每组每轮分别派4人抽出4张卡片，按要求摆放比较大小。
第一轮：按抽到卡片的顺序摆放，比较大小；
第二轮：任意顺序摆放，比较大小；
第二轮：任意加入符号（可组成算式），比较大小。
师：通过刚才的游戏你能发现什么呢？
生回忆回答，师补充。
师：那么我们今天就来利用这些知识解决我们要面临的问题。
二、思维探索（建立知识模型）
展示例1
例1：有一个四位数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相
加，得数是2008.89，求这个四位数是多少？
师：大家仔细读题，看看你是否知道是在哪个数字前加小数点？
生：第二个数字前。
（为什么）结果是个两位小数，所以新数也是两位小数。
师：那么,我们用什么方法能确定每个数位上的数呢？我们一起来探讨一下，我们可以用字母表示出各个数位上的数字。
（提示学生表示方法）你能把条件表示出来吗？ 生讨论后汇报：设原数为abcd ，则新数为.ab cd 。
abcd +.ab cd =2008.89. 师：怎样计算呢？试试列竖式。
生讨论汇报答案。
师：还有其它方法吗？有小数点后跟原数相比有什么变化？
生：原数是有小数点后的数的10倍。
师：那么这个题是不是可以看作一个数是另一个数的10倍，且和为2008.89，这是我们学过的什么问题？
生：和倍问题。
师：大家会解决吗？
生自主完成，师补充小结。
展示例2
例2：如果
1111111A B C D =+=-，则A+B+C+D= 。
学生读题
师：看完题你能立刻算出ABCD 吗？（不能） 师：那我们一一来看，我们先看看11111A B =+，是把111
分解成两个分子为1的分数，那么是不是肯定不能是一个分数单位，所以我们得把
111分数单位个数扩大，怎样才能保证分数值不变，分数单位个数增加？
（学生思考回答）
生：分子分母同时扩大或缩小相同倍数（0除外）。
师：大家试试扩大到几倍时能分解出两个分子为1的两个分数之和。
生小组讨论尝试后发现当分子分母乘13时成立。
师：大家想想为什么是13，我们发现分解成的两个分数未约分前分子为11和1，正好就是11的两个因数，你能得到什么结论？
生尝试总结师补充板书： 111(1)(1)(1)
M M M M M M M M M M +==+⨯+⨯+⨯+（为质数）
师：大家用同样的方法看看CD 怎么求？
生小组讨论总结。
师补充小结：
三、思维拓展（知识模型的运用）
展示例3
例3：如果A 、B 是两个不同的自然数，
111182
A B -= ，且A:B=7:13,则A+B 等于多少？
师：我们能用上一题的方法解决这个问题吗？（不能）为什么？
生：182不是质数。
师追问：那我们怎么解决这个问题？这题是不是还有一个条件？A:B=7:13,如何用这个条件呢？
生：设未知数，代入始终列方程。
（生尝试设未知数列方程，小组汇报）师板书：
1111713A B x x -=-1182= 师：怎们解这个方程？通分或去分母都可以。
生尝试，指名回答。
强调通分或去分母都要找分母的最小公倍数。
111(1)(1)(1)M M M M M M M M M M +==+⨯+⨯+⨯+（为质数）11(1)(1)(1)
M M M M M M M M -==-⨯-⨯-⨯-
生1：1113761
71371391182
x x
x x x x x
-
-===
⋅
6
=
1092
，91x=1092
生2：1111
713
A B x x
-=-
1
182
=，
方程两边同时乘91x，得13-7=1 2 x
师：大家最后完成例题。
展示例4
例4：一个分数b
a
，如果把它的分母减2，约分后是
3
4
；如果把原来的分数的分
母加上9，约分后是5
7
，则
b
a
= 。
师：你能把题中的条件表示出来吗？（生讨论尝试后汇报答案）
师板书：
3
24 b
a
= -
5
97 b
a
= +
师：我们利用上面去分母的方法化简这两个方程。
生：4b=3(a-2) 即3a-4b=6
7b=5(a+9) 即7b-5a=45
师：你会解这个方程组吗？
师引导回忆消元法（或比较法），学生尝试解答。
四、融会贯通（知识模型的拓展）
展示例5
例5：一群小朋友,年龄都各不相同,若把他们的年龄(整数)分别填入“1742?5
〈〈”的“?”里,等式都成立,小朋友最多有多少个？
生读题后师问：上面三个分数的分子都已知，这种情况下比较大小一般用什么方法？
生：通分子。
师追问：通分子后算式变成怎样？ 生：28282856?35
〈〈 师：？处还是原数吗？（不是）所以我们应该怎么表示？ 生：28282856?435
〈〈⨯ 师：所以我们知道35<？⨯4<56。
那么?的取值呢？
生：35到56有4的几倍就可取几。
师：大家自己完成。
展示例6
例6：一个最简真分数7
M ,化成小数后,如果从小数点后第一位起连续若干位的数字之和等于2004,那么M 等于多少？ 师：7
M 是真分数，那么M 的取值有哪些？ 生：71~7
6。
师：大家把这些分数化成小数看看有什么共同之处？
生小组完成后讨论汇报：分母为7的真分数化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27。
师：现在告诉我们后面若干个数的和等于2004，我们怎么确定M 的取值？要运用我们的哪个知识解决？
生：周期问题。
一个周期和为27，看2004包含几个27就有几个周期，剩下的就是余下数的和。
师：大家自己算算看。
五、创新运用
展示例7
例7：B 是一个自然数,A 是一个数字,如果 ••=7A 3.0444
b ,求B 是多少? 师：我们要想解决这个问题必须把等式左右两边变成同类型的数的形式，你会把左边变成小数吗？（不会）那会把右边变成分数吗？
带领学生回忆循环小数化成分数的方法。
生自行计算汇报
999
3A77A 3.0=•• 师：我们可以得到999
3A77A 3.0444b ==••，你会根据这个计算出B 的值吗？ 生小组讨论汇报：49
7344499973⨯=⨯=A A B ，B 为自然数则3A7为9的倍数，所以A 为8，即可算出B 的值。
六、小结
通过这节课学习，你有哪些收获？。