北师大版数学高二选修1试题 2.双曲线方程及性质的应用

课时提升卷(十六)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共30分)
1.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
2.已知点F是双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点，点C是该双曲线的左顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABC是直角三角形，则此双曲线的离心率是()
A.2
B.
C.+1
D.+1
3.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是()
A.(-1，)
B.(1，)
C.(-，1)
D.(-，-1)
4.已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y=x，点P(，y0)在该双曲线上，则·等于()
A.-12
B.-4
C.0
D.4
5.P为双曲线-=1的右支上一点，M，N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为()
A.6
B.7
C.8
D.9
二、填空题(每小题8分，共24分)
6.直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有且只有一个交点，则k的值为.
7.直线x-y+=0被双曲线x2-y2=1截得的弦AB的长是.
8.以P(1，2)为中点作双曲线2x2-y2=2的一条弦AB，则直线AB的方程为.
三、解答题(9题，10题14分，11题18分)
9.过双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点F作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线l，垂足为P，设l与双曲线的左、右两支相交于A，B两点.
(1)求证：点P在直线x=上.
(2)求双曲线的离心率e的取值范围.
10.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，右准线方程为x=.
(1)求双曲线C的方程.
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值.
11.(能力挑战题)在直角坐标系xOy中，点M(2，-)，点F为抛物线C：y=mx2(m>0)的焦点，线段MF恰被抛物线C平分.
(1)求m的值.
(2)过点M作直线l交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FM，FB的斜率分别为k1，k2，k3，问k1，k2，k3能否成公差不为零的等差数列?若能，求直线l的方程.若不能，请说明理由.
答案解析
1.【解析】选A.∵双曲线的渐近线方程为y=±x，圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4，
∴圆心为C(3，0).
又渐近线方程与圆C相切，
即直线bx-ay=0与圆C相切，
∴=2，
∴5b2=4a2①
又-=1的右焦点F2(，0)为圆心C(3，0)，
∴a2+b2=9②
由①②得a2=5，b2=4
∴双曲线方程为-=1.
2.【解析】选A.把x=c代入-=1得y=±，
且由双曲线的对称性知|AC|=|BC|，
又∵△ABC为直角三角形，
∴=a+c即e2-e-2=0，
解得e=2(e=-1舍去).
3.【解析】选D.设直线与双曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(1-k2)x2-4kx-10=0，因为直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，∴
解得-<k<-1.
4.【解析】选C.∵双曲线的一条渐近线为y=x，
∴b=，
∴双曲线方程为-=1，把x=代入得y0=±1，取P(，1)，又F1(-2，0)，F2(2，0)，
∴=(-2-，-1)，=(2-，-1)，
∴·=(-2-)(2-)+1=0.
【变式备选】若点O和点F(-2，0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围是()
A.[3-2，+∞)
B.[3+2，+∞)
C.[-，+∞)
D.[，+∞)
【解析】选B.由条件可知，a2+1=4，∴a2=3，
设P(x0，y0)，则x0≥，·=(x0，y0)·(x0+2，y0)=+2x0+(-1)=(x0+)2-，∵x0≥，
∴x0=时，·有最小值，其值为3+2，
∴·∈[3+2，+∞).
【拓展提升】平面几何与平面向量的结合
平面解析几何与平面向量在高考中是重要的交汇点，当这种题目出现时，要注意以下几点：
(1)合理使用平面向量的坐标表示和坐标运算.
(2)合理使用平面几何中的结论、关系等.
(3)把几何运算转化为代数运算，利用代数运算的结果解释平面几何问题.
5.【解析】选D.如图所示，由题意可知双曲线方程中的a=3，b=4.焦点为(±5，0)，两个
圆的圆心与半径分别为(±5，0)，R1=2，R2=1，易知|PM|max=|PF1|+R1
=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|-R2=|PF2|-1，则(|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min=
|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3，由于P在双曲线-=1的右支上，所以
|PF1|-|PF2|=2a=6.∴|PM|-|PN|的最大值为9.故选D.
6.【解题指南】直线与双曲线联立，考虑x2的系数为0和Δ=0的情况求解.
【解析】由得(1-k2)x2+2kx-2=0，
当1-k2=0时，即k=±1时，此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点，当1-k2≠0时，
Δ=4k2+8(1-k2)=0，解得k=±.
此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点，
综上所述：k=±1或±.
答案：±1或±
7.【解析】由直线方程得y=x+，
代入x2-y2=1得x2-3(x+1)2=1，
即x2+3x+2=0，
∴x1+x2=-3，x1·x2=2.
∴|AB|=|x1-x2|
==2.
答案：2
8.【解析】设弦AB的端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则2-=2，2-=2，
作差得2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)，
由x1+x2=2，y1+y2=4，得k AB=1，
∴直线AB的方程为y-2=x-1，
即x-y+1=0，经检验符合题意.
答案：x-y+1=0
9.【解析】(1)设右焦点为F(c，0)，斜率大于零的渐近线的方程为y=x，则l的方程为y=-(x-c)，从而得点P的坐标为P(，).
故点P在直线x=上.
(2)由
消去y，得(b4-a4)x2+2a4cx-a2(a2c2+b4)=0.
∵A，B两点分别在双曲线左、右两支上，
设A，B两点的横坐标分别为x A，x B，
由b4-a4≠0，且x A·x B<0，
即<0，得b2>a2，
∴c2-a2>a2，∴c2>2a2，∴e=>.
即双曲线的离心率e的取值范围为e>.
10.【解析】(1)由题意，得解得a=1，c=，
∴b2=c2-a2=2，∴所求双曲线C的方程为x2-=1.
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由
得x2-2mx-m2-2=0(判别式Δ>0)，
∴x0==m，y0=x0+m=2m，
∵点M(x0，y0)在圆x2+y2=5上，
∴m2+(2m)2=5，∴m=±1.
11.【解析】(1)焦点F的坐标为(0，)，线段MF的中点N(1，-)在抛物线C上，∴-=m，8m2+2m-1=0，
∴m=(m=-舍).
(2)由(1)知：抛物线C：x2=4y，F(0，1).
设l方程为：y+=k(x-2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
由得：x2-4kx+8k+2=0，
Δ=16k2-4(8k+2)>0，∴k<或k>.
假设k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，则k1+k3=2k2.
而k1+k3=+==
===，
k2=-，∴=-，8k2+10k+3=0，
解得：k=-<(符合题意)，
k=-(此时直线l经过焦点F，k1=k2=k3，不合题意，舍去)，
直线l的方程为y+=-(x-2)，
即x+2y-1=0.
故k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，直线l的方程为：x+2y-1=0.。