点击拓扑习题与参考答案_课后习题答案
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题习练学扑拓集点
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X 是 } �{ � }G � p | X � G{ � T , X � p�合集的素元个两有含少至是 X 设 、33
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B � A � )B � A ( d ①
.扑拓的上 X 是� ②�案答
} } d , c , a{ , }b{ , }a{ , � , X { � T ③ } } d , c , a{ , }b , a{ , }a{ , � , X { � T ①
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A � )A ( d 则, } 2x , 1x { � A 若 ④ X � ) A ( d 则, } 0 x { � A 若 ②
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集子真空非的闭又开既的 X 则, } }c ,b{ , }b{ , � , X { � T 扑拓� }c , b , a{ � X 设、51 ②�案答 4 ④ 3 ③ � 2 ② 1 ① �为数个的
集子真空非的闭又开既的 X 则, } }c ,b{ , }a{ , � , X { � T 扑拓� }c , b , a{ � X 设、41 ②�案答 4 ④ 3 ③ � 2 ② 1 ① �为数个的集子
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}b , a { ③
计算机网络技术及应用新教材课后习题答案
计算机⽹络技术及应⽤新教材课后习题答案《计算机⽹络技术及应⽤》第1章认识计算机⽹络参考答案⼀、填空题：1．计算机⽹络是现代计算机技术与通信技术密切组合的产物。
它可以把在区域上分散的单个计算机有机的连接在⼀起，组成功能更强⼤的计算机⽹络，以此来达到数据通信和资源共享的⽬的。
2．计算机⽹络的功能表现在资源共享、信息传递、实时的集中处理、提⾼可靠性、均衡负荷和分布式处理及增加服务项⽬等6个⽅⾯。
3．通常根据⽹络范围和计算机之间的距离将计算机⽹络分为局域⽹、城域⽹和⼴域⽹。
4．从⽹络功能上，计算机⽹络由通信⼦⽹和资源⼦⽹两部分组成。
5．信号可以双向传输，但不能同时进⾏双向传送，只能交替进⾏。
在任何时刻，通道中只有在某⼀⽅向传输的信号，这种通信⽅式叫做半双⼯通信。
6．OSI的会话层处于传输层提供的服务之上，为表⽰层提供服务。
7．在TCP/IP层次模型中与OSI参考模型第四层（运输层）相对应的主要协议有TCP 协议和UDP协议，其中后者提供⽆连接的不可靠传输任务。
8．在传输⼀个字符时，有⼀个起始位，⼀个停⽌位，中间由5~8位组成，这种传输⽅式称为异步传输。
9．报⽂交换和分组交换均采⽤存储转发的传送⽅式。
⼆、选择题：1．公⽤电话⽹属于（C ）。
A．局域⽹B．城域⽹C．⼴域⽹D．因特⽹2．Internet采⽤的是（A ）拓扑结构。
A．⽹状B．树型C．星型D．环型3．⼀座⼤楼内的⼀个计算机⽹络系统，属于（B ）。
A．PAN B．LAN C．MAN D．W AN 4．⼀所⼤学拥有⼀个跨校园中许多办公楼的⽹络，其中⼏座办公楼分布在各个城区，它们组成⽹络教育中⼼，这种⽹络属于（C ）。
A．有线⽹B．⼴域⽹C．校园⽹D．城域⽹5. 计算机⽹络中负责节点间通信任务的那⼀部份称为（ D ）。
A．节点交换⽹B．节点通信⽹C．⽤户⼦⽹D．通信⼦⽹6. 调制解调器（Modem）的主要功能是（ C ）。
A．模拟信号的放⼤B．数字信号的整形C．模拟信号与数字信号的转换D．数字信号的编码7. 在计算机⽹络系统的远程通信中，通常采⽤的传输技术是（C ）。
计算机网络课后习题答案(第四章2)
计算机网络课后习题答案（第四章2）(2009-12-14 18:26:17)转载▼标签：课程-计算机教育21某单位分配到一个B类IP地址，其net-id为129.250.0.0.该单位有4000台机器，分布在16个不同的地点。
如选用子网掩码为255.255.255.0，试给每一个地点分配一个子网掩码号，并算出每个地点主机号码的最小值和最大值4000/16=250，平均每个地点250台机器。
如选255.255.255.0为掩码，则每个网络所连主机数=28-2=254>250，共有子网数=28-2=254>16，能满足实际需求。
可给每个地点分配如下子网号码地点：子网号（subnet-id）子网网络号主机IP的最小值和最大值1： 00000001 129.250.1.0 129.250.1.1---129.250.1.2542： 00000010 129.250.2.0 129.250.2.1---129.250.2.2543： 00000011 129.250.3.0 129.250.3.1---129.250.3.2544： 00000100 129.250.4.0 129.250.4.1---129.250.4.2545： 00000101 129.250.5.0 129.250.5.1---129.250.5.2546： 00000110 129.250.6.0 129.250.6.1---129.250.6.2547： 00000111 129.250.7.0 129.250.7.1---129.250.7.2548： 00001000 129.250.8.0 129.250.8.1---129.250.8.2549： 00001001 129.250.9.0 129.250.9.1---129.250.9.25410： 00001010 129.250.10.0 129.250.10.1---129.250.10.25411： 00001011 129.250.11.0 129.250.11.1---129.250.11.25412： 00001100 129.250.12.0 129.250.12.1---129.250.12.25413： 00001101 129.250.13.0 129.250.13.1---129.250.13.25414： 00001110 129.250.14.0 129.250.14.1---129.250.14.25415： 00001111 129.250.15.0 129.250.15.1---129.250.15.25416： 00010000 129.250.16.0 129.250.16.1---129.250.16.25422..一个数据报长度为4000字节（固定首部长度）。
第7章点集拓扑学练习题参考答案
点集拓扑学练习题参考答案（第7章）一、单项选择题1、若拓扑空间X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个（）① lindeloff空间②正则空间③紧致空间④可分空间答案：③2、紧致空间中的每一个闭子集都是（）①非紧致子集②开集③紧致子集④以上都不对答案：③3、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（）①即开又闭子集②开集③闭集④以上都不对答案：③4、拓扑空间X的任何一个有限子集都是（）①闭集②紧致子集③非紧致子集④开集答案：②5、实数空间R的子集{1,2,3,4}A 是（）①闭集②紧致子集③开集④非紧致子集答案：①②6、如果拓扑空间X的每个紧致子集都是闭集，则X是（）①T空间②紧致空间③可数补空间④非紧致空间2答案：①7、设X是拓扑空间，A是X的子集，则下列不正确的命题是 ( )①. 若A是序列紧致的，则A是可数紧致的②. A是列紧的当且仅当A是序列紧致的③. 若A是可数紧致的，则A是列紧的④. 若A是紧致的，则A是列紧的答案：②二、填空题（每题1分）1、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .答案：紧致空间2、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间， 则称Y 是拓扑空间X 的一个 .答案：紧致子集3、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 可数紧致空间4、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一 个 .答案：列紧空间5、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .答案：序列紧致空间6. 当X 为___________________________空间，则X 的闭集是紧致子集；X 为___________________________空间，则X 的紧致子集是闭集；7. X 为__________________________________, 且为序列紧空间时, X 为可数紧空间. 8.Y f →]1,0[:为连续的满射，则Y 是 。
拓扑学导论 第六章答案(朱培勇)
第六章习题参考解答1. X 为拓扑空间, 为离散空间, 试证明：Y X 为连通的当且仅当任一连续映象必为常值映射. 其中Y 不少于两个元素.:f X Y →证明: 如果()⇐X 不连通，即存在X 的非空开集U 和V 使得U V X =∪并且U V φ=∩取，并且定义映射合于：1y 2y Y ∈:f X Y →12,(),y x U f x y x V∈⎧=⎨∈⎩ 则对于任何W 开于Y ，因为121211212,,,,(),,,U y W y W V y W y W f W X y W y W y W y W φ−∈∉⎧⎪∉∈⎪=⎨∈∈⎪⎪∉∉⎩当时当时当时,当时则连续并且不是常值映射. 这与已知矛盾.:f X Y →()⇒设连续. 为离散空间.:f X Y →Y 如果不是常值映射,即, :f X Y →12,x x X ∃∈,使12()()f x f x ≠.令= ，1V 1\{()}Y f x 21{()}V f x =, 因Y 离散，则与均为Y 中非空开集. 又因为是连续映射, 1V 2V :f X Y →11)与12()f V −为X 中二非空开集，并且(f V −11()f V −∩12()f V −=112()f V V −=∩1()f φφ−=11()f V −12()f V −=∪112()f V V −∪1()f Y X −==.从而，X 被分解成了两个不相交的非空开集11()fV −与12()f V −的并. 因此, X 不连通. □2. 设X 为拓扑空间, E X ⊂, 则E 不连通当且仅当存在两个非空集合A 与B 使得且E A B =∪A B φ=∩.证明: 设()⇐A φ≠,B φ≠,E A B =∪并且A B φ=∩, 则E A B =∪A B =∪即, E 表成了两个不相交的非空闭集A 与B 的并. 由定理6.1.1, E 是不连通的. ()⇒设E 不连通, 由定理6.4.1(1)与(4)的等价性, 存在E 的不相交的两个非空的既开且闭的子集A 与B 使得E A B =∪, 则E E E ==∩()E A B ∩∪()()E A B E =∩∪∩.记,1A E A =∩1B E B =∩, 则(1) 1A φ≠并且1B φ≠.事实上, 若1A E A φ==∩, 则E X A X ⊂−⊂闭,故E ⊂X A −X A =−. 即, E A A φ==∩. 这与A φ≠矛盾. 从而, 1A φ≠. 同理, 1B φ≠.(2) 1A A =并且1B B =.事实上, 1A E A A =⊂∩, 1A A A ⊂=. 反过来, x A ∀∈,∀x 的开邻域U ,必有1U A φ≠∩. 这是因为, 如果1()U A U E A =∩∩∩()E U A =∩∩φ=, 则()E X U A ⊂−∩, 即E ⊂()X U A −∩()X U A =−∩, E ()U A φ=∩∩; 另一方面，因为x A ∈E ⊂并且()U x ∈U ，则x ∈()E U A ∩∩. 这与E ()U A ∩∩ =φ矛盾. 因此, 对∀x 的开邻域U ,必有1U A φ≠∩. 故1x A ∈. 从而, 1A A =.同理,1B B =.即, 存在非空集合1A φ≠, 1B φ≠, 11A B A B φ==∩∩且. □ 11A B E =∪3、证明：一个拓扑空间的任何一个既开且闭的连通子集必为这拓扑空间的一个连通分支(连通区).证明：设A 是拓扑空间X 中既开且闭的连通子集，取x A ∈，并记是包含的连通分支，则. 下证：x C x x A C ⊂x A C =.事实上，如果x A C ≠，则\x B C A =φ≠并且A 与B 为中不相交的两个非空的既开且闭子集, 又x C x C A B =∪，这与连通矛盾. 从而，.x C x A C =4、设拓扑空间只有有限个连通分支，证明：每个连通分支都是X 的既开且闭的子集.证明：设，，…，是拓扑空间1A 2A n A X 仅有的有限个连通分支，则12n X A A A =∪∪ ∪由定理6.1.10和定理6.1.11, ，，…，是拓扑空间1A 2A n A X 中两两不相交的闭子集. , 因为(1)j j ∀≤≤n 1,ni i j i A =≠∪闭于X ，则 j A =\X 1,ni i j i A =≠∪开于X ，即j A 在X 中既开且闭.5、设X 是一个拓扑空间，是一个开集，G X ⊂E 是G 的一个连通区，证明：b b E G ⊂. 其中：与分别是b E b G E 与的边界.G 证明：6、设X 是一个拓扑空间，证明：X 是局部连通的当且仅当，x X ∀∈U ∀∈()x U ，包含U 的连通分支是点的一个邻域.x7、设X 是一个不可数集合，证明：若在X 上赋予有限余拓扑或者可数余拓扑， 则拓扑空间X 是局部连通空间.8、证明：局部连通空间的开子空间是局部连通的.9、证明：中的任何一个连通的开子集都是道路连通的.n10、设{|}A αα∈Γ是拓扑空间X 中的一族道路连通，证明：如果对于,αβ∀∈Γ，存在Γ中有限个元121,,,,k k αγγγγβ+== 使得(1)i i k ∀≤≤，有1i i A A γγφ+≠∩，则A αα∈Γ∪.11、设X 是一个拓扑空间，X 称为是局部道路连通的，如果，x X ∀∈U ∀∈()x U ，∃点的道路连通邻域V U ; x ⊂X 的一个子集称为是局部连通的，如果它作为X 的子空间是局部道路连通的. 试证明如下一些结论：（1）每个局部道路连通空间都是局部连通空间；（2）如果是从局部道路连通空间:f X Y →X 到拓扑空间Y 的一个连续开映射，则是Y 的局部道路连通子集；()f X （3）积空间X ×Y 是局部道路连通空间当且仅当X 与Y 都是局部道路连通空间；（4）局部道路连通空间X 的开子集是道路连通的当且仅当是G G X 的连通子集.12. 证明: 中开集G 为道路连通的当且仅当G 为连通的.nR 证明: 因为道路连通空间是连通的,所以, 是连通空间. ()⇒G ()⇐由定理4.10,每一点都有道路连通邻域的连通空间是道路连通的,因此,只需证明: ,0,x G δ∀∈∃>0,(),O x G δ⊂且道路连通.()O x δ事实上，因,故G ⊂开nR ,x G δ∀∈∃>使得()y O x δ∀∈.定义映射.其中::[0,1]f G →()(1),[0,1]f t t x ty t =−+∈:[0,1]f G →连续, (0),f x =(1)fy =且((),)f t x ρ===(,)(,).t y x y x ρρδ=≤<从而, 是中连接与f ()O x δx y 的道路.即, 道路连通.由定理 4.10, 是道路连通空间. □()O x δG。
计算机网络技术基础课后习题参考答案
高等院校计算机基础教育规划教材《计算机网络技术基础》课后习题参考答案习题1参考答案一、选择题1.B2.B3.B4.A5.C二、填空题1.资源，通信2.局域网，城域网，广域网3.计算机系统数据通信系统网络软件及协议4.金税金桥金关5.服务器三、思考题1.计算机网络根据不同的分类标准可分为许多类别，如根据网络的拓扑结构分类为星型网，环型网等，根据网络交换方式分为电路交换网，分组交换网等。
在这些分类标准中，最常用的是根据网络的覆盖范围分类，这种分类方法可以很好的反映不同类型网络的技术特征。
由于网络覆盖的地理范围不同，它们所采用的传输技术也就不同，因而形成了不同的网络技术特点与网络服务功能，使用这种方法，可以将计算机网络分为3类：局域网、城域网和广域网。
2.网络拓扑结构反映了网络中各实体之间的结构关系，有星型，总线，环状，树状和网状等，其中最常用最基本的是星型，总线，环状3种。
星型结构存在一个中心结点，每台计算机直接与中心节点相连，形成星型的拓扑结构，在这种拓扑结构中，任何两台计算机之间的通信都要通过中心节点来转接。
总线型结构中，LAN的节点均连接到一个单一连续的物理链路上，所有节点均在同一线路中通信。
环形结构是工作站，共享设备通过通信线路构成一个闭合的环。
信息在网络中沿固定方向流动，两节点间有唯一的通路，可靠性高。
习题2参考答案一、选择题1.A2.C3.A，E4.B5.A二、思考题1.在数字通信信道上，直接传输基带信号，称为基带传输。
基带传输是一种重要的传输方式，它要求形成适当的波形，使数据信号在带宽受限的信通上通过时不会由于波形失真而产生码间干扰。
宽带是指比音频带宽更宽的宽带。
使用这种宽频带进行传输的系统，称为宽带传输系统。
它可以容纳全部广播，并可进行高速数据传输。
一般通信线路在远距离传输时，只适合传输一定的频带信号，不适于基带信号。
由于电话网是目前覆盖面最广的通信方式，因此，利用模拟通信道进行数据通信也是最普遍使用的通信方式之一。
拓扑答案
练习 9 (9.). 证明
• 设 X 是拓扑空间，G 是 X 的开集．证明 G ∩ A− ⊆ (G ∩ A)−．
• 任取 x ∈ G ∩ A−，则对 x 的任意的开邻域 U，有 U ∩ A ̸= 0/ ．
– 因 U ∩ G 是 x 的开邻域，所以 (U ∩ G) ∩ A ̸= 0/ ，即 U ∩ (G ∩ A) ̸= 0/ ， – 所以 x ∈ (G ∩ A)−．
练习 2 (2.). • 设 X = {x, y, z}，下列子集族是不是 X 的拓扑？如果不是，请添加最少子集使它 们成为拓扑．
（1） {X, 0/ , {x}, {y, z}}； （2） {X, 0/ , {x, y}, {x, z}}； （3） {X, 0/ , {x, y}, {x, z}, {y, z}}．
– 又 x ∈ Y ，所以 x ∈ DX (A) ∩Y ． – 反之，任取 x ∈ DX (A) ∩Y ，则存在 x 在 X 中的邻域 U 使得 U ∩ (A \ {x}) ̸= 0/ ． – 因 A ⊆ Y ，所以 U ∩(A\{x}) = U ∩(Y ∩ (A \ {x})) = (U ∩Y )∩(A\{x}) ̸= 0/ ，因此 x ∈ DY (A)．
– 由于 B = X，所以 A = A ∩ B = A ∩ B．又由于 A = X，得 X = A ∩ B，因此 A ∩ B 稠密．
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连续映射 练习 18 (1.).
• 设 f : X → Y ，证明下列命题等价：
（1） f 连续；
（2） 对 X 的每一子集 A，有 f (A−) ⊆ [ f (A)]−； （3） 对 Y 中的每一子集 B，有 f −1(B−) ⊇ [ f −1(B)]−； （4） 对 Y 中的每一子集 B，有 f −1(B◦) ⊆ [ f −1(B)]◦．
拓扑空间复习题及答案
拓扑空间复习题及答案# 拓扑空间复习题及答案一、选择题1. 以下哪个不是拓扑空间的公理？A. 并集公理B. 交集公理C. 子集公理D. 空集公理答案：C2. 一个集合和它的幂集构成的拓扑空间是：A. 离散拓扑B. 幂集拓扑C. 可数拓扑D. 欧几里得拓扑答案：A3. 在拓扑空间中，以下哪个概念与开集密切相关？A. 闭集B. 邻域C. 极限点D. 边界点答案：B二、填空题1. 一个集合 \( X \) 上的拓扑 \( \tau \) 必须满足三个条件：\( \emptyset \) 和 \( X \) 属于 \( \tau \)，任意个开集的并集仍属于 \( \tau \)，以及任意有限个开集的\( \)________。
答案：交集2. 在拓扑空间 \( (X, \tau) \) 中，如果 \( A \subseteq X \) 且\( A \) 的任意点都有一个开集 \( U \) 使得 \( U \cap A = A \)，则称 \( A \) 是 \( X \) 中的________。
答案：闭集三、简答题1. 解释什么是连续映射，并给出一个例子。
答案：连续映射是指在拓扑空间 \( (X, \tau_X) \) 和 \( (Y,\tau_Y) \) 之间，如果映射 \( f: X \rightarrow Y \) 满足：对于任意 \( Y \) 中的开集 \( V \)，其逆像 \( f^{-1}(V) \) 是 \( X \) 中的开集，则 \( f \) 是连续的。
例如，考虑实数集\( \mathbb{R} \) 上的欧几里得拓扑，映射 \( f(x) = x^2 \) 是连续的，因为对于任意开区间 \( V \)，其逆像 \( f^{-1}(V) \) 总是\( \mathbb{R} \) 中的开区间。
2. 什么是紧性？请给出一个紧空间的例子。
答案：紧性是拓扑空间的一个性质，指的是空间中的任意开覆盖都存在有限的子覆盖。
课后部分习题参考答案
部分习题参考答案：第一讲思考题习题2.有人说“我在说谎”，他是否属于所有说谎人所组成的集合？试分析说明之。
解：设说谎人集合为A ,诚实人集合为B ，则这人既不属于A ,也不属于B 。
因为①如果属于A ，他现在说“我在说谎”，说明他是诚实人了，则不属于A ，故矛盾。
②如果属于B ，他现在说“我在说谎”，说明他是说谎人了，则不属于B ，故又矛盾 从而可知这人既不属于A ,也不属于B 。
这其实说的是罗素的“理发师悖论”，这也说明集合是不能够随便定义的！习题4.证明长度为1的线段和长度为2的线段的基数相同。
证明1：设△ABC 的中位线为1l 和△ABC 底边2l ，且线段12,l l 的长度分别是为1和2，设A 是线段1l 上的点集，B 是线段2l 上的点集，如图所示，显然A~B ，故结论成立。
证明2：设长度为1的线段为区间A=(0,1)，长度为2的线段为B=(0,2)，建立A 到B 的一一映射：y=2x ，这样A~B ，即基数相等。
习题6.求集合{1,2,3,,100}M = 的所有子集的元素和之和（规定空集的元素和为0）。
解：由幂集()P M （即M 的所有子集组成的集合）的元素可知，要求幂集()P M 的元素和之和只要知道集合M 的每个元素在幂集中出现的次数即可求得，下面就来求各元素出现的次数：①幂集()P M 中的空集∅，个元素出现的次数为0，②幂集()P M 中的单个元素集合如{1}，每个元素出现的次数为099C ，因为这时可以认为先从集合M 中任取一个元素确定下来，还需从集合M 中余下的99个元素中任取0个元素，故每个元素出现的次数为099C ；③幂集()P M 中的两个元素集合如{1,2}，每个元素出现的次数为199C ，因为这时可以认为先从集合M 中任取一个元素确定下来，还需从集合M 中余下的99个元素中任取1个元素，故每个元素出现的次数为199C ；以此类推……..，有④幂集()P M 中的100个元素集合如{1,2,,100} ，每个元素出现的次数为9999C ，因为这时可以认为先从集合M 中任取一个元素确定下来，还需从集合M 中余下的99个元素中任取99个元素，故每个元素出现的次数为9999C ；所以幂集()P M 的元素和之和为：019999999999(123100)()50502S C C C =+++++++=⨯习题7.证明：由直线上互不相交的开区间作为集A 的元素，则A 至多为可数集。
点集拓扑学第二章部分习题参考答案
点集拓扑学第⼆章部分习题参考答案P73 第2.1节3．设(),X ρ是⼀个的度量空间,证明: (1) X 的每⼀个⼦集都是开集;(2) 如果Y 也是⼀个度量空间,则任何映射:f X Y →都是连续的. 证 (1) 对任意的A X ?和任意顶的x A ∈,取1 4ε=,则(){},B x x A ε=?,所以A 是开集.(2) 设:f X Y →为任⼀映射,U ∈T Y,由(1)知,()1f U -∈TX,所以,f 是连续映射.6.从殴⽒平⾯2到实数空间的映射2,:m s →定义为对任何()12,x x x =，(){}()1212max ,,m x x x s x x x ==+证明m 和s 都是连续函数。
（提⽰：分别⽤2的度量1ρ和2ρ（参见第5题）.）证先证m 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意⼀点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为(){}{}{}()()111221212,max ,max ,max ,x y x y x y x x y y m x m y ρ=--≥-=-(其中1ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,m B x B m x εε?,即m 在2x ∈对于的度量1ρ⽽⾔是连续的,由于2x ∈是任意的,从⽽对于2的度量1ρ⽽⾔连续.由习题5的结论知,m 对于2的度量ρ⽽⾔是连续的.下⾯再证s 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意⼀点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为()()()()()211221212,x y x y x y x x y y s x s y ρ=-+-≥+-+=-(其中2ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,s B x B s x εε?,即s 在2x ∈对于2的度量2ρ⽽⾔是连续的,由于2x ∈是任意的,从⽽对于2的度量2ρ⽽⾔连续.由习题5的结论知,s 对于2的度量ρ⽽⾔是连续的.P73 第2.2节2. 对于每⼀个n +∈,令{}n A m m n +=∈≥,(1) 证明P ={}{}n A n +是正整数集+的⼀个拓扑;(2) 写出1+∈的所有开邻域.(1) 证显然1,A +=∈P .⼜n A ??=?∈P ,1,2,n =.任意,n m A A ∈P ,{}max ,n m m n A A A ?=∈P ,对任意的P 1?P ，{}11min :n n n n A TB A TB A A ∈∈=∈P ，因此P 为+的拓扑.(2) 1+∈的唯⼀开邻域为1A +=.7. 设P 1和P 2是集合X 的两个拓扑,证明P1P 2也是X 的⼀个拓扑.举例说明P1P 2可以不是X 的拓扑.证若P 1和P2都是X 的拓扑,,由于,X ?∈P 1,P2,所以,X ?∈P1P 2;任意,A B ∈P 1,P 2,则A B ?∈P 1,P2,所以A B ?∈P1P 2;对任意的P '?P 1P2,即P '?P1,P2,则'A T A ∈∈P 1,P2,所以'A T A ∈∈P 1?P 2. 因此P 1?P 2是X 的拓扑.例,设{},,X a b c =, P {}{}{}{}1,,,,,,a b c a b c =?, P {}{}{}{}2,,,,,,b a c a b c =?,显然, P1,P2都是X 的拓扑,P1P2{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,a b b c a c a b c =?,因{}{},a b ∈P 1?P2,{}{}{},a b a b =??P1P 2,因此P 1?P 2不是X 的拓扑.10. 证明:(1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续的; (2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续的. 证 (1) 设(X ,P 1)是任意拓扑空间,( ,Y P 2)是平庸拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P2,,U Y =或?,所以()1,fU X -=或?,它们都属于P 1,所以f 连续.(2) 设(X ,P 1)是离散拓扑空间,( ,Y P2)是任意拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P 2 ,(){}()11x f U f U x --∈=∈P1,所以f 连续.(因为离散拓扑空间的单点集是开集).P73 第2.4节2. 设X 是⼀个拓扑空间,,A B X ?,证明:(1) x X ∈是集合A 的凝聚点当且仅当x 是集合{}A x -的凝聚点; (2) 如果()d A B A ??,则B 是⼀个闭集.证 (1) 若x X ∈是集合A 的凝聚点, 当且仅当对任意的U ∈Ux,有{}()U A x ?-≠?,由{}{}(){}A x A x x -=--,从⽽{}(){}{}U A x x ?--≠?,即x 是集合{}A x -的凝聚点.(2) 因为()d A B A ??,所以()()d B d A B ??,即()d B B ?,故B 为闭集. 3. 证明:闭包运算定义中的Kuratovski 公理等价于条件:对任何,A B X ?,()()()()()*****A c A c c B c A B c ??=?-?.证 “必要性”若Kuratovski 公理成⽴，则对任意,A B X ?，()()()()()()()()********A c A c c B c A c B c A B c A B c ?=?=?=?-?；“充分性”若对任意,A B X ?，有()()()()()*****A c A c c B c A B c ??=?-?，则令A B ==?，有()()()()()()******c c c c c c =?-?=???=?；令A B =，有()()()()()()()()()()**********A c A c c A c A c c A A c A c A c c A ??=-?=，并且()()()***c c A c A ?，所以()()()***cc A c A =。
基础拓扑学讲义1.1的习题答案
习题记S 是全体无理数的集合，在实数集R 上规定子集族{}1\A ,A S U U τ=⊂是E 的开集. （1）验证τ是R 上的拓扑；（2）验证(),R τ满足2T 公理，但不满足3T 公理； （3）验证(),R τ是满足1C 公理的可分空间；（4）证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ是离散拓扑，从而(),s S τ是不可分的；（5）说明(),R τ不满足2C 公理。
证明：（1）○1,A U R R U A ττ=∅=⎫⎫⇒∅∈⇒∈⎬⎬=∅=∅⎭⎭所以R 和∅都含在τ中 ○2()U A U A λλλλλλλ∈Λ∈Λ∈Λ-=-()0000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλλλλλλλλλλλλλλ∈Λ∈Λ∈Λ∈Λ∈Λ∀∈-⇔∃∈Λ∈-⇔∈∉⇔∈∉⇔∈-使U A λλλλτ∈Λ∈Λ-∈∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中○3()()()()11221212\\\U A U A U U A A =()()()()11221122112212121212\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ∀∈⇔∈-∈-⇔∈∉∈∉⇔∈∉⇔∈()()1212\U U A A τ∈∴τ中两个成员的交集仍在τ中综上所述：τ是R 上的拓扑（2）任取一个有理数a ，则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A这样我们就可以在1E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ，令有理数2b U ∈ 则22\U A 为b 的一个开邻域 且()()1122\\U A U A =∅∴(),R τ满足2T 公理由题意可知S 是闭集，a S ∀∉有理数 如果W 是S 的任意一个开邻域因为S 为全集，所以S 的开邻域W 总会与a 的开邻域相交 因此在(),R τ中，S 与a 不存在不想交的开邻域，故不满足3T 公理（3）x R ∀∈，做x 的一组可数邻域{}11,n U x x x Q n n ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则{}n U 是x 的一个可数邻域 对x 的任一开邻域U ，U 为R 中开集(),\\x a b S U S ∈⊂当n 充分大，(),\\n U a b S U S ⊂⊂所以{}n U 是x 的一个可数邻域基 说明(),R τ满足1C 公理 显然Q R ⊂x R ∀∈，x 的任一开邻域\U S()\U S Q x QR Q≠∅⇒∈⇒⊂所以Q R =所以Q 是(),R τ的可数稠密子集，所以(),R τ是可分的 （4）设A S ⊂()\\R S A 是(),R τ的开集∴有()\\R S A S A =是(),S S τ的开集∴S 的每个子集都是(),S S τ的开集 ∴(),S S τ是离散拓扑空间，S 不可数 ∴从而(),S S τ是不可分的 （5）假如(),R τ满足2C 公理2C 公理具有遗传性则(),S S τ也要满足2C 公理2C 空间是可分空间则(),S S τ是可分的与(),S S τ不可分矛盾了 ∴(),R τ不满足2C 公理设A 和B 都是拓扑空间X 的子集，并且A 是开集.证明A B A B ⊂.证明：对x AB ∀∈，即x A ∈且x B ∈令U 是x 的任一开邻域 则UA 也是x 的开邻域因为x B ∈ 所以()U A B ≠∅ 即()UAB ≠∅所以x A B ∈，所以A B A B ⊂设12,,,n A A A 都是X 的闭集，并且1ni i X A ==.证明B X ⊂是X 的闭集⇔i B A 是()1,2,,i A i n =的闭集.证明：()⇒1,2,,i n ∀=有()Ci i i A BA B A -=(),i i i iC Cix A BA x A x BA xB x B x B A ∀∈-⇔∈∉⇔∉⇔∈⇔∈又B 是X 的闭集∴C B 是X 的开集 从而i B A 是i A 的开集 ∴i B A 是i A 的闭集 ()⇐因为i BA 是()1,2,,i A n 的闭集故1,2,,i n ∀=，存在X 的闭集i B ，使i ii BA B A =，而()()111111nn n n n ni ii i i i i i i i i i i B B A B A B A B X B ======⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以B 是X 的闭集（有限多个闭集的并还是闭集）设{}n x 是(),c R τ中的一个序列.证明：n x x →⇔存在正整数N ，使得当n N >，n x x =.证明：()⇐显然的()⇒ 假设当n N >时，n x x =不成立那么可找到{}n x 的无穷子序列{}k n x ，{}()1,2,k n x x k =={}\k n R x 为x 的一个开邻域 因为lim n x x x →∞=对x 的开邻域{}\k n R x 会{},,\k n n K n K x R x ∃>∈ 与{}\k k n n x R x ∉矛盾所以存在正整数N ，使得当n N >，n x x =证明：A 是拓扑空间X 的稠密子集⇔X 的每个非空开集与A 相交非空. 证明：()⇒因为A 是X 的稠密子集 所以A X =故对x A ∀∈，x 的每个开邻域与A 都有交点 从而X 的每个非空开集与A 相交非空 ()⇐因为X 的每个非空开集与A 相交非空 故对x X ∀∈，X 的每个开邻域与A 都有交点 所以x A ∈，即X A ⊂ 又因为A X ⊂，所以A X = 所以A 是X 的稠密子集若A 是X 的稠密子集，B 是A 的稠密子集，则B 也是X 的稠密子集.证明：令U 是X 的任一非空开集 因为A 是X 的稠密子集 所以U A ≠∅从而UA 是A 的非空开集又因为B 是A 的稠密子集，则()UB U A B =≠∅所以B 也是X 的稠密子集设:f X Y →是映射，证明下列条件互相等价： （1）f 是连续映射；（2）对X 的任何子集A ，()()f A f A ⊂； （3）对Y 的任何子集B ，()()11fB f B --⊂.证明：()()12→欲证()()f A f A ⊂即()y f A ∀∈，要有()y f A ∈ 设V 为y 的任一开邻域 因为f 是连续映射 所以()1f V -为x 开集()1fy A -∈，()()11f y f V --∈又因为()1f V A -≠∅所以()()1f f V A -≠∅即()()()()()()()11ff V A f f V f A V f A y f A --==⇒∈所以()()f A f A ⊂ ()()23→由（2）得，()()()()11f f B f f B B --⊂=所以()()11fB f B --⊂()()31→B 是Y 的闭集，且()()()111f B f B f B ---⊂=所以()1fB -是X 的闭集由定理可得，f 是连续映射。