类比的方法解题

平面几何
立体几何
多边形（三角形） 多面体（四面体即三棱锥）
平面角
二面角
直线
平面
线段长 面积
面积 体积
2、类比构造命题 （1）平面上定理——直线平行的传递性：平行于同一条直线的两直线平行。 在空间中成立。 （2）平面上定理——等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且
方向相同，那么这两个角相等。 在空间中成立。
如何用类比的方法解题
一、类特殊到一般推理
类比推理——特殊到特殊推理
所谓类比是根据两个对象之间的相似性，把信息从一个对象转移到另一个对象。类
比的实质就是信息从模型向原型的转移，其步骤可由下列框图表示：
原型
类比
模型
可能的结果
结果
类比是一种数学思想方法，将生疏的问题和熟知的问题进行比较，对生疏的问题作
V球 （2）平面中，面积相等的正三角形、正方形、圆，则 C 三角形 > C 正方体>C 圆 空间中，体积相等的正四面体、正方体、球，则 S 正四面体 > S 正方体> S 球。 （3）平面中的勾股定理也可推广到空间：
平面 RtΔABC 中∠C=90°
空间 三棱锥 P-ABC 中三侧棱 PA、PB、PC 两两互 相垂直，P 在面 ABC 上的射影为 H,
面积公式： SPAB
1 2
AB PH
设 a,b 是矩形相邻两边 则对角线 L2=a2+ b 2
勾股定理：AC2+BC2=AB2
射影定理： PA2 AH AB PB 2 BH AB
三角关系： cos2 A cos2 B 1
VP ABC
S 1
3 ABC
PH
设 a,b,h 是长方体的长，宽，高 则对角线 L2= a2+ b 2+c2
则三角形△OM1N1 与△OM2N2 的面积之比 SOM1N1 = OM1 ON1 。如图 2，若从点 O 所 S M 2N2 OM 2 ON 2
作的不在同一平面上的三条射线 OP、OQ 和 OR 上，分别有点 P1、P2，点 Q1、Q2 和点
R1、R2，则类似的结论为
。
解析:本题是平面几何与立体几何的类比，两三棱锥 O－P1Q1R1 与 O－P2P2R2 的体 积之比 VOP1Q1R1 OP1 OQ1 OR1
出猜想，并由此寻求问题的解决途径或结论。
数学家乔治·皮利亚相关名言：
——“类比是一个伟大的引路人”.
—— “在你找到第一个蘑菇时,千万不要停下来,往前再走,继续观察,就会发现立
体几何与平面几何的类比
—— “对平面几何和立体几何作类比，是提出新问题和获得新发现取之不竭的源
泉”。
——“如果把类比猜想的结论的似真性当作肯定性，那将是愚蠢的。但是，忽视这
种似真的猜想更为愚蠢。”
名人名言（Kepler）：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最信赖的老师，它
能揭示自然界的秘密，在几何中它应该是最不容忽视的 。”
二、平面几何与立体几何类比
1、如何进行类比
为了对二者进行类比，可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系：（但要注
意的是这些类比关系又不是唯一的）
4、类比推理论证
例 1 求证：正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值。
平面问题：求证：正三角形内任一点到三边距离之和为定值。
证明方法：面积分割。
类比猜想，所给立体几何问题是否也可以通过分割方法，利用体积的关系来证明
例 2．如图 1，若从点 O 所作的两条射线 OM、ON 上分别有点 M1、M2 与点 N1、N2，
SΔABC2=SΔPAB2+SΔPAC2+SΔPBC2
S2 PBC
S HBC
S ABC
S2 PCA
S HCA
S ABC
S2 PAB
S HAB
S ABC
cos2 cos2 cos2 1
最值问题：若三边之和为定值， 最 值 问 题 ： 若 六 棱 之 和 为 定 值 ， 即
即 PA PB AB m ， 则 当 PA PB PC AB BC AC m ， 则 当
PA PB 时，
PA PB PC 时，
(S PAB ) max
1 4
(1 1
2
)2
m
2
(VP ABC ) max
1 162
(1 1
2
)3
m
3
（4）平面中，等边ΔABC 内任一点到各边的距离之和为定值（等边ΔABC 的高）；
等腰ΔABC 底边上任一点到两腰的距离之和为定值（一腰上的高）。
空间中，正四面体内任一点到各面的距离之和为定值（正四面体的高）；正三
VOP2Q2R2 OP2 OQ2 OR2
证明思路也可以类比而来。如右图所示，连结 P1Q1，Q1R1，R1P1，P2Q2，Q2R2， R2P2，过 R1，R2分别作平面 OQP 的垂线，垂足为 H1，H2，由 O、R1、R2 三点共线知， O、H1、H2 三点也共线，又∵R1H1⊥面 OPQ，R2H2⊥面 OPQ，
棱锥底面上任一点到各侧面的距离之和为定值（一侧面上的高）。
（5）圆的周长公式：C=2πr ；球的表面积公式：S=4πr2；
圆的面积公式：S=πr2
；球的体积公式：V
4 3
r
3
（6）平面中：三角形的三内角平分线交于一点，且该点为内切圆的圆心。
空间中：四面体的六个二面角平分面交于一点，且该点为内切球的球心。
（3）平面图形的研究需要建立平面直角坐标系； 立体图形是建立在三维空间即空间直角坐标系上研究的。
（4）平面上有公共端点的两条射线形成的图形叫平面角； 空间里一条直线和由这条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角。 而二面角的度数计算需转化为平面角来完成。
（5）平面上定理——平面中，不在同一条直线上的三点可确定一个圆，这是圆的 确定性定理；
∴R1H1∥R2H2，∴△OR1H1∽△OR2H2，∴
R1 R2
H1 H2
OR1 OR2
VO P1Q1R1
1 3 S OP1Q1R1H1
1 2
OP1
OQ1
在空间中，不在同一个平面上的四点可确定一个球，这是球的确定性定理。 （6）平面上定理——平面中，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
空间中，过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。
3、类比拓展结论 （1）平面中，周长相等的正三角形、正方形、圆，则有 S 三角形 < S 正方体< S 圆 空间中，表面积相等的正四面体、正方体、球，则有 V 正四面体 < V 正方体<