数学物理方法第十章球函数
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球函数 数学物理方法
第十章球函数1000)(',)(0)()()(')()(''c z w c z w z w z q z w z p z w 级数解法一、二阶常微分方程的二阶常微分方程：数。
定解条件，逐个确定系幂级数，并代入方程和的为中心，带有待定系数表示为以级数解法：将方程的解0z ,sin cos 0'"x B x A y y y 的通解为例如：都可展为幂级数。
、处，在x x x sin cos 0 、方程的常点和奇点1为方程的常点。
点解析，则在和）常点：如果（00)()(1z z z q z p 为方程的奇点。
的非解析点，则和是）奇点：如果（00)()(2z z q z p z 否则，为非正则奇点。
为正则奇点；的二阶极点，则的一阶极点，最多是若00)()(z z q z p z00)()(k kk z z c z w 条件确定系数。
递推关系，再根据定解为零，找出系数之间的，令合并后各系数分别代入方程，合并同幂项将00)()(k kk z z c z w 法、常点邻域内的级数解2域内单值解析。
件的解存在，并在此区这个区域中满足定解条内单值解析，则方程在在、）定理：若（R z z z q z p ||)()(10）确定系数（2)0()ln()()()()()0()()()(00,1002000012121b z z z Aw z z b z z z w a z z a z z z w n s s k kks k kks 数解、正则奇点邻域中的级3两个线性无关解为：002010001)()()()()()()()(k kk k kk z z q z q z z z q z z p z p z z z p0)()(k sk k z z c z w 设解的形式为：20)(0)()()(')()(''z z z w z q z w z p z w 两边方程0)()()()(')()()('')(202020 z w z q z z z w z p z z z w z z 0)()()(')()()('')(11020 z w z q z w z p z z z w z z)()()()()()()1)((00000000k sk kk kk k s k k k kk k sk kz z c z z q z z c s k z z p z z c s k s k 零，可得判定方程：令最低次幂项的系数为0)1(00 q sp s s 是较小的根。
球函数
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
−1
1
8
d d 2 dP 2 dP k {Pl [(1 − x ) ] − Pk [(1 − x ) l ]}dx ∫−1 dx dx dx dx
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
方程(5)满足自然周期条件的解是
Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ
若取m = 0
Φ(ϕ ) = 常数
d 2R dR r + 2r − l (l + 1) R = 0 2 dr dr
2
(6)
1
d d 2 = ∫ [ (1 − x ) Pl ′Pk − (1 − x 2 ) Pl Pk′]dx −1 dx dx
1
= [(1 − x )( Pl′Pk − Pl Pk′ )]
2
1 −1
9
[ k ( k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx l
−1
1
= [(1 − x )( Pl ′Pk − Pl Pk′)]
d 2Θ dΘ (1 − x 2 ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
dΘ d 2Θ (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
⎧(1 − x 2 ) y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0 ⎪ ——本征值问题 ⎨ ⎪当x = ±1时y ( x)有限 (自然边界条件 ) ⎩
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
−1
1
8
d d 2 dP 2 dP k {Pl [(1 − x ) ] − Pk [(1 − x ) l ]}dx ∫−1 dx dx dx dx
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
方程(5)满足自然周期条件的解是
Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ
若取m = 0
Φ(ϕ ) = 常数
d 2R dR r + 2r − l (l + 1) R = 0 2 dr dr
2
(6)
1
d d 2 = ∫ [ (1 − x ) Pl ′Pk − (1 − x 2 ) Pl Pk′]dx −1 dx dx
1
= [(1 − x )( Pl′Pk − Pl Pk′ )]
2
1 −1
9
[ k ( k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx l
−1
1
= [(1 − x )( Pl ′Pk − Pl Pk′)]
d 2Θ dΘ (1 − x 2 ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
dΘ d 2Θ (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
⎧(1 − x 2 ) y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0 ⎪ ——本征值问题 ⎨ ⎪当x = ±1时y ( x)有限 (自然边界条件 ) ⎩
数学物理方法第十章球函数
由边界条 0 x 件 l l 0 0得 ((A A llb all： B B llb a ll 1 1))P P ll((x x))
根据 完 0 l， 1 A A lb l备 a ll B B lb la 性 l l1 1 得 A A 1 l 1 b 3 B a a ： 2 l 3 1 ,B 1 0 b a 3 2 b a 3 3
u|raf()
u0
(r2R')' l(l1)R0
(sin') ' l(l1)sin0 (0),()有界
xcos
r2R"2rR 'l(l1)R0
[(1x2)'] ' l(l1)0 (1)有界
RAlrl Blrl1
Pl (x)
f() l 0Rl(a)P l(co)s u l 0Rl(r)Pl(co)s
o2s
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
球外解要u求 (,)有界，半通解化为
u l0Blrl1Pl(cos)
由边界A 条 2 x件 l 0B 得 lal 1 ： P l(x)
根据B 完 k 2 k 2 备 1 a k 1 性 1 1A 2 P x k ： (x )d x
0 N k 2 r 2 k
1r n ( 1 ) n r n n 1 n 1
2r 2 k 2 k 1
Nk2
2 2k 1
勒让德多项式的完备性
完备性
如果函数 f (x) 满足适当的条件，则有
f(x) l0fl P l(x)
广义傅立叶系数为
1 f(x)P k(x)d x
fl l,kN k 2
u l0Blrl1Pl(cos)
根据 完 0 l， 1 A A lb l备 a ll B B lb la 性 l l1 1 得 A A 1 l 1 b 3 B a a ： 2 l 3 1 ,B 1 0 b a 3 2 b a 3 3
u|raf()
u0
(r2R')' l(l1)R0
(sin') ' l(l1)sin0 (0),()有界
xcos
r2R"2rR 'l(l1)R0
[(1x2)'] ' l(l1)0 (1)有界
RAlrl Blrl1
Pl (x)
f() l 0Rl(a)P l(co)s u l 0Rl(r)Pl(co)s
o2s
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
球外解要u求 (,)有界，半通解化为
u l0Blrl1Pl(cos)
由边界A 条 2 x件 l 0B 得 lal 1 ： P l(x)
根据B 完 k 2 k 2 备 1 a k 1 性 1 1A 2 P x k ： (x )d x
0 N k 2 r 2 k
1r n ( 1 ) n r n n 1 n 1
2r 2 k 2 k 1
Nk2
2 2k 1
勒让德多项式的完备性
完备性
如果函数 f (x) 满足适当的条件，则有
f(x) l0fl P l(x)
广义傅立叶系数为
1 f(x)P k(x)d x
fl l,kN k 2
u l0Blrl1Pl(cos)
球函数
2x p ( x) 1 x2
2
l (l 1) q( x) 1 x2
d y ( x) dy( x) p ( x) q ( x) y ( x) 0 2 dx dx
选x=0为级数展开中心,方程的解y(x)在此区域中单值 解析，可展为Taylor级数，
y ( x ) ck x
当k=0时，Helmhotz为Laplace方程：
1 d 2 dR(r ) 2 2 2 r k r dr R(r ) dr 1 d d( ) 2 m2 2 ( ) 0 sin d sin sin d 2 ' ' ( ) m ( ) 0
连带Legendre方程
2 2 d y ( x ) dy ( x ) m 2 (1 x ) 2x l (l 1) y ( x) 0 2 2 dx dx 1 x
Legendre方程
2 d y ( x) dy( x) 2 (1 x ) 2x l (l 1) y( x) 0 2 dx dx
1 d d( ) 1 d 2( ) 2 sin ( ) sin d d ( ) sin 2 d 2
两边同乘以sin2θ，得
2 sin d d( ) 1 d ( ) 2 2 2 m sin sin ( ) d d ( ) d 2
1 2 u 1 u 1 2u 0 r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin
1 d 2 dR(r ) 2 r dr R dr 1 d d( ) 2 m2 2 ( ) 0 sin ห้องสมุดไป่ตู้ d sin sin d 2 ' ' ( ) m ( ) 0
2
l (l 1) q( x) 1 x2
d y ( x) dy( x) p ( x) q ( x) y ( x) 0 2 dx dx
选x=0为级数展开中心,方程的解y(x)在此区域中单值 解析，可展为Taylor级数，
y ( x ) ck x
当k=0时，Helmhotz为Laplace方程：
1 d 2 dR(r ) 2 2 2 r k r dr R(r ) dr 1 d d( ) 2 m2 2 ( ) 0 sin d sin sin d 2 ' ' ( ) m ( ) 0
连带Legendre方程
2 2 d y ( x ) dy ( x ) m 2 (1 x ) 2x l (l 1) y ( x) 0 2 2 dx dx 1 x
Legendre方程
2 d y ( x) dy( x) 2 (1 x ) 2x l (l 1) y( x) 0 2 dx dx
1 d d( ) 1 d 2( ) 2 sin ( ) sin d d ( ) sin 2 d 2
两边同乘以sin2θ，得
2 sin d d( ) 1 d ( ) 2 2 2 m sin sin ( ) d d ( ) d 2
1 2 u 1 u 1 2u 0 r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin
1 d 2 dR(r ) 2 r dr R dr 1 d d( ) 2 m2 2 ( ) 0 sin ห้องสมุดไป่ตู้ d sin sin d 2 ' ' ( ) m ( ) 0
球函数
10
2k + 1 Ak = 2a k
∫
+1
−1
半径为r 的半球， 例3 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为u0 cos θ ， 底面绝热， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
∆ u = 0, r < a , θ < π / 2 定 解 问 题 为 ： u | r = r0 = u 0 cos θ u |θ = π = 0 2
24
∞
∞
右边按球函数展开： 右边按球函数展开：
1 u0 sin 2 θ cos ϕ sin ϕ = u0 (3sin 2 θ ) sin 2ϕ 6 1 = u0 P22 (cos θ ) sin 2ϕ 6
比较系数得: 比较系数得
1 r0 B = u0 6 其它系数为零
2 2 2
方程的解为： 方程的解为：
∑
∞ l =0
( Al r l + B l r − l −1 ) Pl (cos θ )
球内解要求 u ( 0 , θ ) 有界，半通解化为 u=
∑
∞ l =0
Al r l Pl (cos θ )
2
由边界条件得： = x
根据完备性：
∑
∞ l=0
Al a l Pl ( x )
Ax 2 Pk ( x ) dx =
2
∑
k=0
( − 1) k ( 2 l − 2 k ) ! x l−2k 2 l k !( l − k ) !( l − 2 k ) !
♦ 微分表示
d Pl ( x ) = l 2 l ! dx
1
l l
( x 2 − 1) l
展开
l 1 1 l! 2 l ( x − 1) = l ∑ ( x 2 ) ( l − k ) ( − 1) k 2l l! 2 l ! k =0 (l − k ) ! k !
2k + 1 Ak = 2a k
∫
+1
−1
半径为r 的半球， 例3 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为u0 cos θ ， 底面绝热， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
∆ u = 0, r < a , θ < π / 2 定 解 问 题 为 ： u | r = r0 = u 0 cos θ u |θ = π = 0 2
24
∞
∞
右边按球函数展开： 右边按球函数展开：
1 u0 sin 2 θ cos ϕ sin ϕ = u0 (3sin 2 θ ) sin 2ϕ 6 1 = u0 P22 (cos θ ) sin 2ϕ 6
比较系数得: 比较系数得
1 r0 B = u0 6 其它系数为零
2 2 2
方程的解为： 方程的解为：
∑
∞ l =0
( Al r l + B l r − l −1 ) Pl (cos θ )
球内解要求 u ( 0 , θ ) 有界，半通解化为 u=
∑
∞ l =0
Al r l Pl (cos θ )
2
由边界条件得： = x
根据完备性：
∑
∞ l=0
Al a l Pl ( x )
Ax 2 Pk ( x ) dx =
2
∑
k=0
( − 1) k ( 2 l − 2 k ) ! x l−2k 2 l k !( l − k ) !( l − 2 k ) !
♦ 微分表示
d Pl ( x ) = l 2 l ! dx
1
l l
( x 2 − 1) l
展开
l 1 1 l! 2 l ( x − 1) = l ∑ ( x 2 ) ( l − k ) ( − 1) k 2l l! 2 l ! k =0 (l − k ) ! k !
数学物理方法第十章
m m
m 0,1, 2, l l 0,1, 2,
轴对称球函数
1 sin l l 1 0 sin
d 2 d (1 x ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
k
[l / 2：小于、等于 ]
P0 ( x ) 1 P 1 ( x ) x cos
2 1 (3 cos 2 1) P2 ( x ) 1 ( 3 x 1 ) 2 4 3 1 (5 cos 3 3 cos ) P3 ( x ) 1 ( 5 x 3 x ) 2 8 1 ( 35 x 4 30 x 2 3) P4 ( x ) 8 1 64
勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 [-1,1]中分段连续的函数f(x)，在 平均收敛意义下，可展开为级数
f ( x ) f l Pl ( x ),
2
l 0
lim 平均收敛： N
1
1
f ( x ) f l Pl ( x ) dx 0
l 0
N
15
正交性
al 4
(l 2)(l 3) (l 2)(l 3) (2l 2)! (2l 4)! 2 al 2 (1)2 ( ) 1 4(2l 3) 2 2!(2l 3) 2l (l 1)!(l 2)! 2! 2l (l 2)!(l 4)!
3
问题的引出
u 0
偏微分方程 分离变量
1 2 u 1 u 1 2 u 0 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 2 r r sin r sin r r
常微分方程组 本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）
m 0,1, 2, l l 0,1, 2,
轴对称球函数
1 sin l l 1 0 sin
d 2 d (1 x ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
k
[l / 2：小于、等于 ]
P0 ( x ) 1 P 1 ( x ) x cos
2 1 (3 cos 2 1) P2 ( x ) 1 ( 3 x 1 ) 2 4 3 1 (5 cos 3 3 cos ) P3 ( x ) 1 ( 5 x 3 x ) 2 8 1 ( 35 x 4 30 x 2 3) P4 ( x ) 8 1 64
勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 [-1,1]中分段连续的函数f(x)，在 平均收敛意义下，可展开为级数
f ( x ) f l Pl ( x ),
2
l 0
lim 平均收敛： N
1
1
f ( x ) f l Pl ( x ) dx 0
l 0
N
15
正交性
al 4
(l 2)(l 3) (l 2)(l 3) (2l 2)! (2l 4)! 2 al 2 (1)2 ( ) 1 4(2l 3) 2 2!(2l 3) 2l (l 1)!(l 2)! 2! 2l (l 2)!(l 4)!
3
问题的引出
u 0
偏微分方程 分离变量
1 2 u 1 u 1 2 u 0 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 2 r r sin r sin r r
常微分方程组 本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）
第十章 球函数
! 2 (l + m ) 2π N = 2l + 1 (l m )!
2 lm
故物理上取归一化球函数
1 m Ylm (θ , ) = Pl (cosθ )eim Nlm
place方程的解
指数形式: u (r , θ , ) = ∑ ∑ A
l l=0 m =l ∞
rl + lm
1 l k 2 l lk 1
∞ l =1 l l
2l + 1 fl = 2
1
∫ f (x )P (x )dx , (8 )
l
1
二.Laplace方程在轴对称时的通解 在轴对称时物理量绕对称轴转动不变,在球坐 标下Laplace方程: △u= 0的通解为
Bl l u (r , θ ) = ∑ Al r + l +1 Pl (cos θ ), (1) r l =1
∞
(1)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有 两自然边界条件,r=0与r→∞,球内解包含r=0, ∞ Bl = 0, u = ∑ Al r l Pl (cos θ ), (2 ) u有限, l =0 而Al由球面的边界条件确定,同样对球外区域 两系数由球面的边界条件与r→∞, 两个条件 确定.
Pl ( x ) =
l l 1 或 2 2
(2l 2n )! l 2 n ∑ ( 1) n!2l (l n )!(l 2n )! x .(1) n =0
n
前几项为
P0(x)= 1, P1(x) =x=cosθ, P2(x)=(3x2-1)/2, ….. 一般勒让德多项式的幂次取决L 当L为偶数时都为偶次幂项,L为奇数时都为奇次幂项. 对特殊点x=1,0
=
∑
∞
2 lm
故物理上取归一化球函数
1 m Ylm (θ , ) = Pl (cosθ )eim Nlm
place方程的解
指数形式: u (r , θ , ) = ∑ ∑ A
l l=0 m =l ∞
rl + lm
1 l k 2 l lk 1
∞ l =1 l l
2l + 1 fl = 2
1
∫ f (x )P (x )dx , (8 )
l
1
二.Laplace方程在轴对称时的通解 在轴对称时物理量绕对称轴转动不变,在球坐 标下Laplace方程: △u= 0的通解为
Bl l u (r , θ ) = ∑ Al r + l +1 Pl (cos θ ), (1) r l =1
∞
(1)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有 两自然边界条件,r=0与r→∞,球内解包含r=0, ∞ Bl = 0, u = ∑ Al r l Pl (cos θ ), (2 ) u有限, l =0 而Al由球面的边界条件确定,同样对球外区域 两系数由球面的边界条件与r→∞, 两个条件 确定.
Pl ( x ) =
l l 1 或 2 2
(2l 2n )! l 2 n ∑ ( 1) n!2l (l n )!(l 2n )! x .(1) n =0
n
前几项为
P0(x)= 1, P1(x) =x=cosθ, P2(x)=(3x2-1)/2, ….. 一般勒让德多项式的幂次取决L 当L为偶数时都为偶次幂项,L为奇数时都为奇次幂项. 对特殊点x=1,0
=
∑
∞
数学物理方法--球函数
u |r0 有限
23
由边界条件知:解为一般的球函数
u(r,,)
rl[ Alm cos m Blm sin m]Plm (cos )
m0 lm
m0
lm
1 r (l1)
[Cl m
cos
m
Dl m
sin
m ]Pl m
(cos
)
1 由于解在内部有限,所以含
xl 2k
4
微分表示
Pl ( x)
1 2l l!
dl dxl
(x2
1)l
展开 1
2l l
!
(
x
2
1)l
1 2l l !
l k 0
(l
l! k )!k
( x2 )(l k ) (1)k !
再求导L次可得
积分表示
Pl ( x)
1
2i
1 2l
( z 2 1)l ( z x)l 1
R Al rl Bl rl1
f ( ) l0 Rl (a)Pl (cos )
u l0 Rl (r)Pl (cos )
11
例 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为 u0 cos， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
u 0, r a, / 2
任取其一,
表示线性独立,l称为函数的阶Y
二. 球函数的性质
正交性
S
Yl mYknd
n,m l ,k
(
N
m l
)2
d S
2
d
23
由边界条件知:解为一般的球函数
u(r,,)
rl[ Alm cos m Blm sin m]Plm (cos )
m0 lm
m0
lm
1 r (l1)
[Cl m
cos
m
Dl m
sin
m ]Pl m
(cos
)
1 由于解在内部有限,所以含
xl 2k
4
微分表示
Pl ( x)
1 2l l!
dl dxl
(x2
1)l
展开 1
2l l
!
(
x
2
1)l
1 2l l !
l k 0
(l
l! k )!k
( x2 )(l k ) (1)k !
再求导L次可得
积分表示
Pl ( x)
1
2i
1 2l
( z 2 1)l ( z x)l 1
R Al rl Bl rl1
f ( ) l0 Rl (a)Pl (cos )
u l0 Rl (r)Pl (cos )
11
例 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为 u0 cos， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
u 0, r a, / 2
任取其一,
表示线性独立,l称为函数的阶Y
二. 球函数的性质
正交性
S
Yl mYknd
n,m l ,k
(
N
m l
)2
d S
2
d
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0 Pl
(0)r
l
1 1 r2
(1)k (2k 1)!! r2k 0 (2k )!!
Pl
(0)
(
1)k (2k 1)!! (2k )!!
,
l
2k
0,
l 2k 1
(2k)!! 2 46 (2k) (2k 1)!! 135 (2k 1) 0!! (1)!! 1
基本递推公式
(k 1)Pk1(x) (2k 1)xPk (x) kPk1(x) Pk1' (x) (k 1)Pk (x) xPk ' (x) kPk (x) xPk ' (x) Pk1' (x) (x2 1)Pk ' (x) kxPk (x) kPk1(x)
Pl ( x)
1 2l l!
dl dxl
(x2
1)l
Pl ( x)
1
2i
1 2l
( z 2 1)l ( z x)l 1
dz
代数表达式
图象
勒让德多项式的代数表达式
Pl ( x)
(1)k (2l 2k )! 2l k!(l k )!(l 2k )!
xl2k
1 2l l!
dl dxl
k 0 P1(x) xP0(x) 0 x
k 1 2P2(x) 3xP1(x) P0(x) 3x2 1
k
2
3P3( x)
5xP2 (x)
2 P1 ( x)
15 2
x3
9 2
x
勒让德多项式的性质
奇偶性
Pl(-x) = (-1)l Pl(x) 零点定理
L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。 正交性
0
N
2 l
2 2l 1
正交性应用例题
1 Pl ( x)dx
1
P0 ( x)Pl ( x)dx
l
,0
N
2 0
2 l,0
1
1
1 xPl ( x)dx
1
1 1
P1( x)Pl ( x)dx
l,1N12
2 3
l
,1
1 1
x2 Pl ( x)dx
1 1
(
2 3
P2
1 3
P0 )Pl dx
2 3
l
,2
N
2 2
1 3
l
,0
N
2 0
勒让德多项式模的计算
u(x, r)
0Pl ( x)rl
1 1 2rx r2
1 1
0 Pl
(
x)r
l
0 Pk
(
x)r
k
dx
1 1
dx 1 2rx r2
0
rlk
0
1 1
Pl
( x)Pk
( x)dx
1 2r
ln(1
2rx
r2
)
|11
母函数和递推公式
母函数
– 定义：u(x, r) =∑ Pl (x) r l – 形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 )-1/2 – 推导 – 应用
递推公式
– 基本递推公式 – 证明 – 应用
母函数的推导
u(x, r)
0 Pl
(
x)r
l
u( x, r)
1 1
0 2i 2l
2i 1
1 zr
|z z
1 1 2xr r2
母函数的应用
u(x, r)
0 Pl
(
x)r
l
1 1 2rx r2
u(1, r)
0Pl (1)rl
1 1 r
r l
0
Pl (1)
1
u(1, r)
0Pl (1)rl
1 1 r
(1)l rl
0
Pl (1)
(1)l
u(0, r)
C
( z 2 1)l ( z x)l 1
dz
rl
1
dz
2i C z x
( z 2 1)l rl 0 2l (z x)l
1
dz
2i C z x
1 1 ( z 2 1) r
2( z x)
1 2i
C
dz
(z
x)
1 2
(z2
1)r
奇点：
z
1 (1 r
1 2xr r2 )
1
2i
(x2
1)l
P0(x) 1
P1(x) x cos
P2 ( x)
1 2
(3x2
1)
1 4
(3 cos 2
1)
P3( x)
1 2
(5x3
3x)
1 8
(5 cos 3
3cos
)
P4 ( x)
1 8
(35x4
30x2
3)
1 64
(35 cos 4
20 cos 2
9)
勒让德多项式的图象
勒 让 德 多 项 式 的 图 象
Pk0(x) 0
递推公式的证明
u(x, r)
0Pl ( x)rl
1 1 2rx r2
ur (x, r)
0 Pl
( x)l
r l 1
(1
xr 2rx r 2 )3/ 2
(x r)
0 Pl
(
x)r
l
（x r (1
)(1 2rx 2rx r 2 )3
r2
/2
)
(1 2rx r 2 )
u l0 Rl (r)Pl (cos )
勒让德多项式
定义
斯 — 刘问题[(1(1x)有 2 )界' ]'l(l 1) 0 的本征函数
一般表示
级数表示
Pl ( x)
2l
(1)k (2l 2k )! k!(l k )! (l 2k )!
x l 2 k
微分表示
积分表示
具体形式
数学物理方法
第十章 球函数
球函数
轴对称问题和勒让德多项式 转动对称问题和连带勒让德函数 一般问题和球函数 本章小结
轴对称问题和勒让德多项式
轴对称拉普拉斯方程的求解 勒让德多项式 勒让德多项式的母函数和递推公式 勒让德多项式的性质 勒让德多项式的应用
解轴 对 称 拉 普 拉 斯 方 程 的 求
– 正交性公式 –模 – 正交性应用例题
完备性
– 完备性公式 – 广义傅立叶系数 – 完备性应用例题
勒让德多项式的正交性
正交性
1
Pk ( x)Pl ( x)dx 0, Pk (cos )Pl (cos ) sin d 0, (k l)
1
0
模
1 Pl ( x)Pl ( x)dx
1
Pl (cos )Pl (cos ) sin d
0 Pl
(
x)l
r
l
1
0
xPl
rl
Pl
r l 1
0 l Pl
r l 1
2lxPl
rl
l Pl
r l 1
xPk Pk1 (k 1)Pk1 2kxPk (k 1)Pk1
(k 1)Pk1 (2k 1)xPk k Pk1 0
递推公式的应用
(k 1)Pk1(x) (2k 1)xPk (x) kPk1(x)
u |ra f ( )
u 0
(r2R' )'l(l 1)R 0
(sin' )'l(l 1) sin 0 (0),( )有界
x cos
r2R"2rR'l(l 1)R 0
[(1 x2 )' ]'l(l 1) 0 (1)有界
R Al rl Bl rl1
Pl ( x)
f ( ) l0 Rl (a)Pl (cos )
0
0
r
l
k
l
,k
N
2 k
1 [ln(1 r) ln(1 r)] r