2020届北京市东城区高三上学期期末数学试题(解析版)

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2020届北京市东城区高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合|1Axx，{|(2)(1)0}Bxxx，那么ABI（ ）

A．|12xx B．|11xx C．|12xx D．|11xx

【答案】D

2．复数在复平面内的对应点位于（ ）

A．第一象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第四象限

【答案】B

3．下列函数中，是偶函数，且在区间0,上单调递增的为（ ）

A．1yx B．ln||yx C．2xy D．1||yx

【答案】B

4．设,ab为实数，则“0ab”是“ab”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

5．设，是两个不同的平面，,mn是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）

A．若m，mn，则//n B．若，m，n，则mn

C．若//n，mn，则m D．若//，m，n，则//mn

【答案】B

6．从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（ ）

A．7 B．9 C．10 D．13

【答案】C

7．设，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）

A．若2，则sinsin2 B．若2，则coscos2

C．若2，则sinsin1 D．若2，则coscos1

【答案】A

第 2 页 共 6 页 8．用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：

①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；

②若球心距124OO，球的半径为3，则所得椭圆的焦距为2；

③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.

其中，所有正确结论的序号是（ ）

A．① B．②③ C．①② D．①②③

【答案】C

二、填空题

9．若双曲线221xym与22132xy有相同的焦点，则实数m_________.

【答案】4

10．已知na是各项均为正的等比数列，nS为其前n项和，若16a，2326aa，则公比q________，4S_________.

【答案】12 454

11．能说明“直线0xym与圆22420xyxy有两个不同的交点”是真命题的一个m的值为______.

【答案】0

12．在平行四边形ABCD中，已知ABACACADuuuruuuruuuruuur，||4ACuuur，||2BDuuur，则四边形ABCD的面积是_______.

【答案】4

13．已知函数()2sin()(0)fxx，曲线yfx与直线3y相交，若存在相邻两个交点间的距离为6，则的所有可能值为__________．

【答案】2或10

第 3 页 共 6 页 14．将初始温度为0C的物体放在室温恒定为30C的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n次测量得到的物体温度记为nt，已知10tC.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：（填写模型对应的序号）

①130nnnkttt；②130nnnttkt；③130nntkt.

在上述模型下，设物体温度从5C升到10C所需时间为mina，从10C上升到15C所需时间为minb，从15C上升到20C所需时间为minC，那么ab与bc的大小关系是________（用“”，“”或“”号填空）

【答案】② 

三、解答题

15．在ABC中，已知sin3cos0cAaC.

（1）求C的大小；

（2）若2b，23c，求ABC的面积.

【答案】（1）23C（2）3

第 4 页 共 6 页 16．2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：

用户分类 预计升级到5G的时段 人数

早期体验用户 2019年8月至2019年12月 270人

中期跟随用户 2020年1月至202l年12月 530人

后期用户 2022年1月及以后 200人

我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.

（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；

（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；

（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.

【答案】（1）0.8（2）详见解析（3）事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析

第 5 页 共 6 页 17．如图，在三棱柱111ABCABC中，1BB平面ABC，ABBC，12AAABBC.

（1）求证：1BC平面11ABC；

（2）求异面直线1BC与1AB所成角的大小；

（3）点M在线段1BC上，且11((0,1))BMBC，点N在线段1AB上，若MN∥平面11AACC，求11ANAB的值（用含的代数式表示）.

【答案】（1）证明见解析（2）3（3）1

18．已知函数321()3()3fxxxaxaR.

（1）若fx在1x时，有极值，求a的值；

（2）在直线1x上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线yfx相切？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）1a（2）不存在，详见解析

19．已知椭圆222:1(1)xCyaa的离心率是22.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知1F，2F分别是椭圆C的左、右焦点，过2F作斜率为k的直线l，交椭圆C于,AB两点，直线1FA，1FB分别交y轴于不同的两点,MN.如果1MFN为锐角，求k的取值范围.

【答案】（1）2212xy（2）7227,,00,,7447

第 6 页 共 6 页 20．已知数列na，记集合*1(,)|(,),1,,iijTSijSijaaaijijNL„.

（1）对于数列:1,2,3,4na，写出集合T；

（2）若2nan，是否存在*,ijN，使得,1024Sij？若存在，求出一组符合条件的,ij；若不存在，说明理由.

（3）若22nan，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,nBbbbLL，若2020mb，求m的最大值.

【答案】（1）{3,5,6,7,9,10}T（2）不存在*,ijN，使得,1024Sij成立.(3)详见解析