江西省上高二中2011届高三数学上学期第四次月考 理 北师大版【会员独享】

2011届高三年级第四次月考数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共同10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 下列命题中的假命题是（ ）

A.02 , 1>∈?-x R x

B. 1lg , <∈?x R x C ．()01 , 2

>-∈?*x N x D. 2tan , =∈?x R x

2.设集合}log ,5{)

63(2

2+-=a a A ，集合},,1{b a B =若}2{=B A 则集合B A 的非空真

子集的个数是（ ） A ．3个 B ．7个 C ．14个 D ．15个

3．已知命题p ：存在x x x 32),,0(≥+∞∈；命题q ：ABC ?中，若B A sin .sin >，则B A >，

则下列命题为真命题的是（ ） A ．p 且q

B ．（﹁p ）且q

C ．p 或（﹁q ）

D ．p 且（﹁q ）

4．给定函数①5

2

x y =，②)

1(2

1

log +=x y ，③|1|y x =-，④12+=x y ，其中在区间

（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④ 5．将函数()sin()f x x ω?=+的图象向左平移2

π

个单位，若所得的图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（ ）

A ．4

B ．6

C ．8

D ．12 6.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若6,11641-=+-=a a a ,则当n S 取最小值时, n 等于（ ）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

7. 已知A ，B ，C 三点的坐标分别是3(3,0),(0,3),(cos ,sin ),(,

)22A B C ππ

ααα∈

若1-=?BC AC ，则

21tan 2sin sin 2α

αα

++的值为（ ）

A. 95-

B.3

C.2

D. 5

9-

8、已知定义在R 上的奇函数满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，则（ ）

A ．(25)(11)(80)f f f -<<

B ．(80)(11)(25)f f f <<-

C ．(11)(80)(25)f f f <<-

D ．(25)(80)(11)f f f -<<

9、已知P 是圆2

2

(3)(3)1x y -+-=上或圆内的任意一点，O 为坐标原点，1

(,0)2

OA = ，

则OA OP ?

的最小值为（ ） A ．12 B ．32

C ．1

D ．2

10．在△ABC 所在平面上有三点P 、Q 、R ，满足AB PC PB PA =++，

BC QC QB QA =++，CA RC RB RA =++，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比

为 ( )

A.1:2

B.1:3

C.1:4

D.1:5

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上） 11.不等式02

32

2

>++-x x x 的解集是 .

12.函数()sin (sin cos )f x x x x =-的单调递减区间是 .

13.关于平面向量有下列四个命题：①若=?=?则,；②已知

)6,2(),3,(-==b k a ．若b a //，则1k =-；③非零向量,a b

，满足-==，则+与 的夹角为30 ；

④0=?+

．其中正确的命题为___________．

（写出所有正确命题的序号）

14.若向量))(sin 2,(cos ),1,sin 2(2R m b a ∈+=-=αααα，且b a ⊥则m 的最小值为 _______。

15.已知函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++-=的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为

12

1

，则a 的值为 16. 已知函数x x f x

2log 31)(-??

?

??=，正实数,,a b c 是公差为

正数的等差数列，且满足()()()0f a f b f c <．若实数d 是方程()0f x =的一个解，那么下列四个判断：①d a <；②d b <；③d c <；④d c >中有可能成立的个数为

2011届高三年级第四次月考数学试卷答题卡（理科）

一、选择题

二、填空题 11、 12、 13、 14、

15、

16、

三、解答题（本大题共6小题，共76分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤）

17. (12分)已知函数.2cos 2cos 21cos 4)(4x

x

x x f --=

（1）求11()12f π

-的值； （2）当[0,)4

x π

∈时，求()()sin 2g x f x x =+的最大值和最小值。

18.( 12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直。

(1)求实数a 、b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围．

19. (12分)

在ABC ?中，c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边长，已知A A cos 3sin 2=.

(1)若mbc b c a -=-2

2

2

,求实数m 的值; (2)若3=a ,求ABC ?面积的最大值.

20.（12分）已知函数()sin()(0,0)f x x

π=+><<的一系列对应值如下表：

（1）求()f x 的解析式；

（2）若在ABC ?中，2AC =，3BC =，1

()2

f A =-，求ABC ?的面积．

21、（14分）如图，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.

（1）设AD ＝x(x ≥1)，ED ＝y ，求用x 表示y 的函数关系式；

（2）如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置

应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置 又应在哪里？请予证明.

22. （本小题14分）已知函数()2ln p

f x px x x

=-

-． ⑴若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；

⑵若函数()

f x在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；

⑶设函数

2

()

e

g x

x

=，若在[]

1,e上至少存在一点

x，使得

00

()()

f x

g x

>成立，求实数p的

取值范围．

2011届高三年级第四次月考数学试卷答题卡（理科）答案1—5：C C B B B 6—10: A D D C B

11、{}

21,2x x x -<<->或12、3[,]()8

8

k k k Z π

πππ-+∈13、②③④

14、12-- 15、-1 16、3

17、解：f x x x x x 2cos 2cos 2)1cos 2)(1cos 2()(22-+-=x x

x x 2cos 2cos 2)1cos 2(2cos 2-+=

x x x 2cos 1cos 221cos 222=-=-+=

（1）2

3

6cos 611cos )1211(2cos )211(=

==-=-ππππf （2）)4

2sin(22sin 2cos )(π

+

=

+=x x x x g ，由4

34

24

,4

0π

π

π

π

<

+

≤<

≤x x 故

1)4

2sin(22≤+≤∴

π

x ，2)42sin(21≤+≤πx ，即)(x g 的最小值是1，最大值是.2

18、[解析] (1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4.①

f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b ，

由条件f ′(1)·(－1

9)＝－1，即3a ＋2b ＝9，②

由①②式解得a ＝1，b ＝3.

(2)f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0得x ≥0或x ≤－2， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，＋∞)由条件知m ≥0或m ＋1≤－2， ∴m ≥0或m ≤－3. 19、解(1)由

A A cos 3sin 2=两边平方得:A A cos 3sin 22=，即

0)2)(cos 1cos 2(=+-A A ，解得: 2

1

cos =A ，而m b c b c a -=-222可以变形为

22222m

bc a c b =-+，

即212cos ==

m A ，所以1m = ； (2)由(1)知 21cos =A ，则2

3

sin =A ，又

212222=-+bc a c b ，

所以22222a bc a c b bc -≥-+=，即2

a bc ≤，故2sin 22ABC bc a S A ?=≤=

20、解：（Ⅰ）由题中表格给出的信息可知，函数()f x 的周期为344

T ππ

π=

-=， 所以22π

ωπ

=

=． 注意到sin(2())04

π

??-

+=，也即2()2

k k Z π

?π=

+∈，

由0?π<<，所以2

π

?=

所以函数的解析式为()sin(2)2

f x x π

=+

（或者()cos 2f x x =）

（Ⅱ）∵1()cos 22f A A ==-

，∴3A π=或23A π= ，当3

A π

=时,

在ABC ?中，由正弦定理得，

sin sin BC AC

A B

=，

∴2sin 2sin 33AC A B BC ?=

==∵BC AC >，∴3B A π<=

，∴cos B =，

∴1sin sin()sin cos cos sin

C A B A B A B =+=+=+=

， ∴11

sin 2322ABC S

AC BC C ?=???=??=

23A π=时,11sin 2322ABC S AC BC C ?=???=??=

21． (1)在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE 2－2x ·AE ·cos60°?y 2＝x 2＋AE 2－x ·AE,① 又S △ADE ＝

21 S △ABC ＝2

3a 2＝21x ·AE ·sin60°?x ·AE ＝2.② ②代入①得y 2＝x 2＋2)x

2

(－2(y ＞0),

∴y ＝2x 4x 2

2-+

(1≤x ≤2).

(2)如果DE 是水管y ＝2x 4x 2

2-+≥2222=-?,

当且仅当x 2＝

2

x

4，即x ＝2时“＝”成立，故DE ∥BC ，且DE ＝2.

如果DE 是参观线路，记f(x)＝x 2＋2

x

4，可知函数在[1，2]上递减，

在[2，2]上递增，故f(x) max ＝f(1)＝f(2)＝5.

∴y max ＝325=-.即DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长.

22、解:⑴当2p =时，函数2()22ln f x x x x =--，(1)222ln10f =--=．222

()2f x x x

'=+-，

曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2222f '=+-=．从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即22y x =-．

⑵222

22()p px x p

f x p x x x

-+'=+-=．令2()2h x px x p =-+，要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0h x ≥在(0,)+∞内恒成立．由题意0p >，2()2h x px x p =-+的图象为开口向

上的抛物线，对称轴方程为1(0,)x p

=∈+∞，∴min 1()h x p p =-，只需1

0p p -≥，即1p ≥时，

()0,()0h x f x '≥≥∴()f x 在(0,)+∞内为增函数，正实数p 的取值范围是[1,)+∞．

⑶∵2()e

g x x

=在[]1,e 上是减函数，∴x e =时，m i n ()2g x =；1x =时，m a x ()2g x e =，即

[]()2,2g x e ∈，

①当0p <时，2()2h x px x p =-+，其图象为开口向下的抛物线，对称轴1

x p

=

在y 轴的左侧，且(0)0h <，所以()f x 在x ∈[]1,e 内是减函数．当0p =时，()2h x x =-，因为x ∈[]1,e ，所以

()0h x <，2

2()0x

f x x '=-

<，此时，()f x 在x ∈[]1,e 内是减函数．故当0p ≤时，()f x 在[]1,e 上单调递减max ()(1)02f x f ?==<，不合题意； ②当01p <<时，由[]11,0x e x x ∈?-≥，所以11()2ln 2ln f x p x x x x x x ?

?=---- ??

?≤．又由

⑵知当1p =时，()f x 在[]1,e 上是增函数，∴111

2ln 2ln 22x x e e e x e e

----=--<≤，不合

题意；

③当1p ≥时，由⑵知()f x 在[]1,e 上是增函数，(1)02f =<，又()g x 在[]1,e 上是减函数，故只需m a x m i

()()f x g x >，[]1,x e ∈，而m a x 1()()2l n f x f e p e e e ?

?==-- ???

，min ()2g x =，即12l n 2p e e e ??--> ???，解得2

41e p e >-，所以实数p 的取值范围是24,1e e ??+∞ ?-??

．