2017届河北省武邑中学高三下学期第二次质检考试数学(文)试卷(带解析)

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2017届河北省武邑中学高三下学期第二次质检考试数学（文）

试卷（带解析）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

请点击修改第I 卷的文字说明

一、选择题

1．复数3+4i

i 的虚部为（ ）

A. 3

B. 3i

C. -3

D. ?3i

2．设U =R ，集合A ={x |x >0}，B ={x ∈Z |x 2?4≤0}，则下列结论正确的是（

） A. (C U A )∩B ={?2,?1,0} B. (C U A )∪B =(?∞,0]

C. (C U A )∩B ={1,2}

D. A ∪B =(0,+∞)

3．已知函数f (x )={?sin x ,x >0

sin x ,x ≤0，则下列结论正确的是（ ）

A. f (x )是奇函数

B. f (x )是偶函数

C. f (x )是周期函数

D. f (x )在[?π2+2k π,π

2+2k π](k ∈z )上为减函数

4．若(3x ?1

x )n 展开式中各项系数之和为32，则展开式中含x 3项的系数为（

）

A. -5

B. 5

C. -405

D. 405

5．阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）

A. 计算数列{2n ?1}前5项的和

B. 计算数列{2n ?1}前5项的和

C. 计算数列{2n ?1}前6项的和

D. 计算数列{2n?1}前6项的和

6．设p:x2?x<1，q:log2(x2?x)<0，则非p是非q的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

7．若双曲线x2

a2?y2

b2

=1的渐近线与抛物线x2=4y的准线所围成的三角形面积为,则该

双曲线的离心率为( )

A. 5

2

B. 2

C. 3

D. 5

8．某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（）

A.

B.

C.

D.

9．某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0,5)，[5,10)，…，[35,40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）

A.

B.

C.

D.

10．在正三棱锥内有一半球，其底面与正三棱锥的底面在同一平面内，正三棱锥的三个侧面都和半球相切.如果半球的半径等于1，正三棱锥的底面边长为3 2，则正三棱锥的高等于（ ）

A. 2

B. 2 3

C. 6

D. 3

11．在ΔA B C 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 且b 2+c 2+b c ?a 2=0，则

a sin (30°?C )

b ?

c 的值为（ ）

A. 12

B. 32

C. ?12

D. ? 32 12．已知函数f (x )={e x ?2(x ≤0)ln x (x >0)

，则下列关于函数y =f [f (k x )+1]+1(k ≠0)的零点个数的判断正确的是（ ）

A. 当k >0时，有3个零点；当k <0时，有4个零点

B. 当k >0时，有4个零点；当k <0时，有3个零点

C. 无论k 为何值，均有3个零点

D. 无论k 为何值，均有4个零点

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题

13．a2,1)和垂直b=(x?1,?x)，则|a+b|=__________．

14．设动直线x=a与函数f(x)=2sin2x和g(x)=3sin2x的图象分别交于M、N两点，则|M N|的最大值为__________．

15．甲每次解答一道几何体所用的时间在5至7分钟，乙每次解答一道几何体所用的时间在6至8分钟，现甲、乙各解同一道几何体，则乙比甲先解答完的概率为__________．

16．函数y=f(x)图象上不同两点A(x1,y1)，B(x2,y2)处的切线的斜率分别是k A,k B，规定φ(A,B)=|k A?k B|

叫做曲线y=f(x)在点A、B之间的“平方弯曲度”.设曲线|A B|2

y=e x+x上不同两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1?x2=1，则φ(A,B)的取值范围是__________．

三、解答题

17．已知数列{a n0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和.且满足a n2=S2n?1，n∈N?.数列{b n}满足b n=1

，T n为数列{b n}的前n项和.

a n a n+1

（1）求a1、d和T n；

（2）若对任意的n∈N?，不等式λT n

（1）求盒中印有“快乐马拉松”小球的个数；

（2）若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望．

19．如图：A B C D是菱形，S A D是以A D为底边等腰三角形，S A=S D=39，A D=23，且二面角S?A D?B大小为120°，∠D A B=60°.

（1）求证：A D⊥S B；

（2）求S C与S A D平面所成角的正弦值.

20．已知E(1,0)，K(?1,0)，P是平面上一动点，且满足|P E|?|K E|=P K?E K.

（1）求点P的轨迹C对应的方程；

（2）过点K的直线l与C相交于A、B两点（A点在x轴上方），点A关于x轴的对称点

为D，且E A?E B=?8，求ΔA B D的外接圆的方程.

21．已知函数f(x)=a x+x2?x ln a(a>0,a≠1).

（1）当a=e时，判断函数f(x)的单调性；

（2）若存在x1,x2∈[?1,1]，使得|f(x1)?f(x2)|≥e?1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

参考答案1．C

【解析】因为3+4i

i =?(3i?4)=4?3i，所以3+4i

i

=4?3i的虚部是?4，应选答案C。

2．A

【解析】因为A={x|x>0}?C U A={x|x≤0}，所以(C U A)∩B={?2,?1,0}，应选答案A。3．B

【解析】因为f(x)=?|sin x|，所以f(?x)=f(x)，应选答案B。

4．C

【解析】由题设可得2n=32?n=5，则通项公式T r+1=C5r(3x)5?r(?1

x

)r=(?1)r35?r C5r x5?2r，令5?2r=3?r=1，故T r+1=(?1)134C51=?405，应选答案C。

5．C

【解析】试题分析：执行程序，第一次，A=1,i=2,不符合条件；第二次，A=2×1+1,i=3,不符合条件；第三次，A=22+2+1,i=4,不符合条件；第四次，A=23+22+2+1,i=5,不符合条件；第五次，A=24+23+22+2+1,i=6,不符合条件；第六次，A=25+24+23+ 22+2+1,i=7,符合条件，输出A=25+24+23+22+2+1,结束.故选C.

考点：算法与程序框图.

6．A

【解析】由题设可得p:x2?x<1,q:0

【解析】试题分析：如图，由条件有A(?a

b ,?1)，B(a

b

,?1)，∴|A B|=2a

b

，SΔA O B=1

2

×2a

b

×1=2，即

a=2b，而c=a+b=4b+b=5b，则e=c

a =5

2

.

考点：1.双曲线的基本性质；2.抛物线的性质.

8．B

【解析】由题设中提供的正视图可推知：该几何体有一个侧面是垂直于底面的，且右侧面是垂直于底面，而答案B中俯视图则表明该几何体的左侧面是垂直于底面的，与正视图不符，所以答案B是错误的，应选答案B。

9．B

【解析】从题设中提供的频率分布直方图可算得在区间[0,5),[5,10)内各有0.01×20×5=1个，答案A被排除；在区间[10,15)内有0.04×20×5=4个；在区间[15,20)内有0.02×20×5= 2个；在区间[20,25)内有0.04×20×5=4个；在区间[25,30),[30,35)内各有0.03×20×5=3

个，答案C被排除；在区间[35,40)内有0.02×20×5=2个，答案D被排除；依据这些数据信息可推知，应选答案B。

点睛：解答本题的方法是根据题设中所提供的频率分布直方图提供的信息，先算出在不同区间内的个体的频数，再分别结合所给的茎叶图，对每个答案逐一进行分析推断，从而排除不合题设的答案，选出正确答案，使得问题获解。

10．D

【解析】如图，设点O是底面三角形的中心（球心），棱锥的高为O P= ，则点O到底边的距

离O M=1

3×3

2

×32=6

2

,O N=1，则P M= +O M= 2+3

2

，由三角形的面积相等可得

1× 2+O M2=3

2

× ? =3，应选答案D。

点睛：解答本题的关键是准确理解题设中的正三棱锥及内切球等概念，画出其直观图，这是解答本题是难点之所在，也求解好本题的突破口。求解时，先画出其直观图，再借助勾股定理及面积相等解直角三角形和建立方程，使得问题获解。

11．A

【解析】试题分析：由b2+c2+b c?a2=0得，因此.a sin(30°?C)

b?c

，故选A.

考点：余弦定理、两角差的正弦公式.

【思路点晴】由余弦定理求得值是余弦定理应用的较为常见的一种出题形式．在三角形中一定注意它当中的隐含条件，从角的角度上来说是：三角形的内角和是．在所求的分式中，是已知的，这样的话就可以用表示，通过公式转化，可求得结果．本题出题比较常规，加上两角差的正弦公式，难度稍大，属于中等难度.

12．C

【解析】试题分析：令y=f[f(k x)+1]+1=0,解得f[f(k x)+1]=?1．

令f(x)=0解得x=0或x=1

e

．

即f(k x)=?1或f(k x)=1

e

?1．

f(k x)=?1解得x=0或x=1

k e

．

f(k x)=1

e ?1时ln k x=1

e

?1,此时方程只有一个解．

所以无论k为何值原函数有3个零点．故C正确．

考点：函数零点．

13． 10

【解析】由题设可得2x ?2?x =0?x =2，又因为a +b

=(2+2?1,1?2)=(3,?1)，所以|a +b

|= 9+1= 10，应填答案 10。 14．3

【解析】由题设可得|M N |=|2sin 2a ? 3sin 2a |=|1?cos 2a ? 3sin 2a |=|1?2sin (2a +π6)|≤3（当且仅当sin (2a +π6)=?1时取等号），即2a +π6=2k π?π2?a =k π?π3(k ∈Z )取得最大值，应填答案3。

15．18 【解析】

由题意可设甲、乙解一道几何题所用时间分别为x ,y ，由题设可知{5≤x ≤76≤y ≤8

，“乙比甲先解答完”即是y

表示的区域如图，则问题转化为几何概型的计算问题。结合图像可知D =2×2=4,d =12×1×1=12 ，则事件“乙比甲先解答完的概

率”是P =d D =124=18，应填答案18。 点睛：解答本题的关键是将其转化为所学的数学模型，求解时先依据题设将其转化与化归为线性规划的前提下，几何概型背景的几何概型的概率的计算问题。解答思路是先画出不等式

组{5≤x ≤76≤y ≤8

表示区域，分别计算出D =2×2=4,d =12×1×1=12，再运用几何概型的概率计算公式求出其概率P =

d D =124=18，使得问题获解。 16．(0, 2?12]

【解析】因为y ′=e x +1，所以k A =e x 1+1,k B =e x 2+1，由题意可得|k A ?k B |=|e x 1?e x 2|，|A B |= (x 1?x 2)2+(e x 1?e x 2+x 1?x 2)2

，又因为x 1?x 2=1，所以|A B |= 1+(e x 1?e x 2+1)2，故φ(A ,B )=|k A ?k B ||A B |2

=x 1x 2( 1+(e 1?e 2+1)2)2>0，令u =|e x 1?e x 2|=e x 1?e x 2，则φ(A ,B )=u u +2u +2=

1

u +2+2，因为u +2u ≥2 2，所以φ(A ,B )=1u +2+2≤= 2?12

，应填答案(0, 2?12]。 点睛：解答本题的关键是如何理解“曲线y =f (x )在点A 、B 之间的“平方弯曲度””这一新概念的新信息，然后依据此概念建立了目标函数φ(A ,B )=|k A ?k B |

|A B |2=e x 1e x 2( 1+(e 1?e 2+1)2)2，

再通过换元将其形式进行等价转化，最后运用基本不等式求出该函数的最值使得问题获解。旨在考查与检测迁移新信息，运用新概念的创新意识与分析问题解决问题的创新能力。

17．（1）a 1=1，d =2，T n =n 2n +1；（2）λ

【解析】试题分析：（1）依据题设及等差数列的有关公式建立方程组，求出首项与公差，进而求出等差数列的通项公式，运用列项相消法求解；（2）先将不等式中的参数分离出来，再分析探求右边的解析式的值域。

试题解析：

解：（1）在a n 2=S 2n ?1中，令n =1，n =2，得{a 12=S 1a 22=S 3即{a 12=a 1(a 1=3a 1+3d

， 解得a 1=1，d =2，∴a n =2n ?1.

∵b n =1a n a

n +1= 1(2n ?1)(2n +1)= 12(12n ?1?12n +1)， ∴T n =12(1?13+13?15+? +12n ?1?12n +1)=n 2n +1.

（2）①当n 为偶数时，要使不等式λT n

即需不等式λ<

(n +8)(2n +1)n =2n +8n +17恒成立. ∵2n +8n ≥8，等号在n =2时取得.

∴此时λ需满足λ<25.

②当n 为奇数时，要使不等式λT n

即需不等式λ<

(n +8)(2n +1)n =2n ?8n ?15恒成立. ∵2n ?8n 是随n 的增大而增大，

∴n =1时，2n ?8

n 取得最小值-6.

∴此时λ需满足λ

综合①、②可得λ的取值范围是λ

点睛：解答本题第一问的思路依据题设及等差数列的有关公式建立方程组，求出首

项与公差，进而求出等差数列的通项公式a n=2n?1及b n=1

a n a n+1

，再运用列项相消法求解使得问题获解；解答第二问时，先将不等式中的参数λ从不等式中分离出来，再

分析探求右边的解析式2n?8

n

?15的值域，从而使得问题获解。

18．（1）n=3；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）运用古典概型的计算公式及对立事件的概率公式求解；（2）依据题设条件借助随机变量的分布列与数学期望公式进行计算求解：

试题解析：

解：（1）设印有“美丽绿城行”的球有n个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A，

则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是P(A)=C n2

C62

，

由对立事件的概率：P(A)=1?P(A)=4

5

.

即P(A)=C n2

C62=1

5

，解得n=3.

（2）由已知，两种球各三个，故η可能取值分别为1,2,3，

P(η=1)=C32

C62=1

5

，P(η=2)=C32

C62

?C32

C42

+C31C31

C62

?C22

C42

=1

5

，

P(η=3)=1?P(η=1)?P(η=2)=3

5

.则η的分布列为：

所以Eη=1×1

5+2×1

5

+3×3

5

=12

5

.

19．（1）详见解析；（2）3

10

.

【解析】试题分析：（1）运用线面垂直的性质定理推证；（2）依据题设借助线面角的定义找出直线与平面所成的角，再通过解三角形可使得问题获解：

试题解析：

解：（1）取A D的中点E，连S E，B E，

由题意知ΔA B D为正三角形，

∴S E⊥A D，B E⊥A D.

又S E∩B E=E，

∴A D⊥平面S B E，S B?平面S B E，

∴A D⊥S B.

（2）过S作S O⊥直线B E，垂足为O，

由（1）知平面A B C D⊥平面S B E，

则S O⊥平面A B C D，连O E，则A D⊥O E.

∴∠S E B为二面角的平面角，∠S E O=60°，

∴S O=6sin60°=33.

∵B C//S A D，C到S A D距离为B到S A D距离，

由B作S E垂直B O1，由（1）知平面A S D⊥平面S B E，平面B O1⊥平面S A D，B E=3，B O1=2sin60°=3

2

3.

O E=3，E B=3，∴O A B D是平行四边形，O在直线C D上，

SC2=SO2+O C2=27+48=75，S C=53.

设线面角为α，sinα=B O1

S C =3

10

，∴S C与平面S A D所成角的正弦值为3

10

.

20．（1）y2=4x；（2）(x?9)2+y2=40.

【解析】试题分析：（1）直接依据题设条件化简求解；（2）先建立直线l的方程为x=m y?1(m>0)，再与抛物线方程联立，借助坐标之间的关系分析探求：

试题解析：

解：（1）设P(x,y)，P E=(1?x,?y)，P K=(?1?x,?y)，E K=(?2,0)，K R=(2,0).

∵|P E|?|K E|=P K?E K，

∴2(1?x)2y2=2(x+1)，得点P的轨迹C对应的方程为y2=4x.

（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x1,?y1)，l的方程为x=m y?1(m>0).

将x=m y?1代入y2=4x并整理得

y2?4m y+4=0，由Δ>0?m>1，

从而y1+y2=4m，y1y2=4.

x1+x2=(m y1?1)+(m y2?1)=4m2?2，x1x2=y12y22

16

=1.

因为E A=(x1?1,y1)，E B=(x2?1,y2)，

E A?E B=(x1?1)(x2?1)+y1y2=x1x2?(x1+x2)+1+4=8?4m2.

故8?4m2=?8，解得m=2，

所以l的方程为x?2y+1=0.

设A B中点为(x0,y0)，

则x0=x1+x2

2=2m2?1=7，y0=y1+y2

2

=2m=4，

A B中垂线方程y?4=?2(x?7).

令y=0得x=9，圆心坐标(9,0)，到A B的距离为25. |A B|=1+m2(y1+y2)2?4y1y2=415.

圆的半径r=(215)2?(25)2=210，

ΔA B D的外接圆M的方程(x?9)2+y2=40.

21．（1）f(x)在(0,+∞)单调递增；在(?∞,0)上单调递减；（2）a∈(0,1

e

]∪[e,+∞).【解析】试题分析：（1）依据题设条件先求导再运用导数与函数的单调性之间的关系分析探求；（2）先将不等式进行等价转化，再构造函数运用导数的知识分析探求：试题解析：

解：（1）f′(x)=a x ln a+2x?ln a=2x+(a x?1)ln a.

当a=e时，f′(x)=e x?1+2x；

当x∈(0,+∞)时f′(x)>0；当x∈(?∞,0)时f′(x)<0.

故函数f(x)在(0,+∞)单调递增；在(?∞,0)上单调递减.

（2）因为存在x1,x2∈[?1,1]，使得|f(x1)?f(x2)|≥e?1成立，

而当x∈[?1,1]时，|f(x1)?f(x2)|≤f(x)max?f(x)min，

所以只要f(x)max?f(x)min≥e?1即可.

又因为x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：

所以f(x)在[?1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当x∈[?1,1]时，f(x)的最小值f(x)min=f(0)=1，f(x)的最大值f(x)max为f(?1)和f(1)中的最大值.

因为f(1)?f(?1)=(a+1?ln a)?(1

a +1+ln a)=a?1

a

?2ln a，

令g(a)=a?1

a ?2ln a(a>0)，因为g′(a)=1+1

a2

?2

a

=(1?1

a

)2>0，

所以g(a)=a?1

a

?2ln a在a∈(0,+∞)上是增函数.

而g(1)=0，故当a>1时，g(a)>0，即f(1)>f(?1)；

当0

所以，当a>1时，f(1)?f(0)≥e?1，即a?ln a≥e?1，函数y=a?ln a在a∈(1,+∞)上是增函数，解得a≥e；

当0

a

+ln a≥e?1，

函数y=1

a +ln a在a∈(0,1)上是减函数，解得0

e

.

综上可知，所求a的取值范围为a∈(0,1

e

]∪[e,+∞).

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数这一工具在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解本题的第一问时，先依据题设条件对函数件求导，然后再运用导数与函数的单调性之间的关系分析探求；解答第二问时，先将不等式|f(x1)?f(x2)|≥e?1等价转化为当x∈[?1,1]时，|f(x1)?f(x2)|≤f(x)max?f(x)min，即只要f(x)max?f(x)min≥e?1.然后再求函数的最大最小值从而使得问题获解。