2021学年高中数学第三章概率3.3.1几何概型学案含解析人教A版必修3.doc

3．3 几何概型3．3.1几何概型[目标] 1.了解几何概型与古典概型的区别；2.理解几何概型的定义及其特点；3.会用几何概型的概率计算公式求简单的几何概型的概率．[重点] 几何概型的特点及概念的理解．[难点] 应用几何概型的概率公式求概率．知识点一几何概型的概念[填一填]如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．几何概型的特点如下：(1)无限性，即在一次试验中，基本事件的个数是无限的；(2)等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的．[答一答]1．古典概型和几何概型有何异同点？提示：相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关．2．下面两个事件是几何概型吗？(1)一个人骑车到路口，恰好红灯；(2)一个人种一颗花生，发芽．提示：(1)满足无限性和等可能性，是几何概型；(2)种一颗花生所有可能出现的结果只有两种，发芽和不发芽，不满足无限性，发芽与不发芽的概率不相等，不满足等可能性，故不是几何概型．知识点二几何概型的概率公式[填一填]在几何概型中，事件A的概率计算公式为P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积).试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)[答一答]3．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关系吗？提示：几何概型的概率只与构成事件的区域的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．4．概率为0的事件是否一定是不可能事件？概率为1的事件是否一定会发生？提示：在几何概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A不一定是不可能事件，如：事件A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，若事件A的概率P(A)＝1，则A也不一定是必然事件．类型一几何概型的判断[例1]判断下列概率模型，为几何概型的是________．①在区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率；②在区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③在区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率．[解析]①中概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]有无限多个点，且区间内每个数被取到的机会相等；②中概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③中概率模型不是几何概型，因为在区间[－10,10]内的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④中概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数个点，且这两个区域内的任何一个点被投到的可能性相等，故满足无限性和等可能性．[答案]①②④判断一个概率模型是否为几何概型，通常只需要考虑所给的试验中基本事件的个数是否是无限的即可，这与古典概型的考查点不一样，同时要注意，基本事件的“等可能性”的判断也是不能忽视的.[变式训练1]判断下列试验是否为几何概型，并说明理由．(1)明天某个市区降水的概率；(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与之连接，求弦长超过半径的概率．解：(1)不是几何概型，因为其不具有等可能性；(2)是几何概型，因为其具有无限性与等可能性，符合几何概型的特征．类型二几何概型的概率计算命题视角1：“长度型”几何概型[例2](1)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝________.(2)公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率．[分析]乘客在0～10分钟之间的每一时刻到达，都是一个基本事件，基本事件有无穷多个，而每一个基本事件的发生都是等可能的，符合几何概型的条件．[解析](1)由几何概型知：56＝m－(－2)6⇒m＝3.(2)解：乘客在0～10分钟之间的任何一个时刻到达车站是等可能的，因此本题属于几何概型．设事件A为“乘客候车时间不超过6分钟”，汽车每隔10分钟一趟，若事件A发生，则乘客必须在[4,10]时间段内到达汽车站，所以P(A)＝10－410＝35.[答案](1)3(2)见解析解答此类问题的关键是将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度，进而求解.此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.[变式训练2] 在区间[－π，π]上随机选取一个实数x ，则事件“sin x ≥12”发生的概率为13. 解析：解三角不等式sin x ≥12在区间[－π，π]的解集为：[π6，5π6]，设“在区间[－π，π]上随机选取一个实数x ，则事件‘sin x ≥12’”事件为A ，则此事件为几何概型中的线段型，则P (A )＝5π6－π6π－(－π)＝13.命题视角2：“角度型”几何概型[例3] 如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM <AC 的概率．[解] 在AB 上取AC ′＝AC ， 则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设A ＝{在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM <AC }． 则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，∴P (A )＝67.590＝34.在解答本题的过程中，易出现用线段来代替角度作为区域度量来计算概率的错误，导致该种错误的原因是忽视了基本事件的形成过程.[变式训练3] 如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，求∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率．解：设事件A 为“∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，则事件A 表示的区域角度为30°，所有可能结果的区域角度为90°，所以P (A )＝3090＝13.命题视角3：“面积型”几何概型[例4] (1)已知长方形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝1，M 为AB 的中点，则在此长方形内随机取一点P ，P 与M 的距离小于1的概率为________．(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x ，y 组成有序数对(x ，y )，求满足x 2＋y 2≤4的概率． [解析] (1)根据几何概型得：取到的点P 到M 的距离小于1的概率为d D ＝半圆的内部面积矩形的面积＝12×π×124×1＝π8.(2)解：在区间[－2,2]上任取两个实数x ，y 组成有序数对(x ，y )，充满的区域是边长为4的正方形区域，其中满足x 2＋y 2≤4的是图中阴影区域(如图所示)，S 阴＝π×22＝4π，所以P ＝4π16＝π4.[答案] (1)π8(2)见解析解与面积有关的几何概型的关键是找出或构造出随机事件所对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，进而将事件的概率转化为面积的比值.[变式训练4] (1)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B )A.14B.π8C.12D.π4解析：设正方形边长为2，则圆半径为1，则正方形的面积为2×2＝4，圆的面积为π×12＝π，图中黑色部分的面积为π2，则此点取自黑色部分的概率为π24＝π8.(2)如图，矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒500粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为230粒，由此可以估计出阴影部分的面积约为( C )A.165 B.275 C.235D.325解析：由几何概型的概率公式，得S 10＝230500，所以阴影部分的面积约为235，故选C.命题视角4：“体积型”几何概型[例5] 已知半径为1的球在棱长为3的正方体内运动，求正方体内任一点可作为球心的概率．[解] 如图所示，正方体的棱长为3，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的三等分点．一个半径为1的球在这个正方体内运动，当球与正方体的侧面BCC 1B 1相切时，球心在截面PQRS 上，向右不可能再超过这个截面了．正方体共有六个侧面，球心可以到达的位置都是这种情况．球心的变化区域是以正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 的对称中心为对称中心、六个面分别与正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 的六个面平行的正方体，其棱长为1.所以所求概率为P ＝1333＝127.求解与体积有关的几何概型问题，应分清题中的条件，提炼出几何体的形状，并找出总体积是多少以及所求的事件占有的几何体是什么形状，并计算出体积.[变式训练5] (1)在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为0.005.(2)已知半径为23的球内有一内接正方体，若在球内任取一点，则该点在正方体内的概率为233π.解析：(1)大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005.(2)设内接正方体的棱长为a ，则有3a ＝43， ∴a ＝4，由题意得概率为V 正方体V 球＝4343π·(23)3＝233π.1．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率是( D )A.12B.14C.15D.16解析：记“射线OA 落在∠xOT 内”为事件A ，射线OA 落在直角坐标系的每个位置的可能性是一样的，因为周角是360°，∠xOT ＝60°，所以P (A )＝60°360°＝16.故选D.2．已知FH 是圆O 的直径，点G 是圆O 上不同于F 、H 的动点，将一颗豆粒随机地扔到圆内，用A 表示事件“豆子落到三角形GFH 内”，则P (A )的最大值等于( B )A.4πB.1π C ．2D.2π解析：设圆O 的半径为R ，当△GFH 为等腰直角三角形时面积最大，为12(2R )2＝R 2.所以P (A )的最大值为1π.故选B.3．在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( D )A.6πB.32πC.3πD.233π解析：由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.4．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为14.解析：若方程有实根，则Δ＝1－4n ≥0，即n ≤14，又n ∈(0,1)，所以所求概率为141＝14.5．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，求该点恰好在Ω2内的概率．解：由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P ＝742＝78.——本课须掌握的两大问题1．几何概型的判定判断一个概率模型是不是几何概型，只需看其是否具备几何概型的两个基本特征：一是试验包含有无穷多个基本事件；二是每个基本事件发生的可能性是相同的，即在几何区域内的每个点出现的机会都是均等的．2．几何概型计算公式注意点(1)公式中的长度并不是实际意义上的长度，有些书上称之为测度，测度的意义依试验的结果构成的区域而定，当区域分别是线段、平面图形和几何体时，相应的测度应分别是长度、面积和体积．(2)当试验的全部结果所构成的长度一定时，事件A 的概率只与构成事件A 的区域长度有关，而与A 的位置和形状无关．。