高考数学复习点拨全称命题与特称命题的否定

全称命题与特称命题的否定
全称命题与特称命题是两类特殊的命题，也是两类新型命题，这两类命题的否定又是这两类命题中的重要概念，为使你较全面、较准确的掌握这一特殊概念，本文将谈下述四点，也许对你会有帮助.
1、书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手，书写命题的否定
例1 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：
（1）:p 对任意的x ∈R ，210x x ++=都成立；
（2）:p x ∃∈R ，2250x x ++>．
分析：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，:p ⌝存在一个x ∈R ，使210x x ++≠成立，即x ∃∈R ，使2
10x x ++≠成立；
（2）由于“x ∃∈R ”表示存在实数中的一个x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是特称命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，:p ⌝对任意一个x 都有2250x x ++≤，即x ∀∈R ，2250x x ++≤． 2．书写命题的否定时，一定要注重理解数学符号的意义
有些数学符号，表面看我们已非常熟悉，其实不一定；如：x ∈R ，谈到它的否定，很多同学会认为是：x ≠R ，其实不然．
我们从一个例子看起：若x ∈R ，则方程2
210x x ++=有解；这是个真命题，当然，它的逆否命题也是真命题；而它的逆否命题是什么呢？是“若方程2210x x ++=无解，则x ∉R ”吗？这个命题是假命题．显然，它不是我们要的逆否命题．问题出在哪里？出在x ∈R 的否定并不是x ∉R 上，那么x ∈R 的否定到底是什么？其实，x ∈R 表示x 是任意实数，其否定应该是：x 不是任意实数；
例2 判断命题“x ∈R ，则方程2
210x x ++=有解”是全称命题还是特称命题，并写出它的否定．
分析：由于x ∈R 表示x 是任意实数，即命题中含有全称量词“任意的”；因而是全称命题；其否定是：“x 不是任意实数，则方程2210x x ++=无解”．
3．由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．
4．命题的否定与否命题
（1）命题的否定是针对仅含一个量词的全称命题与特称命题．显然，并非所有命题都有写出它的否定的必要；如“若x y =，则22
x y =”不含量词；再如“[]11x ∀∈-，，[]01y ∃∈，，使2232x xy y ++≥”含有两个量词；这些命题的否定可能存在，但不在我们学习的范围；而这些命题的否命题都在我们的学习范围内；
（2）以量词为前提的命题．如命题：“x ∀∈R ，若0y >，则2
0x y +>”的否命题为“x ∀∈R ，若0y ≤，则20x y +≤”；而此命题的否定为“x ∃∈R ，若0y >，则20x y +≤”；显然，两者的区别很大．。