数值计算分析第二章

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数值计算方法第2章2-1节

数值计算方法第2章2-1节

(2)计算
f
(
a
2
b)

(3)若
f
(
a
2
b
)
0
,计算停止;若
f
(
a
2
b
)
f
(a)
0
,用

f
(
a
2
b)
f
(b)
0
,以
a
2
b
代替
a

a
2
b
代替
b

(4)反复执行第二步与第三步,直到区间长缩小到允许误差范围
之内,此时区间中点即可作为所求的近似解。
18
证明方程 x3 3x2 6x 1 0 在区间(0,1)内有唯一的实根,并
在[-1,-0.25],[0.5,1.25],[1.25,2]各区间内至少有一个实根。
10
2.1.3 区间二分法
定理 函数f(x)在[a,b]上单调连续,且f(a)f(b)<0, 则方程f(x)=0在区间[a,b]上有且仅有一个实根x*。
二分法的基本思想 将有根的区间二分为两个小区间,然后判断根在那 个小区间,舍去无根的小区间,而把有根的小区间 再一分为二,再判断根属于哪个更小的区间,如此 反复 ,直到求出满足精度要求的近似根。
5
有根区间
介值定理 若函数 f (x) 在[a, b] 连续,且
f (a) f (b) 0 ,则方程 f ( x) 0 在(a,b) 内至
少有一个实根。将[a, b] 称为 f (x) 的有根区间。
6
2.1.2 逐步搜索法
假设f(x)在区间[a,b]内有一
个实根x*,若 b – a较小,则可 在(a,b)上任取一点x0作为初始 近似根。

数值分析-第二章-学习小结

数值分析-第二章-学习小结

数值分析-第二章-学习小结(总9页) --本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第2章线性方程组的解法--------学习小结一、本章学习体会本章主要学习的是线性方程组的解法。

而我们则主要学习了高斯消去法、直接三角分解法以及迭代法三种方法。

这三种方法的优缺点以及适用范围各有不同。

高斯消去法中,我们又学习了顺序高斯消去法以及列主元素高斯消去法。

顺序高斯消去法可以得到方程组的精确解,但要求系数矩阵的主对角线元素不为零,而且该方法的数值稳定性没有保证。

但列主元素高斯消去法因为方程顺序的调整,其有较好的数值稳定性。

直接三角分解法中,我们主要学习了Doolitte分解法与Crout分解法。

其思想主要是:令系数矩阵A=UL,其中L为下三角矩阵,U是上三角矩阵,为求AX=b 的解,则引进Ly=b,Ux=y两个方程,以求X得解向量。

这种方法计算量较小,但是条件苛刻,且不具有数值稳定性。

迭代法(逐次逼近法)是从一个初始向量出发,按照一定的计算格式,构造一个向量的无穷序列,其极限才是所求问题的精确解,只经过有限次运算得不到精确解。

该方法要求迭代收敛,而且只经过有限次迭代,减少了运算次数,但是该方法无法得到方程组的精确解。

二、本章知识梳理针对解线性方程组,求解线性方程组的方法可分为两大类:直接法和迭代法,直接法(精确法):指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算就能得到精确解。

迭代法(逐次逼近法):从一个初始向量出发,按照一定的计算格式,构造一个向量的无穷序列,其极限才是所求问题的精确解,只经过有限次运算得不到精确解。

我们以前用的是克莱姆法则,对于计算机来说,这种方法运算量比较大,因此我们学习了几种减少运算次数的方法,有高斯消去法、直接三角分解法,同时针对病态方程组,也提出了几种不同的解法。

Gauss消去法Gauss消去法由消元和回代两个过程组成,消元过程是指针对方程组的增广矩阵,做有限次初等行变化,使它系数矩阵变为上三角矩阵。

数值分析_第2章

数值分析_第2章

证:由1。 f '( x) C[a, b],由2。 f '( x)不变号,故f ( x) 知 知 单调,再由3。 唯一的 [a, b],使f ( ) 0. 知
由1 3 知f ( x)在[a, b]上必属于下列四种情形之一:
。 。
f ''( x) 0 f (a) 0, f (b) 0, f '( x) 0(增) f ''( x) 0
二.收敛性:
mn . n .
◆判定二分次数:
1 lim n 1 b0 a0 0 n 2
1 对 0,若要求 mn n 1 b0 a0 2
b0 a0 则2 n log 2 1与取整的 1抵消 .
定理1.(单点法收敛的充分条件) 设f ( x)在[a, b]上二阶 可导,且满足:
。 1. f ''( x)在[a, b]上不变号(凹凸不变性);
2。 f '( x)在[a, b]上不为0(单调性); . 3。 f (a) f (b) 0; . 4。取x0 [a, b], 使f ( x0 ) f ''( x0 ) 0.x1 [a, b], f ( x1 ) f ( x0 ) 0. . 则由(6)所得 xn 单调收敛于f ( x) 0在[a, b]上的唯一根。
列表计算:
n
0 1 2 3 4 5
xn
2 1 1.33333 1.40000 1.41176 1.40378
2
f ( xn )
2 -1 -0.22223 -0.04000 -0.00692
hn

数值分析第二章

数值分析第二章
数值计算中的 误差分析初步
数值运算的误差估计 误差分析的方法 误差分析的原则
数值运算的误差估计
* * * * 两个近似数 x1 与 x2 ,其误差限分别为 ε ( x1 ) 及 ε ( x2 ) ,它们进行加、
减、乘、除运算得到的误差限分别为
* * * * ε ( x1 ± x2 ) = ε ( x1 ) + ε ( x2 ) * * * * * * ε ( x1 ⋅ x2 ) ≈ x1 ε ( x2 ) + x2 ε ( x1 ) * * * * x1 ε ( x2 ) + x2 ε ( x1 )
例 1:计算 x 255 的值。
如果逐个相乘要用 254 次乘法,但若写成
x 255 = x ⋅ x 2 ⋅ x 4 ⋅ x8 ⋅ x16 ⋅ x 32 ⋅ x 64 ⋅ x128
只要做 14 次乘法运算即可。
误差分析的原则-IV
例 2:计算多项式
Pn ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0

用 106 ⋅ 0.2000 除第二 个方程减第一个方程
⎧101 ⋅ 0.1000 x2 = 101 ⋅ 0.1000 ⎨ 1 10 ⋅ 0.2000 x1 + 101 ⋅ 0.1000 x2 = 101 ⋅ 0.2000 ⎩

很好的近似解!
x1 = 0.5000, x2 = 101 ⋅ 0.1000 = 1
δi = 0.000009 × 105 ,在五位的计算机中表示为计器 0。
A = 0.52492 × 105 + 0.000009 × 105 + 0.52492 ×105

数值分析_第二章_插值法

数值分析_第二章_插值法

1 x0
x2 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

xn- 1 0
…… ………
V n- 1 ( x0 ,x1 ,… ,xn- 1 ) =

xn- 2
x2 n- 2

xn- 1 n- 2

xn- 1
x2 n- 1

xn- 1 n- 1
∏ =
( xi - xj ) .
0 ≤ j < i ≤ n- 1
故 知 V n ( x) = V n- 1 ( x0 ,x1 ,… ,xn- 1 )( x - x0 )( x - x1 ) … ( x -
= R截 + R舍

f″2(!ξ)( x -
xi )( x -
xi+ 1 ) +
×
(-

.693147)

(0 .54 (0 .6
- -
0 0
.4)(0 .4)(0
.54 - 0 .5) .6 - 0 .5)
× ( - 0 .510826) ≈ - 0 .615320 .
4畅 解
由题设知 0° ≤
x≤
90° ,h =
xi+ 1

xi


1 60
)°
.记
xi
处的准确值为 f i ,带有误差的值为 f i ,则
7 ,
x

[1 ,2] ,

19 2
x3
+ 67 x2

293 2
x

105 ,
x

(2 ,3] .
四 、习题
1畅 根据范德蒙行列式的定义 ,令
V n ( x) = V n ( x0 ,x1 ,… ,xn- 1 ,x)

数值分析计算方法第二章作业

数值分析计算方法第二章作业
第二章作业题答案
1.当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次差值多项式 (1)用单项式基底 (2)用拉格朗日插值基底
(1)解:设 f(x)abxcx2 则a+b+c=0 a-b+c=-3 a+2b+4c=4
解得
a7,b3,c5 326
所以 f(x)73x5x2
解:由p(0)=0,p(1)=1,p(2)=1,我们可以得出
P 2 ( x ) ( x ( 1 1 ) ) ( ( x 2 ) 2 ) 0 ( 1 ( x ) 0 ( ) x ( 1 2 2 ) ) 1 ( ( 2 x ) ) ( ( 2 x 1 1 ) ) 1 1 2 x 2 3 2 x
将 p'(0)0,p'(1)1 代入到上式中,得出
a 3 ,b 1
4
4
从而有 P4(x)1 4x43 2x39 4x2
p ( x 0 ) f ( x 0 ) , P '( x 0 ) f '( x 0 ) , P ''( x 0 ) f ''( x 0 ) ,p ( x 1 ) f ( x 1 )
解:设 P ( x ) f( x 0 ) f'( x 0 ) ( x x 0 ) f''2 ( x ! 0 )( x x 0 ) 2 a ( x x 0 ) 3
解:设P(x)= ax3bx2cxd
则 P'(x)3ax22bxc
d 0 代入已知条件,得到: c 1
abcd 1 3a 2b c 2
解得a=1,b=-1,c=1,d=0
所以P(x)= x3 x2 x

高等数值分析第二章答案

高等数值分析第二章答案

第二章习题参考答案1.解: 由于20Ax b−≥,极小化2b Ax −与极小化22Ax b −是等价的。

令22()(,)(,)2(,)x Ax b Ax Ax b b Ax b ϕ=−=+−,对于任意的n R y x ∈,和实数α,)()(),()()(,*222*2****x Ay a x Ay Ay a x ay x b Ax x ϕϕϕϕ≥+=+=+=则有满足若这表示处达到极小值。

在*)(x x ϕ反之,若必有处达到极小,则对任意在nR y x ay x ∈+*)(ϕ0),(2),(2),(20)(**0*=−=+−=+=Ay b Ax Ay Ay a Ay b Ax daay x d a 即ϕ故有 b Ax =*成立。

以上证明了求解,22b Ax b Ax −=等价于极小化即。

等价于极小化2b Ax b Ax −= 推导最速下降法过程如下:),/(),(0),(),(,0),,2)(222)()(11k T k T k T k k T k T k T k k T k k k T k k kT k T k T T x x k r AA r AA r AA r a r AA r AA a r AA r r aA x da dx a r aA x x r A Ax b A Ax A b A x grad x x k==+−=++==−=−=−++=最终得到得出(由取得极小值。

使求出取的负梯度方向,且下降最快的方向是该点在ϕϕϕ给出的算法如下:1))(000Ax b A r A R x T T n −=∈,计算给定; 2)L ,2,1,0=k 对于)转到否则数。

为一事先给定的停机常则停止;其中若2),/(),(10,11kT k k k k T k k k k k k k k k r A p Ax b r r A a x x Ap Ap p p a k k r =−=+==+=>≤−−εε2.证明 1) 正定性由对称正定矩阵的性质,(),0x Ax ≥(当且仅当x =0时取等号),所以 ()12,0Axx Ax =≥(当且仅当x =0时取等号)2) 齐次性()()()121122,(),,AA xx A x x Ax x Ax x αααααα⎡⎤====⎣⎦3)o1方法(一)A 是对称正定矩阵,得到(,())0x y A x y λλ++≥,把它展开如下2(,)(,)(,)(,)0y Ay x Ay y Ax x Ax λλλ+++≥考虑到(,)(,)(,)x Ay Ax y y Ax ==,把上式看成关于λ的一元二次方程,则式子等价于24(,)4(,)(,)0x Ay x Ax y Ay ∆=−≤因此1/21/2(,)(,)(,)x Ay x Ax y Ay ≤所以1/21/221/21/2((,)(,))(,)(,)2(,)(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)(,)((),())x Ax y Ay x Ax y Ay x Ax y Ay x Ax y Ay x Ay x Ax y Ay x Ay y Ax x y A x y +=++≥++=+++=++两边开平方即可得到AA A x yx y +≤+因此,1/2(,)A x Ax x =是一种向量范数。

数值分析参考答案第二章

数值分析参考答案第二章

第二章插值法1.当兀= 1—2时,/(%) = 0-3,4^/(%)的二次插值多项式。

解:X。

= I/】=—l,x2 = 2, /Uo) =0,/(^)=-3,/(X2) = 4;一丄(兀+i)(一2),0(人)=Oo — xJOo — xJ 2加)=(_兀)(—心=丄(一1)(一2)(兀一兀)(州一呂)6(A-.VoX.V-Vj l(Y_1)(x+1)(x2-x Q)(x2-x t) 3则二次拉格朗口插值多项式为2厶⑴=£)恥)k=0=-3/0(X)+4/2(X)1 4= --U- 1)(A—2) + -(x-l)(x + 1)5r 3 7=-X" +—x--6 2 3/(x) = liix2.用线性插值及二次插值计算1110.54的近似值。

解:由表格知,x0 = 0・4,兀=0.59X2 = 0.6, x3 = 0.7,x4 = 0.8; f(x Q) = -0.916291,/(xj = -0.693147 /(A) = —0.510826,/a)= -0.356675 /(x4) =-0.223144若采用线性插值法计算hiO.54即/(0.54),则0.5 <0.54 <0.6/1(x) = ^—^ = -10(.v-0.6) 人一无X —X /.(%) = -__ =-10(x-0.5)厶⑴=/U1XW + /(x 2)/2(x)=6.93147(x — 0.6) - 5・ 10826(.— 0.5)・・・厶(0.54) = -0.6202186 « -0.620219若采用二次插值法计算lnO.54时, (V f _亠)=50(x-0.5)(x- 0.6)(x Q -xj(x 0-x 2)(工7。

)(工_亠)=-100(x- 0.4)(x — 0.6)(兀一 Xo )(X 】一XJ厶(x) = /UoVoW+/U1XW+/(x 2)/2(x )=-50 x 0.916291(%-0.5)(A -0.6)+ 69.3147(x-0.4)(x-0.6)-0.510826 x50(x-0.4)(x-0.5).14(0.54) = -0.61531984 « -0.615320 3.给全cosx,0 <x<90°的函数表,步长/? = r = (l/60)\若函数表具有5位有效数字,研 究用线性插值求cos 兀近似值时的总误差界。

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理学院数学系计算数学教研室
02
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法
追赶法
向量和矩阵的范数
Gauss 消去法
平方根方法
已有研究
直接三角分解方法
线性方程组固有性态与误差分析
现实意义
在工程技术、自然科学和社会科学中,
经常遇到的许多问题最终都可归结为解线性方程组1
2
3
用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题
工程中的三次样条函数的插值问题
经济运行中的投入产出问题
4 大地测量、机械与建筑结构的设计计算问题
都可归结为求解线性方程组(或非线性
方程组)的数学问题。

因此线性方程组
的求解对于实际问题是极其重要的
列主元Gauss消去法
可见,列主元Gauss消去法是在每一步消元前,在主元所在的一列选取绝对值最大的元素作为主元素.而全主元Gauss消去法是在每一步消元前,在所有元素中选取绝对值最大的元素作为主元素.但由于运算量大增,实际应用中并不经常使用.
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