一元一次方程的应用(行程问题)1
一元一次方程的应用——行程问题
一元一次方程的应用——路程问题
一、直线型相遇
1、某公路的干线上有相距108千米A．B两个车站，某日16时整，甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时出发，相向而行。
已知甲车速度为45千米/小时，乙车速度为36千米/小时，则两车相遇时间为（）
A . 16时20分 B. 17时20分 C. 17时30分 D. 16时50分
2、甲乙两人骑自行车，同时从相距45千米的两地相向而行，经过2小时两人相遇，已知甲比乙每小时多走2.5千米，求两人每小时各走多少千米？
二、直线型追及
3、甲乙两人骑自行车和摩托车都从A地到B地，甲每小时行18千米，甲出发2小时后乙才出发，结果乙用了3小时追上甲，则乙每小时走_________________km.
4、某中学组织学生到校外参加义务植树活动。
一部分学生骑自行车先走，速度为9千米/小时；40分钟后其余学生乘汽车出发，速度为45千米/小时，结果他们同时到达目的地。
目的地距学校多少千米？
三、环形跑道型相遇与追及
5、一条环形跑道长400米，甲练习骑自行车，平均每分钟行550米，乙练习跑步，平均每分钟跑250米.两人同时同地出发。
（1）若两人背向而行，则他们经过多长时间首次相遇？
（2）若两人同向而行，则他们经过多长时间首次相遇？
四、列车型相遇与追及
6、甲列车长120米，车速为60千米/小时,乙列车长130米，车速为40千米/小时。
（1）两车同向而行，当甲列车车头追上乙列车车尾后又经过多长时间两车离开？
（2）两车相向而行，当两车相遇后又经过多长时间两车离开？。
一元一次方程的应用---顺、逆流(风)行程问题
顺水的速度=静水中的速度+水流的速度 逆水的速度=静水中的速度–水流的速度
问题：本题的等量关系是什么?
顺流行驶的路程=逆流行驶的路程
设船在静水中的平均速度为 x km/h，
（ x-24） 则顺风速度为 ______ km/h，逆风速度为 ______ km/h,由 （ x+24） 题意得
2.8(x+24)=3(x-24)
解得： x=696
所以 3(x-24)=3×(696-24)=2016 答:无风时这架飞机在这一航线的平均航速为 696 km/h， 两机场之间的航程为 2016 km.
顺流(风)速度×顺流(风)时间＝逆流(风)速度×逆流(风)时间
【练习题2】在风速为 24 km/h的条件下， 一架飞机顺风从A城市飞到B城市要用 5.5 h， 它逆风飞行同样的航线要用 6 h，求A、B两 设间接未知数 城市之间的航程.
反思小结：
1、通过这节课的学习，你有什么收获？
2、在解决顺、逆流（风）行程问题方面 你获得了哪些经验？这些问题中的相等关 系有什么特点？
解：设船在静水中的平均速度为 x km/h，则顺流速
度为 ______km/h ，逆流速度为 ______km/h, 由题意得 （ x+3） （ x-3）
2(x+3)=2.5(x-3)
去括号，得 2x+6=2.5x-7.5 移项，得
2x-2.5x=-7.5-6
合并同类项，得 0.5x= 13.5
系数化为1，得 x=27. 答：船在静水中的平均速度为 27 km/h.
一元一次方程解应用题(行程问题)
1、甲乙两站相距318千米，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行48千米，慢车开了1小时后，一列快车从乙站开往甲站，每小时行72千米，慢车开了几小时与快车相遇？2、甲乙两人从A地前往B地，乙比甲晚出发40分钟，结果在甲行到离B地还差5千米处，乙追上甲，已知甲每小时行6千米，比乙每小时少行2千米，求AB两地间的路程。
3、一船从甲地沿河顺流而下，9小时到达乙地，按原路返回，则需11小时，已知水流速度是2千米/时，求甲乙两地间的距离。
4、一辆汽车用40千米/时的速度由甲地驶向乙地，车行了3小时后，因遭雨平均速度被迫每小时减少10千米，结果到达乙地的时间比预计时间晚了45分钟，求甲乙两地间的距离。
5、甲骑自行车从A地B地，2小时后，乙步行由A地向B地走去，乙出发2小时后，甲到达B地，此时乙距B地32千米，乙继续前进，甲在B地休息2小时30分钟后沿原路返回，经过1小时与乙在P地相遇，求此时乙距B地多远？6、一个通讯员骑自行车需要在规定的时间内，把信送到某地，如果每小时走15千米，就早到24分钟；如果每小时走12千米，就要迟到15分钟，问原定时间是多少？他去某地的路程有多远？7、一辆卡车从甲地开往乙地，出发3小时后，一辆轿车也从甲地开往乙地，轿车比卡车晚20分钟到达乙地，已知卡车速度是20千米/时，轿车速度比卡车速度快2倍，求甲乙两地间的距离。
8、甲乙两辆汽车，甲车以每小时40千米的速度从A地出发到B 地，当行了全程的时，乙车从A地以同样的速度出发，这时甲在原地休息了15分钟，乙接到命令要与甲同时到达B地，此时乙车速度每小时增加20千米。
求AB两地间的距离。
9、甲在南北方向的街道上，由南往北走，乙在东西的大路上由西往东走，甲的出发地点距离交叉点1120米，乙的出发地点在交叉点，二人同时出发56分钟后，甲行过交叉点，此时二人所在位置与交叉点距离相等。
已知甲乙的速度比是15：13，求甲乙二人的速度。
10、A、B两地相距630千米，甲乙两人从A地到B地，甲骑摩托车，乙开汽车，甲出发1小时后，乙也从A地出发，又2小时后，在途中遇到甲，两人继续以原速度前进，乙到B地后立即沿原路返回，途中又与甲相遇，已知从甲乙第一次相遇到第二次相遇共用6小时，求甲乙二人的速度。
一元一次方程应用行程问题含答案
（1）求甲从A到B地所需要的时间．
10．一列火车匀速行驶经过一条隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共需45 s，而整列火车在隧道内的时间为33 s，火车的长度为180 m，求隧道的长度和火车的速度．
11．东南中学租用两辆小轿车（设速度相同）同时送二名带队老师及 名七年级的学生到育才中学参加数学竞赛，每辆车限坐 人（不包括司机）．其中一辆小轿车在距离育才中学 的地方出现故障，此时距离竞赛开始还有 分钟，唯一可利用的交通工具是另一辆小轿车，且这辆车的平均速度是 ，人步行的速度是 （上、下车时间忽略不计）．
8．双“11”期间，某快递公司的甲、乙两辆货车分别从相距335km的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2h时，甲车先到达配货站C地，此时两车相距35km，甲车在C地用1h配货，然后按原速度开往B地；乙车继续行驶0.5h时，乙车也到C地，但未停留直达A地．
（1）乙车的速度是_____km/h，B、C两地的距离是____km．
5．小明爸爸带着小明和小明弟弟去离家66千米的外婆家，小明爸爸有一辆摩托车，只坐一人时速度为50千米/小时，坐两人时速度为40千米/小时（交通法规定：摩托车最多只能坐两人）。小明和小明弟弟如果步行速度均为10千米/小时，为尽快达到外婆家，出发时，小明步行，小明爸爸将小明弟弟载了一段路程后让其步行前往外婆家，并立即返回接步行的小明，再到外婆家，结果与小明弟弟同时到达外婆家，则小明从家到外婆家步行的时间为___________.
一元一次方程应用题——行程问题
1. 某人从家里骑自行车到学校。
假设每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；假设每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？2.在800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，•两人同时同地同向起跑，t分钟后第一次相遇，t等于多少分钟．3.一列客车长200 m,一列货车长280 m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过16秒,客车与货车的速度之比是3∶2,问两车每秒各行驶多少米?4.一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时40分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间距离？5.轮船在静水中的速度是20千米/小时，从甲港顺流到乙港需8小时，返航时行走了6小时在距甲港68千米处发生故障，求水流速度？6.甲、乙两站相距280千米，一列慢车从甲站出发，每小时行驶60千米，一列快车从乙站出发，每小时行驶80千米，问两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇？7.甲、乙两列火车，长为144米和180米，甲车比乙车每秒钟多行4米，两列火车相向而行，从相遇到错开需要9秒钟，问两车的速度各是多少？8.甲、乙两人分别同时从相距300米的A、B两地相向而行，甲每分钟走15米，乙每分钟走13米，问几分钟后，两个相距20米？9.甲乙两人骑自行车,从相距42千米的两地相向而行,甲每小时走12千米,乙每小时走10千米,如甲走12分钟后乙再出发,问甲出发后几小时与乙相遇?10.小红和小军两人同时从各自的家里出发去找对方，两家的直线距离为1200米，小红每分走55米，两人最后用61小时在途中某点相遇，那么小军每分钟走多少米？11.A 、B 两地相距80米，甲从A 地出发，每秒走1米，乙从B 地出发每秒走1.5米，如甲先走15米，求乙出发后多少秒与甲相遇？12.某汽车和电动车从相距298千米的两地同时出发相对而行，汽车的速度比电动车速度的6倍还多15千米，半小时后相遇。
一元一次方程常见应用题型及解法
一元一次方程常见应用题：
一、行程问题：路程=速度×时间
1：相遇问题：甲路程+乙路程=总路程
2：追及问题：a、不同时同地出发：快者（追者）走的路程=慢者（前者）走的路程
b、同时不同地出发：慢者走的路程+两者距离=快者走的路程
3、水流问题：顺水行的路程=逆水行的路程
提前写出：顺水速度=静水速度+水流速度
逆水速度=静水速度-水流速度
二、工程问题：工作总量=工作效率×工作时间工作效率与单独工作的时间互为倒数
各部分工作量之和=1
三、利润率、销售问题：
商品利润=商品售价-商品进价=商品进价×商品利润率
商品利润率=商品利润/商品进价×100%
售价=进价×（1+利润率）
注：进价
售价=实际销售价格
标价=定价=原价=预计售价=原销售价
四、数字问题：
设一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别为a、b,则这个两位数表示为10a+b 五、按比例分配问题：
甲：乙：丙=a:b:c 全部数量=各种成分的数量之和（设一份为χ）
六、配套问题
“加工的两种物品成比例”
七、分配问题
“总量不变”
八、积分问题
比赛总场数=胜场总数+平场总数+负场总数
比赛总积分=胜场总积分+平场总积分+负场总积分九、规律问题
●3个规律数字：设中间的数为χ
●月历中的问题
月历中每一行上相邻的两数，右边的数比左边的数大1；
月历中的每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7 十、方案决策问题
选择最优的方案就要把每种方案的结果算出来，进行比较。
3.2.3一元一次方程的应用(行程问题)
家
400米 80x米
学 校
180x米
追 及 地
小明先行路程 ＋ 小明后行路程 =爸爸的路程
精讲
例题
分
家
析
学 校
例2、小明每天早 上要在7:50之前赶到距 离家1000米的学校上学， 400米 80x米 一天，小明以80米/分 追 的速度出发，5分后， 小明的爸爸发现他忘了 及 180x米 带语文书，于是，爸爸 地 立即以180米/分的速度 去追小明，并且在途中 （1）解：设爸爸要 x分钟才追上小明， 追上他。 依题意得： （1）爸爸追上小明用 180x = 80x + 5×80 了多少时间？ （2）追上小明时，距 解得 x=4 离学校还有多远？ 答：爸爸追上小明用了4分钟。
小王、叔叔在400米 长的环形跑道上练习跑 步，小王每秒跑4米，叔 叔每秒跑7.5米。
（1）若两人同时同地反 向出发，多长时间两人
（2）同向
小王
首次相遇？
（2）若两人同时同地同 向出发，多长时间两人 首次相遇？
相等关系：
小王路程 + 400 = 叔叔路程
精讲
例题
分
析
例4 为了适应经 济发展，铁路运输再 次提速。如果客车行 驶的平均速度增加 40km/h,提速后由合 肥到北京1110km的路 程只需行驶10h。那 么，提速前，这趟客 车平均每时行驶多少 千米？
长时间后与A车相遇？
答：设B车行了3小时后与A车相遇。
精讲
例题
分
析
例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米 的甲、乙两地，甲车每
线段图分析： A
甲 第一种情况： A车路程＋B车路程＋相距80千米=
50 x
80千米
一元一次方程的应用——行程问题
一元一次方程的应用-----行程问题
例１：小明早晨要在7：20以前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发．5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
例２：甲、乙两站间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列慢车从乙站开出，每小时行驶85千米．设两车同时开出，同向而行，则快车几小时后追上慢车？
例3：甲、乙两人相距280，相向而行，甲从A地每秒走8米，乙从B地每秒走6米，那么甲出发几秒与乙相遇？
例4：七年级一班列队以每小时6千米的速度去甲地.王明从队尾以每小时10千米的速度赶到队伍的排头后又以同样的速度返回排尾，一共用了7.5分钟，求队伍的长.
练习1：小兵每秒跑6米，小明每秒跑7米，小兵先跑4秒，小明几秒钟追上小兵？
练习2：甲骑摩托车，乙骑自行车同时从相距150千米的两地相向而行，经过5小时相遇，已知甲每小时行驶的路程是乙每小时行驶的路程的3倍少6千米，求乙骑自行车的
速度.
检测1：小华和小玲同时从相距700米的两地相对走来，小华每分钟走60米，小玲每分钟走80米．几分钟后两人相遇？
检测2：一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/小时的速度前进。
突然，1号队员以45千米/小时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以45千米/小时的速度往回骑，直到与其他队员会合，1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了
多长时间？。
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（3）相遇问题
例：甲、乙两站间的路程为800 km，一列慢 车从甲站开出，每小时行驶80 km，一列快 车从乙站开出，每小时行驶120 km。 1、两车同时开出相向而行，多少小时相遇？ 2、快车先开30分钟后两车相向而行，慢车行 驶了多少小时两车相遇？
甲
乙
800KM
慢车的路程
快车的路程
相等关系： 总路程＝慢车的路程＋快车的路程
追及问题的等量关系
（1）同时不同地 ： 慢者行的路程+两者的距离差=快者行的路程 （2）同地不同时： 甲行的总路程=乙行的总路程
s甲先走 s甲后走 s乙
S甲先快 S甲后慢 S乙先慢 S乙后快
（5）环行跑道问题
校园中的环行跑道长400米。甲每分钟走 550米，乙每分钟走250米。 1、若甲、乙两人同时同地相向而行出发，问 多少分钟后他们相遇，相遇地点在何处？ 2、若甲、乙两人同时同地同向而行出发，问 多少分钟后他们相遇，相遇地点在何处？
行程问题
路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间
（1）基本行程问题
小明从家到学校，如果每分钟走100米，就会 迟到3分钟；如果每分钟走150米，就会早到3 分钟，问：小明按时到校要多少分钟？小明家 到学校有多少米？
（2）航行问题
航行问题常用的关系式是：
顺水（风）速度=静水（风）速度+ 水流（风）速度 逆水（风）速度=静水（风）速度水流（风）速度
作业：甲、乙两人环绕周长是400米的跑道 散步，如果两人从同一地点背道而行，那 么经过2分钟他们两人就要相遇．如果2人 从同一地点同向而行，那么经过20分钟两 人相 遇．如果甲的速度比乙的速度快，求 两人散步的速度分别是多少？
（6）火车过桥问题
一铁路桥长1200米，现在有一列 火车从桥上通过，测得火车从上 桥到完全过桥共用时50秒，整个 火车完全在桥上的时间是30秒， 求火车的长度和速度。
答：甲、乙两地的距离为120千米。
等量关系：顺水航行的路程=逆水航行的路程 （方法二） 解：设汽船逆水航行从乙地到甲地需x 小时， 依题意得： (18+2)(x －1.5)= (18 －2）x 解得：x=7.5 甲、乙 两地的距离为： (18 －2) ×7.5=120 答:甲、乙两地距离为120千米。
例2：汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间 比从乙地逆水开往甲地少1.5小时。已知船 在静水的速度为18千米/小时，水流速度为 2千米/小时，求甲、乙两地之间的距离？
等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间=1.5 （方法一） 解：设甲、乙两地的距离为x 千米 x x 1.5 依题意得： 18 2 18 2 解得： x=120
列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）读题审题：弄清题意． （2）找出等量关系：找出题目中的相等关系． （3）设出未知数，列出方程：设出未知数X后，表 示出相关的含X的式子，• 然后利用已找出的等量 关系列出方程． （4）解方程：解所列的方程，求出X的值． （5）检验，写答案：检验所求出的X的值是否是方 程的解，• 是否符合实际，检验后写出答案．
例1： 一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用 了2 h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了 2.5 h。已知水流的速度是3km/h，求轮船在静 水中的平均速度以及两码头之间的距离？ 分析：顺流的路程=逆流的路程 解：设轮船在静水中的平均速度是xkm/h。 2（x+3）=2.5（x-3） 解得：x=27 两码头之间的距离：2×（27+3）=60 答：轮船在静水中的平均速度是27km/h, 两码头之间的距离是60km。
练习
一艘轮船航行于两地之间,顺水要用 3.5小时,逆水要用4小时,已知船在静 水中的速度是60千米/小时,求水流的 速度.
作业1：
一架飞机飞行在两个城市之间， 已知风速为24千米/时. 顺风飞 行需要2小时50分，逆风飞行需 要3小时. 求飞机在无风时的速 度以及两个城市之间的路程.
作业2：
一艘轮船在A、B两码头之间航 行，顺水航行用了3小时，逆水 航行比顺水航行多用30分钟，已 知轮船在静水中的速度是26千米/ 时，问水流的速度是多少？
甲
乙
800KM
先行路程
慢车路程
快车行驶的总路程
相遇问题的等量关系
甲行的路程+乙行的路程=总路程
s甲 s乙 s总 s甲先 s甲后 s乙 s总
思考题： “一只小狗每小时跑5km，它同甲一起出发， 碰到乙时它就返身往甲这边跑，碰到甲时它就 返身往乙这边跑，问小狗在甲、乙相遇时一共 跑了多少千米？ 3km/h
作业2：
A、B两地相距230千米，甲队从A地出 发两小时后，乙队从B地出发与甲相向 而行，乙队出发20小时后相遇，已知 乙的速度比甲的速度每小时快1千米， 求甲、乙的速度各是多少？
（4）追及问题
例1：甲汽车以15m∕s的速度去追它正 前方100m的乙汽车。经过20s正好追 上，求乙汽车的速度？
例2：两地相距28千米，甲以15千米/小 时的速度，乙以30千米/小时的速度，分 别骑自行车和开汽车从同一地前往另一 地，甲先出发1小时，乙几小时后才能 追上甲？
2km/h
分析：小狗走的路程＝小狗走的速度×小 狗走的时间． 因为小狗往返跑直到甲、乙相遇时才停下 来，故小狗跑的时间就是甲、乙相遇前走的时 间． 所以小狗所跑的路程为： 5×10＝50（千米） 答：小狗在甲、乙相遇时，一共跑了50千米．
作业1： A、B两地相距60千米,甲乙两人分别同 时从A、B两地出发,相向而行,甲每小时 比乙多行4千米,经过3小时相遇,问甲乙 两人的速度分别是多少?