C8-2相似律

7
8.2 The Law of Similarity.基本概念
时间比例尺
t l / v kl kt t l /v kv
动力相似比例尺
FP
Fi ma
FP
F
a
F
a
FP
Fi ma
FP
Fg
F
Fg
Fg
F
式中的速度u，按每个变量改变10次获得一条实 验曲线计算，共需 105次实验，而且其中要改变 10次密度和粘度，实际上难以实现。经量纲分析 后变量减少为3个，为确定函数关系 只需要102次 实验。
可见，量纲分析在减少问题变量的同时，在实践 中能够减少实验重复的次数。
21
8.2 The Law of Similarity.力学相似的推导
Fg
Fi F Fg FP kF FP F Fg Fi
对流体来说，运动和受力总是耦合在一起的，所以运 动相似和动力相似通常应当同时满足。 此外还有热力相似。由比例尺，可以根据实验数据得到原 型的对应物理量。
8.2 The Law of Similarity.基本概念
3. 流动相似层级 几何相似 形状相似 同类现象 流动相似 相似现象 流动相似 的四个层 次从低到 高，低一 级的相似 是高一级 相似的必 要条件。 几何相似 运动相似 动力相似 热力相似 物理量成比例 尺度成比例 速度成比例 力成比例 温度成比例 时空对应点： 无量纲坐标 和无量纲时 间对应相等 的“点”。 尺度成比例 遵循同一方程

L T
2
2 1
L
d im z L
p dim g -1 2 3 M L T M L
d im 常 数 L


L T
1
2 1
L
3
8.2 The Law of Similarity.基本概念
2.
关于模型实验
1) 什么是模型实验？ 模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物 理现象的实验。实际发生的现象称为原型现象，模型实验的侧 重点是再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原型中 流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。 2) 为什么要进行模型实验？ • 科学研究和生产设计需要做模型实验 ； 并不是所有的流动现象都需要做模型实验。能够做理论分析 或数值模拟的流动现象都不必模拟实验。 并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对其流动现 象有充分的认识，并了解支配其现象的主要物理法则，但 4 还不能对其作理论分析或数值模拟的原型最适合做模型实验。
第3步、将基本量以外的其余的物理量作为导出量， 分别与基本量的幂次式组成数的表达式并求出表 达式中的指数。（略）
相同物 理本质
8.2 The Law of Similarity.基本概念
“相似性”的简单几何类比：几何相似
l h ' kl ' l h
l l' l* h h'
无量纲量
所有相似的矩形具有相同的长宽比l/h ，称为相似准则；长 宽比值l*为无量纲量，称为相似准则数（相似参数）。若 将宽度作为特征长度， l*也称为矩形的无量纲边长。相似 准则数l*代表了一簇长宽比相同的“相似”矩形。
[例1]
三角堰泄流量
不可压缩理想流体在重力作用下，从等腰三角堰中定常泄流， 求泄流量Q(体积流量)的表达式。
解：1．列举物理量。Q ,α， h ， ρ，g ，共5个
Q ( , g , h, )
2．选择基本量： ρ、g、h 3．列表达式求解数
①
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 a g b h cQ
15
M0 L 0 T0 = ( M L –3) a ( LT–2 ) b L c ( L3 T –1 )
第1步、列举所有相关物理量。（相关量） 第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量。 第3步、将其余的物理量作为导出量，分别与基本 第4步、利用数构成形式上的方程。
量的幂次式组成数的表达式并求数中的各幂次指数。
14
8.2 The Law of Similarity.力学相似的推导
量纲分析法
②

2
（弧度，无量纲）
4．列π数方程 π1= f (π 2)
Q f ( ) 5 / 2 1/ 2 h g
16
8.2 The Law of Similarity.力学相似的推导
量纲分析法
[例]
或
三角堰泄流量：量纲分析解法
Q f ( ) g h
5/2
( c)
讨论：①结果表明Q与ρ无关，与h成5/2次方关系。
低速风洞
5
8.2 The Law of Similarity.基本概念
2.
关于模型实验
3) 模型流动设计要求
设计模型流动，要使之成为原型流动的相似流动，原 则上要满足几何相似、运动相似和主要动力相似及热力相 似。具体设计时，首先要考虑该流动性质选择决定性的相 似准数，此外还要考虑实验规模和实验室的条件以及实验 时所采用的流体是否与原型流动中的流体相同且是否同一 温度等因素。
大小 物理量
单位制
国际单位制
英 基本量纲
类别 量纲 导出量纲
制
量纲幂次式
SI制中力学的基本量纲 (dimension)： dim m = M , dim l = L , dim t = T dimT=θ 导出量纲：用基本量纲的幂次表示。
2
8.2 The Law of Similarity.基本概念
量纲分析法
M : a 0 L : 3a b c 1 0 T : 2b 1 0
解得：a = 0, b = - 1 / 2, c = - 1 / 2
u ( , , , g ,d )
2)
2 g d
a b c
u 1 1/ 2 1/ 2 g d
量纲分析法
通常，每一种变量都有其对应的不变量，这个不变量也就是 其特征量。
第2步、选择第1步中包含不同基本量纲的物理量为基本量。 本问题包含4个基本物理量纲
L , M , T ,
选择其中四个特征物理量 L，t0，p0，Tw-T∞作为基本物 理量，根据π定理，16-4 可以得到12个无量纲量（π数）
量纲齐次性原理
同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时， 每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。
v2 p z 常数 （沿流线） 2g g
按照国家标准（GB3101—93），物理量的量纲记为dim(.)， 国际物理学界沿用的习惯记为[.]
v2 dim 2g
1 L T
4．列π数方程
讨论：
Π（ π ）定理只能确定出影响流动的无量纲数， 要确定具体的函数关系，必须通过试验解决。
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8.2 The Law of Similarity.力学相似的推导
量纲分析法
量纲分析的结果主要用于指导实验。上例中原来 有5个变量，若通过实验确定
u ( , , , g ,d )
量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关 的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量， 用无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭 示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导 理论分析和实验研究。
12
8.2 The Law of Similarity.力学相似的推导
量纲分析法
1 = f ( 2, 3, ……, n-r )
n个物理量
充要条件 定 理
r个
基本量纲 选出r个量纲 独立的基本 物理量
组成n-r 个数
方 法
量纲分析方法 等
13
n-r个导出量
8.2 The Law of Similarity.力学相似的推导
量纲分析法
1)
量纲分析法一般步骤：
2
g 1/ 2 d 3 / 2
19
8.2 The Law of Similarity.力学相似的推导
量纲分析法
3)

3
/
π1= f (π2, π3)
u f ( 1/ 2 3 / 2 ， ) 1/ 2 1/ 2 g d g d
u ( , , , g ,d )
8.2 The Law of Similarity.力学相似的推导
量纲分析法
[例]
三角堰泄流量：量纲分析解法
M : a 0 L : 3a b c 3 0 T : 2 b 1 0
解得：a = 0, b = - 1 / 2, c = - 5 / 2
Q 1 5 / 2 1/ 2 h g
10
8.2 The Law of Similarity.力学相似的推导
二、力学相似律的推导.力 学相似的充要条件
1. 量纲分析法 2. 方程分析法 3. 常用的相似准数及其物理意义
11
8.2 The Law of Similarity.力学相似的推导
量纲分析法
1.量纲分析法
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基 础的是布金汉（E.Buckingham,1914)，他提出了广泛使用 的 （II）定理。
M 0 L 0 T 0 = ( M L – 3 ) a ( L T – 2 ) b L c ( ML – 1 T – 1 )
M : a 1 L : 3a b c 1 0 T : 2b 1 0
解得：a =-1, b = - 1 / 2, c = - 3 / 2
u ( , , , g ,d )