Signals and Systems(4)

非周期信号傅立叶变换的导出 回顾： 回顾：连续时间周期方波信号的傅立叶级数
从任一时刻t − −t + T积分，为方便起见，积 分区间选 − T / 2 < t < T / 2 1 T1 2T a0 = ∫ dt = 1 ，a0为x(t )的平均值，即周期方波 的占空比 T −T1 T 1 T1 − jkω0t 1 2 e jkω0T1 − e − jkω0T1 − jkω0t T1 |−T1 = ak = ∫ e dt = − e = −T1 T jkω0T kω0T 2j 2 sin( kω0T1 ) = kω0T sin( kπ kπ 2T1 ) T ，k ≠ 0
X ( jω )＝∫ x(t )e
−∞
+∞
− jωt
dt
1 +∞ x(t )＝ ∫ X ( jω )e jωt dω 2π −∞ k = −∞ 此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布、
1 ak = ∫ x(t )e − jkω0t dt T T+∞ x(t ) = ∑ ak e jkω0t
T=4T1,占空比＝0.5 占空比＝ 占空比
π
T=8T1,占空比＝0.25 占空比＝ 占空比
π
T=16T1,占空比＝0.125 占空比＝ 占空比
π
sin(kω0T1 ) ，k ≠ 0 假定T=4 T=4， 假定T=4，T1＝1，以实际频率为横轴绘图 kπ
2011年7月27日星期三 7 Signals & Systems
2011年7月27日星期三 14 Signals & Systems
号
：连续时间
变换
Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform
条件1： 若x(t )平方可积，即∫ x(t ) dt < ∞，则X ( jω )是有限值，
ห้องสมุดไป่ตู้
X ( jω )＝F{x(t )} ⇔ X ( jω ) ← F x(t ) → −1 x(t )＝F { X ( jω )}
2011年7月27日星期三
12
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非周期信号的表示： 非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换
Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform
ˆ ˆ x(t )e − jkω0t dt，由于在 t < T / 2内，x(t ) = x(t )，因此： x(t )e
+∞ −∞ − jkω0t
−T / 2
1 dt = T
∫
+∞
−∞
x(t )e − jkω0t dt 1 X ( jkω0 ) T
10 Signals & Systems
令X ( jω )＝∫ x(t )e − jωt dt , 则ak =
−∞ +∞ 2
表明傅立叶变换存在。 条件2： Dirichlet条件： 1、x(t )绝对可积， x(t ) dt < ∞ ∫
−∞ +∞
2、在任何有限区间内，x(t )只有有限个最大值和最小值 3、在任何有限区间内，x(t )有有限个不连续点， 且在每个不连续点都是有限值
仅为充分条件，且两条件不对等
求取图（a）所示信号x(t )的 傅立叶变换，先构造图（b） ˆ 所示的以T为周期的周期信号x(t ) 取积分区间 − T / 2 ≤ t ≤ T / 2，有： ˆ x(t ) = ak = 1 T 1 ak = T
k = −∞
x(t )
ˆ x (t )
∑a e
k
+∞
jkω0t
∫ ∫
T /2
−T / 2 T /2
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号 连续时间
： 变换
Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform Continuous-
号
：连续时间
变换
Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform
T=4T1,占空比＝0.5 占空比＝ 占空比
π
包络线
T=8T1,占空比＝0.25 占空比＝ 占空比
π
T=16T1,占空比＝0.125 占空比＝ 占空比
π
以同一范围的实际频率为横轴绘图，考察周期信号的一个周期， 以同一范围的实际频率为横轴绘图，考察周期信号的一个周期，可 周期越大，采样频率越高， 见，周期越大，采样频率越高，但频谱的包络线形状不变
连续时间
变换
内
连续时间傅立叶变换; 连续时间傅立叶变换 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系; 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系 傅立叶变换的性质; 傅立叶变换的性质 系统的频率响应及系统的频域分析； 系统的频率响应及系统的频域分析；
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2
Signals & Systems
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则 周期信号演变成一个非周期信号；反过来，如果将非周期信 号进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。 我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极 限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋于无穷大时的变化， 就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。 在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信 号应该如何进行分解，什么是非周期信号的频谱表示，线性 时不变系统对非周期信号的响应如何求得，就是这一章要解 决的问题。
k = −∞
∑ X ( jkω0 )e
+∞
jkω0 t
1 ω0 → 2π
T →∞ ,ω0 → 0
∫
+∞
−∞
X ( jω )e jωt dω = x(t )
2011年7月27日星期三
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非周期信号的表示： 非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换
Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform
X ( jω ) = ∫ e e
0
+∞
− at − jωt
X ( jω ) =
1 a2 + ω 2
x(t )
1
1 1 − ( a + jω ) t ∞ dt = − e |0 = a + jω a + jω -1 ω ∠X ( jω ) = − tg a ∠X ( jω )
X ( jω)
1/ a
1 2a
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号
：连续时间
变换
Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform
常见信号的傅立叶变换
信号1：x(t ) = e − at u (t )，a > 0
0
t
0
2011年7月27日星期三
−a
a
16
ω
−a
−π / 2
−π / 4
π /4
π /2
a
ω
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号
：连续时间
变换
Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform
信号2：x(t ) = e
2011年7月27日星期三 13 Signals & Systems
号
：连续时间
变换
Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform
傅立叶变换的收敛
设X(jω)…÷ x(t)ŠXƒœ•Îœ7 么 变换， 么条件 趋 号x(t)？ 1 +∞ ˆ x ( t )＝ X ( j ω )e jω t d ω 2π ∫− ∞
X ( jω ) = ∫ e
−∞ +∞ −a t
−a t
，a > 0
dt = ∫ e e
−∞ 0 at − jωt
e
− jω t
dt + ∫ e − at e − jωt dt =
0
+∞
=
1 1 2a + = 2 a + jω a − jω a + ω 2
信号为实偶函数，傅立叶变换也为实偶函数，这点和傅立叶级数相同。 信号为实偶函数，傅立叶变换也为实偶函数，这点和傅立叶级数相同。 因此，幅频响应为实偶函数， 因此，幅频响应为实偶函数，相频响应为零
8ω0
2T 假定T 不变，随着周期T的增长 占空比减小， 的增长， 假定 1不变，随着周期 的增长，占空比减小，基频 sin(kπ 1 ) T ，k ≠ 0 ω0随着减小，因此以上三个交点实际频率相等。 随着减小，因此以上三个交点实际频率相等。 kπ
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ω
ω＝kω0
不变时， 的包络线不变， 就是Ta 的采样线，随着T的 当T1不变时，Tak的包络线不变，而ak就是 k的采样线，随着 的 增加， 减小，采样密度越来越高。 变得无穷大时， 增加，ω0减小，采样密度越来越高。当T变得无穷大时，周期方波 变得无穷大时 趋近于一个矩形脉冲，傅立叶级数系数就趋近于这条包络线， 趋近于一个矩形脉冲，傅立叶级数系数就趋近于这条包络线，即矩 形脉冲的傅立叶变换。 形脉冲的傅立叶变换。