随机数的产生与检验

Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早 在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率 ”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代 电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数 学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
服务时间的分布：
如果服务时间完全是随机的，通常在建模过程中用指数分布描述。 服务时间也可能是在某个常数附近波动，例如同样产品的加工时间应当总是相同 的，但是由于产品自身或加工工具的原因可能引起加工时间稍有不同。在这种情 况下，服务时间可以用正态分布描述。 T分布和威布尔分布也可以被用于模仿到达时间间隔和服务时间。实际上，指数 分布可以看成是T分布和威布尔分布的特殊情况。
IE 15
1.3 随机变量模型的确定
Simulation
在获得了有关随机变量的观测数据之后，需要拟合其服从 怎样的随机分布函数，一般通过如下三步：
由观测数据（？）估计随机变量的函数类型； 由观测数据和类型估计随机函数的参数； 假设检验确认随机函数类型和参数
IE
16
二、伪随机数产生方法
IE
13
1.2.2 库存系统常用的分布
Simulation
在现实的库存系统中有三个随机变量：
①每次订货或单位周期内的需求量， ②两次需求间的时间间隔， ③发出订单和收到订货间的时间间隔，也称为提前期。
在最简单的库存系统数学模型中，需求量始终为常数，而提前期也是零或常 数。但大多数实际情况中需求的时间是随机出现的，而每次的需求量也是随 机的。 几何分布、二项分布以及泊松分布都可以用来描述需求的分布，它们分别提 供了满足各种需求模式的分布形式，即在一定周期内的需求量的分布。几何 分布是特殊情况的二项分布，它描述了至少出现一次需求的概率。 常用的描述需求间隔时间的分布形式是指数分布（泊松分布）。 从一般意义上讲，订货提前期的分布通常和T分布是非常拟合的。但在研究 库存系统时，考虑的主要因素是需求量而不是提前期，提前期一般只视为对 库存策略的一种制约，因此在多数情况下，将提前期的分布简化为用均匀分 布来描述或者用正态分布来描述。
IE
19
2.1 伪随机数发生器的要求
Simulation
一个随机数序列，R1，R2，…RN必须具备两个重要的性质。即均匀 性和独立性。所谓均匀性是指，如果把随机数的采样区间分成n个相 等长度的子区间，那么在每一个子区间上观察到的期望数为N/n， 其中N为观察总次数；独立性是指一个数值出现在一个特定子区间的 概率与前面已经取到的数值无关。 在最简单的情况下，一个随机数序列中的每一个随机数都是[0，1] 区间上均匀分布的独立采样值。该分布的概率密度函数由下式给出：
IE
6
1.1 随机事件和随机变量
Simulation
离散随机变量
令X为一个随机变量。如果X的可能取值个数是有限的，或可数无限的， 则X被称为离散随机变量。
例1：观察每个星期到达加工车间的工件数量X：
X的可能取值：RX={0，1，2，…}; 对于RX中的每一个可能取值xi，数p(xi)=P(X=xi)给出了随机变量的取值为xi 的概率。数p(xi)须满足：
– 对所有i， p(xi) ≥0 – ∑ p(xi) =1
IE
7
1.1 随机事件和随机变量 离散随机变量
Simulation
例2：考虑投掷单个骰子的试验。定义X为投掷后骰子上面 的点数，那么RX={1，2，…，6}; 如果对骰子加载，使得给定面最后出现的概率正比于显示的 点数。
IE
8
1.1 随机事件和随机变量
1.2.1 排队系统常用的分布
Simulation
在排队系统中，主要有两种类型的活动，即实体到达和实体接受服务。 实体到达的模式一般用泊松分布来描述，即在固定的时间内到达系统的实体 数目服从泊松分布。这种模式的特点是：
① 在一定时间间隔内到达实体的数目仅与时间间隔的长短有关，而与这段时间间 隔的起始时刻无关。 ② 在某个时间间隔内，到达的实体数目与在此之前到达的实体数目无关，也不影 响在此之后实体的到达。 ③ 不存在两个或两个以上实体同时到达的情况。 ④ 若在一定时间内到达系统的实体数目χ服从参数为A的泊松分布，则相邻到达 的两个实体之间的到达时间间隔T服从参数 随机事件和随机变量
确定事件和随机事件
Simulation
确定事件：在给定条件下进行的试验中，一定发生或一定不发生的事件 分别称为必然事件和不可能事件，这类事件是确定性的，总称为确定事件 。 例如
水平投出粉笔，一定会往下落 水平投出粉笔，一定不会往上飞
随机事件：在给定条件下进行的试验中，可能发生也可能不发生，而在大 量重复试验中却具有某种规律性的事件，称为随机事件。 例如
Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法， Monte Carlo 方法中的随机数序列更接近事物的本质和真相。
IE
3
蒙特卡洛(Monte Carlo)方法
Simulation
社会生活、科技计算中的复杂问题，比如金融衍生产品（期权、期货 、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可 能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长， 这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统 的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。而Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性 不再依赖于维数。 另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础却不同的方法是 ―拟蒙特卡罗方法”(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅 速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的 一例。这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上 称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中 的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提高数百倍，并可计算精确度。
三、随机数的检验
3.1 科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫检验
小结及习题
IE
2
蒙特卡洛(Monte Carlo)方法
Simulation
蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种 基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战时 研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯· 诺 伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法 ，为它蒙上了一层神秘色彩。
3.
4.
几何分布与负二项分布
泊松分布（指数分布）
泊松分布非常适合描述许多随机过程，且在数学上非常简单 随机变量X所有可能取的值为0，1，2，…，而取各个值的 概率为：
IE 11
1.2 DES中常见的随机分布
则称X服从参数为λ的泊松(Poisson)分布，记为X~π(λ)
Simulation
IE
12
第三章 随机数的产生与检验
提纲
Simulation
一、DES中常见的随机分布
1.1 随机事件和随机变量 1.2 DES中常见的随机分布 1.3 随机变量模型的确定（Δ）
二、伪随机数产生方法
2.0伪随机数发生器的要求 2.1平方取中法 2.2 线性同余法 2.3加同余法 2.4二次平方同余法 2.5 伪随机数发生器的实现（ Δ ）
IE 14
1.2.3 可靠性与维修性
Simulation
在系统可靠性与维修性建模中，优先考虑的随机变量是系 统中部件的无故障工作时间和故障后的修复时间。 通常部件发生故障的时间分布和修复时间的分布用指数分 布来描述，也可以用T分布和威布尔分布。
如果故障是完全随机的，则可以采用指数分布建模。 如果部件有储备，且每个备件的故障发生时间服从指数分布，则 可以采用T分布来建模。 威布尔分布已经广泛用于描述故障发生时间，原因是它逼近许多 观察结果，当系统中有许多部件的故障是由子大量元件的严重失 效或可能失效造成时，适合采用威布尔分布建立模型。 正态分布适用于那些大多数故障是由于磨损产生的系统。
抛出的硬币落下，可能会正面朝上 抛出的硬币落下，可能会正面朝下
IE
5
1.1 随机事件和随机变量
随机变量与概率
Simulation
如果试验的每个结果用变量ξ的一个值来表示，即ξ的值根据试验结果来 确定，因而它取什么值是随机的，而且对任意实数χ，ξ<χ是一个随机事 件，这种变量称为随机变量。 频率：如果对某项试验重复进行了n次，事件A发生了m次，则称A在这 次试验中的频率为m/n。 称事件A发生可能性的大小为事件A的概率，记为P(A)。 当试验次数n足够大时，可以用事件的频率作为事件概率的近似值，即 P(A)≈m/n 随机变量ξ取值小于实数x的可能性大小，即随机事件{ξ＜x}发生的概 率，介于数0和1之间，即：0≤P(ξ＜x)≤1 概率是一个在区间[0，1]上取值的实数。
Simulation
用F(X)表示，用来度量随机变量X的值假定小于或者等于x 的概率，即：
如果X是离散的，则：
如果X是连续的，则：
IE 10
1.2 DES中常见的随机分布
Simulation
离散分布（参考书：盛骤，概率论与数理统计（第二版），高等教
育出版社） 1. 2. 伯努利实验与伯努利分布 二项分布
IE
18
2.1 伪随机数发生器的要求
Simulation
① 所产生的数必须服从均匀分布。至于拟合的优良程度，建议采用大样 本量的χ2检验。样本容量N可以取1000至10000之间的数。 ② 所产生的数必须是统计独立的。随机数序列中一个数的值不能影响下 一个数的值。如果随机数序列缺少独立性就可能被拒绝，但随机数序列 被接受并不能证明它的独立性。 ③ 所产生的随机数序列必须是可以重现的，这样就允许仿真试验重复进 行。 ④ 所产生的随机数序列在任何需要的长度内必须是不重复的。这在理论 上可能是做不到，但从实践目的角度讲，在很多数目之后才出现重复性 循环。这项要求已经能充分保证。随机数发生器的重复性循环出现的长 度称为它的周期。 ⑤ 随机数产生的速度必须快，因为在仿真运行中通常需要处理大量的随 机数，如果随机数发生器速度慢，就必然大大增加仿真运行的时间和费 用。 ⑥ 用于产生随机数的方法应当占用尽可能小的存储空间，仿真模型通常 需要大量的存储空间，而存储空间总是有限的，如此宝贵的资源在产生 随机数的过程中占用得越少越好。