考研数学基础复习全书《知识点解析》讲义03

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陕西省考研数学复习资料高等数学重点知识点整理与习题解析

陕西省考研数学复习资料高等数学重点知识点整理与习题解析

陕西省考研数学复习资料高等数学重点知识点整理与习题解析高等数学作为考研数学科目的重要部分,对于考生来说是必须掌握的知识点。

在陕西省考研的备考过程中,对高等数学的复习资料的整理与习题解析是非常重要的一项任务。

本文将对陕西省考研数学复习资料中的高等数学重点知识点进行整理,并结合习题解析,帮助考生更好地备考。

一、导数与微分导数与微分是高等数学中重要的基础内容,也是考研数学中必考的知识点。

导数的定义、求导法则以及微分的概念和性质是复习的重点。

在解题过程中,要善于运用求导法则,掌握基本的运算技巧。

同时,要注意理解导数的几何意义和物理意义,能够应用导数解决实际问题。

二、不定积分与定积分不定积分和定积分是高等数学中的重要内容,也是考研数学中经常考到的知识点。

对不定积分的基本运算法则的掌握,积分的性质和换元积分法的应用都是需要重点复习的内容。

在解题过程中,要注意灵活运用不定积分和定积分的性质,掌握常见函数的积分结果,并能解决相关的应用问题。

三、级数与幂级数级数与幂级数是高等数学中的重要内容,也是考研数学中需要掌握的知识点。

对级数的收敛性判断及求和的方法,幂级数的收敛域与和函数的性质都是需要重点关注的内容。

在解题过程中,要善于应用级数的性质,掌握级数求和的方法,并能灵活运用级数解决实际问题。

四、多元函数与偏导数多元函数与偏导数是高等数学中的重要内容,也是考研数学中必考的知识点。

对多元函数的极限与连续性,偏导数及其计算方法,复合函数的偏导数和隐函数的求导法则都是需要着重掌握的内容。

在解题过程中,要善于运用偏导数的定义和求导法则,掌握常见函数的偏导数计算,并能解决相关的应用问题。

五、定积分的应用定积分的应用是高等数学中的重要内容,也是考研数学中经常考到的知识点。

对定积分的几何和物理意义的理解,平面图形的面积和曲线的弧长的计算方法,旋转体的体积和质量的计算都是需要着重复习的内容。

在解题过程中,要注意理解与应用定积分的几何和物理意义,善于运用定积分的计算方法,深入理解与应用相关的定积分应用问题。

考研数学基础复习全书《知识点解析》讲义02

考研数学基础复习全书《知识点解析》讲义02

一元函数积分学 考纲要求:(1)理解原函数的概念,理解不定积分和定积分的概念(2)掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定 理,掌握换元积分法与分部积分法(3)会求有理函数 三角函数有理式和简单的无理函数的积分(数一数二要求 数三参考)(4)理解积分上限函数,会求它的导数,掌握牛顿-莱布尼茨公式 (5)了解反函数的概念,会计算反常积分(6)掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量(平面图形的面积,平面曲 线的弧长, 旋转体的体积及侧面积,平行截面面积为已知的立体体积,功, 引力,压力,质心,形心等)及函数的平均值(数一,数二),会利用定积 分计算平面图形的面积,旋转体的体积和函数的平均值。

会利用定积分求 解简单的经济应用问题。

(数三)知识结构框架:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧反常积分变限积分定积分原函数与不定积分概念⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧华里士公式周期性化简计算几何意义计算;分部积分积分表:凑;第二换元定积分的计算简单无理式积分数有理式积分有理函数积分;三角函部积分法第二类换元积分法;分基本积分表:凑微分法不定积分的计算计算⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧经济应用(数三)物理应用(数一数二)二)弧长,侧面积(数一数体体积平面图形的面积和旋转几何应用应用一元函数积分学的概念1.原函数:如果在区间I 上,可导函数函数为的)(导x F ()x f ,即I x ∈∀,都有)()(x f x F ='成立,则称)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个 原函数.注:原函数必须指明是函数在哪个区间上的原函数。

定理:若()()()必有无穷多个原函数则上有一个原函数x f x F x f ,在区间 定理:()()的全体原函数函数族包括了x f C x F +对任意常数C,形如 2.不定积分:函数)(x f 在区间I 上的所有原函数称为)(x f 的不定积分,记为⎰dx x f )(,即C x F dx x f +=⎰)()(.例1:设函数()x f 在()∞+∞,-上连续,则()=⎰dx x f d ()()x f A :()dx x f B )( ()()C x f C + ()()dx x f D '答案:B例2:若()()有一个原函数是()则的导函数是x f x x f ,sec 2 ()x A cos ln 1- ()x B sin ln 1- ()x C sin 1+ ()x D cos 1-答案:A2:定积分定义:设函数()x f 在区间[]b a ,上有界,将[]b a ,任意分成n 个子区间[]i i x x ,1-, 分点为11210,---=∆=<<<=i i i n n x x x b x x x x x a 为该小区间的长度, 在每个小区间[]i i x x ,1-上任意取一点i ξ,对()()()i ni i i i x f n i x f ∆=∆∑=13,2,1ξξ求和 ,记{}i ni x ∆=≤≤1max λ,若对[]b a ,的 任意分法,()i ni i x f ∆∑=→1lim ξλ极限存在,则称此极限为()x f 在区间[]b a ,上的定积分,记为()dx x f b a⎰,即定积分()()i ni i bax f dx x f ∆=∑⎰=→1lim ξλ可积的条件:例3 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2224211lim答案:dx x x⎰++10211例4:∑∑==∞→ni nj n n ij 114lim答案:41例5:()()=++∑∑==∞→ni nj n j n i n n1122lim答案:()()dy y dx x ⎰⎰++102101111定积分的几何意义若0)(≥x f ,则dx x f ba ⎰)(表示以曲线)(x f y =、两直线b x a x ==,与x 轴所围成的曲边梯形的面积. 若0)(≤x f ,则dx x f ba ⎰)(表示以曲线)(x f y =、两直线b x a x ==,与x 所围成的曲边梯形的面积的负值 若)(x f 在[]b a ,上有正有负,则dx x f ba ⎰)(表示曲边梯形的面积的代数和,在0)(≥x f 部分,取“+”,在0)(≤x f 部分,取“-”定积分的性质:当()()()0.==-=<⎰⎰⎰bababadx x f b a dx x f dx x f a b 时,特别的,时,约定(1)⎰-=baa b dx 1(2)[]⎰⎰⎰±=±b ab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()()(2121(3)⎰⎰⎰∀+=b aabc dx x f dx x f dx x f c c,)()()((4)在[]b a ,上,)()(x g x f ≤,则⎰⎰≤b abadx x g dx x f )()(特别地⎰⎰≤babadx x f dx x f )()((5)Mm ,是)(x f 在[]b a ,上的最小值与最大值,则⎰-≤≤-b aa b M dx x f a b m )()()((6)积分中值定理:设函数()x f 在区间[]b a ,上连续,则存在[]b a ,∈ξ,使得()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ3:变限积分:设函数()x f 在区间[]b a ,上连续,并且设x 为[]b a ,上的一点,考察()x f 在部分区间[]x a ,上的定积分()dx x f xa ⎰首先,由于()x f 在区间[]x a ,上仍旧连续,因此这个定积分存在。

考研数学基础复习全书《知识点解析》讲义01

考研数学基础复习全书《知识点解析》讲义01

考研数学基础复习全书《知识点解析》注重积累夯实基础紧扣大纲精准把握知识网络一目了然目录第一章函数极限与连续第二章一元函数微分学第三章一元函数积分学第四章微分方程第五章多元函数微分学第六章二重积分第七章无穷级数(数一,数三)第八章多元函数积分学(数一)第一章函数极限与连续考纲要求:1:理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系。

2:了解函数的有界性,单调性,周期性和奇偶性。

3:理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数:及隐函数的概念4:掌握基本初等函数的性质及图形,了解初等函数的概念5:理解极限的概念,理解函数左极限和右极限的概念以及函数极限存在与左,右极限之间的关系。

6:掌握极限的性质及四则运算法则。

7:掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法8:理解无穷小量,无穷大量的概念掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限9:理解函数连续性的概念(含左连续右连续),会判别函数间断点的类型。

10:了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性最大值最小值定理介值定理零点定理),并会应用这些性质知识结构:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-∞→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧第二类间断点第一类间断点间断点质闭区间上连续函数的性连续的定义连续连续单调有界准则夹逼准则、定积分定义限计算连续化,转化为函数极将极限的计算保号性有界性唯一性极限的性质极限运算的过程性语言定义极限的定义数列的极限泰勒公式计算极限的高级工具七种未定式极限化简先行极限的计算局部保号性局部有界性唯一性极限的性质极限运算的过程性语言定义六种趋向极限的定义函数的极限极限函数的性质比较重要的函数函数的概念函数n x n δεδε---具体内容:一:函数的概念与性质 1:函数的概念设y x 与是两个变量,中的每个值若对于是实数集的某个子集,D D x , 按照一定的法则f 有唯一的值y 与之对应,则称变量y 为变量x 的函数记作()x f y =。

考研数学书籍

考研数学书籍

考研数学书籍1.《考研数学复习全书基础版》《考研数学复习全书基础版》里面理论占了80%,书后习题占了20%,各章节理论讲解相当细致,一本主打巩固理论基础的书籍,是每个基础阶段考生的必备数目,知识点基本做到全覆盖,而且专注于考纲考察范围,将重点和历年真题联系起来,理论和实践的双重融合,可让你在短时间内更好的打下数理基础。

2.《汤家凤接力题典1800》汤家凤这本1800,妥妥的必备宝典,这本书相当厚,和考研政治肖秀荣的《精讲精练》有一拼,因此宝子们入手之后,千万不要钻牛角尖,这本书基本上是刷不完的,因为题量过大,而且也没必要刷完。

里面基础篇题型相当多相当充实,足够你做了,能做完最好,做不完,挑典型题去做,原理就是同一种题做2-3道就可以了,书中还是会有相似题型累赘的情况。

3.《数学基础过关660》这本书的重要程度基本上也是人手一本的状态,早买晚买都是买,还不如基础阶段入手,用来拓展知识点。

基础过关660我建议主做,辅做1800,只做基础篇。

主做哪一本你就把那本书的基础篇刷完,辅做的不必全刷完,可以做,毕竟每个人精力有限。

4.《李林精讲精练880》李林880这本书,在强化阶段去刷,刚刚好,简直完美!前几年由于他的押题率过高,因此配套书籍及模拟套卷都成了疯抢的对象,回归正题,理性看待,880的题型虽然质量很高,但基础题偏难,介于强化与基础之间,中等题适合强化阶段,所以入手之后,可以直接做中等题。

5.《武忠祥严选题》选择严选题,一是因为强化阶段,网课我们看的是武忠祥的,教材比较适配,其次是因为结合武老的理论,刷这本书更能给你一种"理论拔高"的快感!6.《李永乐线性代数辅导讲义》这本书配合李永乐的网课来搭配使用,才是最佳的打开方式,书中每一章开头都有"思维导图",将本章知识点完美呈现在大家面前。

7.《概率论辅导讲义》注意,这本书不是李林那本,而是王式安,里面的内容紧贴实际大纲,题型都很经典,很多题目会给出一题多解的情况,有助于发散思维的养成,书中的各种解题方法很跳脱,但如果你能真正掌握,其实概率论也就这么多东西,90%+都能了然于胸。

考研数学复习重点讲解

考研数学复习重点讲解

考研数学复习重点讲解考研数学是众多考研学子心中的一座大山,其难度和重要性不言而喻。

要想在考研数学中取得优异成绩,必须有清晰的复习思路和重点把握。

以下将为大家详细讲解考研数学的复习重点。

一、高等数学1、函数、极限与连续这部分是高等数学的基础,必须牢固掌握。

要理解函数的概念、性质和各种类型的函数,熟练掌握求极限的方法,如四则运算、洛必达法则、等价无穷小替换等。

连续的概念和间断点的类型也是常考的知识点。

2、一元函数微分学导数的定义、几何意义和物理意义要清楚。

掌握基本初等函数的导数公式和求导法则,能够熟练求函数的导数。

导数的应用是重点,如函数的单调性、极值与最值、凹凸性和拐点等。

3、一元函数积分学不定积分和定积分的概念、性质、基本公式要牢记。

掌握换元积分法和分部积分法,能够熟练计算积分。

定积分的应用,如求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等,也是常考内容。

4、多元函数微积分学多元函数的概念、偏导数和全微分的计算是基础。

要掌握多元函数的极值和条件极值的求法,以及二重积分的计算方法,特别是直角坐标系和极坐标系下的计算。

5、无穷级数级数的收敛与发散的判定是重点,掌握常见级数的敛散性,如正项级数的比较判别法、比值判别法和根值判别法,以及幂级数的收敛半径和收敛区间的求法。

6、常微分方程要熟悉各种类型常微分方程的解法,如可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、二阶常系数线性方程等。

二、线性代数1、行列式行列式的性质和计算方法要熟练掌握,特别是行列式按行(列)展开定理。

2、矩阵矩阵的运算、逆矩阵、矩阵的秩是重点。

要理解矩阵的概念和性质,掌握矩阵的乘法、求逆矩阵的方法和矩阵秩的计算。

3、向量向量组的线性相关性是核心内容,要会判断向量组的线性相关性,掌握向量组的秩和极大线性无关组的求法。

4、线性方程组线性方程组的解的结构和求解方法是重点,要能够用矩阵的方法求解线性方程组。

5、特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念和计算方法要熟练掌握,会求矩阵的相似对角化。

李永乐《考研数学复习全书基础篇》

李永乐《考研数学复习全书基础篇》

再次,这本书的目录还注重前后和知识整合。在每个部分的开头部分,都会 有一个总体的知识框架图,帮助学生了解该部分所有知识点之间的关系。同时, 在每个章节的后面,都会设置一定数量的习题,帮助学生检验自己对本章知识的 掌握程度。这些习题不仅涵盖了各种题型,而且难度适中,既有对基础知识的考 察,也有对综合能力的考察,使得学生能够在复习过程中得到全面的锻炼。
这本书的目录还强调应用和实践。每个部分的最后都会设置一个或多个实际 应用案例,这些案例不仅涉及到各个章节的知识点,而且与实际生活密切相关。 例如在概率论与数理统计部分的设置了一个关于数据分析和预测的案例,这个案 例需要学生运用所学的概率论、随机变量和统计估计等知识进行分析和解答。这 样的目录设置不仅帮助学生巩固所学知识,而且提高了学生运用数学知识解决实 际问题的能力。
对于求解多元函数最值的方法,作者们总结出了极值点附近函数值的变化趋 势、无条件极值和条件极值等各种情况的方法和技巧,使考生们能够全面掌握求 解最值问题的能力。
在概率统计部分,作者们详细讲解了各种概率分布的性质、计算概率的方法 以及统计量的分布等知识。其中,对于古典概型、几何概型、条件概率、独立性 等概念的讲解非常透彻,并且例题丰富,非常有利于考生掌握概率统计知识。
内容摘要
在线性代数部分,本书从矩阵、行列式、向量、线性方程组等方面进行了详细的讲解,通过具体 的例题和练习题帮助考生理解和掌握线性代数的核心概念和方法。同时,本书还对线性代数的应 用进行了详细的介绍,如线性变换、特征向量、矩阵的对角化等。 在概率论与数理统计部分,本书详细讲解了随机事件、随机变量、概率分布、数理期望、方差、 协方差等基本概念和理论。通过大量的例题和练习题,帮助考生理解和掌握概率论与数理统计的 基本方法和应用。 《李永乐《考研数学复习全书基础篇》》是一本非常实用的数学参考书,对于准备考研的考生来 说是一本必备的参考书。这本书不仅全面系统地讲解了考研数学的基础知识,还通过大量的例题 和练习题帮助考生理解和掌握这些知识。如果大家正在准备考研数学,那么这本书是必读的。

万学海文考研数学必考知识点数学三

万学海文考研数学必考知识点数学三

万学海文20XX年考研数学必考知识点——数学三
考研临近,万学海文集合考研数学名师团队,深入研究20XX年数学考试大纲,并结合考研数学的命题趋势及特点,在经过反复锤炼之后,分析总结知识要点,为广大考研学子潜心搜集整理了最新信息和多方面精华资料,进一步对当年的考研数学命题进行预测,帮助学员把握出题重中之重。

希望通过我们总结的以上资料,帮助广大考生在最后的这段关键时间里,梳理好知识体系,准确把握考点,直击命题要害,做好最终的考前冲刺。

山东省考研数学复习资料数学分析重点知识点

山东省考研数学复习资料数学分析重点知识点

山东省考研数学复习资料数学分析重点知识点数学分析作为数学学科的基础课程,在山东省考研数学复习中占据着重要的地位。

既是考研数学的重难点,也是考察学生数学基础和思维能力的关键内容。

为了帮助考生更好地备考,本文将介绍山东省考研数学复习资料数学分析的重点知识点。

一、极限和连续1. 极限的定义和性质极限是数学分析的基础概念之一,理解和掌握极限的定义是十分重要的。

极限的定义可以简单概括为:当自变量趋于某个值时,函数的取值趋于确定的值。

掌握极限的性质,如四则运算法则、极限的局部有界性等,对于求解极限的过程中具有重要的指导作用。

2. 连续的定义和性质连续是函数分析中的重要概念,连续函数具有很多良好的性质。

连续函数的定义可以简单概括为:函数在某一点处的函数值等于该点的极限值。

除了掌握连续函数的定义外,还需要了解连续函数的局部性质、奇偶性质以及连续函数的运算性质等。

二、导数和微分1. 导数的定义和性质导数是函数分析中的重要概念,理解和掌握导数的定义对于求解函数的变化率和最值等问题非常重要。

导数的定义可以简单概括为:函数在某一点处的变化率,即函数在该点处的切线的斜率。

此外,还需要掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等性质。

2. 微分的概念和应用微分是导数的一种应用,通过微分可以求得函数的近似值和局部变化率。

了解微分的概念以及微分的计算方法和应用场景,对于解决实际问题中的最优化、线性化和切线逼近等问题十分重要。

三、函数积分1. 不定积分和定积分的概念不定积分和定积分是函数积分中的重点内容。

不定积分是定义函数的反函数,定积分是计算函数所围面积或函数在某一区间的积累量。

理解和掌握不定积分和定积分的概念对于求解函数的原函数和计算函数的面积具有重要的作用。

2. 基本积分公式和常用积分法熟练掌握基本积分公式,如常见函数的不定积分公式和定积分公式,对于解题过程中的积分运算有很大的帮助。

此外,需要了解常用积分方法,如分部积分法、换元积分法以及有理函数的积分法等,以便更加方便地解决具体积分问题。

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第四章 微分方程Ⅰ考纲要求1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2、掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法、全解齐次微分方程。

3、会解伯努利方程,全微分方程,全用简单变量代换解某些微分方程,会解欧拉方程 (数一)4、理解线性微分方程解的性质及解的结构。

5、会用降阶法解下列形式的微分方程:),(),()(y x f y x f yn '=''=和),(y y f y '=''并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.(数一,数二) 6、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、 余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

7、会用微分方程解决一些简单的应用问题。

8、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念,了解一阶常系数线性差分方程的求解方法, 会用微分方程求解简单的经济应用问题(数三) 一、微分方程的概念1、方程:含有未知数的等式。

2、微分方程:含有未知函数,未知函数的导数及自变量的方程,0),,,,()(='n y y y x F3、阶数:微分方程中未知函数y 的最高阶导数的次数称为微分方程的阶数4、解、通解与特解(1)解-----将)(x f y =代入方程,使方程为恒等式,称)(x f y =为微分方程的解 与代数方程解的区别:代数方程的解为数:微分方程的解为函数 (2)通解-----微分方程的解中含有自由常数,且所含独立的自由常数的个数等于微分方程 的阶数,这样的解称为微分方程的通解。

特解-----不含任意常数的解称为特解 注: ①不是任何一个微分方程都有通解的; ②微分方程的通解不一定就是全部解; 二、一阶微分方程 1、变量可分离方程 (1)形式:)(若y h x g y x f dxdy ⋅−→−=)(),( (2)解法:先分离变量dx x g y h dy)()(= 再两边积分 ⎰⎰=dx x g y h dy)()(例题1:求初值问题的解()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=101'y x xy y答案:xex y -+=)1(例题2:微分方程x x y y )1('-=的通解是答案:xCxe y -=2、齐次方程(1)形式:)(xy f dx dy = (2)解法:设x y u =,则dx du xu dx dy ux y x +=−−→−=求导对 代入方程 u u f dxdux u f dx du x u -=⇒=+)()(分离变量:xdxu u f du =-)(再两边积分:⎰⎰=-xdxu u f du )(例题3:微分方程321⎪⎭⎫⎝⎛-=x y x y dx dy 满足11==x y 的特解为:答案:xxy ln 1+=例题4:求 dx x y y xdy )ln (ln -=的通解答案:Cx xy=-1ln(隐式解),c 为任一非零常数 例题5: 求022=++-dy y x x ydx )(的通解,其中()0>y答案:0,211>+=C Cx Cy 3、一阶线性微分方程(1)形式:)()(x Q y x p y =+' (或)()(x Q y x p y +=')(2)解法: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx e x Q e y dxx p dx x p )()()( 注:例题6:求一阶常微分方程:222'x xe xy y +=的通解例题7: 求yx x y y 222+='的通解答案:Cx x y +=232,c 任意数例8:设非齐次线性微分方程()()x Q y x p y =+'的两个不同的解()()为任意常数,C x y x y 21,,则该方程的通解是:()()[]x y x y C A 21:- ()()()[]x y x y C x y B 211:-+ ()()[]x y x y C C 21:+ ()()()[]x y x y C x y D 211:++4、伯努利方程(数一)方程形式:ny x Q y x p y )()(=+'的一阶微分方程称为伯努利方程. 当0=n 时,是一阶线性非齐次微分方程; 当1=n 时,是一阶线性齐次微分方程;当1,0≠≠n n 时,引入新的未知函数)(x z z =,使得nyz -=1,则伯努利方程n y x Q y x p y )()(=+'变为)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-=-+ 求解:令nyu -=1,则伯努利方程ny x q y x p y )()(=+'变为)()1()()1(x q n u x p n u -=-+',这是关于未知函数)(x u u =的一阶线性微分方程.解得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰-⎰=⎰---C dx e x q n ez dx x p n dxx p n )()1()()1()()1( 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰-⎰=⎰----C dx e x q n eydx x p n dxx p n n)()1()()1(1)()1(例题9: 求方程2)(ln y x a xydx dy =+的通解答案:⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=C x a x y 2ln 21练习:微分方程x x y x y y cos )sin 1(cos 2-='-的通解为____________.答案:)(sin cos sin 1C x x xy ++=.补:一阶微分方程的应用例10:设()()()0,00420'0'''=>=+-=x f x f y y y x f y 且的一个解,若是方程,则函数()0x x f 在点取得极大值:A 取得极小值:B某个领域内单调增加:C 某个领域内单调增加:D例题11:设曲线()x f y =其中()x f 是可导函数,且()0>x f ,已知曲线()x f y =与直线()11,0>===t t x x y 及所围成曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍,求该曲线的方程答案:yy x 3132+=三:可降阶的高阶微分方程(数一、二) 1、)()(x f yn =型的微分方程解法:求n 次定积分得解例12: 求微分方程x e y xcos 2'''-=的通解答案:32212sin 81C x C x C x e y x++++=(321,,C C C 为任意常数)2、不显含y 的微分方程 形式:),(y x f y '=''解法:令)(x y p '=,则微分方程),(y x f y '=''变为),('p x f p =,这是关于)(x p p =的一个一阶微分方程.例13 求微分方程y x y x '=''+2)1(2满足初始条件3,100='===x x y y 的特解答案:133++=x x y 3、不显含x 的微分方程 形式:),(y y f y '=''解法:令y y p '=)(,则'22pp dx dydy dp dx dp x d y d ===,因此微分方程),(y y f y '=''变为 ),('p y f pp =,这是一个以y 为自变量,)(y p 为未知函数的一阶微分方程.例14 求微分方程0)(2='-''y y y 的通解答案:xC eC y 12-=.四、二阶线性微分方程解的性质与结构 (1)非齐次)()()(x f y x q y x p y =+'+'' (2)齐次0)()(=+'+''y x q y x p y1、若21,y y 是(2)的解,则2211y c y c +也是(2)的解,其中21,c c 为任意常数.2、若21,y y 是(2)的两个线性无关的解)(21c y y ≠,则2211~y c y c y +=是(2)的通解. 3、若21,y y 是(1)的解,则21y y -为(2)的解 4、若~y 是(2)的通解,*y 是(1)的特解,则*~y y y +=5、叠加原理若*1y 是)()()(1x f y x q y x p y =+'+''的解,*2y 是)()()(2x f y x q y x p y =+'+'' 的解,则*2*1y y +是)()()()(21x f x f y x q y x p y +=+'+''的解. 五、二阶常系数齐次线性微分方程方程形式:0=+'+''by y a y 其中b a ,是常数. 解法(特证方程法)方程02=++b a λλ称为它的特证方程,特证方程的根21,λλ称为它的特征根. (1)当21λλ≠,且都是实数时,微分方程的通解是x xe C e C x y 2121)(λλ+=;(2)当21λλ=时,微分方程的通解是x xe C eC x y 1121)(λλ+=;(3)当βλβλi a i a -=+=21,时,微分方程的通解是)sin cos ()(21x C x C e x y axββ+=.例15 求微分方程052=+'-''y y y 的通解.答案:)2sin 2cos (21x C x C e y x+⋅=.例16 求微分方程044=+'+''y y y 满足初始条件0,200='===x x y y 的特解.答案:x x xe ey 21212+=.六、二阶常系数非齐次线性微分方程对于)(x f by y a y =+'+'',由解的性质知只需找到它对应的齐次方程的通解和它的一个特解,下找特解.(1)右端项为xn e x P x f μ)()(=的方程 设方程的一个特解形式为xn k e x Q x x y μ)()(*=其中0111)(a x a x a x a x Q n n n n n ++++=-- 为n 次多项式的一般形式,k 的取值方式为:当μ不是0=+'+''by y a y 的特证根时,0=k ; 当μ是0=+'+''by y a y 的特证根时,1=k ; 当μ是0=+'+''by y a y 的复特征值时,2=k ;将x n k e x Q x x y μ)()(*=代入微分方程xn e x P by y a y μ)(=+'+'',就可求出待定系数k a ,(n k ,,2,1,0 =)(2)右端项为[]x x P x x P e x f n m axββsin )(cos )()(+=的方程设方程的一个特解形式为[]x x W x x Q e x x y l l axk ββsin )(cos )()(*+⋅=其中0111)(a x a x a x a x Q l l l l l ++++=-- 0111)(b x b x b x b x Q l l l l l ++++=--为l 次多项式的一般形式,{}n m l ,m ax =,①当βi a ±不是0=+'+''by y a y 的特征根时,0=k , ②当βi a ±是0=+'+''by y a y 的特征根时,1=k ,将[]x x W x x Q e x x y l l axk ββsin )(cos )()(*+⋅=代入方程就可求出待定系数k k b a ,(n k ,,2,1,0 =).例17 求微分方程022=-'-''xe y y 满足条件1)0(,1)0(='=y y 的解.答案:x x xe e y 22214143++=例18 已知x x y sin =是x B x A cy y b y sin cos +=+'+''的一个解,求该方程及通解.答案:该方程为x y y cos 2=+''.方程的通解为x x x C x C y sin sin cos 21++=. 例题19:求微分方程xe y y y -=++265'''的通解答案:x x xe e c ec y ---++=3221例题20:求微分方程xxe y y y 223'''=+-的通解答案:()x xxe x x ec e c y 2-221++=例题21:求微分方程axe y y y =++44'''的通解,其中a 为实数答案:()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-≠+++--2,212,222212221a e x x c c a a e e x c c x ax x例题22:微分方程x x y y sin 12''++=+的特解形式可设为: ()A()x B x A x c bx ax y A cos sin :2++++=*()x B x A c bx ax x y B cos sin :2++++=*x A c bx ax y C sin :2+++=* x A c bx ax y D cos :2+++=* 例题23:求微分方程x x y y cos ''+=+的通解。

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