高中数学第一章解三角形1.1.2.1余弦定理1练习含解析新人教A版必修50819328
高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理练习(含解析)新人教A版必修5(2021年最新整理)
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1正弦定理一、选择题:1. 在ABC △中，45 60 10A B a =︒=︒=，，，则b =（ ） A．．． 【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a bA B=得10sin sin 2a Bb A ===，故选D.2。
在△ABC 中,若2,a b ==, 030A = ， 则B 等于（ ） A ．60 B ．60或 120 C ．30 D ．30或150 【答案】B【解析】由正弦定理sin sin a bA B =得22sin sin 30B B ===60或 120 3。
在ABC △中,角 A B C，，的对边分别是 a b c ，，，若 2a AB ==，，则cos B =（ )ABC D【答案】B【解析】由已知2a =,根据正弦定理变形有sin sin 2A B =，又因为2A B =，所以sin sin 2A B =，则sin 22B B =，即2sin cos 2B B B =，因为sin 0B ≠，所以cos 4B =，故选B.4．在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则该ABC ∆的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰或直角三角形 【答案】D【解析】由正弦定理得22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⋅=⋅，化简得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22,2A B A B ππ+=+=，故选D.5. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则以下结论错误的为（ )A ．若sin cos cos A B Ca b c ==，则90A =︒ B ．sin sin sin a b c A B C+=+ C ．若sin sin A B >，则A B >；反之，若A B >，则sin sin A B > D ．若sin 2sin 2A B =，则a b = 【答案】D【解析】∵sin cos cos A B Ca b c==，∴由正弦定理B B cos sin =,C C cos sin =，又∵B ,C 为ABC ∆的内角，∴ 45==C B ,故90A =︒，A 正确；∵由正弦定理可得R CcB b A a 2sin sin sin ===，∴()AaR C B C B R C B c b sin 2sin sin sin sin 2sin sin ==++=++，故B 正确;在ABC ∆，设外接圆的半径为R ,若sin sin A B >,则B R A R sin 2sin 2>,由正弦定理可得b a >，即A B >;若A B >，即有b a >，即B R A R sin 2sin 2>，即b a >．则在ABC ∆中，B A B A >⇔>sin sin ，故C 正确;∵sin 2sin 2A B =,∴()()0sin cos 2sin 2sin =-+=-B A B A B A ，∴()0cos =+B A 或()0sin =-B A ,∴2π=+B A 或B A =，∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故D 错误．故选:D ．6. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3=a ，3π=A ，则c b +的最大值为（ )A ．4B ．33 C.32 D ．2 【答案】C【解析】由正弦定理可得:23b c sinB sinC sin π===，∴2222()23b c sinB sinC sinB sin B π+=+=+-()12222sinB sinB =++3()6sinB B π==+≤，当且仅当3B π=时取等号．∴b c +的最大值为32．故选:C. 二、填空题：7. 在ABC ∆中,则 a =【解析】根据正弦定理32522315sin sin sin sin =⨯==⇔=BA b aB b A a ,8。
2021学年高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理课时作业含解析新人教A版必修5
课时作业2 余弦定理时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则c ＝( C )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即13＝9＋c 2－3c ，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4(负值舍去)．2．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( C )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9， 所以c ＝3.根据三边的长度知角B 为最大角， 故cos B ＝49＋9－642×7×3＝－17.所以cos B ＝－17.3．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 是( D ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形解析：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即ac ＝a 2＋c 2－ac ，所以(a －c )2＝0，即a ＝c .又因为B ＝60°，所以△ABC 为等边三角形． 4．已知△ABC 中，a bc ＝578，则A ＋C 等于( B )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解析：设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k (k >0)，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25k 2＋64k 2－49k 22×5k ×8k ＝12，∴B ＝60°，即A ＋C ＝180°－B ＝120°. 5．在△ABC 中，下列结论：①若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°； ③若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若ABC ＝123，则abc ＝123.其中正确的个数为( A ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0，∴A 为钝角，正确；②∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝120°，错误；③∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，∴C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误； ④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°， ∴abc ＝132，错误．6．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( B ) A.322B.332C.32D ．3 3解析：在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝32＋42－132×3×4＝12，∴A ＝60°.∴边AC 上的高h ＝AB ·sin A ＝3sin60°＝332.故选B.二、填空题7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a ，则cos A ＝13. 解析：由B ＝C ，得b ＝c ＝32a .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝⎝⎛⎭⎫32a 2＋⎝⎛⎭⎫32a 2－a 22·32a ·32a ＝13.8．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C ＝35. 解析：由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ， 即49＝AC 2＋25＋5AC ，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)， 所以sin B sin C ＝AC AB ＝35.9．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，则△ABC 的形状是正三角形． 解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为B ＝60°，2b ＝a ＋c ， 所以⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos60°. 整理上式可得(a －c )2＝0，所以a ＝c . 又2b ＝a ＋c ，所以b ＝a ＝c . 因此，△ABC 为正三角形． 三、解答题10．在△ABC 中，C ＝2A ，a ＋c ＝10，cos A ＝34，求b .解：由正弦定理得c a ＝sin C sin A ＝sin2Asin A ＝2cos A ，∴c a ＝32. 又a ＋c ＝10，∴a ＝4，c ＝6. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋2012b ＝34，∴b ＝4或b ＝5.当b ＝4时，∵a ＝4，∴A ＝B . 又C ＝2A ，且A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π4，与已知cos A ＝34矛盾，不合题意，舍去．当b ＝5时，满足题意，∴b ＝5.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .①由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac .②所以由①②得，a ＝3，c ＝2 3.——能力提升类——12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 为( D )A.π6B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3解析：∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac tan B ＝32，即cos B tan B ＝32，∴sin B ＝32，B ＝π3或2π3. 13．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为π3.解析：∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.14．如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为 3.解析：∵AD ⊥AC ，∴∠DAC ＝π2.∵sin ∠BAC ＝223，∴sin ⎝⎛⎭⎫∠BAD ＋π2＝223， ∴cos ∠BAD ＝223.由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝(32)2＋32－2×32×3×223＝3.∴BD ＝ 3.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围． 解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0， 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 又cos B ≠0，所以tan B ＝3， 又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －122＋14. 又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b <1.。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理优化练习新人教A版必修5(2021
2017-2018学年高中数学第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理优化练习新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理优化练习新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理优化练习新人教A版必修5的全部内容。
1.1.1 正弦定理［课时作业][A组基础巩固］1．在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin A∶sin C的值是（)A。
错误! B.错误!C.错误!D.错误!解析：由正弦定理得sin A∶sin C＝a∶c＝7∶5＝错误!。
答案:A2．在△ABC中，A＝30°，a＝3，则△A BC的外接圆半径是( )A.错误!B．3C．3错误!D．6解析：△ABC的外接圆直径2R＝错误!＝错误!＝6,∴R＝3.答案:B3．在△ABC中,角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2错误!，则c ＝（)A。
错误!B．1C。
错误!D．2解析：C＝180°－105°－45°＝30°,由正弦定理:错误!＝错误!，得c＝错误!·sin C＝错误!·sin 30°＝2。
答案:D4．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是（)A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin CB．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝bC．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B；若A＞B，则sin A＞sin B都成立D．在△ABC中，错误!＝错误!解析:对于A:a∶b∶c＝2R sin A∶2R sin B∶2R sin C＝sin A∶sin B∶sin C，∴A正确．对于B:∵sin 2B＝sin(π－2B）,∴sin 2A＝sin（π－2B)也成立,此时2A＝π－2B，∴A＋B＝错误!，∴A＝B不一定成立，∴a＝b不一定成立．∴B不正确．对于C:①若A，B均为锐角,结论显然成立．②若A,B中有一钝角,则A〉B时，B<π－A<90°，∴sin B〈sin（π－A）＝sin A，∵sin A〉sin B时，sin(π－A）〉sin B，∴C正确．由等比定理知：D正确．答案：B5．若错误!＝错误!＝错误!，则△ABC是( )A。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理人教A版必修5
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
探究 2 已知三边(三边关系)解三角形 例 2 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则 △ABC 的最小角为( )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，求此三角形的 最大边长． 答案 (2)见解析
2．做一做
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 5π
若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝____6____. (2) 已知 △ABC 的 三边 分 别为 2,3,4 ， 则此 三 角形是
___钝__角___三角形．
π (3)在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的大小为 ___3_____．
解析 (1)因为 c<b<a，所以最小角为角 C. 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝429×＋74×8－4 133＝ 23， 所以 C＝π6，故选 B.
(2)已知 a－b＝4，且 a>b，且 a＝b＋4，又 a＋c＝2b， 则 b＋4＋c＝2b，所以 b＝c＋4，则 b>c，从而 a>b>c，所以 a 为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
解 利用边的关系判断， 由正弦定理，得sinC＝c，
sinB b 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb， 又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c， 综上 a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
学年高中数学第一章解三角形.正弦定理和余弦定理..余弦定理作业含解析新人教A版必修
1.1.2余弦定理基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．10[答案] A[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝52＋(53)2－2×5×53×cos30°， ∴a 2＝25，∴a ＝5.2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( ) A ．π3B ．π6C ．2π3D ．π3或2π3[答案] C[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－12，又∵0<A <π，∴A ＝2π3.3．(2014·全国新课标Ⅱ理，4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×1×sin B ＝12，∴sin B ＝22， ∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．当B ＝3π4时，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B ．4．(2014·江西理，4)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[答案] C[解析] 本题考查正弦、余弦定理及三角形的面积公式．由题设条件得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.选C ．5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ， 则cos B ＝( ) A ．14 B ．34 C ．24D ．23[答案] B[解析] 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34.6．(2015·广东文，5)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝2，c ＝23， cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D ． 3[答案] C[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝b 2＋12－6b ，即b 2－6b ＋8＝0， ∴b ＝2或b ＝4. 又∵b <c ，∴b ＝2. 二、填空题7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角) [答案] 锐角[解析] 由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cos α＝16＋25－362×4×5。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理练习含解析新人教A版必修5
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理练习含解析新人教A 版必修51.1 正弦定理和余弦定理 第2课 时余弦定理A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由余弦定理得13＝9＋AC 2＋3AC ⇒AC ＝1，选A. 答案：A2．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4－2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2－b 2)2＝c 4. 所以a 2－b 2＝c 2或a 2－b 2＝－c 2. 故△ABC 是直角三角形． 答案：B3．在△ABC 中，有下列结论：①若a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 为60°； ③若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ∶b ∶c ＝1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＜0，所以A 为钝角，正确；②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以A ＝120°，错误；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＞0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，错误． 答案：A4．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010解析：设BC 边上的高线为AD ，则BC ＝3AD ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝5AD ，AB ＝2AD .由余弦定理，知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝2AD 2＋5AD 2－9AD 22×2AD ×5AD＝－1010，故选C.答案：C5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：因为2cos B sin A ＝sin C ，所以2×a 2＋c 2－b 22ac·a ＝c ，所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形． 答案：C 二、填空题6．在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则∠A ＝________． 解析：由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )得b 2＋c 2－a 2＝－bc ， 所以cos A ＝－12，A ＝120°.答案：120°7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sinC ，则cos A 的值为________．解析：由正弦定理得到边b ，c 的关系，代入余弦定理的变化求解即可． 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b ＝c ＝14a ，所以12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c23c 2＝－14.答案：－148．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积是________．解析：设另两边长分别为8x ，5x (x ＞0)，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．故另两边长分别是16，10.所以三角形的面积S ＝12×16×10×sin 60°＝40 3.答案：40 3 三、解答题9．在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，求B 的度数． 解：因为sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ， 由正弦定理得：b 2－c 2－a 2＝3ac ，由余弦定理得：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－32，又0°＜B ＜180°，所以B ＝150°.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．解：(1)因为cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝ －cos(A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， 所以⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.所以AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， 所以AB ＝10.B 级 能力提升1．在△ABC 中，sin 2 A 2＝c －b 2c，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形解析：因为sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c， 所以cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc，所以a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形． 答案：B2．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：因为cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，所以sin C ＝22. 所以AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 答案：33．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解：在△ABD 中，由余弦定理有：AB 2＝AD 2＋BD 2－2·AD ·BD ·cos ∠ADB . 设BD ＝x ，有142＝102＋x 2－2×10x cos 60°，x 2－10x －96＝0. 所以x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，即BD ＝16， 在△BCD 中，由正弦定理BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，可得：BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.。
高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理课时跟踪训练含解析新人教A版必修
学习资料1。
1.2 余弦定理[A组学业达标］1．在△ABC中,角A，B,C所对的边分别为a，b，c.若a＝1,c＝4错误!，B＝45°，则sin C等于（)A。
错误! B.错误!C。
错误!D。
错误!解析:由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－8错误!×错误!＝25，所以b＝5.cos C＝错误!＝－错误!,sin C＝错误!＝错误!.答案:B2．边长为5，7,8的三角形的最大角与最小角之和为(）A．90°B．120°C．135°D．150°解析：设长为7的边所对的角为θ，由已知条件可知角θ为中间角．因为cos θ＝错误!＝错误!，所以θ＝60°,所以最大角与最小角的和为120°。
答案：B3．在△ABC中，若a＜b＜c，且c2＜a2＋b2,则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不存在解析:因为c2＜a2＋b2，所以C为锐角，因为a＜b＜c,所以C为最大角，所以△ABC为锐角三角形．答案：B4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A。
错误!B．错误!C。
错误! D.错误!解析：设三角形的底边长为a,则周长为5a，∴等腰三角形腰的长为2a.设顶角为α,由余弦定理,得cos α＝错误!＝错误!.答案：D5．在△ABC中，有下列结论：①若a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②若a2＝b2＋c2＋bc，则A为60°;③若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3,则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3。
其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①cos A ＝错误!＜0,所以A 为钝角，正确；②cos A ＝错误!＝－错误!,所以A ＝120°，错误；③cos C ＝错误!＞0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角,错误；④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2,错误． 答案：A6．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则此三角形的最小内角的余弦值等于________．解析：因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 所以由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝3∶5∶7,所以a ＝错误!，c ＝错误!，A 为三角形的最小内角， 所以由余弦定理可得cos A ＝错误!＝错误!＝错误!。
高中数学人教A版必修第一章解三角形知识小结测试题经典附答案
人教A 版必修五 解三角形（一）、知识总结：知识梳理1.正弦定理：A a sin =B bsin =C c sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.2.余弦定理：（1）形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr (S=2c b a ++,r 为内切圆半径)=R abc4(R 为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C=sin 2B A +, sin 2C=cos 2B A +……在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B bsin =C c sin ，可求出角C ，再求b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C. (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B bsin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =B bsin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：8.9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.（二）巩固练习一单项选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
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高中数学第一章解三角形1.1.2.1余弦定理1练习含解析新人教A 版必修50819328知识点一 已知两边及其夹角解三角形1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则边c 等于( ) A ． 3 B ． 2 C ．3 D ．4 答案 A解析 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×12＝3，∴c ＝3．2．在△ABC 中，若a ＝8，B ＝60°，c ＝4(3＋1)，则b ＝________． 答案 4 6解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)×cos60°＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96，∴b ＝46．知识点二 已知两边及一边对角解三角形3．在△ABC 中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则边长b 为( ) A ．5 B ．8 C ．5或－8 D ．－5或8 答案 B解析 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴49＝9＋b 2－3b ⇒(b －8)(b ＋5)＝0．∵b ＞0，∴b ＝8．故选B ．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( )A ． 3B ．2C ．2 2D ．3 答案 B解析 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4．∵b ＜c ，∴b ＝2．故选B ．知识点三 已知三边解三角形5．在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于( ) A ．30° B ．45° C．60° D ．120° 答案 C解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9＋4－712＝12，∴B ＝60°．6．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C ． 解 由题意可知，a ＞c ＞b ，∴A 为最大角，cos A ＝9＋25－492×3×5＝－12，又∵A 为△ABC 的内角，∴A ＝2π3．由正弦定理，得asin A ＝c sin C ，即732＝5sin C， ∴sin C ＝5314．知识点四 余弦定理的推论7．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π2答案 C解析 ∵a 是最大的边，∴A ＞π3．∵a 2＜b 2＋c 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0．∴A ＜π2，故π3＜A ＜π2．故选C ．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B的值为( )A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π3答案 D解析 依题意，得a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，所以由余弦定理，得cos B tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或B ＝2π3．故选D ．易错点一 忽视三角形中边的隐含关系9．在钝角三角形ABC 中，a ＝1，b ＝2，求最大边c 的取值范围． 易错分析 易忽略两边之和大于第三边即c ＜3，错解为c ∈(5，＋∞)． 解 ∵在钝角三角形ABC 中，c 为最大边， ∴cos C ＜0，即a 2＋b 2－c 2＜0． ∴c 2＞a 2＋b 2＝5，∴c ＞5． 又c ＜b ＋a ＝3，∴5＜c ＜3， 即c 的取值范围是(5，3)．易错点二 运算时定理选错10． 如图，在梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝19，∠BAD ＝60°，求梯形的高．易错分析 本题易选用正弦定理致计算冗杂出错，审清题干条件通过余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用．解 由∠BAD ＝60°，得∠ADC ＝120°， 在△ACD 中，由余弦定理，得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ×CD ×cos∠ADC ，即19＝AD 2＋4－2AD ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得AD ＝3或AD ＝－5(舍去)． 在△ADE 中，DE ＝AD sin60°＝332．一、选择题1．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5 答案 D解析 ∵23cos 2A ＋cos2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，∴cos 2A ＝125，∴cos A ＝±15．∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝15，又∵a ＝7，c ＝6，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即49＝b 2＋36－125b ．∴b ＝5或b ＝－135(舍去)．∴b ＝5．故选D ．2．在△ABC 中，若AB ＝3－1，BC ＝3＋1，AC ＝6，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C．60° D ．120° 答案 C解析 ∵cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ×BC＝3－12＋3＋12－6223－13＋1＝12，∴B ＝60°． 3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π2答案 C解析 由sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入整理，得c －b c －a ＝a c ＋b⇒c 2－b 2＝ac －a 2，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，故由余弦定理，得cos B ＝12，所以B ＝π3．4．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( ) A ．1010 B ．31010 C ．55 D ．255答案 B解析如图所示，在△ACD 中，设CD ＝a ，由CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos∠DAC ，得a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos∠DAC ，解得cos ∠DAC ＝31010．故选B ．5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝( )A ．34B ．12 C ．1 D ．2 答案 C解析 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a cos A c ＝4cos A3＝1．故选C ．二、填空题6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值是________．答案612解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)．同理，ac cos B ＝12(a 2＋c 2－b 2)，ab cos C ＝12(a 2＋b 2－c 2)．∴bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝612．7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝6cos A sin C ，则b 的值为________．答案 3解析 由正弦定理与余弦定理，知sin B ＝6cos A sin C 可化为b ＝6·b 2＋c 2－a 22bc·c ，化简可得b 2＝3(b 2＋c 2－a 2)，又a 2－c 2＝2b 且b ≠0，计算得b ＝3．8．已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b 2＋c 2－a 2＝bc ．若a ＝3，cos C ＝33，则b ＝________． 答案 1＋63解析 由b 2＋c 2－a 2＝bc ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3．∵cos C ＝33，∴sin C ＝1－cos 2C ＝63．由正弦定理，知 asin A＝csin C， ∴c ＝a sin Csin A＝3×6332＝263， ∴b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2632－(3)2＝263b ， 解得b ＝1＋63或b ＝－1＋63(舍去)． 三、解答题9．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边c ．解 ∵sin C ＝12，且0<C <π，∴C 为π6或5π6．当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2． 当C ＝5π6时，cos C ＝－32，此时，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27．10．已知在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋bc ． (1)求角A 的大小；(2)若a ＝23，b ＝2，求边c 的值．解 (1)由已知可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴A ＝120°．(2)∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将a ＝23，b ＝2， cos A ＝－12代入可得12＝4＋c 2－4c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即c 2＋2c －8＝0，∴c ＝－4(舍去)或c ＝2， ∴c 的值为2．。