函数定义域值域求法十一种

高中函数定义域和值域的求法总结

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

x 2 2x 15 0

①

11 或 x>5。

3且x 11} {x |x 5}。

1

例2求函数y '

定义域。

*16 x 2

解：要使函数有意义，则必须满足

sinx 0 ① 16 x 2 0

② 由①解得2k x 2k ，k Z ③ 由②解得

4x4

④

由③和④求公共部分，得

4 x 或 0 x

故函数的定义域为(4， ］ (0,］

评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？

二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

(1)已知f(x)的定义域，求f ［g(x)］的定义域。

(2)其解法是：已知f (x)的定义域是］a , b ］求f ［g(x)］的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。 例3已知f(x)的定义域为［—2, 2］,求f (x 2

3 x 3，故函数的定义域是｛x |

x

(2)已知f ［g(x)］的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知f ［g(x)］的定义域是］a ， b ］，求f(x)定义域的方法是：由 a x b ，求

g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

例4已知f(2x 1)的定义域为］1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。

即函数f(x)的定义域是｛x 13 x 5｝。 三、逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求

参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。

分析：函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立，由x 2项

例1求函数y

,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。

|x 3|

8 0

② 由①解得 x 3或x 5。

由②解得

x 5或x 11 解：令

2 x 2 1 2 ，得 1 x 2 3，即 0 x 2

3，因此0 | x | 3，从而

1)的定义域。 3}。

③和④求交集得x 3且x 故所求函数的定义域为 ｛x |x

的系数是m ,所以应分 m=0或m 0进行讨论。

解：当m=0时，函数的定义域为 R ; 当m 0时，mx 6mx m 8 0是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件

是

m 0

(6m)2 4m(m 8)

0 m 1

综上可知0 m 1。 评注：不少学生容易忽略

kx 2 4kx 3 0无实数

3

① 当& 0时， 16k 2 4 3k 0恒成立，解得0 k

4

② 当k=0时，方程左边=3工0恒成立。

3

综上k 的取值范围是0 k -。 4

四、实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要 加倍注意，并形成意识。

例7将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积 y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函 数的定义域。

1

解：设矩形一边为 x ，则另一边长为 -(a 2x)于是可得矩形面积。

2

J 八 1

2

y x (a 2x) ax x

2 2 2 1 x ax 。

2

由问题的实际意义，知函数的定义域应满足

x 0 1

(a 2x) 0

2 0 x

a

。

2

1 a 故所求函数的解析式为 y

x 2 -ax ，定义域为(0,巳)。 2 2

例8用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为 求此框架围成的面积 y 与x 的函数关系式，并求定义域。

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。

m=0的情况，希望通过此例解决问题。 例6 已知函数f(x) kx 7 kx 2

4kx 解：要使函数有意义，则必须 kx 2 -的定义域是R ，求实数k 的取值范围。

3

4kx 3工0恒成立，因为f (x)的定义域为

R , 即

x 0

a 2x 0

2x ,

故 y 2x L

2x

X

2

(2 -)x 2 Lx

2

根据实际问题的意义知

2x 0

1

(1 )当 a 0时，F ( x )的定义域为｛x| a x 1 a ｝；

1

(2) 当0 a 时，F (x )的定义域为｛x | a x 1 a ｝；

1 1 (3)

当a 或a 时，上述两区间的交集为空集，此时

F (x )不能构成函数。

2

2

六、隐含型

有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域 隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。 因此，求函数的单调区间，必须先

求定义域。

例10求函数y log 2( x 2 2x 3)的单调区间。 解：由 x 2 2x 3 0，即x 2 2x 3 0,解得 1 x 3。即函数y 的定义域为

(一 1, 3)。

函数y log 2( x 2 2x 3)是由函数y log 2t , t x 2 2x 3复合而成的。

2 2

t x 2 2x 3 (x 1)2 4，对称轴 x=1，由二次函数的单调性，可知

t 在区间

(,1］上是增函数；在区间［1,)上是减函数，而 y log 2t 在其定义域上单调增；

(1,3)

(

,1］ ( 1,1］,( 1,3) ［1,

) ［1,3)，所以函数 y log 2( x 2 2x 3)在区

间(1,1］上是增函数，在区间［1,3)上是减函数。

因为CD=AB=2x ，所以CD x ,所以AD

L AB CD L 2x x

故函数的解析式为

(2

尹LX ，定义域(

0,

五、参数型 对于含参数的函数，

例9已知f(x)的定义域为］0, 1］,求函数F(x) 解： 的解集：

求定义域时，必须对分母分类讨论。 因为

f(x)的定义域为］0, f(x 1］,即0 x 1。故函数 a) f(x a)的定义域。

F(x)的定义域为下列不等式组

::，即

即两个区间［—a , 1-a ］与］

a

a , 1+a ］的交集,

比较两个区间左、右端点，知