高中数学吧必修2第四章知识点总结
高中数学吧必修2第四章知识点总结(20201110143759)
4.1.1圆的标准方程4. 1.2圆的一般方程+ + 2yDxEyF21、圆的一般方程：02、圆的一般方程的特点：（1） 0x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy 这样的二次项.（2） 圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F,因之只要求岀这三个系数，圆的方程就确定了. （3） 、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指 出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4・2・1圆与圆的位置关系=++++ =____1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.DE> 2y 2DxEyF =设直线1： axbycO.iC x0,圆的半径为「圆心）< （，22到直线的距离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当dr 时，直线1与閱C 相禺；（2）当dr 时，直线1与侧C 相切； （3）当dr 时，直线1与閱C 相父； 4.2.2圆与圆祜位曹关系=*两圆的位置关系.丄一 V V +设两圆的连心线长为 1 •则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:屮的标准方ZZZ(x 羽(ybfr2、点M （Xo, yo ）与圜 圆心为A （①b ）,半径为r 的圆的方程一 z 比一 =（xa ） （yb ） r 的关(1)_ 2厶 (xa) (yb) > 00zz (xa) (yb)< 002 _ +r •点在圆外（2）■ 殆 （嚅（心2 r •点在恻上= —V —（1）当1讣2时，圆C1与圆C2相离；（2）当lrr时，圆C1与圆C2外切；（3）当时，圆Ci与圆C2相交;(4)当1 时，圆G与圆C2内切；(5)当1 :rrl时，圆Ci与圆S内含;4. 2. 3直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤:第一步：建立适当的平而直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题;第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.4. 3・1空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z). x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标2、有序实数组(x, y, z).对应着空间直角坐标系屮的一点3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x, y, z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记M(x, y, z). x叫做点M的横坐标.y叫做点M的纵坐标.z叫同步检测第四章圆与方程一、选择题，1.若圆C的圆心坐标为(2, —3),且圆C经过点M (5-7),则圆C的半径为()・厂A. 5B. 5C. 25D. 102.过点A(l, -1), B(-l, 1)且圆心在直线x+ y— 2= 0上的圆的方程是()•A . (x— 3) ~+ D~= 4B・(x+ 3)"+ (y~ 1)"= 4z zC・(x— 1) + (y—=4D・(x+ 1)1) 2+ (y +1)zA. (x_ 3) ~+(y+ 4)_= 16B. (x+ 3)■+ (y — 4)2= 16A. 0 或 2B. 2C. 2D.无解5圆(x — 1) + &+ 2)~= 20在x 轴上截得的弦长是()・ A. 8B. 6C. 62D. 432+y 2+ 2x+ 2y-2 = 0 与 C 2+ y 2- 4x- 2y + 1= 0 的位置关系为()・6. 两个圆Ci ：x 2： xA ・内切相交C ・外切D ・相离2+y 2-2x-5 = 0与圆x 2+y 2+2x-4y-4 =0的交点为A, B,则线段AB 的垂直 7•圆x平分线的方程是()・A. x+y —l=0B ・ 2x —y+l=0 C. x — 2y+ l = 0D. x —y+ 1 = 02+ y 2 —2x= 0和圆x 2+ y 2 + 4y= 0的公切线有且仅有().8•圆xA. 4条B ・3条C ・2条D. 1条9. 在空间直角坐标系中，已知点M(a, b, c),有下列叙述: 点M 关于x 轴对称点的坐标是Mi (a, —b, c):点M 关于yoz 平面对称的点的坐标是M 2 (a, —b, —c)； 点M 关于y 轴对称的点的坐标是M 3 (a, —b, c)； 点M 关于原点对称的点的坐标是Mi(—a, —b, —c)・ 其中正确的叙述的个数是()・10. 空间直角坐标系中，点A(—3, 4, 0)与点B(2, -1, 6)的距离是()・ A. 243B. 221C. 9D. 86 二、填空题+4)切++ (y 9D -3) + (Xzz+ (y~ = 194)ID. 02 + y2—2x—2y+ 1 = 0上的动点Q到直线3x+4y+8 = 0跖离的最小值为.11.EJx12.圆心在直线y=x上且与x轴相切于点(1, 0)的圆的方程为. -13・以点C( — 2, 3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是.22 、乙2+ y=l和(x+4) + (y— a) =25相切，试确定常数a的值.14.两圆x15.圆心为C(3, 一5),并且与直线x—7y+2= 0相切的圆的方程为.H.y2®4x-5 = 0的弦AB的中点射3,1),贝揍B的方程是.三、解答题17.求圆心在原点，且圆周彼篡+4y + 15= 0分成1 ： 2两部分的圆的方程.18.求过原点，在x轴，y轴上截距分别a, b的圆的方程QbHO).19.求经A(4, 2), B(-l, 3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之起2的圆的方20.求经过点(8, 3),并且和直线x=6与x=10都相切的圆的方程.第四章圆与方程参考答案-、选择题1. B圆心C与点M的距离即为圆的半径，(2^)2 + (-3+7)2=5,2. C解析一：由圆心在直线x + y—2= 0上可以得到A, C满足条件，再把A点坐标(1, 一1)代入圆方程.A不满足条件.・••选C.解析二：设圆心C的坐标为(a, b),半径为「因为圆心C在直线x+y—2=0上，・・・b = 2_a・由CA|= CB，得(a-1)"+(b+ 2= (a+ "+ (b—",解得a=l, b=l.1)1) 1)因此所求圆的方程为(x— l)2+ (y- 1)2=4.解析：•・•与x轴相切,.・.r=4・又圆心（一3, 4）, ・・・圆方程迪+3）2+（y-4）2=16.4. B解析：Vx + y+m= 0 与x2+y2= m 相切，厂・•・（0, 0）到直线距离等if2ni= 2.5. A解析：令y=0,・・・(x—2 = 16・1).•.x— 1= ±4,・・Xi=5, x?= — 3.・•・弦长=|5—(一3) | =8.6. B解析后两个圆的方程G： (x+1) 2+(y+l)2=4, C2： (x-2)2+ (y-l)2= 4可求得圆心距d=13G (0, 4) , ri=r2=2,且ri —r2< d<ri+r2故两圆相交，跣7. A解析：对已知圆的方程x'+y‘一2x —5=0, x'+y'+2x—4y —4=0,经配方，得(x—1) 2+ y2— 6, (x4-1)2+ (y—2尸=9・圆心分别肉(1, 0), C2(-l, 2).直线CG的方程妁by — 1 = 0.8. C ____解析：将两圆方程分别配方得(x-1) 2+V= 1和x24 (y+2)2=4,两圆圆6分别肉(1, 0), 02(0, —2), ri=l, r2 = 2, 0i02 = 1 ~5\ 又1 =「一「<5V11 + 匕=3, '+2-2+2-故两圆相交，所以有两条公切线，磁C.9. C解：①②③错，④对.选10. D解析：利用空间两点间的距离公式.二、填空题11. 2.解析：圆心到直线的距离d= 呼+ I =3'5・•・动点Q到直线距离的最小值为d-r= 3- 1 = 2.12.(x- 2+ (y-D2=i.1)解析：画图后可以看出，圆心在(1, 1),半径为1・故所求圆的方程为：(x—1)，+(y—i)2=i・13.(x+ ?+(y_3)2 = 4・2)解析：因为圆心为(一2, 3),且圆与y轴相切，所以圆的半径为2・故所求圆的方程为(x+ 2+ (y-3)V4.2)乂14.0 或±25. J 丁解析：当两圆相外切时，由Io山=「+.知4?=6,即a=±25- 2+2________ +r~~当两圆相内切时，由|OiO2| =ri—r2 (ri>r2)ftJ24a= 4,即a= 0.・・・a的值为0或±25.Z Z1?・(X—+ (y+ =32.3)5)解析：圆的半径即为圆心到直线x- 7y+ 2= 0的距离;16.x+ y— 4= 0.解析：圆X2+y2- 4x-5= 0的圆心为C(2, 0) , P(3, 1)为弦AB的中点，所以直线AB与直线CP垂直，即kAB- kcP=-l,解得kAB=-l,又直线AB过P⑶1),程为x+ y—4=0.三、解答题22+ y=36.17.x 解析：设直线与圆交于A, B两点，则ZA0B=120°,设A 2R所求圆方程为：x2+y2=r2, r15, °则圆心到直线距离为 2 5所"95X2+y2=r2, 5 2 r则圆心到直-B线距离为4以r=6,所求圆方程为x2+y2 = 36.2+厂=36.第17题(第17题) C C「+ y-— ax— by= 0.18.x解析：・・•圆过原点，・・・设圆方程为x2+y2 + Dx+Ey=0.：•圆过(a, 0)和(0, b),a2+Da=0, b2+bE=0.又Va^O, bHO,・°・ D = —E ——b.故所求圆方程为x' + y‘一ax—by= 0・2+y2-2x-12=0.19.x22 解杯设所求圆的方程为x+ y+Dx + Ey+F=O.TA, B两点在圆上，代入方程整理得：D-3E-F= 10 ①4D+2E+F = -20 ②设纵截距为4, b2,横截距为比.在圆的方程中，令x=0得y2+Ey+F= 0, /. bi+ b2 = —E；令y = 0 得xl+a2=—D.2+D X+F=0, A a由已知有一D_E=2③①②③联立方程组得D = -2, E=0, F=-12・故所求圆的方程为x2+ y2-2x-12=0.20.解：设所求圆的方程为(x-a) +®_ =rb) •106根据题意：r = = 2,2圆心的横坐标a= 6+ 2 = 8,所以圆的方程可化为：(x-8) 2+ (y-b)2=4.又因为圆过(8, 3)点，所以(8-8) 2+(3_b)2=4,解得b=5或b=l,所求圆的方程为(x-8) 2+ (y—5尸=4 或(X —8)24- (y- 1)2=4.。
必修二数学第四章知识点归纳
必修二数学第四章知识点归纳必修二数学第四章知识点归纳标准方程圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。
如果已知：(1)圆半径长R;(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如下图)。
根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。
结论如下：(x-a)2+(y-b)2=R2当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x2+y2=R2圆的一般方程圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-R2=0设D=-2a，E=-2b，F=a2+b2-R2;则方程变成：x2+y2+Dx+Ey+F=0任意一个圆的方程都可写成上述形式。
把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1);(2)没有xy的乘积项。
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为(x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆 x2+y2=r2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0·x+b0·y=r2在圆(x2+y2=r2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r2。
如何快速学好数学适当多做题，养成良好的解题习惯。
要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。
对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。
必修二数学第四章知识点
必修二数学第四章知识点
第四章知识点主要涉及到图形的性质和关系，包括平行四边形和矩形的性质、梯形的性质、圆的性质以及相关的计算方法等等。
1. 平行四边形的性质：
- 对角线互相平分
- 相邻角互补
- 对角线长度相等
- 任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形
- 相邻边互相平行且长度相等
2. 矩形的性质：
- 两对对边分别平行且相等
- 相邻角为直角
- 对角线相等
3. 梯形的性质：
- 两条底边平行
- 两个对角线相交于一点
- 两个底角和两个顶角之和为180度
4. 圆的性质：
- 圆心到圆上任意一点的距离都相等
- 直径是最长的线段，而半径是一半长
- 任意两条弦之间的弦长相等时，这两条弦是等长的
- 切线和半径所形成的角是直角
- 切线与圆心连线所形成的角等于其对应的弧所对的角
5. 图形的计算方法：
- 平行四边形的面积 = 底边长×高
- 矩形的面积 = 长×宽
- 梯形的面积 = 上底 + 下底×高÷ 2
- 圆的面积 = π×半径的平方，其中π约等于3.14
- 圆的周长 = 2 ×π×半径
这些是第四章必修二数学的主要知识点，掌握了这些知识点可以帮助你理解和解决与图形性质和关系相关的问题。
高中数学必修2第四章知识点总结
高中数学必修２第四章知识点总结4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(ED --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系．设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；4.2.3 直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．4.3.1空间直角坐标系1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。
高中数学必修2知识点总结第四章-圆和方程
第四章 圆与方程 知识点与习题1. ★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内;（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x （x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ； ②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可； ②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2两圆的位置关系 判断条件 公切线条数外离 ｄ＞ｒ1+ｒ2 4条 外切 ｄ＝ｒ1+ｒ2 3条 相交 |ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ2 2条 内切 ｄ＝|ｒ1-ｒ2| 1条 内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
高中数学必修2第四章知识点总结
高中数学必修2第四章知识点总结一、几何证明几何证明是数学中的一种重要方法。
在几何证明中，我们需要运用已知条件和几何定理进行推理，以得到我们要证明的结论。
1.等腰三角形性质等腰三角形的性质包括两边相等、两底角相等等。
在证明等腰三角形时，可以利用相等的角、相等的边、对称性等性质进行推导。
2.相似三角形性质相似三角形的性质包括对应角相等、对应边成比例等。
在证明相似三角形时，可以运用角度对应、边长比例、平行性等性质来推导。
3.圆的性质圆的性质包括切线与半径垂直、半径相等的弧对应的角相等等。
在证明圆的性质时，可以使用切线、弦、弧等基本概念和定理进行推导。
二、平面上的向量向量是数学中一个重要的概念，表示有大小和方向的量。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量的线性组合。
1.向量的加法和减法向量的加法满足交换律和结合律，减法是加法的逆运算，即A-B=A+(-B)。
2.数量乘法向量与实数的乘法称为数量乘法，它可以改变向量的大小和方向。
3.向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量与一些实数相乘再相加而得到的新的向量。
4.向量共线和共面两个向量共线是指它们的方向相同或相反，两个向量共面是指它们在同一个平面上。
三、线性规划线性规划是一种优化问题，它的目标是在一定的约束条件下，使其中一目标函数达到最大或最小值。
线性规划的基本步骤包括建立数学模型、确定目标函数和约束条件、求解可行解集和最优解。
1.线性规划问题的建立线性规划的问题可以用一个线性方程组来表示，其中包括目标函数和约束条件。
2.目标函数和约束条件目标函数是要优化的目标量，约束条件是对决策变量的限制要求。
3.可行解集和最优解可行解集是满足约束条件的决策变量的取值范围，最优解是在满足约束条件下使目标函数达到最大或最小值的解。
四、数列与数列的合成数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。
数列的合成是指将两个或多个数列按照一定规律进行组合。
1.数列的概念数列可以用函数来表示，其中自变量是自然数，函数值是一系列按照一定规律排列的数。
数学必修2第四章知识点小结及典型习题
第四章 圆与方程一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合(或点的轨迹)叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.二、圆的方程：（标准方程和一般方程）（一）标准方程：()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r圆的参数方程（还未学习，暂作了解）()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数 ()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数 1、求标准方程的方法——关键是求出圆心()b a ,和半径r①待定系数法：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P例2 ②利用平面几何性质：往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交。
相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式圆心在原点 ()2220x y r r +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2220x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b r r +-=≠圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b b b +-=≠与x 轴相切()()()2220x a y b b b -+-=≠与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切()()()2220x a y b a a b -+-==≠ （二）圆的一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1、圆的一般方程的特点：(1)①2x 和2y 的系数相同，且不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2) 求圆的一般方程采用待定系数法：圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．如教材122P 例4(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
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高中数学吧必修２第四章知识点总结4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(ED --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系．设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；4.2.3 直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．4.3.1空间直角坐标系1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式1、空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=同步检测第四章 圆与方程一、选择题，1．若圆C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆C 经过点M (5－7)，则圆C 的半径为( )． A ．5B ．5C ．25D ．102．过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )． A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝43．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )．A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝194．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为( )．A．0或2 B．2 C．2D．无解5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是( )．A．8 B．6 C．62D．436．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为( )．A．内切B．相交C．外切D．相离7．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是( )．A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝08．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有( )．A．4条B．3条C．2条D．1条9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述：点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b，c)；点M关于y oz平面对称的点的坐标是M2(a，－b，－c)；点M关于y轴对称的点的坐标是M3(a，－b，c)；点M关于原点对称的点的坐标是M4(－a，－b，－c)．其中正确的叙述的个数是( )．A．3 B．2 C．1 D．010．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是( )．A．243B．221C．9 D．86二、填空题11．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为．13．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是．14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值．15．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为．16．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是．三、解答题17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．18．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．19．求经过A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．20．求经过点(8，3)，并且和直线x ＝6与x ＝10都相切的圆的方程．第四章 圆与方程参考答案一、选择题 1．B圆心C 与点M 的距离即为圆的半径，227＋3－＋5－2)()(＝5． 2．C解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A ，C 满足条件，再把A 点坐标 (1，－1)代入圆方程．A 不满足条件．∴选C ．解析二：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a ．由|CA |＝|CB |，得(a －1)2＋(b ＋1)2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝1，b ＝1．因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． 3．B解析：∵与x 轴相切，∴r ＝4．又圆心(－3，4)， ∴圆方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝16． 4．B解析：∵x ＋y ＋m ＝0与x 2＋y 2＝m 相切， ∴(0，0)到直线距离等于m ． ∴2m ＝m ，∴m ＝2． 5．A解析：令y ＝0， ∴(x －1)2＝16． ∴ x －1＝±4， ∴x 1＝5，x 2＝－3． ∴弦长＝|5－(－3)|＝8． 6．B解析：由两个圆的方程C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4可求得圆心距d ＝13∈(0，4)，r 1＝r 2＝2，且r 1－r 2＜d ＜r 1＋r 2故两圆相交，选B ．7．A解析：对已知圆的方程x 2＋y 2－2x －5＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0，经配方，得 (x －1)2＋y 2＝6，(x ＋1)2＋(y －2)2＝9．圆心分别为 C 1(1，0)，C 2(－1，2)． 直线C 1C 2的方程为x ＋y －1＝0． 8．C解析：将两圆方程分别配方得(x －1)2＋y 2＝1和x 2＋(y ＋2)2＝4，两圆圆心分别为O 1(1，0)，O 2(0，－2)，r 1＝1，r 2＝2，|O 1O 2|＝222＋1＝5，又1＝r 2－r 1＜5＜r 1＋r 2＝3，故两圆相交，所以有两条公切线，应选C ．9．C解：①②③错，④对．选C ． 10．D解析：利用空间两点间的距离公式． 二、填空题 11．2．解析：圆心到直线的距离d ＝58＋4＋3＝3，∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝2． 12．(x －1)2＋(y －1)2＝1．解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为 1． 故所求圆的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝1． 13．(x ＋2)2＋(y －3)2＝4．解析：因为圆心为(－2，3)，且圆与y 轴相切，所以圆的半径为2．故所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝4．14．0或±25．解析：当两圆相外切时，由|O 1O 2|＝r 1＋r 2知22＋4a ＝6，即a ＝±25． 当两圆相内切时，由|O 1O 2|＝r 1－r 2(r 1＞r 2)知22＋4a ＝4，即a ＝0．∴a 的值为0或±25． 15．(x －3)2＋(y ＋5)2＝32．解析：圆的半径即为圆心到直线x －7y ＋2＝0的距离； 16．x ＋y －4＝0．解析：圆x 2＋y 2－4x －5＝0的圆心为C (2，0)，P (3，1)为弦AB 的中点，所以直线AB 与直线CP 垂直，即k AB ·k CP ＝－1，解得k AB ＝－1，又直线AB 过P (3，1)，则所求直线方程为x ＋y －4＝0．三、解答题 17．x 2＋y 2＝36．解析：设直线与圆交于A ，B 两点，则∠AOB ＝120°，设 所求圆方程为：x 2＋y 2＝r 2，则圆心到直线距离为5152=r ，所 以r ＝6，所求圆方程为x 2＋y 2＝36．(第17题)18．x 2＋y 2－ax －by ＝0．解析：∵圆过原点，∴设圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0． ∵圆过(a ，0)和(0，b )， ∴a 2＋Da ＝0，b 2＋bE ＝0． 又∵a ≠0，b ≠0， ∴D ＝－a ，E ＝－b ．故所求圆方程为x 2＋y 2－ax －by ＝0． 19．x 2＋y 2－2x －12＝0．解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0． ∵A ，B 两点在圆上，代入方程整理得：D －3E －F ＝10 ①4D ＋2E ＋F ＝－20②设纵截距为b 1，b 2，横截距为a 1，a 2．在圆的方程中，令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0， ∴b 1＋b 2＝－E ；令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，∴a 1＋a 2＝－D ． 由已知有－D －E ＝2．③①②③联立方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12． 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．20．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 根据题意：r ＝2610-＝2， 圆心的横坐标a ＝6＋2＝8，所以圆的方程可化为：(x －8)2＋(y －b )2＝4．又因为圆过(8，3)点，所以(8－8)2＋(3－b )2＝4，解得b ＝5或b ＝1， 所求圆的方程为(x －8)2＋(y －5)2＝4或(x －8)2＋(y －1)2＝4．。