12.3.1 等腰三角形(1)(含答案)a-

12.3.1 等腰三角形（1）
题号一1 二2 三3 四4 五5 六6 七7 八8 得分
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◆课堂测控
测试点等腰三角形的性质
1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则∠B=______．
2．等腰三角形的一个底角等于40°，则顶角为____．
3．如图，AB=AC=5cm，BC=3cm，∠A=40°，点A和点B关于直线L对称，AC与L相交于点D，则∠C=______，△BDC的周长等于______．
4．下列命题中，正确的是（）
A．两个全等的三角形合在一起是一个轴对称图形
B．等腰三角形的对称轴是底边上的中线
C．等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线
D．一条线段可看作以它的垂直平分线为轴的轴对称图形
5．下面是数学课堂的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题：
学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的∠A等于30°，请你求出其余两角．”
同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120•°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法……
（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？
（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）
◆课后测控
6．等腰三角形一底角的外角为105°，那么它的顶角为______度．
7．如图1，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数是____．
图1 图2 图3
8．△ABC中，AB=AC，∠B，∠C的平分线交于P点，且∠BPC=100°，则∠A=_____．9．如图2，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到α上，•经两次反射后的出射光线O′B平行于α，则角θ=______度．
10．如图3，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（）
A．90° B．75° C．70° D．60°
11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（）
A．30° B．150° C．30°或150° D．120°
12．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD，找出图中相等的角并说明理由．
13．如图，△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于H，且AE=BE，•求证：AH=2BD．
◆拓展测控
14．（探究题）如图，A，D，B三点在同一直线上，△ADC，△BDO•为等腰直角三角形，连结AO，BC．
（1）AO，BC的大小位置关系如何？并证明你的结论，如图①．
（2）当△ODB绕顶点D旋转任一角度得到图②，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理
由．
参考答案
1．55°（点拨：∵AB=AC，∴∠B=∠C=1
2
（180°-∠A）
2．100°（点拨：顶角=180°-2底角）
3．70° 8cm （点拨：∠C=1
2
（180°-∠A），由L垂直平分AB得DA=DB，△BCD•的周
长=AC+BC）
4．D （点拨：B选项中对称轴应该是中线所在的直线）
5．（1）上述两同学的回答均不全面，应该是：其余两角的大小是75°和75•°或30°和120°，理由如下：当∠A是顶角时，设底角是α，则30°+α+α=180°，α=75°，•所以其余两角是75°和75°；当∠A是底角时，设顶角是β，所以30°+30°+β=180°，β=120°，所以其余两角分别是30°和120°．
（2）如考虑问题必须全面．
[总结反思]等腰三角形两个底角相等，•利用该性质可求等腰三角形的底角或顶角．
6．30 （点拨：底角为180°-105=75°）
7．36°（点拨：设∠A为x，则∠BDC=2x，∠C=2x，在△ABC中，有x+2x+2x=180°，•x=36°）
8．20°（点拨：由∠BPC=100°知两底角和为160°）
9．60 （点拨：根据入射角等于反射角及平行线的性质求解）
10．D （点拨：∠A=15°，则∠CBD=∠CDA=2∠A=30°，∠DCE=∠DEC=45°，∠EDF=•∠DFE=60°，故∠DEF=60°）
11．C （点拨：分顶角为锐角或钝角两种情况讨论）．
12．∵AB=AC，AD=BD，∴∠C=∠B，∠B=∠1，
∴∠C=∠1．∵∠3=∠2+∠C=∠2+∠1
∴∠3=∠BAC．
[解题规律]将等边对等角和外角性质联用解题． 13．∵∠DAE+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠DAE=∠EBC．
在△AHE和△BCE中，
90,
,
.
HEA CEB
AE BE
HAE CBE
∠=∠=︒⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△AHE≌△BCE（ASA），∴AH=BC．
又∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．
∴BC=2BD，∴AH=2BD．
[解题规律]具有等腰三角形的底边中线或高或顶角平分线的条件时要充分利用“三线合一”的性质．
14．解：（1）AO=BC，AO⊥BC．
证明如下：∵△ADC和△BDO为等腰直角三角形，
∴AD=DC，OD=BD，∴△ADO≌△CDB，
∴OA=BC，∠OAD=∠BCD．
延长AO交BC于E，则∠COE=∠AOD．
∴∠COE+∠BCD=∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠CEO=90°，即AO⊥BC．
（2）（1）中结论依然成立，证明方法图（1）
[方法技巧]图形在旋转过程中位置发生了变化，但其相等关系没有发生变化．
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