Darcy方程稳定化有限元方法的超收敛分析
稳定性与收敛性分析方法
稳定性与收敛性分析方法稳定性和收敛性是科学研究中非常重要的概念和指标，用于评估一个系统、方法或算法的可行性和有效性。
在各个领域，包括数学、物理学、工程学等，稳定性和收敛性分析方法都起着关键的作用。
本文将介绍稳定性和收敛性的概念，并重点讨论在数值计算中常用的分析方法。
一、稳定性分析方法稳定性是指一个系统在输入或参数扰动下，输出的响应是否会趋于有界或者稳定的状态。
在数学建模、控制理论等领域，稳定性分析是评估一个系统的重要手段之一。
以下是一些常见的稳定性分析方法：1. Lyapunov 稳定性分析方法: Lyapunov 稳定性分析方法是一种基于Lyapunov 函数的稳定性判断方法。
通过构造一个满足特定条件的Lyapunov 函数，可以判断系统是否是稳定的。
2. Routh-Hurwitz 稳定性判据: Routh-Hurwitz 稳定性判据是一种基于判别式的稳定性分析方法。
通过构造一个 Routh-Hurwitz 判别式，可以得到系统的稳定性边界条件。
3. 极点配置法: 极点配置法是一种常用的控制系统设计方法，也可以用于稳定性分析。
通过选择合适的极点位置，可以实现系统的稳定性。
二、收敛性分析方法收敛性是指一个数值计算方法在迭代过程中，得到的结果是否趋于准确解。
在数值计算和优化算法中，收敛性是评估算法有效性的重要指标。
以下是一些常见的收敛性分析方法：1. 收敛准则: 收敛准则是一种用于判断迭代算法是否收敛的方法。
常见的收敛准则包括绝对误差判据、相对误差判据和残差判据等。
2. 收敛速度分析: 收敛速度是指迭代算法的收敛过程有多快。
常用的收敛速度分析方法包括收敛阶数的估计、收敛速度的比较等。
3. 收敛性证明: 在一些数值计算方法中，为了证明其收敛性，需要使用一些数学工具和技巧，如递推关系、数学归纳法等。
总结：稳定性和收敛性分析方法在科学研究和工程实践中具有重要的意义。
通过对系统的稳定性进行分析，可以评估其可靠性和安全性。
求解随机微分方程数值方法的稳定性与收敛性
1、For Itoˆ stochastic differential equations, The numerical method and its stability was studied mainly. First, θ-Heun method was obtained by improving the Heun method. Then, according to the definition of the mean square stability and exponential stability of numerical method, the mean square stability condition and the exponential stability condition of the θ-Heun method and its stability regions were gain. What’s more, the range of the θ that makes the stability of θ-Heun method was given, and the numerical validation was performed. Finally, the mean square stability and the asymptotic stability of these two methods were compared by numerical examples.
有限元收敛问题
有限元收敛问题引言有限元方法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程学和科学领域。
在使用有限元方法进行数值计算时，我们通常关注的一个重要问题就是收敛性。
收敛性指的是当离散网格逐渐细化时，数值解是否能够趋近于真实解。
有限元收敛问题是指在使用有限元方法求解偏微分方程时，通过增加网格的细化程度来提高数值解的精度。
本文将介绍有限元收敛问题的定义、判定准则以及影响因素，并对其进行详细讨论。
有限元收敛问题定义在开始讨论之前，我们先来明确一下什么是有限元收敛问题。
给定一个偏微分方程及其边界条件，在使用有限元方法离散化后，我们可以得到一个离散形式的代数方程组。
通过求解这个代数方程组，我们可以得到一个数值解。
如果我们将网格逐渐细化，即将离散网格划分为更小的单元，然后再次求解代数方程组得到新的数值解。
如果随着网格细化，新的数值解逐渐趋近于真实解，那么我们就说有限元方法在这个问题上具有收敛性。
有限元收敛问题判定准则在实际应用中，我们如何判断使用有限元方法求解的数值解是否满足收敛性呢？以下是一些常用的判定准则：1. 网格细化首先，我们需要逐渐增加网格的细化程度。
通过将离散网格划分为更小的单元来提高数值解的精度。
通常情况下，我们会使用不同层次的网格进行计算，并比较不同网格下得到的数值解之间的差异。
2. 解析解比较如果我们能够得到偏微分方程的解析解，那么可以将数值解与解析解进行比较。
通过计算数值解与解析解之间的误差，并观察误差随着网格细化程度增加时是否逐渐减小来判断收敛性。
3. 收敛阶验证除了与解析解进行比较外，还可以对数值解的收敛阶进行验证。
收敛阶指的是当网格细化程度增加时，数值解误差与网格尺寸之间的关系。
通常情况下，我们希望数值解误差与网格尺寸之间存在线性或二次关系。
通过计算不同网格下的数值解误差和网格尺寸，并绘制误差与网格尺寸的对数-log 图，可以得到收敛阶。
如果收敛阶满足预期的要求，那么我们可以认为有限元方法在该问题上具有收敛性。
有限元的性质和收敛性
有限元的性质和收敛性一、有限元解的收敛准则有限单元法作为求解数学微分方程的一种数值方法可以认为是里兹法的一种特殊形式，不同在于有限单元法的试探函数是定义于单元（子域）而不是全域。
因此有限元解的收敛性可以与里兹法的收敛性对比进行讨论。
里兹法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满足完备性和连续性要求，当试探函数的项数n--->∞时，则Ritz法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。
现在要研究什么是有限元解的收敛性提法？收敛的条件又是什么？在有限单元法中，场函数的总体泛函是由单元泛函集成的。
如果采用完全多项式作为单元的插值函数（即试探函数），则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和真正解一致。
但是实际上有限元的试探函数只能取有限项多项式，因此有限元解只能是真正解的一个近似解答。
有限元解的收敛准则需要回答的是，在什么条件下当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真正解。
下面仍以含有一个待求的标量场函数为例，微分方程是：A(φ) = L(φ) + b = 0 (1.1)相应的泛函是：（1.2）假定泛函∏中包含φ和它的直至m阶的各阶导数，若m阶导数是非零的，则近似函数至少必须是m次多项式。
若取p次完全多项式为试探函数，则必须满足p≥m，这时及其各阶导数在一个单元内的表达式如下：......（1.３）由上式可见，由于是p次完全多项式，所以它的直至m阶导数的表达式中都包含有常数项。
但单元尺寸趋近于零时，在每一单元内及其直至m阶导数将趋近于它的精确值，即趋近于常数。
因此，每一个单元的泛函有可能趋于它的精确值。
如果试探函数还满足连续性要求，那么整个系统的泛函将趋近于它的精确值。
有限元解就趋近于精确解，也就是说解是收敛的。
从上述讨论可以得到下列收敛准则：准则1完备性要求。
如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。
或者说试探函数中必须包括本身和直至m 阶导数为常数的项。
有限元方法超收敛性综述
有限元方法超收敛性综述专业方向计算数学学号082111026 姓名何果一、有限元方法简介有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。
由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法（Finite Element Method）。
在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。
1915年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。
1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。
这实际上就是有限元的做法。
有限元方法是解偏微分方程数值解一中行之有效的数值计算方法，广泛应用与科学与工程计算各领域，它已经取得了巨大的成功。
冯康先生在1965年著名的论文《基于变分原理的差分格式》中第一次独立阐明了有限元方法的实施数学实质和理论基础，这是第一次系统的采用连续的工具特别是偏微分方程的工具来处理离散化的技术，更确切地说，有限元法就是为了对一些工程问题求得近似解的一种数值方法，从数学的角度来讲，有限元法是从变分原理或加权残数法出发，通过区域剖分和分片插值，通常是分片多项式插值，把偏微分方程的求解化为线性方程组的求解。
然而，直接从有限元解计算所得的导数在单元边界不连续且整体精度不高，网格加密呵有限元次数增加能适当改善精度，然而随着网格的加密和多项式次数的提高，有限元方法产生的线性代数方程组的阶将暗几何级数增长，但是计算机技术发展的速度总是赶不上有限元方法对它的这种需求。
因而怎样对有限元方法所得到得数值结果事后进行某种加工（这种加工工作量极小）来提高有限元解及其导数的精度是有限元研究的一项重要内容。
在这一方面前辈们已经做出的很多出色的工作。
二、有限元的超收敛性历史回顾和当前进展有限元的超收敛现象最早由工程师发现，早在1967年ZienkiewiczCheung 就在《The finite element in structural and continuum mechanics》中指出在计算在计算中发现线性有限元解得导数在某些特殊点上有特别高的精度。
有界区域内相互作用的Forchheimer-Darcy流体方程组解的结构稳定性
浙江大学学报（理学版）Journal of Zhejiang University （Science Edition ）http ：///sci第48卷第1期2021年1月Vol.48No.1Jan.2021有界区域内相互作用的Forchheimer-Darcy流体方程组解的结构稳定性石金诚，李远飞*（广州华商学院数据科学学院，广东广州511300）摘要：研究了在R 3中有界区域内相互作用的Forchheimer -Darcy 流体方程组解的结构稳定性。
假设黏性流体在Ω1中满足Forchheimer 方程组，在Ω2中满足Darcy 方程组，借助于一些先验估计，构造了微分不等式，证明了对Forchheimer 系数b ，Forchheimer -Darcy 方程组的解是收敛的。
关键词：结构稳定性；Forchheimer 方程组；Darcy 方程组；界面边界条件中图分类号：O 175.29文献标志码：A文章编号：1008⁃9497（2021）01⁃057⁃07SHI Jincheng,LI Yuanfei （School of Data Science ，Huashang College Guangzhou ，Guangzhou 511300，China ）Structural stability of the Forchheimer-Darcy fluid in a bounded domain .Journal of Zhejiang University(ScienceEdition),2021,48(1):57⁃63Abstract :The structural stability for the solution of the Forchheimer fluid equations interfacing with a Darcy fluid equations in a bounded region in R 3is studied.Assumed that the viscous fluid be governed by the Forchheimer equations in Ω1,while in Ω2,the fluid satisfy the Darcy equations.With the aid of some priori bounds,we formulate a differential inequality and demonstrate the convergence result for the Forchheimer coefficient b .Key Words :structural stability;Forchheimer equations;Darcy equations;interface boundary condition0引言近年来，偏微分方程解的结构稳定性引起广泛关注。
有限元的收敛性摘抄
有限元的收敛性一，有限元定义：1，一阶和二阶单元，通常称为H单元。
三阶及以上的称其为P单元。
2，有限元分析首先计算节点的位移量，接着再推算其对应的单元应变值，再计算积分点的应力。
3，因此：位移的准确性高于应变、应变高于应力。
4，线性计算中，单元不可变形过大，否则造成求解失败。
二，三种收敛性技术：手动控制收敛、软件自动控制收敛（h，p自适应方法）1，h方法：根据应力梯度变化情况，根据预先规定的收敛准则，自动重新剖分网格，进行自动加密。
适用于实体零件及装配体（仅仅支持实体单元）的静态分析在应变能误差较高的区域使用较小的网格尺寸目标精度定义应变能默认值98%，一般认为达到分析要求。
2，p方法：根据约束条件，在约束条件大的地方，根据预先规定的收敛准则，调整此处的单元形状函数的阶次，在单元大小不变的情况下提高单元内部应力的准确性。
适用于实体零件及装配体的静态，但装配体仅仅支持结合方式，不可有其他接触存在默认的收敛准则是总应变能，通常默认的就足够必须使用二阶单元为初始网格雅可比检查设定在节点处三，手动收敛性检查：1，相对收敛性检查：大多数复杂情况下很难通过自适应方法得到好的结果，必须通过相对收敛性检查得到收敛的结果：步骤如下执行多个分析研究，逐步调整加密网格，检查应力值的变化情形每次以2：1的比例调整加细网格尺寸如果局部网格尺寸远小于整体尺寸，注意扭曲、失真的情况2，等值线质量检查：应力等值线应该和几何体一样连续，使用不连续选项可以更清楚的看到不连续的结果。
如果几何体光滑连续而结果呈锯齿状，表明此处结果不好，需要加密或提高网格质量。
3，误差估算方法：能量范数值：能量范误差绘图可以显示相邻元素的应力值差异，越小越好节点和单元应力值比较：节点解是临近单元的节点应力的平均值单元解是每个单元所有节点应力的平均值评定标准：理论上节点解和单元解应该有较小的差异：一般情况下，节点应力与单元应力的误差不允许超过5%建议：1，针对单一零件的分析：使用h自适应、二阶单元及默认单元大小2，针对结合的装配体：使用p自适应、二阶单元及默认单元大小3，针对有连接接头或接触条件的装配体分析：使用手动h的单元收敛使用二阶单元及默认单元大小使用初始网格控制以确保符合未变形的几何体使用局部网格控制在需要的位置以达到收敛。
广义对流扩散问题的稳定化有限元方法__概述说明
广义对流扩散问题的稳定化有限元方法概述说明1. 引言1.1 概述在科学研究和工程领域中，广义对流扩散问题代表了一类重要的物理现象。
该问题涉及到两种或多种不同类型的物质相互传递质量、能量或动量时的扩散和对流过程。
其在自然环境中的应用广泛，例如气象学中的大气污染传输模拟、地球物理学中的地下水污染迁移等。
在工程实践中，广义对流扩散问题也被广泛应用于空气动力学、化学反应工程、材料科学等领域。
稳定化有限元方法是一种常用的数值解法，用于求解偏微分方程数值近似解。
广义对流扩散问题由于其非线性特性和潜在的数值不稳定性而提出了挑战。
因此，引入稳定化技术来改进传统有限元方法并获得更准确和稳定的数值解成为一种重要需求。
本文将介绍广义对流扩散问题以及其在实际应用中的重要性，并详细探讨稳定化有限元方法在这个问题上的应用。
1.2 文章结构本文将按照以下结构来展开内容：- 引言：对广义对流扩散问题和稳定化有限元方法的概述。
- 广义对流扩散问题的稳定化有限元方法：介绍广义对流扩散问题以及解决该问题的基础理论，重点讨论有限元方法在该问题上的应用。
- 方法一：XXXXX：详细介绍第一种稳定化有限元方法，包括其基本原理、算法和实现步骤。
- 方法二：XXXXX：详细介绍第二种稳定化有限元方法，包括其基本原理、算法和实现步骤。
- 结论：总结文章内容，讨论所采用的方法的优点和局限性，并提出未来可能的改进方向。
1.3 目的本文旨在综述广义对流扩散问题及其数值求解中常用的稳定化有限元方法。
通过引入稳定化技术，在保持计算效率的同时提高数值解的准确性和稳定性。
进一步了解这些稳定化有限元方法是为了帮助研究人员和工程师更好地理解不同物质相互传递时可能遇到的问题，并能够合理选择适用于具体情况的数值求解方法，为实际应用提供可靠的数值仿真结果。
2. 广义对流扩散问题的稳定化有限元方法：2.1 广义对流扩散问题简介广义对流扩散问题是一类重要的物理现象，在多领域中都有广泛应用，包括流体力学、地球物理学和材料科学等。
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（ （ Ｕ ｈ ， Ｐ ｈ ） ， （ Ｖ ｈ ， ） ）
＝
Ｌ （ ， ｑ ＾ ） ， Ｖ（ ， ｑ ＾ ）∈
１ Ｄ ａ ｒ ｃ ｙ方 程 的 稳 定 化 有 限元
考 虑如 下形 式 的 Ｄ ａ ｒ ｃ ｙ 方程 ， 求“ ： ｎ— Ｒ 和 Ｐ： ｎ 一 尺， 使得 ，
易知 ， 问题 （ １ ）的精确 解也满 足 式 （ ４ ） ， 所以， （ （ ｕ一 ， Ｐ— ） ， ｖ ， ｇ ） ） ＝ｏ ， ｖ （ ｖ ， ｑ ） ∈ Ｘ
义，
通区域． 其中， ｆ 和ｇ 是给定的函数， 并且， Ｉ ． ｇ ｄ ｆ ２ ＝
０ ． 参数 是渗透率的倒数 ． 本 研究 使用 Ｓ ｏ ｂ ｏ ｌ ｅ ｖ 空 间上 的标 准记号 ， 设 Ｖ× （ 力） ×Ｈ （ ） ／ 尺， 问题 （ １ ） 的混 合变 分形 式
ｒ ＋７ Ｐ ＝厂 ，
其 中， 曰 （ （ ／ ／ ， ＾ ， Ｐ ＾ ） ， （ ， ｇ ＾ ） ）
＝
（ ／ ／ ， ＾ ， 口 ＾ ）＋（ ７ Ｐ ＾ ， ｚ Ｊ ＾ ）一（ ７ ｇ ＾ ， ｈ ）＋
（ ｄ ｒ ／ ／ ， ＾＋ Ｖ Ｐ ＾ ，一Ｏ ＇ Ｕ ｈ＋ Ｖ ｇ ＾ ） ，
…（ ｕ一 ／ Ｚ ｈ ， Ｐ—Ｐ ｈ ）Ｉ Ｉ Ｉ
其中，
Ｂ（ （ ｕ， Ｐ） ， （ ， ｇ ） ）＝ （ Ⅱ， 口 ）＋（ Ｖ Ｐ， ）一 （ Ｖ ｑ ， ） ，
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３—１ ０—１ １ ． 基 金项 目： 国家 自然科学基金 （ １ １ ２ ７ １ ３ ９ ０ ） 资助项 目．
要： 利用 Ｌ ２ 投影方 法对 Ｄ ａ ｒ ｃ ｙ 方程稳 定化有 限元 方法做 超收敛分析 ， 得到速度与压力的超收敛 ．
文献标志码 ： Ａ
关键词 ： Ｄ ａ ｒ ｅ ｙ问题 ； 稳 定化 有限元方法 ； 超收敛 ； 投影
中 图分 类号 ： ０ ２ ４ １ ． ８ ２
０ 引 言
≤Ｃ ｈ （ Ｉ Ｉ Ⅱ ＋ｌ Ｉ Ｐ Ｉ ） ｌ
（ ６ ）
分析 Ｄ ａ ｒ ｃ ｙ 问题 的超 收敛性 需要 一定 的正 则性
分． 设 ｃ Ｌ （ ｎ） 和
ｃ （ ） ／ Ｒ分别 表示包
含 速度 和压 力 的分段多 项式有 限元空 间 ． 下 面 给出 问题 （ １ ）的有 限元逼 近 ： 求（ ｕ ， Ｐ ）∈
Ｘ ， 满足 ， Ｌ （ ， ｑ ＾ ） ， Ｖ（ ， ｑ ＾ ）∈ Ｘ （ ３ ）
第 ２ ０ ３ １ ２ ３ 耄 年 ｌ 第 ２ ４ 月
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ ｄ ｕ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
成都大学学报 （ 自 然科学版 ）
利用 有 限元 方 法 求 解 Ｄ ａ ｒ ｃ ｙ 方 程， 要 求 速 度 与 压 力 的有 限元 空 间对 满 足 ｉ ｎ ｆ － ｓ ｕ ｐ条件 ， 从 而确 保 数
Ｌ （ ， ｑ ）＝ （ ｆ ， 口 ）＋（ ｇ， ｑ ） 。 令 ＝ ｛ ｝ 是 的网格尺 寸 为 ｈ的有 限元 剖
方法 对 Ｄ ａ 分
析．
Ｂ（ （ “ ＾ ， Ｐ ＾ ） ， （ ， ｑ ＾ ） ）
＝
下 面给 出式 （ ２ ） 的稳 定化格 式 ： 设 为待定 正参 数， 求（ ‰， Ｐ ＾ ）∈ × ， 满足 ，
Ｘ （ ４ ）
Ｖｌ ０１ ． ３ ２ ＮＯ． ４ Ｄｅ ｃ ．２ Ｏｌ ３
文章编号 ： １ ０ ０ ４— ５ ４ ２ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ —０ ３ ３ ９ —０ ４
Ｄ ａ ｒ ｃ ｙ方 程 稳 定 化 有 限 元 方 法 的超 收 敛 分 析
吕华 清，陈豫眉
（ 西华师范大 学 数学与信 息学院，四川 南充 摘 ６ ３ ７ ０ ０ ２ ）
（ （ ， ｐ ） ， （ 口 ， ｑ ） ） ＝Ｌ （ ｖ ， ｇ ） ， Ｖ（ ｖ ， ｑ ） ∈Ｖ Ｘ Ｗ （ ２ ）
ｎ日 （ ） ／ Ｒ） （ ≥ １ ） 和（ ， ｐ ＾ ） ∈ × 分别是 式（ ２ ） 和（ ４ ）的解 ， 则存 在与 ｈ无关 的常数 Ｃ， 使得 ，
值方 法 的 稳 定 性 ．但 低 阶 有 限 元 ，如 三 角 元 Ｐ， ／ Ｐ 。 （ 即线 性 ／ 常数 ） ， 四边形 元 Ｑ ／ Ｐ 。 （ 双 线性 ／ 常 数） 是不稳定的， 因此不能用 于实际计算 中． 为 了克 服ｉ ｎ ｆ － ｓ ｕ ｐ 条件 ， 有学者对 Ｄ ａ ｒ ｃ ｙ 方程的稳定化有限 元 方法 ¨ 圳 进 行 了研究 ， 并 取得 了一 定进 展 ． 受 相关 文献 的启发 ， 本研究利用文献 ［ ３ ］ 中提出的 投影
｛ ｖ・ ｕ＝ｇ ｉ ｎ ｎ，
【 ． ｎ＝０ ｏ ｎ ａ
．
（ １ ）
ｔ（ ， ｑ ＾ ）
＝
（ ｆ ， ） ＋（ ｇ， ｑ ｈ ） ＋／ ５ ＇ （ ｆ ， 一
＋Ｖ ） ． （ ５ ）
式中， ｎ ｃ Ｒ 是 具有 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ 连 续边 界 的多面体 连
＝
设 Ｉ ｌ・Ｉ ｌ 是Ｓ ｏ ｂ ｏ ｌ ｅ ｖ 空 间 （ ） 上 的范数 ， 定
…（ ， ｑ ） … ＝
ｌ ＋ｐ ｌ ｌ Ｉ ｖ ｑ ｌ ｌ
引理 ｌ 【 。 令（ ｕ ， Ｐ ）∈ （ （ ） ） Ｘ（ “（ ）
为， 求（ ， Ｐ ）∈ Ｖ ｘ Ｗ， 满足 ，