22.1.4练习
22.1.4练习1二次函数化顶点式
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
3．（2010•安徽）若二次函数 y＝x2+bx+5 配方后为 y＝（x﹣2）2+k，则 b、k 的值分别为
（）
A．0，5
B．0，1
C．﹣4，5
D．﹣4，1
【分析】可将 y＝（x﹣2）2+k 的右边运用完全平方公式展开，再与 y＝x2+bx+5 比较，即
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25 C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25
Байду номын сангаас
3．（2010•安徽）若二次函数 y＝x2+bx+5 配方后为 y＝（x﹣2）2+k，则 b、k 的值分别为
（ ）A．0，5 B．0，1 C．﹣4，5 D．﹣4，1
4．（2010•泰安）将 y＝2x2﹣12x﹣12 变为 y＝a（x﹣m）2+n 的形式，则 m•n＝
A．y＝﹣ （x﹣2）2+2
B．y＝ （x﹣2）2+4
C．y＝﹣ （x+2）2+4
D．y＝
2+3
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方 式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：y＝﹣ x2﹣x+3＝﹣ （x2+4x+4）+1+3＝﹣ （x+2）2+4
故选：C． 10．（2014•成都校级自主招生）将 y＝（2x﹣1）•（x+2）+1 化成 y＝a（x+m）2+n 的形式
（x﹣3）2﹣10 ．
【初中数学】人教版九年级上册周滚动练习（三）[范围：22.1.4~22.2](练习题)
](https://img.taocdn.com/s3/m/ad7a96d28ad63186bceb19e8b8f67c1cfad6ee86.png)
人教版九年级上册周滚动练习（三）[范围：22.1.4~22.2](153)1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)过B(−2，6)，C(2，2)两点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)记抛物线的顶点为D，求△BCD的面积．2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴相交于点(0，−3)，并经过点(−2，5)，它的对称轴是直线x=1，如图为函数图象的一部分．(1)求二次函数的解析式，写出函数图象的顶点坐标；(2)在原题图上，画出函数图象的其余部分；(3)利用图象写出方程ax2+bx+c=0的解；(4)利用图象写出不等式ax2+bx+c>0的解集．3.如图，抛物线y=ax2＋bx(a>0)经过原点O和点A(2，0)．(1)写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；(2)点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，若x1<x2<1，比较y1，y2的大小；(3)点B(−1，2)在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数解析式．4.已知抛物线y=(x−m)2−(x−m)，其中m是常数．(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．(2)若该抛物线的对称轴为直线x=5．2①求该抛物线的函数解析式；②该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点?5.二次函数y=x2−2x+6有最值，是．6.把二次函数y=x2−12x化为形如y=(x−ℎ)2+k的形式：．7.二次函数y=x2−2x−3的图象如图所示，当y<0时，自变量x的取值范围是．8.若抛物线y=x2+bx+8的顶点在x轴的负半轴上，则b=．9.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为A(−2，−2)，且过点B(0，2)，则y关于x的函数解析式为．10.如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=a(x−4)2+k与y轴的交点，B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．11.如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点和点(−2，0)，则2a−3b(选填“>”“<”或“=”)0.12.抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是（）A.(−1，2)B.(−1，−2)C.(1，−2)D.(1，2)13.已知二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a+b的值是（）A.−3B.−1C.2D.314.将抛物线y=x2−6x+5先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是（）A.y=(x−4)2−6B.y=(x−4)2−2C.y=(x−2)2−2D.y=(x−1)2−315.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.ac>0B.当x>1时，y随x的增大而减小C.b−2a=0D.x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根16.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下面关于一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况，说法正确的是（）A.方程有两个相等的实数根B.方程的实数根的积为负数C.方程有两个正的实数根D.方程没有实数根17.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①4ac<b2；②a+c>b；③2a+b>0.其中正确的有（）A.①②B.①③C.②③D.①②③18.已知二次函数y =ax 2−bx −2(a ≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(−1，0)，当a −b 为整数时，ab 的值为（）A.34或1B.14或1C.34或12D.14或34参考答案1(1)【答案】由题意得{4a −2b +2=6,4a +2b +2=2, 解得{a =12,b =−1, ∴抛物线的函数解析式为y =12x 2−x +2(2)【答案】∵y =12x 2−x +2=12(x −1)2+32，∴抛物线的顶点D 的坐标为(1，32)．易求得直线BC 的函数解析式为y =−x +4.设抛物线的对称轴与BC 的交点为H ， 则H(1，3)， ∴S △BDC =S △BDH +S △DHC =12×32×3+12×32×1=33(1)【答案】∵抛物线y =ax 2+bx 经过原点O 和点A(2，0)，而线段OA 的中点坐标为(1，0)，∴抛物线的对称轴与x 轴的交点坐标为(1，0)(2)【答案】∵该抛物线开口向上，对称轴为直线x =1， ∴当x <1时，y 随x 的增大而减小．∵x 1<x 2<1，∴y 1>y 2(3)【答案】∵点B(−1，2)在该抛物线上，点C 与点B 关于抛物线的对称轴对称，∴点C 的坐标为(3，2)．设直线AC 的函数解析式为y =kx +m ， 则{2k +m =0,3k +m =2, 解得{k =2,m =−4. ∴直线AC 的函数解析式为y =2x −44(1)【答案】证明：∵y =(x −m)2−(x −m)=x 2−(2m +1)x +m 2+m ， ∴b 2−4ac =[−(2m +1)]2−4×1×(m 2+m)=1>0， ∴不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点(2)【答案】①∵y =(x −m)2−(x −m)=x 2−(2m +1)x +m 2+m ， ∴抛物线的对称轴为直线x =−−(2m+1)2=52，解得m =2.∴抛物线的函数解析式为y =x 2−5x +6.②∵y =x 2−5x +6=(x −52)2−14， ∴该抛物线沿y 轴向上平移14个单位长度后， 得到的抛物线与x 轴只有一个公共点5.【答案】:小；5【解析】:∵二次函数y =x 2−2x +6的图象开口向上， y =x 2−2x +6=(x −1)2+5， ∴二次函数y =x 2−2x +6有最小值56.【答案】:y =(x −6)2−36【解析】:y =x 2−12x =(x 2−12x +36)−36=(x −6)2−367.【答案】:−1<x <3【解析】:该抛物线与x 轴的两个交点的坐标分别为(−1,0)和(3,0)． 由图象可知，当y <0时，自变量x 的取值范围是−1<x <38.【答案】:4√2【解析】:∵抛物线的顶点在x 轴负半轴上， ∴{−b 2a <0,4ac−b 24a =0, 即{−b 2<0,b 2−32=0,解得b =4√29.【答案】:y =x 2+4x +2【解析】:设y 关于x 的函数解析式为y =a(x +2)2−2. 将点(0，2)代入解析式， 得2=(0+2)2a −2，解得a =1. 故y 关于x 的函数解析式为y =(x +2)2−2， 即y =x 2+4x +210.【答案】:24【解析】:抛物线y =a(x −4)2+k 的对称轴是直线x =4， 过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则AD =4，则AB=2AD=8，故以AB为边的等边三角形ABC的周长为3×8=24.故答案是24.11.【答案】:>【解析】:∵抛物线的开口向下，∴a<0.∵抛物线经过原点和点(−2，0)，=−1，∴抛物线的对称轴是直线x=−1，∴−b2a∴b=2a，∴2a−3b=2a−6a=−4a>012.【答案】:D【解析】:由题意可知抛物线的顶点坐标为(1，2)．故选 D13.【答案】:C【解析】:把(1，1)代入解析式得a+b−1=1，化简得a+b=2.故选 C14.【答案】:B【解析】:∵y=x2−6x+5=(x−3)2−4，∴将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的函数解析式是y=(x−3−1)2−4+2=(x−4)2−2.故选 B15.【答案】:D【解析】:∵二次函数的图象开口向上，∴a>0. ∵图象与y轴交于负半轴，∴c<0，∴ac<0，故A错误；由图象看出，当x>1时，y随x的增大而增大，故B错误；=1，∴b=−2a，b+2a=0，故C错误；对称轴是直线x=1，即−b2a由抛物线的对称性可得图象与x轴的另一个交点的横坐标为3，即x=3是关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的一个根， 故D 正确． 故选 D16.【答案】:B17.【答案】:B【解析】:∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴Δ>0，即b 2−4ac >0， ∴4ac <b 2，故①正确；∵当x =−1时，y <0，∴a −b +c <0， ∴a +c <b ，故②错误； ∵抛物线的对称轴在直线x =1的右侧，a <0， ∴−b 2a >1，∴−b <2a ，∴2a +b >0，故③正确18.【答案】:A【解析】:根据题意知a >0，b 2a >0，故b >0.又二次函数y =ax 2−bx −2的图象过点(−1，0)， ∴a +b −2=0，∴b =2−a ，∴0<a <2. ∵a −b =a −(2−a)=2a −2，又a −b 为整数， ∴2a −2=−1，0，1，∴a =12，1，32，∴b =32，1，12， ∴ab =34或1.故选 A。
最新人教版初中数学九年级上册《22.1.4(第1课时)》精品教学课件
次函数的性质填空：
x=0时， y=c.
x b1
2a1 y
x b2 2a2
a1 _＞__ 0 b1_＞__ 0 c1_＞__ 0
a2_＞__ 0 b2_＜__ 0
c2_＝__ 0
对称轴在y轴 左侧，x＜0
O
x 开口向上，a＞0
x b1 ＜0 2a1
x b2 ＞0
2a2 对称轴在y轴 右侧，x＞0
探究新知 【思考4】 如何画二次函数y 1 x2 6x 21的图象？
2
x
…3 4 5 6 7 8
y 1 (x 6)2 +3 …
2
7.5
5
3.5
3
3.5 5
y
方法一：描点法
10
1. 利用图象的对称性列表
9… 7.5 …
2.然后描点画图，得到 图象如右图.
5
y
1 2
x2
-
6x
21
O
5
10 x
1 [(x2 12x 62 ) 62 42] 2
1 [(x 6)2 6] 2
1 (x 6)2 3. 2
探究新知
y 1 x2 6x 21 2
(1)“提”：提出二次项系数；
配
(2)“配”：括号内配成完全平方；
方
(3)“化”：化成顶点式.
y 1 (x 6)2 3 2
【提示】配方后的表达式通常称 为配方式或顶点式.
(2) y 5x2 80x 319; 直线x=8 8, 1
(3)
y
2
x
1 2
x
2
;
直线x=1.25
5 4
,
9 8
(4) y x 12 x.
22.1.4 二次函数y=ax^2+bx+c图象和性质(练习)(解析版)
第二十二章 二次函数22.1.4 二次函数y=a x 2+bx+c 图象和性质精选练习答案一、单选题（共10小题)1．（2019·湖南师大附中博才实验中学初二期末）抛物线y ＝x 2﹣4x +5的顶点坐标是（ ） A.（2，1） B.（﹣2，1） C.（2，5） D.（﹣2，5）【答案】A【分析】先把抛物线的解析式配成顶点式得到y ＝（x ﹣2）2+1，然后根据抛物线的性质即可求解． 【详解】∵y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（2，1）． 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=a （x -h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x=h ，本题还考查了利用配方法化二次函数的一般式化为顶点式．2．将抛物线23(2)y x =-向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(3,2)B ．(0,2)C ．(-3,0)D ．(2,1)-【答案】A【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，可得答案．【详解】y=3（x -2）2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得y=3（x -2-1）2+2， 即y=3（x -3）2+2，抛物线的顶点坐标是（3，2）， 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移的规律：左加右减，上加下减是解题关键．3．（2019·重庆中考真题）抛物线2362y x x =-++的对称轴是（ ）A ．直线2x =B ．直线2x =-C ．直线1x =D ．直线1x =-【答案】C【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴． 【详解】解：∵223623(1)5y x x x =-++=--+， ∴抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为1x =． 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x ＝h ．4．直线y=ax+b （ab≠0）不经过第三象限，那么y=ax 2+bx+3的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】首先根据直线y=ax+b （ab≠0）不经过第三象限判断出a 、b 的取值范围，再根据a 的取值范围可判断出开口方向，再加上b 的取值范围可判断出对称轴，最后根据c=3判断出与y 轴交点，进而可得答案． 【详解】解：∵直线y=ax+b （ab≠0）不经过第三象限， ∴a ＜0，b ＞0，∴y=ax 2+bx+3的图象开口向下，对称轴y 轴右侧，与y 轴交于（0，3）， ∴D 符合． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数图象，关键是掌握一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．5．（2018·中山大学附属中学初三期中）某同学在用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c 的图象时，列出下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（ ） A.-11 B.-2 C.1 D.-5【答案】D【分析】由已知可得函数图象关于y 轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，根据正确的数据求出函数的解析式，进而可得答案．【详解】解：由已知中的数据，可得函数图象关于y 轴对称， 则错误应出现在x=-2或x=2时， 故函数的顶点坐标为（0，1）， y=ax 2+1，当x=±1时，y=a+1=-2， 故a=-3， 故y=-3x 2+1，当x=±2时，y=4a+1=-11， 故错误的数值为-5， 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．6．（2019·四川中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是（ ）A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =【答案】D【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解.【详解】由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0. A 选项错误； 函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac -＞0，B 选项错误；观察图象可知x ＝－1时y=a －b ＋c ＞0，所以a －b ＋c ＞0，C 选项错误； 根据图象与x 轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，152x +=， x ＝3即为函数对称轴，D 选项正确； 故选D【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.7．（2017·湖北卓刀泉中学建和分校初三月考）二次函数y ＝x 2﹣2x +2的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3）【答案】A【分析】根据顶点坐标公式，可得答案．【详解】解：2y x 2x 2=-+的顶点横坐标是212--=，纵坐标是2412(2)141⨯⨯--=⨯， 2y x 2x 2=-+的顶点坐标是()1,1．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是2b 4ac b ,.2a 4a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭8．（2019·山东省五莲县第二中学初三期末）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】令x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a ＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解． 【详解】解：x=0时，两个函数的函数值y=b ，所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B 、D 选项错误； 由A 、C 选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a ＞0，则一次函数y=ax+b 经过第一三象限， 所以，A 选项错误，C 选项正确， 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．9．（2019·山东省五莲县第二中学初三期末）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点,c Q a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 由图像可知，，则c Q a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第三象限。
人教版九年级上册数学学案：22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象2 含答案
课题: 22.1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象一．学习目标1、让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质使学生掌握函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象及性质；2、理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标分别是x ＝－b 2a 、(－b 2a ，4ac －b 24a )。
3、通过实际问题探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性； 二．教材导学 （一）知识回顾：（1）二次函数 c bx ax y ++=2( a ≠0)的图象是一条抛物线；（2）对称轴是直线x=a b 2-，顶点坐标是为（ab 2-，a b ac 442-）(3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
（二）、自主学习：1．函数y=ax 2+bx+c (a≠0)中，若a>0，则当x=-ab2时，y ( )= ；若a<0，则当x= 时，y ( )= 。
2．在二次函数y=2x 2-8x+9中当x= 时，函数y 有最 值等于 。
三、引领学习1.探索填空:根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是 ， 在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0 .y= -2x 2y= 2x 22. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空： 抛物线y= 2x 2的顶点坐标是 ， 对称轴是 ，在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0 3.归纳:二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象和性质(1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大；当 时，函数y 有最小值 。
22.1.4练习2二次函数的对称轴
二次函数的对称轴1．（2019•重庆）抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1 2．（2012•兰州）抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2 3．（2013•舟山）若一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y＝ax2+bx的对称轴为（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣2C．直线x＝﹣1D．直线x＝﹣4 4．（2015•台州）设二次函数y＝（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）5．（2016•西湖区校级自主招生）抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝﹣2，则b的值为．6．（2016•荆门）若二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2+mx＝7的解为（）A．x1＝0，x2＝6B．x1＝1，x2＝7C．x1＝1，x2＝﹣7D．x1＝﹣1，x2＝7 7．（2014•珠海）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为．8．（2009•南充）抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝﹣3D．x＝3 9．（2014•枣庄）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x﹣10123y51﹣1﹣11则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x＝C．直线x＝2D．直线x＝10．（2006•辽宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c满足a+b+c＝0和9a﹣3b+c＝0，则该二次函数图象的对称轴是直线．11．（2006•汉川市）老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a＝1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（2006•福州校级自主招生）若不等式ax+b＞0的解集为x＜﹣，且a+b＞0，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴所在位置是（）A．y轴B．y轴的右侧C．y轴的左侧D．无法确定13．（2007•马鞍山校级自主招生）不等式ax+b＞0的解集为，且a+b＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴所在的位置是（）A．y轴B．y轴的左侧C．y轴的右侧D．无法确定14．（2015•南昌）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x＝﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x＝2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x＝﹣2的右侧15．（2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0 16．（2019•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（a﹣2）x+a2﹣1向右平移4个单位长度，平移后的抛物线与y轴的交点为A（0，3），则平移后的抛物线的对称轴为（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣2D．x＝2参考答案1．（2019•重庆）抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x﹣1）2+5，∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x＝1．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质．抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．2．（2012•兰州）抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），∴对称轴是直线x＝0（y轴），故选：C．【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标与对称轴的方法．3．（2013•舟山）若一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y＝ax2+bx的对称轴为（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣2C．直线x＝﹣1D．直线x＝﹣4【分析】先将（﹣2，0）代入一次函数解析式y＝ax+b，得到﹣2a+b＝0，即b＝2a，再根据抛物线y＝ax2+bx的对称轴为直线x＝﹣即可求解．【解答】解：∵一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），∴﹣2a+b＝0，即b＝2a，∴抛物线y＝ax2+bx的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到的知识点：点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式；二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣．4．（2015•台州）设二次函数y＝（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）【分析】根据二次函数的解析式可得出直线l的方程为x＝3，点M在直线l上则点M的横坐标一定为3，从而选出答案．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线x＝3，∴直线l上所有点的横坐标都是3，∵点M在直线l上，∴点M的横坐标为3，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数y＝a（x﹣h）2+k 的顶点坐标为（h，k），对称轴是x＝h．5．（2016•西湖区校级自主招生）抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝﹣2，则b的值为﹣8．【分析】利用对称轴公式可得到关于b的方程，可求得b的值．【解答】解：∵y＝2x2﹣bx+3，∴对称轴为x＝﹣，∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，解得b＝﹣8故答案为：﹣8．【点评】本题主要考查抛物线的性质，掌握抛物线的顶点坐标为（﹣，）是解题的关键．6．（2016•荆门）若二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2+mx＝7的解为（）A．x1＝0，x2＝6B．x1＝1，x2＝7C．x1＝1，x2＝﹣7D．x1＝﹣1，x2＝7【分析】先根据二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx＝7，求出x的值即可．【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3，∴﹣＝3，解得m＝﹣6，∴关于x的方程x2+mx＝7可化为x2﹣6x﹣7＝0，即（x+1）（x﹣7）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝7．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．7．（2014•珠海）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为直线x＝2．【分析】点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，那么利用两点的横坐标可求对称轴．【解答】解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，∴这两点一定关于对称轴对称，∴对称轴是：x＝＝2．故答案为：直线x＝2．【点评】本题主要考查了抛物线的对称性，图象上两点的纵坐标相同，则这两点一定关于对称轴对称．8．（2009•南充）抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝﹣3D．x＝3【分析】已知抛物线解析式为交点式，通过解析式可求抛物线与x轴的两交点坐标；两交点的横坐标的平均数就是对称轴．【解答】解：∵﹣1，3是方程a（x+1）（x﹣3）＝0的两根，∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交点横坐标是﹣1，3，∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是x＝＝1．故选：A．【点评】此题考查对称轴的性质：抛物线上的两点纵坐标相同时，对称轴是两点横坐标的平均数．9．（2014•枣庄）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x﹣10123y51﹣1﹣11则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x＝C．直线x＝2D．直线x＝【分析】由于x＝1、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．【解答】解：∵x＝1和2时的函数值都是﹣1，∴对称轴为直线x＝＝．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单．10．（2006•辽宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c满足a+b+c＝0和9a﹣3b+c＝0，则该二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．【分析】解方程求出a，b的值，再根据对称轴公式即可求出该二次函数图象的对称轴．【解答】解：方程9a﹣3b+c＝0减去方程a+b+c＝0，可得8a﹣4b＝0，根据对称轴公式整理得：对称轴为x＝＝﹣1．故该二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．【点评】解决此题的关键是根据对称轴公式的特点巧妙整理方程，运用技巧不但可以提高速度，还能提高准确率．11．（2006•汉川市）老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a＝1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据图上给出的条件是与x轴交于（1，0），叫我们加个条件使对称轴是x＝2，意思就是抛物线的对称轴是x＝2是题目的已知条件，这样可以求出a、b的值，然后即可判断题目给出四个人的判断是否正确．【解答】解：∵抛物线过（1，0），对称轴是x＝2，∴，解得a＝1，b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+3，当x＝3时，y＝0，所以小华正确；当x＝4时，y＝3，小彬也正确，小明也正确；抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点（1，0），则可得另一点为（﹣1，0）或（3，0），所以对称轴为y轴或x＝2，此时答案不唯一，所以小颖错误．故选：C．【点评】本题是开放性题目，要把题目的结论作为题目的条件，再推理出四个人说的结论的正误．难度较大．12．（2006•福州校级自主招生）若不等式ax+b＞0的解集为x＜﹣，且a+b＞0，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴所在位置是（）A．y轴B．y轴的右侧C．y轴的左侧D．无法确定【分析】首先根据不等式的性质及已知条件a+b＞0，得出a与b的符号，进而判断出抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴所在的位置．【解答】解：∵不等式ax+b＞0的解集为x＜﹣，且a+b＞0，∴a＜0，b＞0，∴﹣＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧．故选：B．【点评】此题考查了学生的综合应用能力．考查了不等式的性质，考查了二次函数的对称轴x＝，若＞0，则在y轴右侧；若＜0，则在y轴左侧．13．（2007•马鞍山校级自主招生）不等式ax+b＞0的解集为，且a+b＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴所在的位置是（）A．y轴B．y轴的左侧C．y轴的右侧D．无法确定【分析】首先根据不等式ax+b＞0的解集为，且a+b＜0，判断出a和b的正负性，然后根据抛物线的对称轴x＝﹣即可判断对称轴在y轴左边还是右边．【解答】解：∵不等式ax+b＞0的解集为，且a+b＜0，∴a＞0，b＜0，∴x＝﹣＞0，∴抛物线对称轴在y轴右侧．故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握对称轴公式x＝﹣，此题比较简单．14．（2015•南昌）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x＝﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x＝2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x＝﹣2的右侧【分析】根据题意，将（﹣2，0），（2，3）代入可得两个方程，解出可作判定抛物线对称轴的位置．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴0＝4a﹣2b+c，3＝4a+2b+c，解得b＝，c＝﹣4a，∴y＝ax2+x+﹣4a的对称轴是直线x＝﹣＝﹣＜0，在y轴的左侧，其对称轴可能在x＝﹣2的左侧，也可能在x＝﹣2的右侧，所以可能在y轴左侧且在直线x＝﹣2的右侧，是正确的；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据点坐标代入列方程是解题的关键．15．（2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0【分析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h 的值分别代入即可得出结果．【解答】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则a＝1，故A错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；若h＝6，则a＝﹣，故C正确；若h＝7，则a＝﹣，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键．16．（2019•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（a﹣2）x+a2﹣1向右平移4个单位长度，平移后的抛物线与y轴的交点为A（0，3），则平移后的抛物线的对称轴为（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣2D．x＝2【分析】先得到抛物线的顶点坐标，进而求得平移后的顶点坐标，得到平移后的解析式，根据题意得到关于a的方程，解方程求得a的值即可确定对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣（a﹣2）x+a2﹣1＝（x﹣）2+a2﹣1﹣，∴顶点为（，a2﹣1﹣），将抛物线y＝x2﹣（a﹣2）x+a2﹣1向右平移4个单位长度，平移后的顶点为（+4，a2﹣1﹣），∴平移后的抛物线为y＝（x﹣﹣4）2+a2﹣1﹣，∵平移后的抛物线与y轴的交点为A（0，3），∴3＝（0﹣﹣4）2+a2﹣1﹣，解得a＝﹣2，∴+4＝2，∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出顶点坐标是解题的关键．。
人教九年级数学上册- 用待定系数法求二次函数的解析式(附习题)
新课导入
问题：如果一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7) 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？
会用待定系数法求二次函数的解析式.
推进新课
知识点1 用二次函数一般式y=ax2+bx+c 求函数解析式
b=-3
由③-①可得：3a+3b=-3
a+b=-1
a=2
将a=2，b=-3代入①可得：2+3+c=10 c=5
∴解方程组得：a=2, b=-3, c=5
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
a-b+c=10 由已知得： a+b+c=4
的解析式.
两种方法的结果
一样吗？哪种方
方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C(0法，更3)代简入捷其？中求出 a的值.
方法2：设y=ax2+bx+c，把A(1，1)，B(3，1)，C(0， 3)代入其中列方程组求a，b，c的值.
已知二次函数的图象经过点(-1,3), (1,3),(2,6),求这个 二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4
三个未知数，两个 等量关系，这个方
程组能解吗？
第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组。
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象性质(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数图象相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示二次函数图象的基本原理。
-对于一些变换后的二次函数，如y=a(x-h)^2+k，学生可能难以将其与原始形式y=ax^2+bx+c联系起来，需要教师指导学生进行图象变换的推导和练习。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数y=ax^2+bx+c的图象性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常学习中是否遇到过需要分析曲线图象的情况？”比如，在物理学中，抛物线的运动轨迹。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数图象的奥秘。
-对称轴的确定，即x=-b/(2a)的计算，这是分析图象对称性质的核心，要求学生能够准确计算出对称轴的方程。
-顶点坐标的求法，即(-b/(2a)，c-b^2/(4a))，这是二次函数图象的最高点或最低点，对函数的最值有重要意义。
-二次函数与y轴的交点，即当x=0时y=c，这是分析函数与y轴交点性质的要点。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象性质（教案）
一、教学内容
本节课选自教材22.1.4节，主要探讨二次函数y=ax^2+bx+c的图象性质。内容包括：
1.二次函数图象的开口方向与a的正负关系；
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22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）A．开口向下 B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y的值随x的增大而减小3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，2）4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值 B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0 6．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或27．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A．6 B．5 C．4 D．38．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）A．y轴B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3二．填空题（共6小题）9．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是_________．10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是_________（填“上升”或“下降”）．11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是_________．12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线_________．13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是_________．14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m=_________．三．解答题（共6小题）15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．19．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有_________个；（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．（1）请求出该函数图象的对称轴；（2）在坐标系内作出该函数的图象；（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：二次函数的性质．分析：先根据题意判断出二次函数的对称轴方程，再令x=0求出y的值，进而可得出结论．解答：解：∵二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0）的对称轴为直线x=﹣=﹣=＞0，∴其顶点坐标在第一或四象限，∵当x=0时，y=2，∴抛物线一定经过第二象限，∴此函数的图象一定不经过第三象限．故选C．点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．2抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D． y的值随x的增大而减小考点：二次函数的性质．分析：结合抛物线的解析式和二次函数的性质，逐项判断即可．解答：解：∵y=2x2，y=x2开口向上，∴A不正确，∵y=﹣2x2，开口向下，∴有最高点，∴C不正确，∵在对称轴两侧的增减性不同，∴D不正确，∵三个抛物线中都不含有一次项，∴其对称轴为y轴，∴B正确，故选B．点评：本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、最值、增减性等基础知识是解题的关键．3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，2）考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的顶点式可求得其顶点坐标．解答：解：∵y=2x2+1=2（x﹣0）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（0，1），故选B．点评：本题主要考查抛物线的顶点坐标，掌握顶点式方程y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点考点：二次函数的性质．专题：常规题型．分析：根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．解答：解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．6．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2考点：二次函数的性质．专题：数形结合；分类讨论；方程思想．分析：分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数．解答：解：分三种情况：点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0．故方程x2+bx+c=1的解的个数是0，1或2．故选：D．点评：考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．7．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A． 6 B．5 C．4 D． 3考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y 轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．故选：D．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+b x+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．8．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）A．y轴B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的顶点式y=（x﹣h）2+k，对称轴为直线x=h，得出即可．解答：解：抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是直线x=1．故选：C．点评：本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易忽略的地方．二．填空题（共6小题）9．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是1．考点：二次函数的性质．分析：由对称轴是y轴可知一次项系数为0，可求得m的值．解答：解：∵y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，∴m﹣1=0，解得m=1，故答案为：1．点评：本题主要考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴为y轴其一次项系数为0是解题的关键．10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是上升（填“上升”或“下降”）．考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．解答：解：∵y=2x2﹣1，∴其对称轴为y轴，且开口向上，∴在y轴右侧，y随x增大而增大，∴其图象在y轴右侧部分是上升，故答案为：上升．点评：本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是直线x=2．考点：二次函数的性质．分析：根据点A、B的纵坐标相等判断出A、B关于对称轴对称，然后列式计算即可得解．解答：解：∵点A（0，5）、B（4，5）的纵坐标都是5相同，∴抛物线的对称轴为直线x==2．故答案为：直线x=2．点评：本题考查了二次函数的性质，观察出A、B是对称点是解题的关键．12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线x=2．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．解答：解：对称轴为直线x=﹣=﹣=2，即直线x=2．故答案为：x=2．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴公式，需熟记．13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是a＜﹣3．考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限可以确定不等式的开口方向，从而确定a的取值范围．解答：解：∵抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3，故答案为：a＜﹣3．点评：考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限．14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m=8．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的对称轴公式列方程求解即可．解答：解：由题意得，﹣=2，解得m=8．故答案为：8．点评：本题考查了二次函数的性质，熟记对称轴的求法是解题的关键．三．解答题（共6小题）15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．考点：二次函数的图象．分析：首先利用描点法作出y=2x2的图象，然后向上移动1个单位得到y=2x2+1的图象即可；解答：解：列表得：﹣2 ﹣1 0 1 2y=2x28 2 0 2 8y=2x2+1 9 3 1 3 9点评：本题考查了二次函数的图象，解题的关键是正确的列表、描点．16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．解答：解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．解得：h=1，a=﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′点的坐标为（1，），∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．考点：二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．分析：（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得答案；（2）根据函数值为0，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得m的值，根据m的值，可得代数式的值．解答：解：A、y=x2﹣x﹣1=x2﹣x+﹣1﹣=（x﹣）2﹣，顶点坐标是（，﹣），对称轴是x=；（2）当y=0时x2﹣x﹣1=0，解得x=，x=，当m=时，m2+=（）2+===3，当m=时，m2+=（）2===3，m2+=3．点评：本题考查了二次函数的性质，配方法的顶点式解析式，函数值为0时得一元二次方程，注意把符合条件的分别代入求值．18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．考点：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．分析：（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得抛物线的顶点；（2）根据函数值为0，可得B点坐标，根据自变量为0，可得C点坐标，根据勾股定理，可得BC的长，根据正弦的意义，可得答案；（3）根据图象上的点的坐标满足函数解析式，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．解答：解：（1）∵，∴抛物线的顶点坐标为（，）；（2）令x2﹣x﹣6=0，解得x1=﹣2，x2=3，∴点B的坐标为（3，0），又点C的坐标为（0，﹣6），∴，∴；（3）∵点P（m，m）在这个二次函数的图象上，∴m2﹣m﹣6=m，即m2﹣2m﹣6=0，解得，．点评：本题考查了二次函数的性质，配方法可把一般式转化成顶点式，图象上点的坐标满足函数解析式．19．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有无数个；（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．考点：二次函数的性质．专题：新定义．分析：（1）根据伴侣二次函数的定义，可得答案；（2）①根据函数值为0，可得函数与x轴的交点的横坐标就是，可得答案；②根据伴侣二次函数的定义，顶点坐标，可得伴侣二次函数；（3）根据伴侣二次函数的顶点在对方的图象上，二元一次方程组，根据解方程组，可得答案．解答：解：（1）无数；（2）①令y=0，即x2+3x+2=0．解得：x1=﹣1，x2=﹣2．∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（﹣1，0）．（3分）②∵y=x2+3x+2=（x+）2﹣∴顶点坐标为（﹣，﹣）．设以（﹣2，0）为顶点且经过（﹣，﹣）的抛物线的函数关系式为y=a（x+2）2，将x=﹣，y=﹣代入y=a（x+2）2得a=﹣1．∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为y=﹣（x+2）2=﹣x2﹣4x﹣4，同理可求以（﹣1，0）为顶点且经过（﹣，﹣）的抛物线的函数关系式．即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1；（3）设y=a1（x+m）2+n，其顶点为（﹣m，n）；y=a2（x+h）2+k，其顶点为（﹣h，k）．根据“伴侣二次函数”定义可得∴a1（﹣h+m）2=﹣a2（﹣m+h）2．当﹣h≠m时，a1=﹣a2当﹣h=m时，a1、a2为任意不为零的实数．点评：本题考查了二次函数的性质，伴侣二次函数的顶点在对方的图象上是解题关键．20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．（1）请求出该函数图象的对称轴；（2）在坐标系内作出该函数的图象；（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．考点：二次函数的性质；二次函数的图象．分析：（1）根据对称轴的公式，可得答案；（2）根据画函数图象的方法，可得抛物线的图象；（3）根据直线与抛物线相切，可得交点是一个，可得答案．解答：解：（1）；（2）图象（3）因为抛物线的对称轴是x=1，点p（1，5）当过点p且与y轴平行的直线满足与抛物线只有一个交点所以直线x=1为所求直线当过点p的直线不与y轴平行时，设直线的解析式为y=kx+b，令﹣x2+2x+3=kx+b整理得﹣x2+（2﹣k）x+3﹣b=0由题意得△=（2﹣k）2+4（3﹣b）=0 即：k2﹣4k+16﹣4b=0又因为y=kx+b，过点p（1，5）所以5=k+b所以k2﹣4=0解得k=±2，当k=2时，b=3；当k=﹣2时，b=7所以解析式为y1=2x+3，y2=﹣2x+7，所以满足条件的直线有三条：直线x=1；y1=2x+3，y2=﹣2x+7．点评：本题考查了二次函数的性质，a＜0时，图象开口向下，对称轴是x=﹣．。