Z变换的定义与收敛域

z变换的定义和收敛域

——电子信息工程电子信息工程
（4）.双边序列双边序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。 x(n)皆有值的序列双边序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。
X (z) =
n= −∞
x ( n) z − n = ∑
∞
n= −∞
x ( n ) z − n + ∑ x ( n) z − n ∑
n= 0
| z |>| a |
——电子信息工程电子信息工程
（3）.左边序列
x x 左边序列： n ≤ n2时， (n) 有值，在 n > n2时， ( n) = 0 左边序列：当有值，
X (z) =
n= −∞
∑ x ( n) z
n2
−n
=
n= −∞
x ( n ) z − n + ∑ x ( n) z − n ∑
n =1
0
n2
第一项收敛域为以 Rx + 为半径的圆环内部第二项收敛域为除0 第二项收敛域为除0点和∞ 点以外的 z 平面所以，所以，左边序列的收敛域为特殊情况：特殊情况：当 n2 ≤ 0 时
0 <| z |< R x +
j Im[z ] Rx + Re[z ]
0 ≤| z |< Rx +
（2）.右边序列
x x 右边序列： n ≥ n1时， (n) 有值，在 n < n1时， ( n) = 0 右边序列：当有值，
X (z) =
n= n1
∑ x ( n) z
∞
−n
=
n = n1
∑ x ( n) z
−1
−n
+ ∑ x ( n) z − n

z变换收敛域

z变换收敛域z变换收敛域是一种数字图像处理中应用非常广泛的技术。

它是一种快速而有效的方法，可以转换图像中的信号，从而实现对图像进行处理。

z变换收敛域也称为变换收敛域(TFD)，它是从z变换出发的一种重要概念。

z变换收敛域是将一个时域信号转换成频域的一种方法，它能够将时域信号的特性转换到频域，从而使得处理者可以更好地理解信号的特性，而不用去考虑其时间特性。

z变换收敛域也可以被用来分析信号的频率响应特性，以及信号的振幅和相位响应特性。

z变换收敛域能够帮助我们了解信号的细节，并更好地掌握信号的特性。

z变换收敛域的定义如下：当一个时域信号作用于z 变换之后，即[Z (n)] = [F (n)] X [H (z)]，其中[F (n)] 是信号的时域表达式，[H (z)] 是信号的z变换表达式，则[Z (n)] 的收敛域就是所有可能的[F (n)] 和[H (z)] 的组合，它们能够使[Z (n)] 收敛到有界值∞。

z变换收敛域也可以看作是一种“传递函数”，它可以描述信号在每一个时刻都是如何传播的，和信号受到外部影响时会有什么样的变化。

z变换收敛域的传递函数可以用来描述信号的延迟、增益、衰减、抑制等特性，从而帮助我们更好地理解信号的特性。

z变换收敛域的收敛域是一个多元函数，它由一个或多个维度组成，每个维度都代表一种特定的属性，例如，收敛域的一维可以表示信号在不同频率上的振幅响应，收敛域的二维可以表示信号在不同频率上的相位响应，三维可以表示信号在不同频率上的衰减响应等等。

z变换收敛域的应用非常广泛，它能够帮助我们更好地理解信号的特性，并帮助我们更好地处理信号。

它能够检测和分析信号的特性，并且能够提供信号的实时反馈和诊断，从而为信号的处理和控制提供依据，以及帮助我们更好地处理和控制信号。

此外，z变换收敛域还可以用来检测和控制信号的相位和频率响应，以及检测和控制信号的延迟、衰减和抑制等特性。

总之，z变换收敛域是一种非常有效的技术，它可以帮助我们更好地理解信号的特性，并且能够提供有效的信号处理和控制的依据，从而使我们能够更好地处理信号。

第六节 Z 变换

2 2
Z xn 1 z X ( z) x(1)
1
Z xn 2 z X ( z) z x(1) x(2)
2 1
三、频移性质（Ｚ域尺度变换）：
If x ( n ) X(z )
j0 n
ROC : R
then 1. e
x n X e

j0z k源自 z 1 j 0 j 0

1 e z e z cosk 0 k j 0 j 0 e z 1 e z 1 2 z z cos 0 2 z 2 z cos 0 1
2

z z cos 0 k cosk 0 k 2 z z 2 cos 0 1
2
a 1 b 1 z a b z a b a z b
1 k 1 k 1 x ( k ) * h( k ) a b k a b

七、序列除(k+m)（Z域积分）
If f ( n) F ( z )
z 2. F2 z 2 . z z 3 1
f 2 k ?
2 2 2
解：
1 z z z 1. F1 z 1 2 2 z 1 z 1
cos 0;

2
k f1 k k cos 2
k
z 2. F2 z 2 z z 3 1
3 2
z 1
解：
F ( z) 2 6 8 13 2 z z z z 1 z 0.5
k
f (k ) 2 k 1 6 k (8 130.5 ) k

21Z变换的定义22Z变换的收敛域23Z变换的性质24

h(n) ck
k 1 N
N
p
n k
h( n) c p
n 0 n 0 k 1 N k

N
n k n k
ck
k 1
p
n 0

2. 幅频特性：
e
0
j
| e j zr |
zr
| e pk |
j
pk
观察：
1. 当时，
0

思考：什么信号的z变换的收敛域是整个z平面？
2.3 Z变换的性质
1. 线性:
如何求
x(n) r cos n X ( z)
n
r j n j n x ( n) e e 2
n
2. 移位: （1）双边Z变换
表示
单位延迟
（2）单边Z变换
仍为双边序列
（ 3）
4.zplane.m
本文件可用来显示离散系统的极－零图。其调用格式是： zplane(z,p), 或 zplane(b,a),
前者是在已知系统零点的列向量 z和极点的列向量p的情况下画出极－零图，后者是在仅已知A(z)、B(z) 的情况下画出极－零图。
5. residuez.m
将H(z) 的有理分式分解成简单有理分式的和，因此可用来求逆变换。调用格式： [r,p,k]= residuez(b,a) 假如知道了向量r, p和k，利用residuez.m还可反过来求出多项式A(z)、B(z)。格式是 [b,a]= residuez(r,p,k)。
B( z ) b0 b1z b2 z A( z ) 1 a1z a2 z
1 2
1

第三章Z变换(数字信号处理)

n2
X (z) x(n)zn
n
第三章序列的Z变换
当 n2≤0
n2
n2
n2
X (Z ) x(n)Z n x(n)Z n x(n) Rn
n
n
n
当 n2>0
n2
0
n2
x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
n
n
n 1
第二项为有限长序列，在整个Z平面收敛（ z=∞点不收敛）。第一项根据前式的论述，当
第三章序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F(z), a] Re s[F(z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最后将x(n)表示成
x(n)=(a-n-an)u(-n-1)
(1 a2 )zn (z a) (z a)(1 az)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
1 )
z a 1
an an
最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域|z|<|a|
这种情况原序列是左序列，无须计算n≥0情况，当n≥0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。 n<0 时， c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和
Z R 时收敛因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域

第二章Z变换

2n－
1 3
(0.5)n
u
(
n
)
由已知的收敛域知道是因果序列
n0 n0
16
２、长除法
x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即
X (z )x ( n )z n x ( 1 )z x ( 0 ) x ( 1 )z 1 x ( 2 )z 2 n
因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式，从而得到x(n)。
[ x ( n ) ] X ( z ) R x |z | R x
[y (n ) ] Y (z ) R y |z| R y
则 [ a ( n ) b x ( n ) y a ] ( z ) b X ( z )Y R |z | R 其中RmaRx x,[Ry]，RmiR nx,[Ry]，即线性组合后的
zb
| z||b|
如果a=b，则此例与上例中右边序列的Z变换表达式完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的，不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围，才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的
重要性。
10
４、双边序列
一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这两个序列Z变换的公共收敛区间。
0 |z| , n 20
ROC
0
Re[z]
有限长序列的收敛域
5
例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=RＮ(n)，求其 X(z)。
解：
X(z)n x(n)znN n 0 1zn1 1 zz N 1

数字信号处理第2章Z变换

s=jΩ X(S)
z=esT
X(z) z=ejω
模拟：x(t)
X(j) =T
X(ejω)
t=nT
s
数字：x(n)
§2.6 离散系统的系统函数和系统的频率响应
一、离散系统的系统函数
1、差分方程和系统函数的关系
系统的差分方程为：
对方程两边做z变换，得：
整理得系统函数为：
2、 H(z)和单位抽样响应h(n) 的关系
(2)与的关系（=T）
的取值范围是从-→（负频端无意义，只是
用于数学分析），而在圆周上变化，具有明显的周期性，以2为周期，这样的对应关系非单值
关系，所以要把限制在一个周期内。
= T,从–→，所以在一个周期内：为–/T→/T
=0，S平面的实轴，
=0，z平面正实轴；
=0(常数)， S：平行实轴的直线，
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
系统函数：
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、
D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形式
再利用已知的z变换：
结合收敛域写出反变换：
需要注意的问题：
①极点zk，为D(z)=0的根 ②计算系数Ak时，要写成：
③利用已知z变换时，注意收敛域
配分法：例2-4-1：
（在滤波器的设计中，分子、分母通常写成负幂的形式）
求系数Ak
例2-4-2：
利用z变换的时移性质：令：则：
长除法-原理
即D(z)除以N(z)的商为z的多项式，多项式的系数即为序列x(n) 左边序列对应z的正次幂的系数，右边序列对应z的负次幂的系数

数字信号处理DSP第二章1 z变换的定义及收敛域

在处收敛的z变换，
j Im[ z ]
其序列必为因果序列
R
x

R e[ z ]
0
2019/2/9
数字信号处理
包括 z 处
3）左边序列
0 nn 2 x (n ) (n ) nn x 2
n n 其 z 变换： X ( z ) x ( n ) z x ( n ) z n n 1 0 n 2
2019/2/9 数字信号处理
第二章 z变换
时域分析方法变换域分析方法：
连续时间信号与系统 Laplace变换 Fourier变换离散时间信号与系统 z变换 Fourier变换
2019/2/9 数字信号处理
一、z变换的定义及收敛域
1、z变换的定义
序列x(n)的z变换定义为：
n X () z Z T [() x n ] x () n z n
极点： z 0 （ N 1 ）阶
0
R e[ z ]
R o c : 0 z
2019/2/9
数字信号处理
n 例 2 ：求 x ( n ) a u ( n ) 的 z 变换及其收敛域
解： X ( z ) = x ( n ) z = a u ( n ) z = a z
当 n 0 时， R o c :R z 1 x 当 n 0 时， R o c :R z 1 x
2019/2/9 数字信号处理
R
x

R e[ z ]
n1 0
0
包括 z 处
因果序列
n1 0 的右边序列，
Roc: R z x 因果序列的z变换必在处收敛