广西柳州市高一数学上学期期末试卷(含解析)
广西柳州高中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
广西柳州高中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0<x<3}，B={x|x−2>0}，则集合A∩B=()A. (0,2)B. (0,3)C. (2,3)D. (2,+∞)2.若幂函数的图象经过点(3,√33)，则该函数的解析式为()A. y=x3B. y=x13C. y=x−3D. y=x−13.函数f(x)=e x+3x的零点个数是()A. 0B. 1C. 2D. 34.已知向量a⃗与b⃗ 不共线，且a⃗⋅b⃗ ≠0，若c⃗=a⃗−|a⃗ |2⋅b⃗a⃗ ⋅b⃗，则向量a⃗与c⃗的夹角为()A. π2B. π6C. π3D. 05.已知函数f(x)=log12(x2−4x−5)，则函数f(x)的单调递减区间是()A. (−∞,2)B. (2,+∞)C. (5,+∞)D. (−∞,−1)6.为得到函数y=2sin(x3+π6)的图象，只需把函数y=2cosx的图象上所有的点()A. 向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B. 向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C. 向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D. 向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 7.圆的半径是6cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是()A. π2cm2 B. 3π2cm2 C. πcm2 D. 3πcm28.函数f(x)=sinx·ln|x|的部分图象为()A. B.C. D.9. 已知△ABC ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 10. 设a =log 123，b =(13)0.3，c =213，则a,b,c 的大小关系是( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <a <c11. 函数f(x)=x 2+ax +1有两个不同的零点，则a 的取值范围为( )A. (2,+∞)B. (−∞,−2]⋃[2,+∞)C. (−2,2)D. (−∞,−2)⋃(2,+∞)12. 已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，满足f(x)=f(2−x)，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(20)=( )A. −20B. 0C. 2D. 20二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. log 3√27+lg25+lg4+(18)−23= ______ ．14. 已知A (−1,−2),B (2,3),C (−2,0),D (x,y )，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y =__________． 15. 若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为______．16. 已知a >0，函数f(x)=x −ax ,x ∈[1,2]的图像的两个端点分别为P ，Q ，点M 为函数f(x)图像上的任意一点，过点M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段PQ 交于点N ，若|MN|⩽2恒成立，则实数a 最大值为 __________ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,y)，且tanα=−43，(1)求sinα+cosα的值； (2)求sin(π−α)+2cos(π+α)sin(32π−α)−cos(32π+α)的值．18.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期为2π，最小值为−2，图3象过点．(1)求f(x)的解析式；(2)求满足f(x)=1，且x∈[0,π]的x的集合．19.在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，m⃗⃗⃗ =(b,2a−c)，n⃗=(cosC,−cosB)，且m⃗⃗⃗ ⊥n⃗．(1)求角B的大小；(2)求sinA+sinC的取值范围．20.已知奇函数f(x)=a+1．4+1(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性，并加以证明；(3)解不等式f(2x−1)+f(2−3x)>0．21.已知向量a⃗=(2sinx,2sinx)，b⃗ =(cosx,−sinx)，求函数f(x)=a⃗⋅b⃗ +1．(1)如果f(x)=1，求sin4x的值．2)，求f(x)的取值范围．(2)如果x∈(0,π222.设定义在(0,+∞)上的函数满足下面三个条件：①对于任意正实数a，b，都有f(a⋅b)=f(a)+f(b)−1；②f(2)=0；③当x>1时，总有f(x)<1)的值；(1)求f(1)及f(12(2)求证：f(x)在(0,+∞)上是减函数．a+1>0对任意x∈[1,2]恒成立，求实数a的取值范围．(3)若不等式f(x)−12-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={x|0<x<3}，B={x|x−2>0}={x|x>2}，则集合A∩B={x|2<x<3}，故选：C．直接根据两个集合的交集的定义，求出A∩B．本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2.答案：B解析：本题考查了幂函数的定义和性质的应用问题，是基础题．利用幂函数的定义和待定系数法求出解析式即可．解：设幂函数f(x)=xα(α为常数)，3)，，∵幂函数f(x)的图象过点(3,√33，∴3α=√3，解得α=13∴f(x)=x13.故选B.3.答案：B解析：本题主要是考查零点存在性定理的应用，属于基础题.解答本题的关键先判断出函数的单调性，然后根据零点存在性定理判断．解：由指数函数的性质可知，函数f(x)=e x+3x是增函数，又∵f(0)=1>0，f(−1)=e−1−3 <0，，∴函数f(x)=e x+3x在区间(−1,0)内存在唯一的一个零点，即零点个数是1．故选：Ｂ．4.答案：A解析：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．运用向量的数量积的定义和性质，求出向量a，c的数量积，即可判断．解：由于向量a⃗与b⃗ 不共线，a⃗⋅b⃗ ≠0，，且c⃗=a⃗−|a⃗|2⋅b⃗a⃗ ⋅b⃗则c⃗⋅a⃗=a⃗2−a⃗2⋅(a⃗ ⋅b⃗)=a⃗2−a⃗2=0，a⃗ ⋅b⃗即有a⃗⊥c⃗．．则向量a⃗与c⃗的夹角为π2故选A．5.答案：C解析：本题主要考查复合函数单调性的判断，利用复合函数同增异减的原则进行判断即可，先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解即可．解：要使函数有意义，则x2−4x−5>0，即x>5或x<−1，设t=x2−4x−5，则当x>5时，函数t=x2−4x−5单调递增，当x<−1时，函数t=x2−4x−5单调递减．∵函数在定义域上为单调递减函数，∴根据复合函数的单调性之间的关系可知，当x>5时，函数f(x)单调递减，即函数f(x)的递减区间为(5,+∞)．故选C．6.答案：D解析：由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．解：把函数y=2cosx=2sin(x+π2)的图象上所有的点向右平移π3个单位长度，可得y=2sin(x+π6)的图象；再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变，可得函数y=2sin(x3+π6)的图象，故选：D．7.答案：B解析：本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．利用扇形面积公式12lr=12αr2，即可求得结论．解：15°化为弧度为π180×15=π12，∴15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是12lr=12αr2=12×π12×36=3π2cm2.故选B．8.答案：A解析：本题考查了函数图象的作法和函数的奇偶性，得出f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除C、D，当x∈(0,1)时，f(x)<0，则排除B，即可得出结论．解：f(x)=sinx·ln|x|的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=sin(−x)·ln|−x|=−sinx·ln|x|=−f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排当x ∈(0,1)时，f(x)<0，则排除B ， 故选A ．9.答案：A解析：本题考查向量的加法、减法、数乘运算．由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合向量的加法、减法运算及已知条件可得答案． 解：由题意结合向量的加减运算法则可得：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选A ．10.答案：B解析：本题主要考查了对数函数及其性质，指数与指数幂的运算，比较大小的应用，解题的关键是熟练掌握对数函数及其性质，指数与指数幂的运算，比较大小的计算，根据已知及对数函数及其性质，指数与指数幂的运算，比较大小的计算，可知a ，b ，c 与0，1的大小关系，可知a,b,c 的大小关系． 解：∵a =log 123<0，0<b =(13)0.3<1，c =213>1，∴a <b <c ． 故选B ．11.答案：D解析：本题考查函数的零点与方程根的关系．若二次函数f(x)=x 2+ax +1有两个不同的零点，则△>0，解得答案．解：若二次函数f(x)=x 2+ax +1有两个不同的零点，则方程x 2+ax +1=0有两个不同的根， 则△=a 2−4>0，解得：a >2或a <−2． 故选D ．解析：本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键，属于中档题．根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．解：由题意，f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)=f(2−x)，∴f(1−x)=f(1+x)=−f(x−1)，f(0)=0，则f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2)=f(0)=0，f(3)=f(1−2)=f(−1)=−f(1)，f(4)=f(0)=0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+0−f(1)+0=0，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(20)=0．故选B．13.答案：152解析：解：原式=log332+lg102+2−3×(−23)3+2+4=32=15．2．故答案为：152利用对数与指数幂的运算法则即可得出．本题考查了对数与指数幂的运算法则，属于基础题．14.答案：112解析：本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．根据AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −3),两个向量的坐标列出等式即可求得答案． 解：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −3), ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(−1,2)=2(x −2,y −3)． ∴{2=2(y−3)−1=2(x−2)，解得，故答案为112．15.答案：π2(答案不唯一)解析：本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数最值，以及考查运算能力，属于中档题． 由两角和差公式，及辅助角公式化简得f(x)=√cos 2φ+(1+sinφ)2sin(x +θ)，其中cosθ=22，sinθ=22， 结合题意可得√cos 2φ+(1+sinφ)2=2，解得φ，即可得出答案．解：f(x)=sin(x +φ)+cosx=sinxcosφ+cosxsinφ+cosx=sinxcosφ+(1+sinφ)cosx=√cos 2φ+(1+sinφ)2sin(x +θ)，其中cosθ=√cos 2φ+(1+sinφ)2，sinθ=√cos 2φ+(1+sinφ)2，所以f(x)最大值为√cos 2φ+(1+sinφ)2=2，所以cos 2φ+(1+sinφ)2=4，即2+2sinφ=4，所以sinφ=1，所以φ=π2+2kπ，k ∈Z ，当k =0时，φ=π2．故答案为：π2(答案不唯一)． 16.答案：4(3+2√2)解析：本题考查直线方程，考查一元二次方程的解法，考查不等式恒成立问题，属于中档题．由P ，Q 的坐标可以将直线PQ 的方程找到，通过M 点坐标可以得到N 的坐标，将其纵坐标做差可以得到关于a 的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到a 的最大值． 解：∵f(x)=x −a x (x ∈[1,2])，a >0，∴P(1,1−a)，Q(2,2−a 2)∴直线PQ 的方程为y =(1+a 2)x −3a 2， 设M(t,t −a t )，x ∈[1,2]，∴N (t,(1+a 2)t −3a 2) ∵|MN|≤2恒成立，∴|(1+a 2)t −3a 2−t +a t |≤2恒成立， ∴|a ·t 2−3t+22t |=|a ·(t−1)(t−2)2t |≤2，∴−a ·(t−1)(t−2)2t≤2， 即a ≤−4t (t−1)(t−2)=−4t+2t −3∴由基本不等式得：a ≤2√2−3=3−2√2=4(3+2√2) 此时t =√2，∴a 的最大值为4(3+2√2)．17.答案：解：(1)∵角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,y)，tanα=y 3=−43， ∴y =−4，∴r =√x 2+y 2=5，∴sinα=−45，cosα=35， 则sinα+cosα=−15；(2)∵sinα=−45，cosα=35，∴tanα=−43，则原式=sinα−2cosα−cosα−sinα=tanα−2−1−tanα=−43−2−1+43=−10313=−10．解析：此题考查了运用诱导公式化简求值，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．(1)根据P坐标，利用任意角三角函数定义表示出tanα，将已知tanα的值代入求出y的值，确定出P 到原点的距离r，再利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，即可确定出sinα+cosα的值；(2)原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanα的值代入计算即可求出值．18.答案：解：(1)由趣意得，A=2，T=2π|ω|=2π3，又ω>0，故ω=3．又函数f(x)的图象过点，代入得，φ=−5π3+kπ，k∈Z．因为，所以φ=π3．故．(2)由f(x)=1，得，得3x+π3=2kπ+π6或3x+π3=2kπ+5π6，k∈Z．解得x=23kπ−π18或x=23kπ+π6，k∈Z．又x∈[0,π]，所以满足题意的x的集合为．解析：本题主要考查三角函数的图象与性质．(1)由最小正周期求出ω的值，再由最小值求出A的值，再由图象过定点求出φ的值，即可求出函数的解析式；(2)利用正弦函数的性质进行求解即可．19.答案：解：(1)由m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，得bcosC=(2a−c)cosB，∴bcosC+ccosB=2acosB，由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，∴sin(B+C)=2sinAcosB．又B+C=π−A，∴sinA=2sinAcosB，又sinA≠0，∴cosB=12，又B∈(0,π)，∴B=π3．(2)∵A+B+C=π，∴A+C=2π3，∴sinA+sinC=sinA+sin(2π−A)=sinA+sin 2π3cosA−cos2π3sinA=32sinA+√32cosA=√3sin(A+π6)，∵0<A<2π3，∴π6<A+π6<5π6，∴12<sin(A+π6)≤1，∴√32<sinA+sinC≤√3．故sinA+sinC的取值范围是(√32,√3]．解析：(1)通过向量的数量积化简表达式，利用正弦定理以及两角和的正弦函数，求出角B的余弦值，即可得到B的大小；(2)利用B的大小，结合三角形的内角和，利用两角和的正弦函数化简sinA+sinC为A的三角函数，然后求解它的取值范围．本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．20.答案：解：(1)∵奇函数f(x)=a+14x+1的定义域为R，∴f(0)=0，即f(0)=a+11+1=a+12=0，则a=−12，则f(x)=14x+1−12．(2)f(x)=14x+1−12在(−∞,+∞)是为减函数证明：任取x1，x2，设x1<x2，则f(x1)−f(x2)=14x1+1−14x2+1=4x2−4x1(1+4x1)(1+4x2)，∵x1<x2，∴4x2>4x1，∴4x2−4x1，>0，∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，即函数f(x)是减函数(3)∵f(2x−1)+f(2−3x)>0，∴f(2x−1)>−f(2−3x)∵f(x)是奇函数，∴f(2x−1)>−f(2−3x)=f(3x−2)，即2x−1<3x−2，得x>1，即不等式的解集为(1,+∞)解析：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性的性质以及函数单调性的定义是解决本题的关键，本题属于中档题．(1)根据函数是奇函数，利用f(0)=0，进行求解即可．(2)根据函数单调性的定义进行证明即可．(3)利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化即可．21.答案：解：∵a⃗=(2sinx,2sinx)，b⃗ =(cosx,−sinx)，∴f(x)=a⃗⋅b⃗ +1=2sinxcosx−2sin2x+1=sin2x+co2x=√2sin(2x+π4)，(1)∵f(x)=12，∴√2sin(2x+π4)=12，∴sin(2x+π4)=√24，∴sin4x=−cos(4x+π2)=−cos2(2x+π4)=−[1−2sin2(2x+π4)]=−1+2×12=0，(2)∵x ∈(0,π2)， ∴2x +π4∈(π4,5π4)，∴−√22<sin(2x +π4)<1，∴−1<√2sin(2x +π4)<√2，∴f(x)的取值范围(−1,√2).解析：计算向量的数量积，利用二倍角．两角和的正弦函数化简函数f(x)的表达式，得到一个角的一个三角函数的形式；(1)借助诱导公式和二倍角公式，求出sin4x 的值．(2)先求出2x +π4的范围，再根据正弦函数的单调性，求出函数的值域．本题考查了三角函数的二倍角公式，三角函数的化简，向量的数量积，属于中档题． 22.答案：(1)解：∵f(a ·b)=f(a)+f(b)−1，∴令a =b =1，得f(1)=1，∵f(2)=0，f(1)=f(2×12)=f(2)+f(12)−1=1，∴f(12)=2； (2)证明：设0<x 1<x 2，f (x 1)−f (x 2)=f (x 1)−f(x 2x 1·x 1)=f (x 1)−f (x 2x 1)−f (x 1)+1=1−f (x 2x 1) ， ∵x 2x 1>1，∴f(x2x 1)<1， ∴f(x 1)−f(x 2)>0，∴f(x)在(0,+∞)上是减函数；(3)解：不等式f(x)−12a +1>0对任意x ∈[1,2]恒成立可转化为f(x)min >12a −1由(2)可知f(x)在[1,2]上单调递减，所以f(x)min =f(2)=0，所以12a −1<0，解得a <2，所以实数a 的取值范围为(−∞,2)．解析：本题考查的是抽象函数与函数的单调性知识的综合应用问题．在解答的过程当中充分体现了抽象函数特值的思想、函数单调性以及问题转化的思想．(1)令a=b=1，则f(1)=1，只需要利用特值得方法即可解答；(2)要利用好条件③再结合单调性的定义证明即可解答；(3)将不等式f(x)−12a+1>0对任意x∈[1,2]恒成立可转化为f(x)min>12a−1，利用单调性求出最小值，即可得到a的取值范围．。
广西高一上学期教学质量检测(期末)数学试题(解析版)
一、单选题1．设集合，，则（ ） {}22A x x =-<≤{}2,1,0,1,2B =--A B = A ． B ． C ． D ．()2,2-{}2,2-{}1,0,1,2-{}2,1,0,1--【答案】C【分析】利用交集的定义进行求解即可【详解】因为，， {}22A x x =-<≤{}2,1,0,1,2B =--所以 A B = {}1,0,1,2-故选：C2．命题“，”的否定是（ ） x ∃∈R 2220x x -+≤A ． ， B ． ， x ∃∈R 2220x x -+≥x ∃∈R 2220x x -+>C ． ， D ．，x ∀∈R 2220x x -+≤x ∀∈R 2220x x -+>【答案】D【分析】根据特称命题的否定直接得出答案. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，”的否定是为：，， x ∃∈R 2220x x -+≤x ∀∈R 2220x x -+>故选：D.3．若，则下列命题为假命题的是（ ） ,,R a b c ∈A ．若B ．若，则a b >a b >22ac bc >C ．若，则 D ．若，则0a b <<11a b>22ac bc <a b <【答案】B【分析】利用不等式的性质，逐项分析、判断作答.【详解】对于A ，，则，a b >3322]0a b -=-=>而，A 正确； 2222304=+>0>>对于B ，，当时，，B 错误； a b >0c =22ac bc =对于C ，，有，两边同时除以，则有，C 正确； 0a b <<0ab >ab 11b a<对于D ，，则，此时，于是，D 正确. 22ac bc <0c ≠20c >a b <故选：B4．设角终边上的点的坐标为，则（ ）α()3,4-A ．B ．3sin 5α=3tan 4α=-C ．D ．4cos 5α=-4tan 3α=-【答案】D【分析】由任意三角函数的定义即可求解【详解】设角终边所在圆的半径为，由题意得，，αr 5r ==所以，，，所以D 选项正确， 4sin 5y r α==-3cos 5x r α==4tan 3y x α==-故选：D5．要得到函数图象，只需把函数的图象（ ）ππ4sin cos 66y x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 2y x =A ．向右平移个单位 B ．向左平移个单位π6π6C ．向右平移个单位 D ．向左平移个单位 π3π3【答案】A【分析】利用二倍角的正弦公式化简目标函数解析式，利用三角函数图象变换可得出结论.【详解】因为，πππ4sin cos 2sin 2666y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦为了得到函数图象，只需把函数的图象向右平移个单位，ππ4sin cos 66y x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 2y x =π6故选：A.6．16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，，.则a ，b ，c 的大小关系为（ ） 2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭13log 2b =2log 3c =A ． B ．C ．D ．c a b >>a b c >>c b a >>a c b >>【答案】A【分析】利用对数函数、指数函数的单调性以及中间量进行大小比较. 【详解】因为函数单调递增，所以，2log y x =22log 3log 21c =>=因为函数单调递减，所以， 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭23110133a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为单调递减，所以，13log y x =1133log 21log 0b =<=所以，故B ，C ，D 错误. c a b >>故选：A.7．某商店进了一批服装，每件进价为60元.每件售价为90元时，每天售出30件.在一定的范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出1件.当售价是（ ）元时，每天的利润最大. A ．60 B ．90 C ．80 D ．70【答案】B【分析】根据所给条件，确定等量关系，然后二次函数求出最值即可. 【详解】设每件售价定为元，则销售件数增加了件．(90)x -x ∴每天所获利润为：，()()()230903000y x x x x =+=-+≥-故当时，每天所获利润最大． 0x =故售价定为每件90元时，可获最大利润. 故选：B.8．已知定义域为的函数满足以下条件： R ()f x ①； ()()()()()111212220,0,,f x x x x f x x x x --<+∞⎣⎦∈≠⎡⎤②； ()()0f x f x --=③. ()20f -=则成立的的取值范围是（ ） ()0f x x≤x A ． B ． [)(]2,00,2-U (](],20,2-∞-⋃C ． D ．[)[)2,02,-⋃+∞(][),22,-∞-+∞U 【答案】C【分析】分析函数的单调性与奇偶性，并可得出，分、两种情况()f x ()()220f f =-=0x <0x >解不等式，结合函数的单调性可解得的取值范围. ()0f x x≤()f x x 【详解】对于①，设，则，由可得， 120x x >>120x x ->()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦()()12f x f x <所以，函数在上为减函数，()f x ()0,∞+对于②，因为，即，故函数为偶函数， ()()0f x f x --=()()f x f x -=()f x 则在上为增函数， ()f x (),0∞-对于③，因为，则.()20f -=()20f =对于不等式，则， ()0f x x≤0x ≠当时，则，可得； 0x <()()02f x f ≥=-20x -≤<当时，则，可得. 0x >()()02f x f ≤=2x ≥综上所述，不等式的解集为. ()0f x x≤[)[)2,02,-⋃+∞故选：C.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若幂函数的图象过点，则()f x x α=(()93f =B ．函数与函数表示同一个函数()f x x =()2x f x x=C ．若在上单调递增，则的取值范围为()()21f x x ax a a =+--∈R [)1,+∞a [)2,+∞D ．函数的零点可能位于区间中 ()1323log xf x x =-+()1,3【答案】AD【分析】对于A ，将点代入得到幂函数解析式，即可判断；对于B ，利用相同函数的判断方法进行判断即可；对于C ，先求出二次函数的对称轴，列出对应不等式，即可判断；对于D ，利用零点存在定理即可判断【详解】对于A ，因为幂函数的图象过点，所以，所以， ()f x x α=(()33f α=12α=所以，则，故A 正确；()12f x x =()12993f ==对于B ，因为的定义域为，的定义域为，()f x x =R ()2x f x x ={}0x x ≠故两函数的定义域不同，不是相同函数，故B 错误；对于C ，因为的对称轴为，且开口向上， ()21f x x ax a =+--2ax =-又在上单调递增，所以，解得，故C 错误； ()f x [)1,+∞12a-≤2a ≥-对于D ，因为是连续函数，且()1323log xf x x =-+，()()131133123log 110,323log 340f f =-+=-<=-+=>所以根据零点存在定理可得的零点位于区间中，故D 正确；()f x ()1,3故选：AD10．下列命题不正确的是（ ） A ．“”是“”的充分不必要条件 1a >11a<B ．命题“任意，都有”的否定是“存在，使得” 1x <21x <1x ≥21x ≥C ．设，则“且”是“”的必要不充分条件 ,R x y ∈2x ≥2y ≥228x y +≥D ．设，则“”是“”的必要不充分条件 ,R a b ∈0a ≠0ab ≠【答案】BC【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断ACD ；利用含有一个量词的命题的否定判断B 作答. 【详解】对于A ，，而有，不一定有，如，“”是“”的充分111a a>⇒<11a <1a >1a =-1a >11a <不必要条件，A 正确；对于B ，命题“任意，都有”是全称量词命题，其否定是“存在，使得”，B 错1x <21x <1x <21x ≥误；对于C ，因为且成立，必成立，即“且”是“”的充分条2x ≥2y ≥228x y +≥2x ≥2y ≥228x y +≥件，C 错误；对于D ，当时，若，有，即“”不能推出“”， 0a ≠0b =0ab =0a ≠0ab ≠反之，，即有“”是“”的必要不充分条件，D 正确. 00ab a ≠⇒≠0a ≠0ab ≠故选：BC11．下列说法正确的是（ ）A ．函数是周期为的奇函数 ()2sin cos f x x x =πB ．函数的图像关于直线对称()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π3x =C ．函数的定义域是 πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3ππ,Z 82k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．函数的最大值是2，且在区间上单调递增()sin f x x x =7π13π,66⎡⎤⎢⎣⎦【答案】ACD【分析】对于A ：先化简，根据周期公式和奇函数的定义可判断；对于B ：直接计算是否2π3⎛⎫⎪⎝⎭f 为最值即可判断；对于C ：令，求解即可判断；对于D ：化简ππ2π,Z 42x k k -≠+∈，就可判断最大值，当时，求出的范围即可判断单调递增. ()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7π13π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3x +【详解】对于A ：，所以周期为.又()2sin cos sin 2f x x x x ==π()()()sin 2sin 2f x x x f x -=-=-=-，所以为奇函数.故A 正确；()f x 对于B ：，故B 错； π3πcos c 02s π43o 6π32f ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对于C ：令，解得，故C 正确； ππ2π,Z 42x k k -≠+∈3ππ,Z 82k x k ≠+∈对于D ：，所以的最大值是2.()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭()f x 当时，，所以在区间上单调递增，故D 正确. 7π13π,66x ⎡⎤∈⎢⎣⎦π3x +3π5π,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 7π13π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：ACD12．已知函数，．记，则下列关于函数()1f x x =-()2g x x ={},max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩的说法正确的是（ ） ()()(){}()max ,0F x f x g x x =≠A ．当时， ()0,2x ∈()2F x x=B ．函数的最小值为 ()F x 2-C ．函数在上单调递减()F x ()1,0-D ．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或 x ()F x m =21m -<<-1m >【答案】ABD【分析】得到函数，作出其图象逐项判断.()1,1022,102x x x F x x x x --≤<≥⎧⎪=⎨<-<<⎪⎩或或【详解】由题意得：，其图象如图所示：()1,1022,102x x x F x x x x--≤<≥⎧⎪=⎨<-<<⎪⎩或或由图象知：当时，，故A 正确； ()0,2x ∈()2F x x=函数的最小值为，故正确； ()F x 2-函数在上单调递增，故错误；()F x ()1,0-方程恰有两个不相等的实数根，则或，故正确； ()F x m =21m -<<-1m >故选：ABD三、填空题13．已知一扇形的圆心角为30°，弧长是，则扇形的面积是__________. πcm 2cm 【答案】3π【分析】先利用弧度公式计算出半径，再计算出面积即可 【详解】该扇形的圆心角为30°，对应的弧度为， π6所以半径为，则对应面积为，()π6cm π6⎛⎫ ⎪=⎝⎭()21π6=3πcm 2⨯故答案为：3π14．__________. cos84cos51sin 84sin 51︒︒-︒︒=【答案】 【分析】根据和角余弦公式的逆用，即可求解.【详解】 ()cos84cos51sin 84sin 51cos 8451cos135cos 45︒︒-︒︒=︒+︒=︒=-︒=故答案为： 15．已知，则__________.()()()()235030x x f x f x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩()10f =【答案】7【分析】利用分段函数进行计算求解.【详解】由题知，，，()()()101037f f f =-=()()()7734f f f =-=，， ()()()4431f f f =-=()()()1132f f f =-=-. ()()223257f -=⨯--=故答案为：7.16．已知奇函数满足且，则__________． ()y f x =(4)()f x f x +=-(2)3f =(2022)f =【答案】3-【分析】根据奇函数的性质，得出，再得出的一个周期，再结合奇函数的性质(4)()f x f x +=-()f x 和，即可计算出答案． (2)3f =【详解】是奇函数，()f x ，(4)()()f x f x f x ∴+=-=-， (8)(4)(())()f x f x f x f x ∴+=-+=--=的一个周期是8，()f x ∴， (2022)(25286)(6)(2)(2)3f f f f f ∴=⨯+==-=-=-故答案为：．3-四、解答题17．已知，，. {}22240A x x x =--<304x B xx ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭{}6C x a x a =<<+(1)求；()R A B ð(2)若，求实数的值.B C B ⋃=a 【答案】(1)或 (){R 43A B x x ⋂=-<<-ð}46x ≤<(2)[]3,2--【分析】(1)解得集合，解得集合，最后根据补集和交集的定义求解即22240x x --<A 304x x+≥-B 可；(2)把转化为，根据包含关系结合数轴可得. B C B ⋃=C B ⊆【详解】（1）由得，∴22240x x --<46x -<<{}46A x x =-<<不等式可化为 304x x +≥-()()34040x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩解得：，∴ 34x -≤<{}34B x x =-≤<或{3R B x x ∴=<-ð}4x ≥∴或. (){R 43A B x x ⋂=-<<-ð}46x ≤<（2）∵，∴B C B ⋃=C B ⊆∴，解得 364a a ≥-⎧⎨+≤⎩32a --≤≤∴当时，实数的取值范围为. B C B ⋃=a []3,2--18．求值：; ()1220348π49-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭(2). 3323log 54log 2log 3log 4-+⋅【答案】(1)； 172(2)5.【分析】（1）根据给定条件，利用根式及指数运算计算作答.（2）利用对数运算法则及换底公式计算作答.【详解】（1.1215321022532233317(2)(2)1[()]22122248(π4)(9-=++++-+=++=+（2）. 322332332322log 454log 54log 2log 3log 4log log 3log 3log 23252log 3-+⋅=+⋅=+=+=19．已知函数（且）的图象过点. ()()log 12a f x x =-+0a >1a ≠()3,3(1)求实数的值；a(2)解关于的不等式.x ()()123212x x f f +-<-【答案】(1) 2a =(2) {}23x x <<【分析】（1）将点代入函数即可求解；（2）先求出函数的定义域，然后利用单调性列出不等式即可求解 【详解】（1）由题设条件可知，， ()()3log 3123a f =-+=即，解得， log 21a =2a =∴()()2log 12f x x =-+（2）∵的定义域为，并在其定义域内单调递增，()()2log 12f x x =-+()1,+∞∴⇔，解得，()()123212x x f f +-<-1123212x x +<-<-23x <<∴不等式的解集为.{}23x x <<20．（1）已知，都是锐角，且，求的值；αβ()cos αβ+=4tan 3α=tan β（2）若，求的值.()()()7πcos 2πcos tan 3π22πsin sin π2ααααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=-⎛⎫++ ⎪⎝⎭()()3π2sin πsin 2πcos 3cos π2αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭【答案】（1）2；（2）3【分析】（1）由同角三角函数的基本关系和两角差的正切公式求解即可； （2）由诱导公式化简原式，再根据同角三角函数基本关系代入求解即可. 【详解】解：（1）∵、是锐角 αβ∴()0,παβ+∈∴()sin αβ+==∴ ()()()sin tan 2cos αβαβαβ++===-+∴ ()()()42tan tan 3tan tan 241tan tan 123αβαβαβααβα--+-=+-===++-⨯（2）∵ 7πcos(2π)cos()tan(3π)cos sin (tan )2tan 2πcos (sin )sin()sin(π)2ααααααααααα-+-⋅⋅-===-⋅-++∴ ()()()()3π2sin πsin 2212sin cos 2tan 123πsin 3cos tan 323cos 3cos π2αααααααααα⎛⎫--- ⎪⨯-+++⎝⎭====-------⎛⎫+++ ⎪⎝⎭21．为了印刷服务上一个新台阶，学校打印室花费10万元购进了一套先进印刷设备，该设备每年的管理费是0.4万元，而总的维修费用与使用年限x 成二次函数关系（未使用时，维修费用为0），已知使用2年的总维修费为0.6万元，使用5年的总维修费为3万元，问(1)设年平均费用为y 万元，写出y 关于x 的表达式；（年平均费用=） 总费用年限(2)这套设备使用多少年报废最合算？（即使用多少年的年平均费用最少）【答案】(1) 100.510x y x =++(2)这套设备使用10年报废最合算【分析】（1）首先设总的维修费为，根据题意得到，从而得到平均费用2()z x ax bx =+()210x x z x +=为. 100.510x y x =++（2）利用基本不等式求解即可.【详解】（1）设总的维修费为，因为，所以可设.()z x ()00z =2()z x ax bx =+由题知：，解得，即. ()()2420.652553z a b z a b ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩110a b ==()210x x z x +=所以年平均费用为. ()2100.410100.5010x xx x y x x x +++==++>（2）因为，所以， 0x >100.50.5 2.510x y x =++≥+=当且仅的，即时等号成立. 1010x x =10x =所以这套设备使用10年报废最合算.22．已知数的相邻两对称轴间的距离为. ()()2ππ2sin 106212x f x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎭>⎝π2(1)求的解析式；()f x (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），()f x π612得到函数的图象，若方程在上的根从小到大依次为，若()y g x =()43g x =π4π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12,,,n x x x ⋅⋅⋅，试求n 与m 的值.1231222n n m x x x x x -=+++⋅⋅⋅++【答案】(1)()2sin 2f x x =(2)为5，为. n m 20π3【分析】(1)利用降幂公式和辅助角公式化简，再根据周期求得，从而确定的解析式； ()f x ω()f x (2)根据图象的变换规律得到，令，把问题转化为在区间()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭43πx θ=-2sin 3θ=解的情况，结合正弦函数的图象从而可解. π,5π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦sin y θ=【详解】（1）函数 ()2ππ2sin 16212x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ππππcos 2sin 2sin 6666x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得， ()f x π2T π=ω2=所以. ()2sin 2f x x =（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， ()f x π6π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 12()π2sin 43y g x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由方程，即，即， ()43g x =π42sin 433x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π2sin 433x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为，可得， π4π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4,5π33x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦设，其中，即， 43πx θ=-5ππ,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2sin 3θ=结合正弦函数的图象，可得方程在区间有5个解，即， sin y θ=2sin 3θ=π,5π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦5n =其中，122334453π,5π,7π,9πθθθθθθθθ+=+=+=+=即， 12ππ443π33x x -+-=23ππ445π33x x -+-=，， 34ππ447π33x x -+-=45ππ449π33x x -+-=解得， 1211π12x x +=2317π12x x +=，. 3423π12x x +=4529π12x x +=所以 12345222m x x x x x =++++ 12233445x x x x x x x x =+++++++. 11π17π23π29π20π121212123=+++=所以为5，为. n m 20π3。
2019-2020学年广西柳州市铁一中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年广西柳州市铁一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．集合{}0M x x =≥，{}24xN x =<，则M N ⋂（ ） A ．[]0,2 B ．()0,2 C ．[)02， D ．(]0,2 【答案】C【解析】根据题意先求出集合N ，然后根据交集的定义求解即可. 【详解】解：{}{}24|2xN x x x =<=<，又{}0M x x =≥，所以{}|02M N x x ⋂=≤<.故选：C. 【点睛】本题考查集合交集的运算，指数不等式求解，属于基础题.2．某班有50名学生，编号从1到50，现在从中抽取5人进行体能测试，用系统抽样确定所抽取的第一个样本编号为3，则第四个样本编号是( ) A ．13 B ．23C ．33D ．43【答案】C【解析】根据系统抽样的定义，求出抽取间隔，即可得到结论. 【详解】由题意，50名抽取5名学生，则抽取间隔为50510÷=，则抽取编号为310(1)n +-，则第四组抽取的学生编号为33033+=. 故选：C 【点睛】本题考查系统抽样，等间距抽取，属于简单题.3．设2log ,0()1(),03x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩则1(())8f f 的值 （ ）A ．9B ．116C ．27D ．181【答案】C【解析】因为()2log ,01,03xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，故211()log 388f ==-，所以311(())(3)()2783f f f -=-==，故选C.4．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】C【解析】试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ．【考点】比较大小5．利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】C【解析】构造函数3()log 3f x x x =-+，将1,2,3,4x =代入()f x 看所对应的值正负，进而得到答案. 【详解】设3()log 3f x x x =-+，当连续函数()f x 满足()()0f a f b ⋅<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点，即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解，()31log 13120f =-+=-<,又3(2)log 210f =-<，3(3)log 33310f =-+=>,33(4)log 4341log 420f =-+=+>>故(2)(3)0f f ⋅<，故方程3log 3x x =-在区间(2,3)上有解. 故选: C . 【点睛】本题考查的是二分法求方程的近似解，当连续函数()f x 满足()()0f a f b ⋅<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点，是基础题.6．某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．6B ．4C ．2D ．8【答案】A【解析】利用已知条件，画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【详解】由题意可知几何体的直观图如图：是直四棱柱，底面是直角梯形，上底为：1，下底为2，高为2，棱柱的高为2， 几何体的体积为：V 12222+=⨯⨯=6． 故选A ．【点睛】本题考查几何体的直观图与三视图的关系，考查空间想象能力以及计算能力． 7．设,m n 为两条不同的直线，,,αβγ为三个不重合平面，则下列结论正确的是( ) A ．若m αP ，n αP ，则m n P B ．若m α⊥，m n P ，则n α⊥ C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥ D ．若m α⊥，αβ⊥，则m βP【答案】B【解析】根据线面平行线面垂直面面垂直的定义及判定定理，逐一判断正误.A 选项，若m αP ，n αP ，则,m n 可能平行，相交或异面：故A 错B 选项，若m α⊥，m n P ，则n α⊥，故B 正确.C 选项，若αγ⊥，βγ⊥，因为α，β，γ为三个不重合平面，所以αβ∥或αβ⊥，故C 错D 选项，若m α⊥，αβ⊥，则m βP 或m β⊂，故D 错故选：B 【点睛】本题考查线面平行及线面垂直的知识，注意平行关系中有一条平行即可，而垂直关系中需满足任意性，概念辨析题.8．函数()25()log 2f x x x =-的单调递增区间是（ ） A ．()1,+∞ B ．()2,+∞ C ．(),1-∞ D ．(),0-∞【答案】B【解析】先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数y=log 3（x 2-2x ）的单调递增区间 【详解】函数y=log 5（x 2-2x ）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞）， 令t=x 2-2x ，则y=log 5t ， ∵y=log 5t 为增函数，t=x 2-2x 在（-∞，0）上为减函数，在（2，+∞）为增函数， ∴函数y=log 5（x 2-2x ）的单调递增区间为（2，+∞）， 故选B ． 【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键．9．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()2()ln 1f x x x =++，则不等式(21)(1)f x f +>的解集为( ) A ．{|0}x x >B ．{|0}x x <C ．{|1}x x >D ．{|1}<x x【解析】根据题意，由函数的解析式分析可得()f x 在()0,∞+为增函数且()00f =，结合函数的奇偶性分析可得()f x 在R 上为增函数，又由()()211f x f +>，则有211x +>，解可得x 的取值范围，即可得答案.【详解】根据题意，当0x ≥时，()()2ln 1f x xx =++，则()f x 在[)0,+∞为增函数且()00f =，又由()f x 是定义R 在上的奇函数，则()f x 在(),0-∞上也为增函数， 则()f x 在R 上为增函数，由()()211f x f +>，则有211x +>，解得：0x >，即不等式的解集为()0,∞+； 故选：A 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性结合，解抽象函数不等式，有一定难度.10．若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【详解】由函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图象可知，函数3a =，则下图中对于选项A ，3x y -=是减函数，所以A 错误；对于选项B,3y x =的图象是正确的；对C ，3()a y x x =-=-是减函数，故C 错；对D ，函数3log ()y x =-是减函数，故D 错误。
2020-2021学年广西柳州市铁一中学高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年广西柳州市铁一中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x<1}，B={−1,0,1}，则A∩B=()A. {0,1}B. {−1,0}C. {0}D. {−1,0,1}2.为了解1200名学生的课外阅读情况，打算从中抽取1个容量为30的样本．若考虑采用系统抽样，则分段的间隔为()A. 12B. 20C. 30D. 403.已知函数f(x)=则f(f(=()A. 4B.C. −4D. −4.已知函数f(x)=2log a(x−1)(a>0且a≠1)恒过点(m,n)，则在直角坐标系中，函数g(x)=(1)|x+1|的大致图象为()m+nA. B.C. D.5.设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)，对任意的x∈(0,+∞)，都有f[f(x)−log2x]=3，若x0是方程f(x)−f′(x)=2的一个解，则x0可能存在的区间是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)6.多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(单位：cm)()A. 28+4√5B. 30+4√5C. 30+4√10D. 28+4√10 7. 对任意实数a ，b 定义运算a ∗b =(a +1)(b +1)−1，给出以下结论：①对于任意实数a ，b ，c 有a ∗(b +c)=(a ∗b)+(a ∗c)②对于任意实数a ，b ，c 有a ∗(b ∗c)=(a ∗b)∗c③对于任意实数a 有a ∗0=a ，则正确的是( )A. ①B. ③C. ①②D. ②③ 8. 函数y =√−x 2−2x +3的增区间是( )A. [−3,−1]B. [−1,1]C. (−∞,−3]D. [−1,+∞) 9. 已知函数f(x)={3a −x,x <a log a x,x ≥a，若对任意实数x 1，x 2且x 1≠x 2都有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0成立，则实数a 的取值范围是( )A. [12,1)B. (12,1)C. (1,+∞)D. [12,+∞) 10. 已知函数f(x)=log a x +b 的图象如图所示，那么函数g(x)=a x +b 的图象可能为( )A. B.C. D.11.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑A−BCD中，满足AB⊥平面BCD，且BC=3，CD=4，当该鳖臑的体积为10时，它外接球的表面积为()A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π12.已知周期为8的偶函数f(x)，方程f(x)=0在[0,4]上有且仅有一根为2，则f(x)在区间[0,1000]上所有根之和为()A. 500B. 1000C. 124500D. 625000二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线l1：kx+(1−k)y−3=0和l2：(k−1)x+(2k+3)y−2=0互相垂直，则k=______ ．14.为了解学生数学答卷情况，某市教育部门在高三某次测试后抽取了n名同学的第Ⅱ卷进行调查，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图)，已知从左到右第三小组(即[70,80)内)的频数是50，则n=15.若函数在上的最大值为，最小值为，则的值是＿．16.已知圆C：x2+y2+4x+3=0，若直线y=kx−1上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱A1B1的中点，(1)求证：A1C//面BEC1．(2)求异面直线A1C与B1C1所成的角的正切值．18.已知f(x)=a−2是R上的奇函数2x+1(1)求a的值；(2)证明：函数f(x)在R上是增函数．19.如图，已知圆心坐标为M(√3,1)的⊙M与x轴及直线y=√3x均相切，切点分别为A、B，另一个圆⊙N与⊙M、x轴及直线y=√3x均相切，切点分别为C、D．(1)求⊙M和⊙N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被⊙N截得的弦的长度．20.如图，边长为2的菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C重合于点P.已知点G在线段PD上，且PGGD =13．(1)证明：PB//平面EFG；(2)若平面PEF⊥平面DEF，求直线PD与平面EFG所成角的正弦值．21.已知函数f(x)=log2(x+3)，g(x)=log2(3−x)，(1)求函数f(x)−g(x)的表达式及定义域；(2)判断函数f(x)−g(x)的奇偶性，并说明理由．22.在气象台A正西方向300千米处有一台风中心，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响．问：从现在起，大约多长时间后，气象台A所在地将遭受台风影响？持续多长时间？(注：√7=2.65，√2=1.41)参考答案及解析1.答案：B解析：解：，，故选B．2.答案：D=40．解析：解：抽样距=120030故选：D．系统抽样中，分段的间隔(抽样距)=总量．样本容量本题主要考查系统抽样，属基本题．3.答案：B解析：f(f(=f(log3)=f(−2)=2−2=．4.答案：B解析：【试题解析】本题考查了恒过定点问题，应用log a1=0，同时考查了指数函数的图象及图象的变换应用．由函数f(x)=2log a(x−1)(a>0且a≠1)恒过点(m,n)知m=2，n=0，代入确定函数的图象即可．解：函数f(x)=2log a(x−1)(a>0且a≠1)恒过点(m,n)，又∵2log a1=0，∴m−1=1，n=0，∴m=2，n=0，)|x+1|，∴函数g(x)=(12∴其大致图象为B，故选：B．5.答案：B解析：根据条件设f(x)−log2x=t，然后求出t的值，进而求出函数f(x)的表达式，根据函数零点的判定条件即可得到结论．本题主要考查函数零点区间的判断，根据函数的性质求出函数f(x)的表达式是解决本题的关键，综合性较强．解：设f(x)−log2x=t，则f(x)=log2x+t，且f(t)=3，当x=t时，f(t)=log2t+t=3，解得t=2，∴f(x)=log2x+2，f′(x)=1xln2，则由f(x)−f′(x)=2得log2x+2−1xln2=2，即log2x−1xln2=0，设g(x)=log2x−1xln2，则g(1)=−1ln2<0，g(2)=1−12ln2>0，∴根据根的存在性定理可知在(1,2)内g(x)存在零点，即x0∈(1,2)，故选：B．6.答案：A解析：解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P−ABC．其中平面PAB⊥平面ABC，PB⊥AB，PB=AB=4，D为AB的中点，CD⊥AB，CD=4．∴该多面体的表面积S=12×4×4+12×4×4+12×4×2√5+1 2×2√5×4√2×3√1010=28+4√5．故选：A．如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P−ABC.其中平面PAB⊥平面ABC，PB⊥AB，PB= AB=4，D为AB的中点，CD⊥AB，CD=4.即可得出．本题考查了三棱锥的三视图的表面积、勾股定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：解：对任意实数a，b定义运算a∗b=(a+1)(b+1)−1，给出以下结论：①对于任意实数a，b，c有a∗(b+c)=(a+1)(b+c+1)−1=ab+ac+a+b+c，(a∗b)+(a∗c)=(a+1)(b+1)−1+(a+1)(c+1)−1=ab+a+b+ac+a+c，所以①不正确；②对于任意实数a ，b ，c 有a ∗(b ∗c)=a ∗((b +1)(c +1)−1)=(a +1)(bc +b +c +1)−1=abc +ab +ac +a +bc +b +c ．(a ∗b)∗c =((a +1)(b +1)−1)∗c =(ab +a +b)∗c =(ab +a +b +1)(c +1)−1=abc +ab +ac +a +bc +b +c ．所以a ∗(b ∗c)=(a ∗b)∗c.②正确．③对于任意实数a 有a ∗0=(a +1)(0+1)−1=a ，所以③正确；故答案为：②③．直接利用新定义化简去判断即可．本题考查命题的真假的判断与应用，考查计算能力．8.答案：A解析：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，属于基础题．利用复合函数的单调性，二次函数的性质，求得函数y =√−x 2−2x +3的增区间．解：令t =−x 2−2x +3，t ≥0，解得−3≤x ≤1，故函数y 的定义域为[−3,1]，且函数y =√t ， t =−x 2−2x +3，图像开口向下，对称轴为x =−1，∴函数的增区间为[−3,−1]，故选：A ．9.答案：A解析：解：根据题意，f(x)满足对任意实数x 1，x 2且x 1≠x 2都有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0成立， 则函数f(x)为减函数，又由f(x)={3a −x,x <a log a x,x ≥a ，则有{0<a <1log a a ≤3a −a，解可得12≤a <1， 即a 的取值范围为[12,1)；故选：A ．根据题意，分析可得函数f(x)为减函数，结合函数的解析式可得{0<a <1log a a ≤3a −a，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性的判定以及应用，涉及分段函数的应用，关键是掌握函数单调性的定义． 10.答案：D解析：结合已知函数的图象可知，f(1)=b<−1，a>1，结合指数函数的性质及函数图象的平移，结合选项即可判断．本题主要考查了指数函数与对数函数的图象的简单应用，属于一般题．解：结合已知函数的图象可知，f(1)=b<−1，a>1，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，y=a x+b的图象单调递增，且由y=a x的图象向下平移超过1个单位，结合选项可知，D符合题意．故选：D．11.答案：B解析：解：由题意，该鳖臑如图所示，当鳖臑的体积为10时，有13×12×3×4×AB=10，解得：AB=5，该鳖臑的外接球即该长方体的外接球，设外接球半径为R，则(2R)2=32+42+52=50，鳖臑的外接球表面积为4πR2=50π，故选：B．由题意画出图形，再由鳖臑的体积为10求得AB，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体的外接球表面积的求法，训练了分割补形法，是基础题．12.答案：C解析：解：∵偶函数f(x)，方程f(x)=0在[0,4]上有且仅有一根为2，∴−2也是函数f(x)的一个实数根．∵函数f(x)的周期为8，∴−2+8m，2+8n(m∈N∗,n∈N)都是方程f(x)=0的实数根．∴2，6，10，…，998都是方程f(x)=0的实数根．∴f(x)在区间[0,1000]上所有根之和=249×(2+998)2=124500．故选：C．偶函数f(x)，方程f(x)=0在[0,4]上有且仅有一根为2，可知：−2也是函数f(x)的一个实数根．由于函数f(x)的周期为8，则−2+8m，2+8n(m∈N∗,n∈N)都是方程f(x)=0的实数根．即2，6，10，…，998都是方程f(x)=0的实数根．利用等差数列的前n项和公式即可得出．本题考查了函数的奇偶性、周期性、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．13.答案：1或−3解析：解：当k=1时，直线l1的斜率不存在，l2：5y−2=0，斜率为0，满足两直线l1和l2垂直．当k=−32时，直线l1：−32x+52y−3=0l2：−52x−2=0，两直线l1和l2不垂直．挡k≠1，且k≠−32时，直线l1和l2的斜率都存在，根据它们的斜率之积为kk−1⋅1−k2k+3=−1，求得k=1，或k=−3．综上，当k=1，或k=−3时，两直线l1和l2垂直，故答案为：1或−3．由题意利用两条直线垂直的条件，求得k的值．本题主要考查两条直线垂直的条件，属于基础题．14.答案：125解析：试题分析：由频率分布直方图知第3组的频率为，0.04×10=0.4，又第三小组的频数是50，∴，解得n=125考点：本题考查了频率分布直方图的运用点评：注意频率分布直方图中用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率，所以在求频率时，通过已知求出所要区间的面积即可15.答案：或解析：试题分析：①时，为上增函数，所以;②时，为上减函数，所以;所以或．考点：指数函数的单调性．16.答案：(−∞,34]解析：将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，由题意可得圆心到直线y=kx−1的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集，即可得到k的范围．此题考查了圆与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，其中当|r1−r2|<d<r1+r2时，直线与圆相交；当d=r1+r2时，直线与圆相切；当d>r1+r2时，直线与圆相离(d为圆心之间的距离，r为圆的半径)．解：将圆C的方程整理为标准方程得：(x+2)2+y2=1，∴圆心C(−2,0)，半径r=1，∵直线y=kx−1上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C：(x+2)2+y2=1的圆心到直线的距离小于等于两圆半径之和，∵圆心(−2,0)到直线y=kx−1的距离d=|−2k−1|√k2+1≤2，求得k⩽34，故答案为：(−∞,34]．17.答案：证明：连接B1C，交BC1与O，如图因为几何体是正方体，所以O是B1C的中点，又点E是棱A1B1的中点，所以OE//A1C，因为OE⊂平面BEC1，A1C⊄平面BEC1，所以A1C//面BEC1．(2)因为BC//B1C1，所以异面直线A1C与B1C1所成的角为∠BCA1，因为几何体是正方体，所以BC⊥A1B，所以tan∠BCA 1=A 1B BC =√2．解析：(1)连接B 1C ，交BC 1与O ，只要证明OE//A 1C 即可；(2)由正方体的性质可得异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为∠BCA 1，再利用直角三角形的三角函数求正切．本题考查了以正方体为载体的线面平行的判定和异面直线所成的角的求法，关键是将所求转化为线线关系和平面角解答．18.答案：解：(1)函数y =f(x)是奇函数，可得f(x)+f(−x)=0，令x =0，可得f(0)=0， ∴a −220+1=0，解得a =1．(2)由(1)得f(x)=2x −12x +1，任取x 1<x 2则 f(x 1)−f(x 2)=2x 1−12x 1+1−2x 2−12x 2+1=2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1) 当x 1，x 2∈R 时，2x 1+1>0，2x 2+1>0，2x 1−2x 2<0，所以2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1)<0， 有f(x 1)−f(x 2)<0有f(x 1)<f(x 2)∴函数f(x)在R 上是增函数．解析：(1)函数f(x)=a −22x +1是奇函数，可得方程f(0)=0代入函数解析式，由此方程求出a 的值；(2)由(1)函数f(x)=1−22x +1，即f(x)=2x −12x +1，再利用函数单调性的定义证明其在R 上是增函数即可．本题考查了函数奇偶性的性质以及函数单调性的证明方法定义法，解题的关键是理解奇函数的定义及单调性的证明方法，本题的重点是单调性的证明，其中判断符号是难点19.答案：解：(1)由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切，故M 到OA 及OB 的距离均为⊙M 的半径，则M 在∠BOA 的平分线上，同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且OMN 为∠BOA 的平分线；∵M 的坐标为(√3,1)，∴M 到x 轴的距离为1，即⊙M 的半径为1，∴⊙M 的方程为(x −√3)2+(y −1)2=1，设⊙N 的半径为r ，其与x 轴的切点为C ，连接MA 、MC ，由Rt △OAM∽Rt △OCN 可知，OM ：ON =MA ：NC ，即23+r =1r ，解得r =3；∴OC=3√3，点N坐标为(3√3,3)；∴⊙N的方程为(x−3√3)2+(y−3)2=9．(2)由对称性可知，所求的弦长等于过点A且与直线MN平行的直线被⊙N截得的弦长，此弦的方程是y=√33(x−√3)，即：x−√3y−√3=0，∵圆心N到该弦的距离d=√32，∴所求弦长=2√r2−d2=√33．解析：(1)连接MA，根据⊙M与x轴相切得MA⊥OA，根据圆心坐标M(√3,1)得到圆的半径为1，写出⊙M的方程；设出⊙N的半径r，利用相似求出r，并求出圆心N的坐标，即可得到⊙N的方程；(2)由对称性可知，所求的弦长等于过点A且与直线MN平行的直线被⊙N截得的弦长，根据点A的坐标和直线MN的斜率求出弦长的方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心N到弦的弦心距，然后利用勾股定理即可求出弦．20.答案：证明：(1)在菱形ABCD中，连结AC，BD，设BD∩EF=O，BD∩AC=M，又E，F分别是AB，BC的中点，∴BOOD =13，连结OG，∵PGGD =BOOD=13，∴PB//OG，∵OG⊂平面EFG，PB⊄平面EFG，∴PB//平面EFG．解：(2)连结OP，由PE=PF，得PO⊥EF，PO⊂平面PEF，平面PEF⊥平面DEF，平面PEF∩平面DEF=EF，∴PO⊥平面DEF，∵EF⊥BD，∴OF，OD，OP两两垂直，以O为原点，OF，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，由PE=BE，PF=BF，EF=EF，得△PEF≌△BEF，∴OB=OP，∴POOD =13，设PO =a ，OD =3a ，OP 2+OD 2=PD 2=4，a =√105， 在Rt △POD 中，由勾股定理得PO 2+OF 2=FP 2，∴a 2+OF 2=1，解得OF =√155， F(√155,0,0)，D(0,3√105,0)，P(0,0,√105)， OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√155,0,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3√105,−√105)， ∴OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +14PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3√1020,3√1020)， 设平面EFG 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{√155x =03√1020y +3√1020z =0，取y =1，得n ⃗ =(0,1,−1)， 设直线PD 与平面EFG 所成角为θ，则sinθ=|cos <PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=|3√105+√105|2√2=2√55， ∴直线PD 与平面EFG 所成角的正弦值为2√55． 解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．(1)连结AC ，BD ，设BD ∩EF =O ，BD ∩AC =M ，连结OG ，推导出PB//OG ，由此能证明PB//平面EFG ．(2)连结OP ，从而PO ⊥平面DEF ，以O 为原点，OF ，OD ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PD 与平面EFG 所成角的正弦值．21.答案：解：(1)由条件可得，f(x)−g(x)=log 2(x +3)−log 2(3−x)=log 23+x3−x ，且{3+x >03−x >0，则x ∈(−3,3)， 故函数的定义域为(−3,3)．(2)∵f(−x)−g(−x)=log 2(−x +3)−log 2(3+x)=−(log 2(x +3)−log 2(3−x))=−(f(x)−g(x))，∴f(x)−g(x)为奇函数．解析：(1)由题意化简函数f(x)−g(x)并由真数大于0求函数的定义域；(2)由题意，求f(−x)−g(−x)与f(x)−g(x)的关系即可．本题考查了函数解析式的化简与函数定义域的求法，同时考查了函数的奇偶性的判断，属于基础题．22.答案：解：以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，建立直角坐标系，则现在台风中心B1的坐标为(−300,0)．根据题意，可知，t小时后，B的坐标为(−300+40tcos45°,40tsin45°)，即(−300+20√2t,20√2t)，因为以台风中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以B在圆上或圆内时，气象台将受台风影响．所以令|AB|≤250，即(−300+20√2t)2+(20√2t)2≤2502整理得16t2−120√2t+275≤0，解得15√2−5√74≤t≤15√2+5√74，所以1.99≤t≤8.61故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时．解析：建立直角坐标系，可得t小时后，B的坐标为(−300+40tcos45°,40tsin45°)，利用B在圆上或圆内时，气象台将受台风影响，即可得出结论．本题给出实际应用问题，求台风影响气象台的时长．着重考查了圆的标准方程等知识，考查了直线与圆的知识在实际问题中的应用，属于中档题．。
2024学年广西壮族自治区柳州市柳州高级中学高三数学第一学期期末学业水平测试试题含解析
2024学年广西壮族自治区柳州市柳州高级中学高三数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=2．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=3．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ）A ．3y x =B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =4．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题5．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．14156．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是33y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．33B ．63C ．32D ．2337．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则 A ．//a bB ．a b ⊥C ．()-⊥a b aD ．()-⊥a b b8．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤9．设函数22sin ()1x xf x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A ．B ．C ．D ．10．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．1234 B ．1114C ．1054D ．117411．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9B ．－9C ．212D ．214-12．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）. A ．16 B ．283C ．5D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西壮族自治区柳州市启智中学高一数学理上学期期末试题含解析
广西壮族自治区柳州市启智中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个各项均为正数的等比数列，其任何一项都等于它后面两项之和，则其公比是 ( )A． B． C． D．或参考答案：B2. 设x，y满足约束条件，则z=x-y的取值范围是A. [–3,0]B. [–3,2]C. [0,2]D. [0,3]参考答案：B作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值；在轴上的截距最小时，目标函数取得最大值，即在点处取得最小值，为；在点处取得最大值，为.故的取值范围是[–3,2].所以选B.【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即运用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点处或边界上取得.3. 角﹣2015°所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B【考点】象限角、轴线角．【专题】三角函数的求值．【分析】利用终边相同的角的集合定理即可得出．【解答】解：∵﹣2015°=﹣360°×6+145°，而90°＜145°＜180°，∴角﹣2015°所在的象限为第二象限．故选：B．【点评】本题考查了终边相同的角的集合定理，属于基础题．4. 已知在矩形ABCD中，AB=，BC=3，点E满足，点F在边CD上，若?=1，则?=（）A．1 B．2 C．D．3参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立坐标系，求出F点坐标，代入向量的坐标运算公式即可．【解答】解：以A为原点建立平面直角坐标系，由题意可知A（0，0），B（0，），E（1，），D（3，0），设F（3，a），则=（1，），=（0，），=（3，a），=（3，a﹣），∵=a=1，即a=，∴=（3，﹣）．∴=3﹣1=2．故选B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．5. 函数y=f（x）在R上为减函数，且f（3a）＜f（﹣2a+10），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（0，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）参考答案：C【考点】函数单调性的性质．【分析】直接利用函数的单调性列出不等式求解即可．【解答】解：函数y=f（x）在R上为减函数，且f（3a）＜f（﹣2a+10），可得：3a＞﹣2a+10，解得a＞2．故选：C．6. 函数（）A．在单调递减 B．在单调递增C．在单调递增 D．在单调递减参考答案：C7. 要得到函数的图像，只要将函数的图像( )A.向左平移个长度单位，B. 向右平移个长度单位，C.向左平移个长度单位，D. 向右平移个长度单位参考答案：A 因为，所以要得到函数的图像，只要将函数的图像向左平移个长度单位。
广西壮族自治区柳州市向华中学高一数学理上学期期末试卷含解析
广西壮族自治区柳州市向华中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等比数列中，如果，，则等于（）A．4 B．C．D．3参考答案：A略2. 已知点C在线段AB的延长线上，且，则等于A．3 B． C． D．参考答案：D3. 函数，若，则的值为 ( ）A．3 B．0 C．-1 D．-2参考答案：B4. 阅读如图所示的语句：当输入的时，输出的结果为（）A．48 B．24 C．12 D．6参考答案：B5. 函数f（x）=，则f（﹣2）等于( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣2）=（﹣2）（﹣2+1）=2．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．6. （5分）求满足2x（2sinx﹣）≥0，x∈（0，2π）的角α的集合（）A．（0，）B．[，] C．[，] D．[，]参考答案：B考点：三角不等式．专题：三角函数的求值．分析：满足2x（2sinx﹣）≥0，化为，由于x∈（0，2π），利用正弦函数的单调性即可得出．解答：∵满足2x（2sinx﹣）≥0，2x＞0．∴，∵x∈（0，2π），∴，故选：B．点评：本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性，属于基础题．7. 不等式的解集为（）A．[2，3] B． [-1，6] C． D．参考答案：A略8. 偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数，且，则不等式的解集为（）A. (－2,0)∪(2,+∞)B. (－∞,－2) ∪(0,2)C. (－∞,－2)∪(2,+∞)D. (－2,0) ∪(0,2)参考答案：B9. 如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A-B-C-M运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积为y, 则y关于x的函数图象的形状大致是（）参考答案：C10. 已知M是△ABC的BC边上的中点，若向量=, =,则向量等于A．(－) B．(－) C．( ＋) D．(＋)参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于．参考答案：﹣3【考点】E7：循环结构．【分析】直接利用循环框图，计算循环的结果，当k=4时，退出循环，输出结果．【解答】解：由题意可知第1次判断后，s=1，k=2，第2次判断循环，s=0，k=3，第3次判断循环，s=﹣3，k=4，不满足判断框的条件，退出循环，输出S．故答案为：﹣3．12. 若，，则的值等于.参考答案：考点：三角函数的化简求值.【方法点晴】本题主要考查了三角函数的化简求值、三角恒等变换、诱导公式及二倍角公式等知识点的综合应用，解答中先利用诱导公式和三角函数的基本关系式，求得和，再利用二倍角公式，化简，即可代入求值，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.13. 设是定义在上的奇函数，当时，，则▲ ；参考答案：14. 函数在，上有2个零点，则实数的取值范围 ．参考答案：15. 空间一点到坐标原点的距离是_______.参考答案：【分析】直接运用空间两点间距离公式求解即可. 【详解】由空间两点距离公式可得：.【点睛】本题考查了空间两点间距离公式，考查了数学运算能力.16. 比较的大小（用<,>,或=表示） ．参考答案：略17. 若,则 .参考答案：1三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
广西壮族自治区柳州市柳林中学高一数学理上学期期末试题含解析
广西壮族自治区柳州市柳林中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知AD是△ABC中BC边上的中线，若=，=，则=（）A．（﹣）B．﹣（﹣）C．（+）D．﹣（+）参考答案：C【考点】向量的三角形法则．【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用．【分析】利用向量的平行四边形法则即可得出．【解答】解：==，故选：C．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 已知集合，集合，则A∩B=（）A．(0,1] B．C．D．参考答案：C3. 若集合A B C D参考答案：C4. 已知集合，，且，那么的值可以是A． B．C．D．参考答案：D5. 如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（）．A. B. 2 C. D.参考答案：D【分析】设，由共线可得，由此,利用基本不等式可得结果.【详解】如图可知x，y均为正，设，共线，，，则，，则的最小值为，故选D.【点睛】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.6. 已知全集，集合则( ▲ )A. B. C. D.参考答案：B略7. 不等式的解集是（）A． B．C． D．参考答案：D8. 为了得到函数的图像，需要把函数图像上的所有点（）A.横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度B.横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度D. 横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度参考答案：A略9. （5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则f（4）的值是（）A．﹣1 B．0 C． 1 D．2参考答案：B考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数f（x），得出f（0）=0，再f（x+2）=﹣f（x），得出周期为4，即可求解；f （4）=f（0）=0，解答：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（0）=0，∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）的周期为4，∴f（4）=f（0）=0，故选：B点评：本题考察了函数的性质，解析式的运用，属于中档题．10. 函数的最小正周期为A． B． C． D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正三角形ABC的边长是2，点P为AB边上的高所在直线上的任意一点，Q为射线AP上一点，且.则的取值范围是____参考答案：【分析】以AB所在的直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求出A.C,P,Q的坐标，运用平面向量的坐标表示和性质，求出的表达式，利用判别式法求出的取值范围.【详解】以AB所在的直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如下图所示：，设，，设，可得，由，可得即，，令，可得，当时，成立，当时，，即，，即，所以的取值范围是.【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质和运算，考查了平面向量模的取值范围，构造函数，利用判别式法求函数的最值是解题的关键.12. 已知直线l：与圆交于A、B两点，过点A、B分别做l的垂线与x轴交于C、D两点，若，则__________．参考答案：4【分析】因为直线与圆相交，且已知，由勾股定理可以构建方程求得弦心距；再由点到直线的距离公式表示弦心距，求得参数m，得倾斜角为30°，做出图像，由余弦定义得答案.【详解】由题可知直线：与圆交于，两点，所以设弦心距为d，有又因为，所以，即，所以，故直线l的斜率，则倾斜角为30°做出图像，所以故答案为：4【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，注意构建图像帮助分析，属于较难题.13. 若直线与互相垂直，则的值为.参考答案：略14. 已知，求．参考答案：315. 设函数若，则x 0的取值范是．参考答案：16.在△中，若，，，则_______。
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2015-2016学年广西柳州市铁路一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5}2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m3．若直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则a的值为（）A．﹣3 B．1 C．0或﹣D．1或﹣34．已知x=lnπ，y=logπ，z=e﹣2，则（）A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x5．已知函数f（x）定义域是[1，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，2] B．[1，3] C．[2，4] D．[1，7]6．已知圆C：x2+y2﹣4x=0，直线l：kx﹣3k﹣y=0，则直线l与圆C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上三种均有可能7．若函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，8）C．（4，8）D．[4，8）8．圆（x+1）2+（y+2）2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=9的公切线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．10 B．20 C．30 D．4010．在平面直角坐标内A，B两点满足：①点A，B都在函数y=f（x）的图象上；②点A，B关于原点对称，则称A，B为函数y=f（x）的一个“黄金点对”．则函数f（x）=的“黄金点对”的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，AB=1，BD=，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BDC的外接球的表面积为（）A．πB．2π C．3π D．4π12．已知P，Q分别是直线l：x﹣y﹣2=0和圆C：x2+y2=1上的动点，圆C与x轴正半轴交于点A（1，0），则|PA|+|PQ|的最小值为（）A． B．2 C．D．﹣1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数的定义域是．14．直线4x+3y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦长|AB|= ．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是AB、BB1的中点，则异面直线MN与BC1所成角的大小是．16．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）﹣a﹣1=0（a∈R）有且只有7个不同实数根，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2﹣7x+10＜0}．（1）求集合B，A∪B；（2）已知集合C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值﹣2．（1）求a，b的值；（2）若不等式f（x）≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=2，求B1到平面ABC的距离．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PB⊥面ABCD，BA=BD=，AD=2，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）证明：EF∥平面PAB；（2）若二面角P﹣AD﹣B为60°，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．21．已知圆C过点M（0，﹣2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．22．设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域R上的奇函数．（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．2015-2016学年广西柳州市铁路一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁U B={2，5}，又集合A={2，3，5}，则集合A∩∁U B={2，5}．故选：B．2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【考点】直线与平面平行的判定．【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B3．若直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则a的值为（）A．﹣3 B．1 C．0或﹣D．1或﹣3【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值．【解答】解：∵a=﹣2时，l1不平行l2，∴l1∥l2⇔解得：a=1故选：B．4．已知x=lnπ，y=logπ，z=e﹣2，则（）A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x【考点】对数值大小的比较．【分析】直接利用指数函数与对数函数的运算性质比较三个数与0或1的大小得答案．【解答】解：∵x=lnπ＞1，y=logπ＜0，0＜z=e﹣2＜e0=1，∴y＜z＜x．故选：C．5．已知函数f（x）定义域是[1，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，2] B．[1，3] C．[2，4] D．[1，7]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵函数y=f（x）定义域是[1，3]，∴由1≤2x﹣1≤3，解得：1≤x≤2，故选：A．6．已知圆C：x2+y2﹣4x=0，直线l：kx﹣3k﹣y=0，则直线l与圆C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上三种均有可能【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由直线系方程可得直线过定点A（3，0），化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，由两点间的距离公式可得A在圆内部，则说明直线l与圆C相交．【解答】解：由直线l：kx﹣3k﹣y=0，得k（x﹣3）﹣y=0，∴直线l过定点A（3，0），由圆C：x2+y2﹣4x=0，得（x﹣2）2+y2=4，圆心坐标为C（2，0），半径r=2，∵|AC|=＜2=r，∴A在圆C内部，则直线l与圆C相交．故选：A．7．若函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，8）C．（4，8）D．[4，8）【考点】函数单调性的性质．【分析】根据对数函数以及一次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：若函数f（x）=是R上的增函数，则解得：4≤a＜8，故选：D．8．圆（x+1）2+（y+2）2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=9的公切线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由两圆的圆心距和半径的关系判断可得两圆外切，则两圆的公切线有3条．【解答】解：圆（x+1）2+（y+2）2=4的圆心坐标C1（﹣1，﹣2），半径r1=2，圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=9的圆心坐标C2（2，2），半径r2=3，∵|C1C2|==r1+r2，∴两圆外切，则两圆的公切线有3条．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥切去一个三棱锥得到的，作出直观图，使用作差法求出体积．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱柱ABC﹣DEF中切去三棱锥E﹣ABC得到的，其中三棱柱的高为5，底面为直角三角形，直角边为3，4，故几何体的体积V==20．故选：B．10．在平面直角坐标内A，B两点满足：①点A，B都在函数y=f（x）的图象上；②点A，B关于原点对称，则称A，B为函数y=f（x）的一个“黄金点对”．则函数f（x）=的“黄金点对”的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】分段函数的应用．【分析】根据题意：“黄金点对”，可知，欲求f（x）的“黄金点对”，只须作出函数y=﹣（x＞0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=|x+4|，x≤0的图象的交点个数即可．【解答】解：根据题意：“黄金点对”，可知，作出函数y=﹣（x＞0）的图象关于原点对称的图象，同一坐标系里作出函数y=|x+4|，x≤0的图象如右图：观察图象可得，它们在x≤0时的交点个数是3．即f（x）的“黄金点对”有：3个．故选：D．11．在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，AB=1，BD=，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BDC的外接球的表面积为（）A．πB．2π C．3π D．4π【考点】球的体积和表面积．【分析】折叠之后呢得出三棱锥A﹣BDC的外接球与长方体的外接球相同，利用对角线求解即可，再利用面积公式求解即可．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，AB=1，BD=，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，∴三棱锥A﹣BDC镶嵌在长方体中，即得出：三棱锥A﹣BDC的外接球与长方体的外接球相同，∴2R==2，R=1，∴外接球的表面积为4π×12=4π，故选：D．12．已知P，Q分别是直线l：x﹣y﹣2=0和圆C：x2+y2=1上的动点，圆C与x轴正半轴交于点A（1，0），则|PA|+|PQ|的最小值为（）A． B．2 C．D．﹣1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，求出A关于直线l的对称点B的坐标，再求出B到圆心的距离，则答案可求．【解答】解：如图，圆C：x2+y2=1的圆心O（0，0），半径r=1，设A（1，0）关于l：x﹣y﹣2=0的对称点为B（a，b），则，解得：，即B（2，﹣1），连接BO，交直线l：x﹣y﹣2=0与P，则|PA|+|PQ|的最小值为|BO|﹣r=．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数的定义域是（0，2] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】要是解析式有意义，只要1﹣log2x≥0，log2x≤1，结合对数函数的图象或单调性求解即可．【解答】解：1﹣log2x≥0，log2x≤1=log22，故0＜x≤2．故答案为：（0，2]14．直线4x+3y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦长|AB|= 2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心坐标和半径，由垂径定理得答案．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心坐标为O（0，0），半径为2，O到直线4x+3y﹣5=0的距离d=，∴|AB|=2．故答案为：．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是AB、BB1的中点，则异面直线MN与BC1所成角的大小是60°．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MN与BC1所成角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则M（2，1，0），N（2，2，1），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（0，1，1），=（﹣2，0，2），设异面直线MN与BC1所成角为θ，cosθ===，∴θ=60°．∴异面直线MN与BC1所成角的大小是60°．故答案为：60°．16．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）﹣a﹣1=0（a∈R）有且只有7个不同实数根，则a的取值范围是（﹣2，﹣）．【考点】函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据偶函数图象的对称性及指数函数、对数函数的单调性，由条件便可得出f （x）在（﹣∞，﹣2]和[0，2）上是减函数，在（﹣2，0]和[2，+∞）上是增函数，从而得到x=0时，f（x）取极大值1，x=±2时，f（x）取得极小值，这样即可画出f（x）的草图，而解[f（x）]2+af（x）﹣a﹣1=0可得f（x）=1或f（x）=﹣a﹣1，从而便有，从而便可得出a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）在（﹣∞，﹣2]和[0，2）上是减函数，在（﹣2，0]和[2，+∞）上是增函数；∴x=0时，函数取极大值1，x=±2时，取极小值，且|x|≥16时，f（x）≥1，则f （x）的图象如下所示：由[f（x）]2+a•f（x）﹣a﹣1=0得[f（x）﹣1][f（x）+a+1]=0；∴f（x）=1或﹣a﹣1；∵关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）﹣a﹣1=0有7个不同实数根；∴；∴；∴a的取值范围为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2﹣7x+10＜0}．（1）求集合B，A∪B；（2）已知集合C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）由x2﹣7x+10＜0，因式分解为：（x﹣2）（x﹣5）＜0，解得可得B，即可得出A∪B．（2）集合C={x|a＜x＜a+1}，C⊆B，即可得出．【解答】解：（1）由x2﹣7x+10＜0，因式分解为：（x﹣2）（x﹣5）＜0，解得2＜x＜5，∴B={x|x2﹣7x+10＜0}={x|2＜x＜5}．∴A∪B=（0，5）．（2）∵集合C={x|a＜x＜a+1}，C⊆B，由题意得，a≥2且a+1≤5，故2≤a≤4．18．已知函数f（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值﹣2．（1）求a，b的值；（2）若不等式f（x）≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】（1）求得f（x）的对称轴方程，可得f（x）在[0，1]递减，即可得到最值，解方程可得a，b的值；（2）由题意可得在x∈（0，+∞）上恒成立，运用对号函数的单调性，可得右边函数的最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）=a（x﹣2）2+b﹣4a，∵a＞0，开口向上，对称轴x=2，∴f（x）在[0，1]递减，∴f（0）=b=1，f（1）=b﹣3a=﹣2，∴a=b=1；（2）∵f（x）=x2﹣4x+1≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，∴在x∈（0，+∞）上恒成立，∵双勾函数y=x+在（0，1]递减，在[1，+∞）递增，∴当x=1时，x﹣4+取得最小值，且为2﹣4=﹣2，则m≤﹣2．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=2，求B1到平面ABC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）要证B1C⊥AB，即证B1C⊥平面ABC1，由菱形的对角线垂直和线面垂直的性质，即可得证；（2）由棱锥的体积公式，利用=，即可得到B1到平面ABC的距离．【解答】（1）证明：连结BC1，则BC1与B1C交于O，∵侧面BB1C1C为菱形，∴B1C⊥BC1，∵AO⊥平面BB1C1C，∴B1C⊥AO又∵BC1∩AO=O，∴B1C⊥平面ABO，由于AB⊂平面ABO，∴B1C⊥AB（2）解：设点B1到平面ABC 的距离为h，∵侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，BC=2，∴△CBB1为等边三角形，∴BC=BB1=B1C=2，BO=∵AC⊥AB1，∴，Rt△AOB中，AB==2∴S△ABC==，∵=，∴，∴h=．∴点B1到平面ABC 的距离为．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PB⊥面ABCD，BA=BD=，AD=2，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）证明：EF∥平面PAB；（2）若二面角P﹣AD﹣B为60°，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理证明．（2）根据二面角平面角的定义先找出平面角，结合直线和平面所成角的定义作出线面角，根据三角形的边角关系进行求解即可．【解答】（1）证明：取PB的中点M，连接MF，AM．又∵F为PC的中点，∴FM∥BC，FM=BC，（中位线定理），∵E为AD的中点，ABCD是平行四边形，∴AE∥BC，AE=BC，∴FM∥AE，FM=AE，∴四边形AEFM为平行四边形∴EF∥AM，∵MA⊂平面PAB，EF⊄⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．（2）∵BA=BD，PA=PD 且 E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，∴∠PEB=60°，∵在Rt△ABD，BA=BD=，AD=2，∴BE=1，∵∠PEB=60°，∴Rt△PBE中，PB=，∵BE⊥AD，AD∥BC，∴BE⊥BC，∵PB⊥面ABCD，∴PB⊥BE，由BC∩PB=B，∴BE⊥平面PBC，∴∠EFB为直线EF与平面PBC所成角，∵在Rt△ABM中，AM=∴，∴在Rt△EBF中，sin∠EFB===，∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．21．已知圆C过点M（0，﹣2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，利用点在圆上，圆心在直线上，列出方程组，解得D，E，F，即可求得圆C方程．（Ⅱ）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1，y1）、B（x2，y2），利用直线与圆的方程联立方程组，利用韦达定理，推出x1x2，y1y2，利用垂直关系得到，求得b=﹣1或b=﹣4时方程（*）有实根．说明存在这样的直线l有两条，即可．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0则解得D=﹣6，E=4，F=4∴圆C方程为x2+y2﹣6x+4y+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1，y1）、B（x2，y2），则由得2x2+2（b﹣1）x+b2+4b+4=0（*）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴y1y2=（x1+b）（x2+b）=，∵AB为直径，∴，∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2，∴得x1x2+y1y2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，即b2+4b+4+b（1﹣b）+b2=0，b2+5b+4=0，∴b=﹣1或b=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣容易验证b=﹣1或b=﹣4时方程（*）有实根．故存在这样的直线l有两条，其方程是y=x﹣1或y=x﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域R上的奇函数．（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．【分析】先利用f（x）为R上的奇函数得f（0）=0求出k以及函数f（x）的表达式，（1）利用f（1）＞0求出a的取值范围以及函数f（x）的单调性，再把不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0利用函数f（x）是奇函数进行转化，再利用求得的单调性解不等式即可；（2）先由f（1）=得a=2，得出函数f（x）的单调性，再对g（x）进行整理，整理为用f（x）表示的函数，最后利用函数f（x）的单调性以及最值来求g（x）在[1，+∞）上的最小值．【解答】解：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，∴k﹣1=0⇒k=1，∴f（x）=a x﹣a﹣x（1）∵f（1）＞0，∴a﹣a﹣1＞0，a＞0，∴a＞1．∴f（x）为R上的增函数由f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0得：f（x2+2x）＞f（4﹣x）即：x2+3x﹣4＞0⇒x＜﹣4或x＞1．即不等式的解集（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．（2）由f（1）=得a=2，由（1）可知f（x）为[1，+∞）上的增函数．f（x）≥f（1）=所以g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x）=（f（x）﹣2）2﹣2≥﹣2（当f（x）=2时取等号）故g（x）在[1，+∞）上的最小值﹣2．。