精美配套课件：第1章 1.1 算法的含义

2．算法的特征
(1)算法是指用一系列运算规则能在________内求解某类问题，其中的每
条规则必须是___________、_______．
有限步骤
(2)算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有________的后继步骤，从而
明确定义的
可行的
组成一个步骤序列，序列的终止表示____________或_________________．
[答案] ① [一点通] 1．针对这个类型的问题，正确理解算法的概念及其特点是解决此类 问题的关键． 2．注意算法的特征：有限性、确定性、可行性．
1．下列语句表达中是算法的有________． ①从济南到巴黎可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达 ②利用公式S＝ah计算底为1，高为2的三角形的面积 ③x>2x＋4 ④求M(1,2)与N(－3，－5)两点连线的方程，可先求MN 的斜率，再利用点斜式方程求得
第 1 章 算法初步
1．2013 年全运会在沈阳举行，运动员 A 报名参赛 100 米短跑并通过预赛、半决赛、决赛最后获得了银牌．
问题 1：请简要写出该运动员参赛并获银牌的过程． 提示：报名参赛→预赛→半决赛→决赛．
问题2：上述参赛过程有何特征？ 提示：参赛过程是明确的． 问题3：假若你家住南京，想去沈阳观看A的决赛，你如何设计你的旅程？
解析：算法执行的功能是给定 x， 求分段函数 y＝2loxg，2x－≥x0，，x<0 对应的函数值． 由 y＝4 知 2x＝4 或 log2(－x)＝4. ∴x＝2 或－16.
答案：2 或－16
6．已知直角三角形的两条直角边分别为a，b，设计一个求 该三角形周长的算法．
解：算法如下： 第一步 计算斜边 c＝ a2＋b2； 第二步 计算周长 l＝a＋b＋c； 第三步 输出 l.
[精解详析] 第一步 解方程组33xx－ ＋y2＋y－126＝ ＝00， 得l1，l2的交点P(－2,6)；
第二步 在方程3x－y＋12＝0中令x＝0得 y＝12，从而得到A(0,12)；
第三步 在方程3x＋2y－6＝0中令x＝0得y＝3，得到B(0,3)； 第四步 求出△ABP底边AB的长|AB|＝12－3＝9； 第五步 求出△ABP的底边AB上的高h＝2； 第六步 代入三角形的面积公式计算S＝12|AB|·h； 第七步 输出结果．
之内能完成
答案：①③
[例2] 已知直线l1：3x－y＋12＝0和l2：3x＋2y－6 ＝0，求l1，l2，y轴围成的三角形的面积．写出解决本题 的一个算法．
[思路点拨] 先求出 l1，l2 的交点坐标，再求 l1，l2 与 y 轴的交点的纵坐标，即得到三角形的底；最后求三角形的高， 根据面积公式求面积．
[一点通] 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤： (1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
3．写出求两底半径分别为 1 和 4，高也为 4 的圆 台的侧面积、表面积及体积的算法． 解：算法步骤如下： 第一步 取 r1＝1，r2＝4，h＝4； 第二步 计算 l＝ r2－r12＋h2； 第三步 计算 S1＝πr21，S2＝πr22；S 侧＝π(r1＋r2)l； 第四步 计算 S 表＝S1＋S2＋S 侧； 第五步 计算 V＝13(S1＋ S1S2＋S2)h.
(4分)
第一步 输入人数x；
(6分)
第二步 如果x≤3，则y＝5，
如果x>3，则y＝1.2x＋1.4；
(10分)
第三步 输出应收卫生费y.
(12分)
[一点通]
对于此类算法设计应用问题，应当首先建立过程模型，根据模型，完成算
法．注意每步设计时要用简炼的语言表述．
5．如下算法： 第一步 输入 x 的值； 第二步 若 x≥0 成立，则 y＝2x，否则执行第三步； 第三步 y＝log2(－x)； 第四步 输出 y 的值． 若输出结果 y 的值为 4，则输入的 x 的值为________．
一个确定
问题得到解答
指出问题没有解答
1．算法的基本思想就是探求解决问题的一般性方法，并将解决问题的步骤 用具体化、程序化的语言加以表述．
2．算法是机械的，有时要进行大量重复计算，只要按部就班地去做，总能 算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”，其最大优点是可以让计算机来 完成．
3．求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，可能有不同的算法．
答案：0.75
2．已知函数 f(x)＝log2x，x∈[12，2]，在区间[12，2]上任取一 点 x0，则使 f(x0)≥0 的概率为________．
解析：欲使 f(x)＝log2x≥0，则 x≥1，而 x0∈[12，2]， ∴x0∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率 P＝22－－121＝23. 答案：23
[例 2] (湖南高考改编)如图，EFGH 是以 O 为 圆心，半径为 1 的圆的内接正方形．将一颗豆子 随机地扔到该圆内， 用 A 表示事件“豆子落在正 方形 EFGH 内”，则 P(A)＝________.
[思路点拨] 可判断为几何概型，利用面积比求其概率．
[精解详析] 圆的半径是 1，则正方形的边长是 2，故正方 形 EFGH(区域 d)的面积为( 2)2＝2.又圆(区域 D)的面积为 π，则 由几何概型的概率公式，得 P(A)＝π2.
解析：记“射中黄心”为事件 B，由于中靶点随机地落在 面积为14×π×1222 cm2 的大圆内，而当中靶点落在面积为 14×π×12.22 cm2 的黄心内时，事件 B 发生，所以事件 B 发生的概率 P(B)＝1414ππ××1122.2222＝0.01.
答案：0.01
4．如图，平面上一长 12 cm，宽 10 cm 的矩形 ABCD 内有一半径为 1 cm 的圆 O(圆心 O 在 矩形对角线交点处)．把一枚半径为 1 cm 的 硬币任意掷在矩形内(硬币完全落在矩形 内)，求硬币不与圆 O 相碰的概率． 解：由题意可知：只有硬币中心投在阴影部分(区域 d)时才 符合要求，所以不与圆相碰的概率为8×108－0 π×22＝1－2π0.
1．几何概型的定义 对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的 _几__何__区__域__内__随__机_地取一点，该区域中每一点被取到的机会都__一__ _样__；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某 个指__定__区__域__中__的__点__．这里的区域可以是_线__段__、平__面__图__形__、立__体__ _图__形__等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．
[答案]
2 π
[一点通] 解决此类问题的关键是： (1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题； (2)找出或构造出随机事件对应的几何图形．利用图形的几何 特征计算相关面积．
3．射箭比赛的箭靶是涂有彩色的五个圆环，从外向内分别为白 色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”， 奥运会的比赛靶面直径为 122 cm, 靶心直径为 12.2 cm，运 动员在 70 m 外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任 意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为________．
提示：首先预约定票，然后选择合适的交通工具到沈阳，按时到场，检 票入场，进入比赛场地，观看比赛．
2．给出方程组xx＋ －yy＝ ＝21， ，
① ②
问题 1：利用代入法求解此方程组．
提示：由①得 y＝2－x，
③
把③代入②得 x－(2－x)＝1，
即 x＝32.④
把④代入③得 y＝12.
得到方程组的解yx＝＝1232.，
[例1] 下列关于算法的说法： ①求解某一类问题的算法是唯一的 ②算法必须在有限步操作后停止 ③算法的每一步操作必须是明确的，不能存在歧义 ④算法执行后一定能产生确定的结果 其中，不正确的有________．
[思路点拨] 利用算法特征对各个表述逐一判断，然 后解答．
[精解详析] 由算法的不唯一性，知①不正确； 由算法的有穷性，知②正确； 由算法的确定性，知③和④正确．
观察下面两个试验： (1)早上乘公交车去上学，公交车到站的时间可能是 7：00 至 7：10 分之间的任何一个时刻． (2)“神七”返回大陆时着陆场为方圆 200 km2 的区域，而 主着陆场为方圆 120 km2 的区域，飞船在着陆场的任何一个地 方着陆的可能性是均等的．
问题 1：上述两个试验中的基本事件的结果有多少个？ 提示：无限个． 问题 2：每个试验结果出现的可能机会均等吗？ 提示：是均等的． 问题 3：上述两试验属古典概型吗？ 提示：不属于古典概型，因为试验结果是无限个． 问题 4：能否求两试验发生的概率？ 提示：可以求出．
1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性． 2．在具体设计算法时，要明确以下要求： (1)算法设计是一类问题的一般解法的抽象与概括，它要借助一般问题 的解决方法，又要包含这类问题的所有可能情形．设计算法时往往要把 问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有些步骤是重复执行的，但最 终却必须在有限个步骤之内完成． (2)借助有关的变量或参数对算法加以表述． (3)要使算法尽量简单，步骤尽量少．
2 .
[一点通] 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域 D，这时区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然 后找到事件 A 发生对应的区域 d，在找 d 的过程中确认边 界是问题的关键．
1．在区间[1,3]上任取一数，则这个数大于等于 1.5 的概率 为________． 解析：P＝33－－11.5＝0.75.
2．几何概型的计算公式 在几何区域 D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部 一个区域 d 内”为事件 A，则事件 A 发生的概率 P(A)＝
d的测度 _D_的__测___度__.
这里要求 D 的测度不为 0，其中“测度”的意义依 D 确定， 当 D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分 别是_长__度__、_面__积__和体__积__等．
问题 2：利用消元法求解此方程组． 提示：①＋②得 x＝32.③ 将③代入①得 y＝12，得方程组的解xy＝＝1232.， 问题 3：从问题 1、2 可以看出，解决一类问题的方 法唯一吗？ 提示：不唯一．
1．算法的概念
对一类问题的______、_______求解方法称为算法．
机械的
统一的
解析：算法是解决问题的步骤与过程，这个问题并不仅 仅限于数学问题．①②④都表达了一种算法． 答案：①②④

2．计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是________．
①S＝1＋2＋3＋…＋100 ②S＝1＋2＋3＋…＋100＋… ③S＝1＋2＋3＋…＋n(n≥1且n∈N)
解析：算法的设计要求步骤是可行的，并且在有限步 任务．故①、③可设计算法求解．
1．在几何概型中，“等可能”应理解为对应于每个 试验结果的点落入某区域内可能性大小，仅与该区域的 度量成正比，而与区域的位置、形状无关．
2．判断一试验是否是几何概型的关键是看是否具备 两个特征：无限性和等可能性．
[例 1] 在等腰直角三角形 ABC 中，在斜边 AB 上任取 一点 M，求 AM 的长大于 AC 的长的概率．
4．已知球的表面积为 16π，求球的体积．写出解决该问题的两 个算法． 解：算法 1： 第一步 S＝16π；
第二步 计算 R＝ 4Sπ(由于 S＝4πR2)； 第三步 计算 V＝43πR3； 第四步 输出运算结果 V. 算法 2： 第一步 S＝16π；
第二步 计算 V＝43π( 4Sπ)3； 第三步 输出运算结果 V.
[例3] (12分)某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计算方法是：3 人或3人以下的住房，每月收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设 计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费．
[精解详析] 设某户有x人，根据题意，应收取的卫生费y
是x的分段函数，即y＝51， .2x＋1.4，x>x≤3. 3， 算法如下：
[思路点拨] 在 AB 上截取 AC′＝AC，结合图形分析适 合条件的区域可求概率．
[精解详析] 设 AC＝BC＝a，
则 AB＝ 2a，
在 AB 上截取 AC′＝AC，
于是 P(AM>AC)＝P(AM>AC′)
＝BACB′＝ABA－BAC＝
2a2－a a＝2－2
2 .
即 AM 的长大于 AC 的长的概率为2－2