一次不定方程的解法

我们现在就这个问题，先给出一个定理．

定理如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程

ax by c +=①

有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可以表示为

其中0,1,2,3,t =±±±…

证因为00,x y 是方程①的整数解，当然满足

00ax by c +=②

因此

0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=．

这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解．

设,x y ''是方程①的任一整数解，则有

ax by c ''+=③

③-②得00()()a x x b y y ''-=--④

由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示方程①的一切整数解，命题得证．

有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解.

例1求11157x y +=的整数解．

解法1将方程变形得

因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得002,1x y ==-是这个方程的一组整数解，所以方程的解为

解法2先考察11151x y +=，通过观察易得

11(4)1531?-+?=，

所以

11(47)15(37)7?-?+??=，

可取0028,21x y =-=，从而

可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式．

例2求方程62290x y +=的非负整数解．

解因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得

31145x y +=①

由观察知，114,1x y ==-是方程

3111x y +=②

的一组整数解，从而方程①的一组整数解为

由定理，可得方程①的一切整数解为

因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有

1801104530t t -≥??-+≥?

③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能．

当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是

150x y =??=?

，43x y =??=? 例3求方程719213x y +=的所有正整数解．

分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．

解用方程

719213x y +=①

的最小系数7除方程①的各项，并移项得

213193530277

y y x y --=

=-+② 因为,x y 是整数，故357y u -=也是整数，于是573y u +=．化简得到 573y u +=③ 令325

u v -=（整数），由此得 253u v +=④

由观察知11u v =-??=?是方程④的一组解．将11

u v =-??=?代入③得2y =，再将2y =代入②得25x =．于是方程①有一组解00252x y =??=?，所以它的一切解为251927x t y t =-??=+?

t 为整数由于要求方程的正整数解，所以

解不等式，得t 只能取0,1．因此得原方程的正整数解为

252x y =??=?，69x y =??=?

当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．

例4求方程3710725x y +=的整数解．

解

为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得

由此可知1126,9x y =-=是方程371071x y +=的一组整数解．于是

025(26)650x =?-=-，0259225y =?=

是方程3710725x y +=的一组整数解．

所以原方程的一切整数解为

例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同

的方法？

解设需x 枚7分，y 枚5分恰好支付142分，于是

75142x y +=①

所以

由于7142x ≤，所以20x ≤，并且由上式知52(1)x -．因为(5,2)1=，所以51x -，从而1,6,11,16x =，所以①的非负整数解为

127x y =??=?，620x y =??=?，1113x y =??=?，166x y =??=?

所以，共有4种不同的支付方式．

说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．

例6求方程92451000x y z +-=的整数解．

解设9243x y t +=，即38x y t +=，于是351000t z -=．于是原方程可化为

38351000

x y t t z +=??-=?① 用前面的方法可以求得①的解为

383x t y t u

=-??=-+?（u 是整数）② ②的解为

2000510003t v z v =+??=+?

（v 是整数）③ 消去t ，得

600081520003510003x u v y u v z v =-+??=-+-??=+?

（,u v 都是整数）

大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经

提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？

解设公鸡、母鸡、小鸡各买,,

x y z只，由题意列方程组

①

②

化简得159300

x y z

++=③

③-②得148200

x y

即74100

x y

+=，解741

x y

+=得

于是74100

x y

+=的一个特解为

由定理知74100

x y

+=的所有整数解为

由题意知，0,,100

x y z

<<，所以

解得

4 2528

24 1428

?<<

∴4

2528

t<<

由于t是整数，故t只能取26,27,28，而且,,

x y z还应满足100

x y z

++=．

即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．

一次不定方程的解法

一次不定方程的解法我们现在就这个问题，先给出一个定理．定理如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程 ax by c +=① 有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可以表示为其中0,1,2,3,t =±±±… 证因为00,x y 是方程①的整数解，当然满足 00ax by c +=② 因此 0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=．这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解．设,x y ''是方程①的任一整数解，则有 ax by c ''+=③ ③-②得00()()a x x b y y ''-=--④ 由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解. 例1求11157x y +=的整数解．解法1将方程变形得因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得002,1x y ==-是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11151x y +=，通过观察易得

11(4)1531?-+?=，所以 11(47)15(37)7?-?+??=，可取0028,21x y =-=，从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程62290x y +=的非负整数解．解因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得 31145x y +=① 由观察知，114,1x y ==-是方程 3111x y +=② 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有 1801104530t t -≥??-+≥? ③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能．当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是 150x y =??=? ，43x y =??=? 例3求方程719213x y +=的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程

不定方程和解不定方程应用题经典

不定方程 ———研究其解法方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。二、不定方程的解法 1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。如：方程x ﹢y ﹢z = 100共有几组正整数解？解：当x = 1时y ﹢z = 99，这时共有98个解：(y ，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。 …… 当 x = 98时，y ﹢z = 2，这时有一个解。 ∵ 98﹢97﹢96﹢ (1) 2 99 98?= 4851 ∴ 方程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。 2、表格记数法如：方程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。解： ∴ 方程4x ﹢7 y =55的正整数解有 x = 5 x = 12 y = 5 y = 1 3、分离系数法如：求7x ﹢2 y =38的整数解解： y = 2 738X -=19-3x-21 x

令 t= 2 1 x x =2 t 则 y= 2 2738t ?-=19-7t 2t ＞0 19-7t ＞0 （t 为整）→ 2 7 5 ＞t ＞0 t=2，1 当 t=2时， x =2×2=4 x =4 y=19-7×2=5 y =5 当 t=1时， x =2×1=2 x =2 y=19-7×1=12 y=12 第四十周不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x －3y ＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x －3y ＝9的解有： x ＝2.4 x ＝2.7 x ＝3.06 x ＝3.6 ……… y ＝1 y ＝1.5 y ＝2.1 y ＝3 如果限定x 、y 的解是小于5的整数，那么解就只有x ＝3，Y ＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。例1．求3x+4y ＝23的自然数解。先将原方程变形，y ＝23－3x 4 。可列表试验求解： X=1 x=5 Y=5 y=2 练习一 1、求3x+2y ＝25的自然数解。 2、求4x+5y ＝37的自然数解。 3、求5x －3y ＝16的最小自然数解。

一元二次不等式及其解法教学设计

一元二次不等式及其解法【设计思想】新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。【教材分析】本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。【学情分析】学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。【教学目标】知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法；过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力；情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。【教学重点】一元二次不等式的解法。【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。【教学策略】探究式教学方法（创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价）【课前准备】教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范.

个例独解：“不定方程”解题思路

个例独解：“不定方程”解题思路不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的一个(或几个)方程组成的方程(组)。不定方程的解一般有无数个，而在这无数个解中要找出一个适合题意的解，则是行测出题的思路。根据不定方程的这一特点可知，由题干条件推出结论的推理方式比较费时费力，采用代入法则是不定方程的一般解法。代入法也分为选项代入法、特殊值代入法两种。某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均分给各个老师带领刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?( )(2012年国家考试行测第68题) A. 36 B.37 C.39 D.41 读题之后可以看出题干中存在两个明显的等量关系，而也没有其他较简单的做法，则考虑列方程组，设每名钢琴教师带领x名学员，每名拉丁舞教师带领y名学员; 该方程组有三个未知数，只有两个方程，属于不定方程，用代入法较好。采用特殊值代入法较好。用第一个方程：5x+6y=76，用奇偶性分析可得x应该为偶数，根据“每位老师所带的学生数量都是质数”可得x只能为2，又可求的Y=11.再把X=2，Y=11代入方程二可得4x+3y=41。该题先列出方程组，再根据题干给出的特殊信息--奇偶性和质数特性，采用特殊值代入的方式解题。三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票。如果三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投票的列为B等，仅有一位专家投票的作品列为C等，则下列说法正确的是( )(2012年考试第72题) A、A等和B等共6幅 B、B等和C等共7幅 C、A等最多有5幅 D、A等比C等少5幅读题之后可以看出题干中存在两个明显的等量关系，即画的张数是10，投票数总共为50. 则考虑列方程组，设A等、B等、C等作品的幅数分别为x、y、z张。可得方程组为：化简得：2x+y=5，可得x=2，y=1，z=7，答案选D。或者得答案x=1，y=3，z=6，无答案，答案选D。

一次不定方程的解法

一次不定方程的解法我们现在就这个问题，先给出一个定理．定理如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程 ax by c += ① 有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可以表示为 00x x bt y y at =-??=+? 其中0,1,2,3,t =±±±… 证因为00 ,x y 是方程①的整数解，当然满足 00ax by c += ② 因此 0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=．这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解．设,x y ''是方程①的任一整数解，则有 ax by c ''+= ③ ③-②得 00()()a x x b y y ''-=-- ④ 由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将 0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示方程①的一切整数解，命题得证．

例2 求方程62290x y +=的非负整数解．解因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得 31145x y += ① 由观察知，114,1x y ==-是方程 3111x y += ② 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为 0045418045(1)45 x y =?=??=?-=-? 由定理，可得方程①的一切整数解为 18011453x t y t =-??=-+? 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有 1801104530t t -≥??-+≥? ③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能．当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是 150x y =??=? ，43x y =??=? 例3 求方程719213x y +=的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求

不定方程的解法与应用

摘要不定方程是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法；最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明．关键词：不定方程；二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题

Abstract The integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life. This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution, secondly is further discussed. For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics, civil servants for test and other subjects, and illustrated with examples. Key words: i ndeterminate equation; two element indefinite equation; Mathematics contest; civil service examination.

一次不定方程的解法

精心整理一次不定方程的解我们现在就这个问题，先给出一个定理定理如是互质的正整数是整数，且方,①cby?ax?有一组整数解则此方程的一切整数解可以表示为yx,00其中…3,??1,?2,t?0,证因为是方程①的整数解，当然满足y,x00②c?ax?by00因此．cby?at)?ax?ba(x?bt)?(y?0000这表明，也是方程①的解．at?y??x?xbty00设是方程①的任一整数解，则有??y,x③??caxby???②得④③ ??)y(?)x(ax??by?00精心整理．精心整理 t是整数．将，其中代入④，即得由于，所以，即??? atyy?y?at??y ya?y1)?,(ab000．因此可以表示成，的形式，所以， ???y?y?atx?x?x?x?btyy?x??x?btatbty,x00000表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解. 例1求的整数解．715y?11x?将方程变形得1解是这个方程的的倍数．由观察是整数，所应是因211组整数解，所以方程的解先考，通过观察易得解11114所以 (7711，，从而可取21?x??28,y00可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是 t一样的．将解中的参数做适当代换，就可化为同一形式．求方程的非负整数解．2例9022y??6x得因为，所以方程两边同

除以解2?(6,22)2①45?3x?11y由观察知，是方程1??yx?4,11②1?11y?x3 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为精心整理．精心整理因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有 180?11t?0?③??45?3t?0?由于是整数，由③得，所以只有两种可能．16?t?15,tt16t?15?当；当．所以原方程的非负整数解是 3??4,yy?0?t16,xt?15,x?15,x?415x???，??y?3y?0??求方的所有正整数解211?分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解解用方 211?的最小系除方程①的各项，并移项 211y②?30?2y?x?77y?53．化简得到是整数，故因为也是整数，于是?u yx,3?7u5y?7③3??7u5y3?2u（整数），由此得令?v5④35v?2u?u??1u??1??是方程④的一组解．将代入③得，再将由观察知代入②得 2?2y?y??v?1v?1??x?25x?25?19t??t为整数，所以它的一切解为．于是方程①有一组解025x???y?2y?2?7t??0由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得只能取．因此得原方程的正整数解为0,1t精心整理．精心整理 x?25x?6??，??y?2y?9??当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．

不定方程的求解方法汇总

不定方程的求解方法汇总行测数量运算的考查中，不定方程是计算问题的常考题型，难度不大，易求解。但是想要快速正确的求解出结果，还是需要一些技巧和方法的。专家认为，掌握了技巧和方法，经过大量练题一定可以实现有效的提升，不定方程的题目必定成为你的送分题。一、不定方程的概念在学习之前，首先了解一下不定方程的概念：指对于一个方程或者方程组，未知数的个数大于独立方程的个数，便将其称为不定方程或者不定方程组。在这里解释一下独立方程。看个例子大家便可以明白了: 4x+3y=26①,8x+6y=52② 因为①×2=②，相互之间可以进行转化得到，所以①、②两个式子并不是两个独立的方程，。二、求解不定方程的方法 1、奇偶性奇数+奇数=偶数奇数×奇数=奇数偶数+偶数=偶数偶数×偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数×偶数=偶数性质：奇偶奇 7x为奇数，x也为奇数。x可能的取值有1、3、5。当x=1时，y=9，满足题干要求，凳子数量大于桌子数量，其余情况不符合要求，故答案选择B。

2、尾数法当看到未知数前面的系数为0或者5结尾时，考虑尾数法。任何正整数与5的乘积尾数只有两种可能0或5。性质：奇偶奇 5x 为奇数，则其尾数必定为5，则4y的尾数为4，y可能为1、6、11，这三种可能。但已知乙部门人数超过10人，则y=11,求得x=3,故答案选择C。 3、整除法当未知数前面的系数与和或差有除1之外的公因数时，考虑用整除法。 4、特值法当题目考察不定方程组，且一般情况下，求解(x+y+z)之和时考虑特值法。不定方程组拥有无数组解，而(x+y+z)的结果是唯一的，那么我们便可以随便找一组解代入即可。同时要使计算相对简单，便可以将系数较为复杂的未知数设为特值0，简化运算。

10秒钟解不定方程的方法

10秒钟解不定方程的方法一、不定方程常用解法汇总 1、利用奇偶性求解自然数分为奇数和偶数，而加和、做差和乘积也存在一定规律：奇数+奇数=偶数;偶数+偶数=偶数;奇数+偶数=奇数; 奇数×奇数=奇数;偶数×偶数=偶数;奇数×偶数=偶数。例题1：x，y为自然数，2x+3y=22，求y=? A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】B。解析：22是偶数，2x是偶数，偶数加偶数才能得到偶数，所以3y一定是偶数，又因为3是奇数，所以只能是y为偶数，答案选B。 2、利用尾数法求解适用环境：一个未知数系数尾数是5或0。例题2：现有139个同样大小的苹果往大、小两个袋子中装，已知大袋每袋装17个苹果，小袋每袋装10个苹果。每个袋子都必须装满，则需要大袋子的个数是? A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C解析：设需要大袋子x个，小袋子y个，得到17x+10y=139，由于小袋子每袋装10个苹果，所以无论有多少个小袋子，所能装的苹果数的尾数永远为0，即10y的尾数为0;而大袋每袋装17个苹果，17x的尾数为9，所以x的尾数为7，选C。 3、利用整除特性求解适用环境：等式右边的常数和某个未知数系数能被同一个数整除(1除外)，即有除了1以外的公约数。例3：x，y为自然数，3x+4y=129，求y=? A.11 B.12 C.13 D.14 【答案】B。解析：发现129和x的系数3都能被3整除，所以4y也必定被3整除，而4不能被3整除，所以只能y被3整除，答案选B。二、真题演练 1、超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个? A.3 B.4 C.7 D.13 【答案】D解析：此题条件比较单一，没有直接可以利用的数量关系。因此，要优先考虑方程法，利用方程来理清数量间的特殊关系。设大包装盒有x个，小包装盒有y个，则12x+5y=99，其中x、y之和为十

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析类型一：解一元二次不等式例1. 解下列一元二次不等式（1）2 50x x -<；（2）2 440x x -+>；（3）2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析：（1）方法一：因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为：因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?，即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一：因为0?=，方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为：所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2 (2)0x -=）所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一：原不等式整理得2 450x x -+<.

因为0?<，方程2 450x x -+=无实数解，函数245y x x =-+的简图为：所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三：【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->；(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤； (4) 2 230x x -+->. 【答案】（1）方法一：因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为：11 2 x =-，22x = 函数2 232y x x =--的简图为：因而不等式2 2320x x -->的解集是：1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二：∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1 {|2}2 x x x <->或. （2）整理，原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =，

不定方程的解法

基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969 年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 2 发展历史编辑本段

希腊的丢番图早在公元3 世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus ，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus 方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189 个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何”。设x，y，z 分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 3 常见类型编辑本段

一元二次不等式及其解法例题分类

一对一个性化辅导教案

一元二次不等式及其解法【要点梳理】要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如： 250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或，不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=?，它的解按照 0>?，0=?，0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集.

二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释：（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0?>?=?<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式?： ①0?>时，求出两根12x x 、，且12x x <②0?=时，求根a b x x 221- ==；

二元一次不定方程的解法总结与例题

探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。 The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution. 【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式； ②具有两个未知数；③未知项的次数是1。如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 [1] 二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。定理2.方程有解的充要是；[2] 若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成：（t为任意整数）

一元二次不等式的解法

- 2 - 一元二次不等式的解法一、选择题 1．不等式x 2＜3x 的解集是 ( )． A ．{x |x ＞3} B ．{x |x ＜0或x ＞3} C ．R D ．{x |0＜x ＜3} 2．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集是 ( )． A ．{x |x ≤－2或x ≥1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2≤x ≤1} D ．? 3．不等式x (x －a ＋1)＞a 的解集是{x |x ＜－1或x ＞a }，则 ( )． A ．a ≥1 B ．a ＜－1 C ．a ＞－1 D ．a ∈R 4．已知全集U ＝R 集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，则?U A 等于 ( )． A ．{x |0≤x ≤2} B ．{x |0＜x ＜2} C ．{x |x ＜0或x ＞2} D ．{x |x ≤0或x ≤2} 5．不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为? ??? ?? x ?? 13 ＜x ＜12，则a ，c 的值为 ( )． A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6 6.已知集合M ＝? ????? ??? ?x ??? x ＋3 x －1＜0，N ＝{} x | x ≤－3，则集合{x |x ≥1}等于 ( )． A ．M ∩N B ．M ∪N C ．?R (M ∩N ) D ．?R (M ∪N ) 7．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )． A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台 8．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝?，则实数a 的值的集合是 ( )． A ．{a |0＜a ＜4} B ．{a |0≤a ＜4} C ．{a |0＜a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4} 9．关于x 的不等式a －x x ＋b ＜0, a ＋b ＞0的解集是 ( )． A ．{x |x ＞a } B ．{x |x ＜－b ，或x ＞a } C ．{x |x ＜a ，或x ＞－b } D ．{x |－b ＜x ＜a } 10．在R 上定义运算?：x ?y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )?(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，则( )． A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜2 C ．－12＜a ＜32 D ．－32＜a ＜1 2 11、函数y ＝log 3(9－x 2)的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________. 12、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )的部分对应值如下表： 13、设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )＞0的解集为________． 14、关于x 的不等式ax 2－2ax ＋2a ＋3＞0的解集为R ，则实数a 的取值范围为________． 15、不等式(3x －4)(2x ＋1) (x －1)2 <0的解集为________．三、解答题 16、解不等式1）－2x 2＋103x －1 3＞0； 2)x －1x －2≥0； 3)2x －13－4x ＞1.

解三元一次不定方程组

题目：小明的妈妈去超市购物，已知买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹌鹑蛋需付9.25元，买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋需付3.20元，小明妈妈想买一个鸡蛋一个鸭蛋一个鹌鹑蛋需付多少钱？分析：此方程组是三元一次不定方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x+y+z的代数和，因此，可通过变形变换得到多种解法．解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，得13x+5y+9z=9.25 ① 2x+4y+3z=3.20 ② （1）凑整法解法1：（①+②）/3: 5x+3y+4z=4.15 ③ ∴②+③，得 7(x+y+z)=7.35 ∴ x+y+z=1.05 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元。解法2：原方程组可变形为 13(x++y+z)-4(2y+z)=9.25 ① 2(x++y+z)+4(2y+z)=3.20 ② 解之得x+y+z=1.05 （2）主元法解法3：视x、y为主元，视z为常数，解①、②得x=0.5-0.5z，y=0.55-0.5z．∴x+y+z=0.55+0.5-z+z=1.05．解法4：视y、z为主元，视x为常数，解①、②得y=0.05+x，z=1-2x． ∴x+y+z=1.05+x-2x+x=1.05．解法5：视z、x为主元，视y为常数，解①、②得x=y-0.05，z=1.1-2y ∴x+y+z=y-0.05+y+1.1-2y=1.05．（3）参数法解法6：设x+y+z=k，则 13x+5y+9z=9.25 ① 2x+4y+3z=3.20 ② x+y+z=k ③ ∴①-②×3，得x-y=-0.05 ④ ③×3-②，得x-y=3k-3.2 ⑤

小学数学不定方程与不定方程组的解法

不定方程与不定方程组知识框架一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。二、不定方程基本定义（1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。（2）不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧（1）奇偶性（2）整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）重难点（1）b利用整除及奇偶性解不定方程（2）不定方程的试值技巧（3）学会解不定方程的经典例题

例题精讲一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【考点】不定方程【解析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋3 2 y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为： 3 4 2 x k y k ? =+ ? ? ?= ? ，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。【答案】无穷多个解【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解【考点】不定方程【解析】因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但29，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解．说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。【答案】无整数解【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解【考点】不定方程【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得2x＋5y＝17，5y的个位是0或5两种情况，2x是偶数，要想和为17，5y的个位只能是5，y为奇数即可；2x的个位为2，所以x的取值为1、6、11、16…… x＝1时，17－2x＝15，y＝3， x＝6时，17－2x＝5，y＝1， x＝11时，17－2x＝17 －22，无解

数量关系)不定方程的解法

考试中，我们经常碰到两个方程三个未知数，三个未知数一个方程，这种情况下，解的数量是多对的，但是我们寻找最简单的那个即可，这里我们用设“0”的方法比较好，但是不管你如何设，最后总是要面对一个不定方程，因此，如何运用因子特性、奇偶特性快速解题，就成为一个需要探讨的问题。接下来，因本群华少和预言家同学所出题为例，为大家拆解。 1.《数学建模题型》甲组同学每人分28和核桃，乙组同学每人分30个核桃，丙组每人31个，三组同学共分核桃365个。问三组共多少同学？ A.11 B.12 C.13 D.14 【解析】设,x,y,z，这样的话，得出一个三元一次方程，28x+30y+31z=365，这里我们设x=0,因为后面30、31离的很近，且有一个质数，对后续的解答为例。方程变成了30y+31z=365，这里该怎么解？需要运用因子特性，30y尾数为0，所以365那个尾数，需要31z来凑，这样z=5.带入后，y=7.所以，x+y+z=12，题做完了，但是讨论还没有完。这里设置x=0，需要有一定的数字敏感性，设置其他变量为0，就会非常麻烦，甚至解不出来。大家可以试试。 2.现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里

分别放入其箱内球数的2、3、4倍。两次共放了22个球。最终甲箱中的球比乙箱： A.多1个 B.少1个 C.多2个 D.少2个【解析】依然设三个箱子中原来有球x、y、z个球，根据题意，可以得到方程组，x+y+z=6①,2x+3y+4z=16②，前面那个方程等式左右乘以2，变成2x+2y+2z=12③，②和③联立后削掉x，得y+2z=4，所以y=2,z=1，x=3,最终甲箱子里有3x=9，乙箱子里有4y=8，所以二者差1，选择A。注：这个题不可以设“0”，因为题干中明确说了是三个箱子分别是1、2、3. 匆匆成文，不妥之处，请各位见谅。吉吉。

解题技巧之不定方程解法

解题技巧之不定方程解法 2015大学生村官备考已经开始了，相信大家会发现有些题，我们虽然能列出方程，但发现方程的个数比未知数的个数要少，若用传统的思想根本无法求解。在此，中公大学生村官考试网将为您介绍这种方程的个数少于未知量个数的方程求解方法——不定方程的解法。 1. 什么是不定方程方程分为两类：一类是方程的个数等于未知量的个数，这类方程我们称为一般方程;另一类是方程的个数少于未知量的个数，该类方程我们称为不定方程，不定方程看起来貌似无法具体求解，但是公考特点是每道题都是带选项的，我们可以结合选项应用一些技巧快速的确定选项，下面将介绍几种常见的不定方程的解题技巧。 2. 不定方程的常见解题技巧 1)整除法：即利用不定方程中各数除以同一个数所得的余数关系来求解。【例题】已知3x+y=100，x,y均为整数，求y=( ) A.30 B.31 C.32. D.33 【答案】B 【解析】想求y的数值，若我们知道y的某些性质，结合选项则可确定答案。而该式子我们两边同时除以‘x’前面的系数3，则3x项除以3余数为0，而100除以3余数为1，式子两边除以同一个数，余数应该相同，所以可判定y具有除以3余1的特点，结合选项答案为B. 2)奇偶性：即根据等号两端的奇偶性相同，来判断未知数的奇偶性，进而判断选项。【例题】现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍。两次共放了22个球。最终甲箱中的球比乙箱： A.多1个 B.少1个 C.多2个 D.少2个【答案】A 【解析】甲乙丙最开始放入箱子的个数不确定谁是1,2或是3。所以设这3个箱子中最开始放入的个数分别是x,y,z。则x+y+z=6...(1);第二次放入三个箱子的个数分别为 2x,3y,4z.所以两次共放了3x+4y+5z=22...(2),因为该题问的是最终甲乙两箱球数差，联合(1)、(2)两个式子消掉未知量z，得2x+y=8,此时2x为偶数，8为偶数，为了保证等号两端奇偶性相同，则y应该为偶数，因此y=2,x=3,所以最后甲中放了9个球，乙中放了8个球，甲比乙多1个，答案为A。 3)尾数法：根据等号两端尾数相同，确定未知数特征，结合选项做出答案。