考点20 数列的概念与简单表示法-高考全攻略之数学(文)考点一遍过
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考点20 数列的概念与简单表示法
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数.
一、数列的相关概念 1.数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.所以,数列的一般形式可以写成123,,,
,,,n a a a a 简记为{}n a .
2.数列与函数的关系
数列可以看成定义域为正整数集*N (或它的有限子集1,2,{},n )的函数()n a f n =,当自变量按照由小到
大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.
由于数列是特殊的函数,因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集(或其有限子集1,2,
{},n )这一条件.
3.数列的分类
分类标准名称含义
按项的
个数
有穷数列项数有限的数列,如数列1,2,3,4,5,7,8,9,10
无穷数列项数无限的数列,如数列1,2,3,4,…
按项的变
化趋势
递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项,如数列1,3,5,7,9,…
递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项,如数列10,9,8,7,6,5,…
常数列各项都相等的数列,如数列2,2,2,2,…
摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,如1,2,1,2 按项的有
界性
有界数列任一项的绝对值都小于某一正数,如-1,1,-1,1,-1,1,…
无界数列不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它,如2,4,6,8,10,…
二、数列的表示方法
(1)列举法:将数列中的每一项按照项的序号逐一写出,一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况.(2)解析法:主要有两种表示方法,
①通项公式:如果数列{}n a的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做
这个数列的通项公式,即()
n
a f n
=.学@
②递推公式:如果已知数列{}n a的第一项(或前几项),且任一项n a与它的前一项1n a-(或前几项)间的
关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
(3)图象法:数列是特殊的函数,可以用图象直观地表示.数列用图象表示时,可以以序号为横坐标,相应的项为纵坐标描点画图.由此可知,数列的图象是无限个或有限个孤立的点.
三、数列的前n项和与通项的关系
数列的前n项和通常用n S表示,记作12
n n
S a a a
=+++,则通项1
1
,2
n
n n
S
a
S S n
-
?
=?
-≥
?
.
若当2
n≥时求出的
n
a也适合1
n=时的情形,则用一个式子表示n a,否则分段表示.
考向一 已知数列的前几项求通项公式
1.常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. 具体策略:
①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征;
④各项的符号特征和绝对值特征;
⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系; ⑥对于符号交替出现的情况,可用()1k -或*11,()k k +∈-N 处理.
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想. 2.常见的数列的通项公式:
(1)数列1,2,3,4,…的通项公式为n a n =; (2)数列2,4,6,8,…的通项公式为2n a n =; (3)数列1,4,9,16,…的通项公式为2
n a n =; (4)数列1,2,4,8,…的通项公式为2n n a =; (5)数列1,
12,13,14,…的通项公式为1n a n
=; (6)数列
12,16,112,120
,…的通项公式为1(1)n a n n =+.
3.根据图形特征求数列的通项公式,首先要观察图形,寻找相邻的两个图形之间的变化,其次要把这些变化同图形的序号联系起来,发现其中的规律,最后归纳猜想出通项公式.
典例1 写出下面数列的一个通项公式. (1)8,98,998,9998, …; (2)
12,14,58-,13
16
,…; (3)1,6,12,20,….
【解析】(1)各项分别加上2,即得数列:10,100,1000,10000, …,
故数列的一个通项公式为a n=10n-2.
(2)各项的分母依次为:21,22,23,24,…,容易看出第2,3,4项的分子比相应分母小3,
再由各项的符号规律,把第1项变形为
1 2 -
-
,既符合符号变化的规律,也满足了分子与分母之间的关系,
故数列的一个通项公式为()23
1
2
n
n
n n
a
-
=-?.
(3)容易看出第2,3,4项满足规律:
项的序号×
(项的序号+1).
而第1项却不满足,因此考虑分段表示,
即数列的一个通项公式为()
1,1
1,2
n
n
a
n n n
=
?
=?
+≥
?
.
典例2 如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_______块.(用含n的代数式表示)
【答案】4n+8
【解析】根据题目给出的图,我们可以看出:
(1)图中有黑色瓷砖12块,我们把12可以改写为3×4;
(2)图中有黑色瓷砖16块,我们把16可以改写为4×4;
1.已知*
n∈N,给出4个表达式:①
0,
1,
n
n
a
n
?
=?
?
为奇数
为偶数
,②,③,④.
其中能作为数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是
A .①②③
B .①②④
C .②③④
D .①③④
考向二 利用n a 与n S 的关系求通项公式
已知n S 求n a 的一般步骤: (1)先利用11a S =求出1a ;
(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系,利用1,2n n n S a S n --=≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式;
(3)对1n =时的结果进行检验,看是否符合2n ≥时n a 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分1n =与2n ≥两段来写. 利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?
-≥?求通项公式时,务必要注意2n ≥这一限制条件,所以在求出结果后,要看看这
两种情况能否整合在一起.
典例3 在数列中,,,数列的前项和(,为常数).
(1)求实数,的值; (2)求数列
的通项公式.
【解析】(1)由题意得,
,
解方程组,得
,
∴
.
(2)由(1)得.
当时,,
又当
时,
不满足上式,
∴.
典例4 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足11a =,()()1112
n n n n nS n S ++-+=,*n ∈N .
(1)求2a 的值;
(2)求数列{}n a 的通项公式.
【解析】(1)∵11a =, ()()1112
n n n n nS n S ++-+=
,∴2112
212
S S ?-=
=. ∴21112123S S a =+=+=,∴2212a S a =-=.
而11a =适合上式, ∴n a n =.
2.设数列满足.
(1)求
及
的通项公式;
(2)求数列21n a n ??
?
?+??
的前项和. 考向三 由递推关系式求通项公式
递推公式和通项公式是数列的两种表示方法,它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中,一般是通过变换转化成特殊的数列求解. 已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下:
(1)1()n n a a f n +=+:常用累加法,即利用恒等式121321()()()n n n a a a a a a a a -=+---+++求通项
公式.
(2)1()n n a f n a +=?:常用累乘法,即利用恒等式3
21121
n
n n a a a a a a a a -=?
?求通项公式. (3)1n n a pa q +=+(其中,p q 为常数,0,1p ≠):先用待定系数法把原递推公式转化为
1()n n a k p a k +-=-,其中1q
k p
=
-,进而转化为等比数列进行求解. (4)1n
n n a pa q +=+:两边同时除以1n q +,然后可转化为类型3,利用待定系数法进行求解;两边同时除以1n p +,然后可转化为类型1,利用累加法进行求解.
(5)1n n a pa qn t +=++:把原递推公式转化为1()n n a xn y p a xn y +--=--,解法同类型3. (6)1r
n n a pa +=:把原递推公式两边同时取对数,然后可转化为类型3,利用待定系数法进行求解. (7)1n
n n pa a qa r
+=
+:把原递推公式两边同时取倒数,然后可转化为类型3,利用待定系数法进行求解.
(8)
1()n n a a f n ++=:易得2(1)()n n a a f n f n +-=+-,然后分n 为奇数、偶数两种情况分类讨论即可. (9)1()n n a a f n +?=:易得
2(1)
()
n n a f n a f n ++=,然后分n 为奇数、偶数两种情况分类讨论即可.
典例5 已知数列{a n }中,a 1=1,a n =n (a n+1-a n )(n ∈*N ).求数列{a n }的通项公式. 【解析】方法一(累乘法) ∵a n =n (a n+1-a n ),即
11n n a n a n
++=, ∴
2121a a =,3232a a =,4343a a =,…,11
n n a n
a n -=-(n ≥2). 以上各式两边分别相乘,得1234
123
1
n a n a n =????
-. 又a 1=1,∴a n =n (n ≥2). ∵a 1=1也适合上式,∴a n =n . 方法二(迭代法)
由
11n n a n a n -=-知,2121a a =,3232a a =,4343
a a =,…, 则a n =a 1×
×…×
=1×
×…×
=n .
典例6 在数列{}n a 中,11a =,()11112n n n a a n n +?
?=+++? ???
. (1)设n
n a b n
=
,求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S . 【解析】(1)由已知有121n n n
a a n n
+=++,∴12n n n b b +=+, ∴()1
12
2n n n b b n ---=≥,
∴()()()()11232211n n n n n b b b b b b b b b b ---=-+-+
+-+-+12222221n n --=++
+++
()1221212
n n n -==-≥-, 又当1n =时,111b a ==,满足上式. ∴21n
n b =- (*n ∈N ) .学= (2)由(1)知2n
n a n n =?-, ∴(
)()231222322123n
n S n n =?+?+?+???+?-+++???+,
而()1
12312
n n n +++???+=
+, 令2
3
1222322n
n T n =?+?+?+???+? ①, ∴2
3
4
1
21222322n n T n +=?+?+?+???+?
②,
①-②得
23122222n n n T n +-=+++???+-? (
)1
2122
12
n n n +-=-?-
()1212n n +=-+-?.
∴()1
212
n n T n +=+-?.
∴()
()112122
n n n n S n ++=+-?-
.
3.在数列中,,,,为常数,.
(1)求的值;
(2)设,求数列的通项公式.
考向四 数列的性质
数列可以看作是一类特殊的函数,所以数列具备函数应有的性质,在高考中常考查数列的单调性、周期性等. 1.数列的周期性
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值. 2.数列的单调性
(1)数列单调性的判断方法:
①作差法:10n n a a +->?数列{}n a 是递增数列;
10n n a a +-
②作商法:当0n a >时,1
1n n a a +>?数列{}n a 是递增数列; 1
1n n a a +
1n n
a a +=?数列{}n a 是常数列. 当0n a <时,1
1n n a a +>?数列{}n a 是递减数列; 1
1n n a a +
1n n
a a +=?数列{}n a 是常数列. (2)数列单调性的应用:
①构造函数,确定出函数的单调性,进而可求得数列中的最大项或最小项. ②根据11k k k k a a a a -+≥??
≥?可求数列中的最大项;根据1
1k k k
k a a a a -+≤??≤?可求数列中的最小项.当解不唯一时,比较各解
对应的项的大小即可.
(3)已知数列的单调性求解某个参数的取值范围,一般有两种方法:
①利用数列的单调性构建不等式,然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决,也可通过分离参数将其转化为最值问题处理;
②利用数列与函数之间的特殊关系,将数列的单调性转化为相应函数的单调性,利用函数的性质求解参数的取值范围,但要注意数列通项中n 的取值范围.
典例7 已知数列{}n a ,其通项公式为2
*
3()n a n n n =-∈N ,判断数列{}n a 的单调性.
(注:这里要确定n a 的符号,否则无法判断+1n a 与n a 的大小)
方法三:令23y x x =-,则函数的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为1
16
x =<, 则函数23y x x =-在1(,)6
+∞上单调递增,故数列{}n a 是递增数列. 典例8 已知正项数列的前项和为,且对任意恒成立.
(1)证明:;
(2)求数列的通项公式;
(3)若,数列
是递增数列,求的取值范围.
【解析】(1)由
,
得, 两式相减得. 又,所以,即
,
当时,
,得
,也满足
,
所以
.
(3)因为,
,所以
.
所以
对任意
恒成立,
所以
,得
.
故的取值范围是(4,)-+∞.
4.在数列中,,若,则的值为
A .
B .
C .
D .
5.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:11n n a a S S =+.
(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若0n a >,数列2
log 32n a ??
????
的前n 项和为n T ,试问当n 为何值时,n T 最小?并求出最小值.
1.在数列1,2,,…中,是这个数列的第
A .16项
B .24项
C .26项
D .28项
2.数列
13,13-,527,781
-,…的一个通项公式是 A .a n =(-1)n+121
3n n
- B .a n =(-1)n 21
3n n
- C .a n =(-1)n+121
3n n - D .a n =(-1)n
21
3n
n - 3.若数列中,
,则
的值为 A . B . C .
D .
4.若数列的前项和
,则它的通项公式是
A .
B .
C .
D .
5.如图,给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项,则这个数列的一个通项公式是
A .21n +
B .3n
C .222n n +
D .2322
n n ++
6.在数列中==则=
A .
B .
C .
D .
7.已知数列
的通项为
258
n n
a n =
+,则数列
的最大值为
A .
1
258
B .
7107
C .
4
61
D .不存在
8.已知函数=()6
33,7,7
x a x x a
x -?--≤?
>?
,若数列{}满足=,且{}是递增数列,则实数a 的取值
范围是 A .
B .
C .9
,34?????? D .9,34??
???
9.传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.根据下列四个图形及相应的正方形的个数的变化规律,第n 个图形中有_________个正方形.
10.若数列{}n a 满足2,11
81=-=
+a a a n
n ,则=1a ___________. 11.已知数列
的前项和为,且=21
3n
??+ ???,则
.
12.已知{a n }是递增数列,且对任意的自然数n (n ≥1),都有2
n a n n λ=+恒成立,则实数λ的取值范围为
__________. #网
13.已知首项为2的数列
的前项和为
,且
,若数列
满足
()*1
13212
n n n n
b a n --=
+∈N ,则数列中最大项的值为__________.
14.已知数列{a n }的通项公式为a n =3n 2-28n .
(1)写出数列的第4项和第6项;
(2)-49是否为该数列的一项?如果是,是哪一项?68是否为该数列的一项呢?
15.已知数列{a n }的通项公式a n =n 2-7n-8.
(1)数列中有多少项为负数?
(2)数列{a n }是否有最小项?若有,求出其最小项.
16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(
)*
21n n S a n =-∈N
.
(1)求1a ,2a ,3a 的值;
(2)已知数列{}n b 满足12b =,1n n n b a b +=+,求数列{}n b 的通项公式.
17.已知数列{}n a 满足112
a =,其前n 项和2
n n S n a =,求其通项公式n a .
18.设数列的前项和为,点
均在函数的图象上.
(1)求数列
的通项公式;
(2)设,求数列的前n 项和.
1.(2015江苏)数列满足且
,则数列1n a ??
????
的前10项和为 .
2.(2017新课标全国Ⅲ文科节选)设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=,求{}n a 的通项公式.
3.(2018新课标全国Ⅰ文科)已知数列{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设n
n a b n
=. (1)求123b b b ,,;
(2)判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由; (3)求{}n a 的通项公式.
1.【答案】A
【解析】①②③逐一写出为0,1,0,1,0,1,0,1,…,④逐一写出为,不
满足,故选A . 2.【解析】(1)令,则
.
令
,则
,
故.
,①
变式拓展
时,,②
①②得:.
又时,满足上式,
.
3.【解析】(1)将代入,得,由,,得.
(2)由,得,
即.
当时,
1
1 11
1
3311
1223
1
3
n
n
-
-??
??
-
??
?
??
??
??
==-
?
-
,
因为,所以.因为也适合上式,
所以.
4.【答案】B
【解析】由题意得,,,,,所以数列
是周期为4的周期数列,所以
.选B .
5.【解析】(1)由已知11n n a a S S =+,可得
当1n =时,2
111a a a =+,可解得10a =或12a =, 当2n ≥时,由已知可得1111n n a a S S --=+, 两式相减得()11n n n a a a a --=.
若10a =,则0n a =,此时数列{}n a 的通项公式为0n a =. 若12a =,则()12n n n a a a --=,化简得12n n a a -=, 即此时数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列, 故2n
n a =.
综上所述,数列{}n a 的通项公式为0n a =或2n
n a =
.
1.【答案】C 【解析】数列1,2,
,…可化为
,
,…,则
由
,解得
考点冲关
3.【答案】C 【解析】因为
,所以
,所以,所以
,
即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列,又,所以
4.【答案】B 【解析】当
时,
,当n=1时,
,
满足上式,所以数列的通项公式为.故选B .
5.【答案】D
【解析】由题意知11n n a a n -=+-,根据累加法得1211()(3)345n n n a a a a a a -++=++-=+-+
1n +
++=232
2
n n ++,故选D.
6.【答案】A
【解析】因为==所以
所以
=
==
.
7.【答案】C 【解析】258n n a n =
+=1158258n n
≤+,但,则258取不到,又727758a =+=7107,828858a =+=461,a 7<a 8,∴数列{a n }的最大项为a 84
61
=.故选C .
8.【答案】B 【解析】因为{
}是递增数列,所以函数
单调递增.当时,
=
单调递增,可得,解得
;当时,
=
单调递增,可得
,所以
.而{
}
是递增数列,所以=
,解得
,所以23a <<,即实数a 的取值范
围是
.故选B.
9.【答案】
()12
n n + 【解析】设数列为
,由图知,
所
以由此猜想:()11232n n n a n +=++++=
,故填()12
n n +.
10.【答案】
1
2
【解析】由已知得111n n a a +=-
,82a =,所以781112a a =-
=,67111a a =-=-,56
1
12a a =-=,451112a a =-
=,34111a a =-=-,23112a a =-=,1211
12
a a =-=. 11.【答案】1
5,1312,2
33n n n -?
=??
????-≥ ????
? 【解析】n=1时,
时,
1
1233n -??
- ???
,
所以
1
5,1312,233n n n -?
=??
????-≥ ????
?. 12.【答案】(-3,+∞)