考点20 数列的概念与简单表示法-高考全攻略之数学(文)考点一遍过

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考点20 数列的概念与简单表示法-高考全攻略之数学(文)考点一遍过

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考点20 数列的概念与简单表示法

(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数.

一、数列的相关概念 1.数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.

数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.所以,数列的一般形式可以写成123,,,

,,,n a a a a 简记为{}n a .

2.数列与函数的关系

数列可以看成定义域为正整数集*N (或它的有限子集1,2,{},n )的函数()n a f n =,当自变量按照由小到

大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.

由于数列是特殊的函数,因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集(或其有限子集1,2,

{},n )这一条件.

3.数列的分类

分类标准名称含义

按项的

个数

有穷数列项数有限的数列,如数列1,2,3,4,5,7,8,9,10

无穷数列项数无限的数列,如数列1,2,3,4,…

按项的变

化趋势

递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项,如数列1,3,5,7,9,…

递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项,如数列10,9,8,7,6,5,…

常数列各项都相等的数列,如数列2,2,2,2,…

摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,如1,2,1,2 按项的有

界性

有界数列任一项的绝对值都小于某一正数,如-1,1,-1,1,-1,1,…

无界数列不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它,如2,4,6,8,10,…

二、数列的表示方法

(1)列举法:将数列中的每一项按照项的序号逐一写出,一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况.(2)解析法:主要有两种表示方法,

①通项公式:如果数列{}n a的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做

这个数列的通项公式,即()

n

a f n

=.学@

②递推公式:如果已知数列{}n a的第一项(或前几项),且任一项n a与它的前一项1n a-(或前几项)间的

关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

(3)图象法:数列是特殊的函数,可以用图象直观地表示.数列用图象表示时,可以以序号为横坐标,相应的项为纵坐标描点画图.由此可知,数列的图象是无限个或有限个孤立的点.

三、数列的前n项和与通项的关系

数列的前n项和通常用n S表示,记作12

n n

S a a a

=+++,则通项1

1

,2

n

n n

S

a

S S n

-

?

=?

-≥

?

若当2

n≥时求出的

n

a也适合1

n=时的情形,则用一个式子表示n a,否则分段表示.

考向一 已知数列的前几项求通项公式

1.常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. 具体策略:

①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征;

④各项的符号特征和绝对值特征;

⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系; ⑥对于符号交替出现的情况,可用()1k -或*11,()k k +∈-N 处理.

根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想. 2.常见的数列的通项公式:

(1)数列1,2,3,4,…的通项公式为n a n =; (2)数列2,4,6,8,…的通项公式为2n a n =; (3)数列1,4,9,16,…的通项公式为2

n a n =; (4)数列1,2,4,8,…的通项公式为2n n a =; (5)数列1,

12,13,14,…的通项公式为1n a n

=; (6)数列

12,16,112,120

,…的通项公式为1(1)n a n n =+.

3.根据图形特征求数列的通项公式,首先要观察图形,寻找相邻的两个图形之间的变化,其次要把这些变化同图形的序号联系起来,发现其中的规律,最后归纳猜想出通项公式.

典例1 写出下面数列的一个通项公式. (1)8,98,998,9998, …; (2)

12,14,58-,13

16

,…; (3)1,6,12,20,….

【解析】(1)各项分别加上2,即得数列:10,100,1000,10000, …,

故数列的一个通项公式为a n=10n-2.

(2)各项的分母依次为:21,22,23,24,…,容易看出第2,3,4项的分子比相应分母小3,

再由各项的符号规律,把第1项变形为

1 2 -

-

,既符合符号变化的规律,也满足了分子与分母之间的关系,

故数列的一个通项公式为()23

1

2

n

n

n n

a

-

=-?.

(3)容易看出第2,3,4项满足规律:

项的序号×

(项的序号+1).

而第1项却不满足,因此考虑分段表示,

即数列的一个通项公式为()

1,1

1,2

n

n

a

n n n

=

?

=?

+≥

?

.

典例2 如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_______块.(用含n的代数式表示)

【答案】4n+8

【解析】根据题目给出的图,我们可以看出:

(1)图中有黑色瓷砖12块,我们把12可以改写为3×4;

(2)图中有黑色瓷砖16块,我们把16可以改写为4×4;

1.已知*

n∈N,给出4个表达式:①

0,

1,

n

n

a

n

?

=?

?

为奇数

为偶数

,②,③,④.

其中能作为数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是

A .①②③

B .①②④

C .②③④

D .①③④

考向二 利用n a 与n S 的关系求通项公式

已知n S 求n a 的一般步骤: (1)先利用11a S =求出1a ;

(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系,利用1,2n n n S a S n --=≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式;

(3)对1n =时的结果进行检验,看是否符合2n ≥时n a 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分1n =与2n ≥两段来写. 利用11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?

-≥?求通项公式时,务必要注意2n ≥这一限制条件,所以在求出结果后,要看看这

两种情况能否整合在一起.

典例3 在数列中,,,数列的前项和(,为常数).

(1)求实数,的值; (2)求数列

的通项公式.

【解析】(1)由题意得,

解方程组,得

(2)由(1)得.

当时,,

又当

时,

不满足上式,

∴.

典例4 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足11a =,()()1112

n n n n nS n S ++-+=,*n ∈N .

(1)求2a 的值;

(2)求数列{}n a 的通项公式.

【解析】(1)∵11a =, ()()1112

n n n n nS n S ++-+=

,∴2112

212

S S ?-=

=. ∴21112123S S a =+=+=,∴2212a S a =-=.

而11a =适合上式, ∴n a n =.

2.设数列满足.

(1)求

的通项公式;

(2)求数列21n a n ??

?

?+??

的前项和. 考向三 由递推关系式求通项公式

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法,它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中,一般是通过变换转化成特殊的数列求解. 已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下:

(1)1()n n a a f n +=+:常用累加法,即利用恒等式121321()()()n n n a a a a a a a a -=+---+++求通项

公式.

(2)1()n n a f n a +=?:常用累乘法,即利用恒等式3

21121

n

n n a a a a a a a a -=?

?求通项公式. (3)1n n a pa q +=+(其中,p q 为常数,0,1p ≠):先用待定系数法把原递推公式转化为

1()n n a k p a k +-=-,其中1q

k p

=

-,进而转化为等比数列进行求解. (4)1n

n n a pa q +=+:两边同时除以1n q +,然后可转化为类型3,利用待定系数法进行求解;两边同时除以1n p +,然后可转化为类型1,利用累加法进行求解.

(5)1n n a pa qn t +=++:把原递推公式转化为1()n n a xn y p a xn y +--=--,解法同类型3. (6)1r

n n a pa +=:把原递推公式两边同时取对数,然后可转化为类型3,利用待定系数法进行求解. (7)1n

n n pa a qa r

+=

+:把原递推公式两边同时取倒数,然后可转化为类型3,利用待定系数法进行求解.

(8)

1()n n a a f n ++=:易得2(1)()n n a a f n f n +-=+-,然后分n 为奇数、偶数两种情况分类讨论即可. (9)1()n n a a f n +?=:易得

2(1)

()

n n a f n a f n ++=,然后分n 为奇数、偶数两种情况分类讨论即可.

典例5 已知数列{a n }中,a 1=1,a n =n (a n+1-a n )(n ∈*N ).求数列{a n }的通项公式. 【解析】方法一(累乘法) ∵a n =n (a n+1-a n ),即

11n n a n a n

++=, ∴

2121a a =,3232a a =,4343a a =,…,11

n n a n

a n -=-(n ≥2). 以上各式两边分别相乘,得1234

123

1

n a n a n =????

-. 又a 1=1,∴a n =n (n ≥2). ∵a 1=1也适合上式,∴a n =n . 方法二(迭代法)

11n n a n a n -=-知,2121a a =,3232a a =,4343

a a =,…, 则a n =a 1×

×…×

=1×

×…×

=n .

典例6 在数列{}n a 中,11a =,()11112n n n a a n n +?

?=+++? ???

. (1)设n

n a b n

=

,求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S . 【解析】(1)由已知有121n n n

a a n n

+=++,∴12n n n b b +=+, ∴()1

12

2n n n b b n ---=≥,

∴()()()()11232211n n n n n b b b b b b b b b b ---=-+-+

+-+-+12222221n n --=++

+++

()1221212

n n n -==-≥-, 又当1n =时,111b a ==,满足上式. ∴21n

n b =- (*n ∈N ) .学= (2)由(1)知2n

n a n n =?-, ∴(

)()231222322123n

n S n n =?+?+?+???+?-+++???+,

而()1

12312

n n n +++???+=

+, 令2

3

1222322n

n T n =?+?+?+???+? ①, ∴2

3

4

1

21222322n n T n +=?+?+?+???+?

②,

①-②得

23122222n n n T n +-=+++???+-? (

)1

2122

12

n n n +-=-?-

()1212n n +=-+-?.

∴()1

212

n n T n +=+-?.

∴()

()112122

n n n n S n ++=+-?-

3.在数列中,,,,为常数,.

(1)求的值;

(2)设,求数列的通项公式.

考向四 数列的性质

数列可以看作是一类特殊的函数,所以数列具备函数应有的性质,在高考中常考查数列的单调性、周期性等. 1.数列的周期性

先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值. 2.数列的单调性

(1)数列单调性的判断方法:

①作差法:10n n a a +->?数列{}n a 是递增数列;

10n n a a +-

②作商法:当0n a >时,1

1n n a a +>?数列{}n a 是递增数列; 1

1n n a a +

1n n

a a +=?数列{}n a 是常数列. 当0n a <时,1

1n n a a +>?数列{}n a 是递减数列; 1

1n n a a +

1n n

a a +=?数列{}n a 是常数列. (2)数列单调性的应用:

①构造函数,确定出函数的单调性,进而可求得数列中的最大项或最小项. ②根据11k k k k a a a a -+≥??

≥?可求数列中的最大项;根据1

1k k k

k a a a a -+≤??≤?可求数列中的最小项.当解不唯一时,比较各解

对应的项的大小即可.

(3)已知数列的单调性求解某个参数的取值范围,一般有两种方法:

①利用数列的单调性构建不等式,然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决,也可通过分离参数将其转化为最值问题处理;

②利用数列与函数之间的特殊关系,将数列的单调性转化为相应函数的单调性,利用函数的性质求解参数的取值范围,但要注意数列通项中n 的取值范围.

典例7 已知数列{}n a ,其通项公式为2

*

3()n a n n n =-∈N ,判断数列{}n a 的单调性.

(注:这里要确定n a 的符号,否则无法判断+1n a 与n a 的大小)

方法三:令23y x x =-,则函数的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为1

16

x =<, 则函数23y x x =-在1(,)6

+∞上单调递增,故数列{}n a 是递增数列. 典例8 已知正项数列的前项和为,且对任意恒成立.

(1)证明:;

(2)求数列的通项公式;

(3)若,数列

是递增数列,求的取值范围.

【解析】(1)由

得, 两式相减得. 又,所以,即

当时,

,得

,也满足

所以

.

(3)因为,

,所以

.

所以

对任意

恒成立,

所以

,得

.

故的取值范围是(4,)-+∞.

4.在数列中,,若,则的值为

A .

B .

C .

D .

5.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:11n n a a S S =+.

(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若0n a >,数列2

log 32n a ??

????

的前n 项和为n T ,试问当n 为何值时,n T 最小?并求出最小值.

1.在数列1,2,,…中,是这个数列的第

A .16项

B .24项

C .26项

D .28项

2.数列

13,13-,527,781

-,…的一个通项公式是 A .a n =(-1)n+121

3n n

- B .a n =(-1)n 21

3n n

- C .a n =(-1)n+121

3n n - D .a n =(-1)n

21

3n

n - 3.若数列中,

,则

的值为 A . B . C .

D .

4.若数列的前项和

,则它的通项公式是

A .

B .

C .

D .

5.如图,给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项,则这个数列的一个通项公式是

A .21n +

B .3n

C .222n n +

D .2322

n n ++

6.在数列中==则=

A .

B .

C .

D .

7.已知数列

的通项为

258

n n

a n =

+,则数列

的最大值为

A .

1

258

B .

7107

C .

4

61

D .不存在

8.已知函数=()6

33,7,7

x a x x a

x -?--≤?

>?

,若数列{}满足=,且{}是递增数列,则实数a 的取值

范围是 A .

B .

C .9

,34?????? D .9,34??

???

9.传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.根据下列四个图形及相应的正方形的个数的变化规律,第n 个图形中有_________个正方形.

10.若数列{}n a 满足2,11

81=-=

+a a a n

n ,则=1a ___________. 11.已知数列

的前项和为,且=21

3n

??+ ???,则

12.已知{a n }是递增数列,且对任意的自然数n (n ≥1),都有2

n a n n λ=+恒成立,则实数λ的取值范围为

__________. #网

13.已知首项为2的数列

的前项和为

,且

,若数列

满足

()*1

13212

n n n n

b a n --=

+∈N ,则数列中最大项的值为__________.

14.已知数列{a n }的通项公式为a n =3n 2-28n .

(1)写出数列的第4项和第6项;

(2)-49是否为该数列的一项?如果是,是哪一项?68是否为该数列的一项呢?

15.已知数列{a n }的通项公式a n =n 2-7n-8.

(1)数列中有多少项为负数?

(2)数列{a n }是否有最小项?若有,求出其最小项.

16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(

)*

21n n S a n =-∈N

(1)求1a ,2a ,3a 的值;

(2)已知数列{}n b 满足12b =,1n n n b a b +=+,求数列{}n b 的通项公式.

17.已知数列{}n a 满足112

a =,其前n 项和2

n n S n a =,求其通项公式n a .

18.设数列的前项和为,点

均在函数的图象上.

(1)求数列

的通项公式;

(2)设,求数列的前n 项和.

1.(2015江苏)数列满足且

,则数列1n a ??

????

的前10项和为 .

2.(2017新课标全国Ⅲ文科节选)设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=,求{}n a 的通项公式.

3.(2018新课标全国Ⅰ文科)已知数列{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设n

n a b n

=. (1)求123b b b ,,;

(2)判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由; (3)求{}n a 的通项公式.

1.【答案】A

【解析】①②③逐一写出为0,1,0,1,0,1,0,1,…,④逐一写出为,不

满足,故选A . 2.【解析】(1)令,则

.

,则

故.

,①

变式拓展

时,,②

①②得:.

又时,满足上式,

.

3.【解析】(1)将代入,得,由,,得.

(2)由,得,

即.

当时,

1

1 11

1

3311

1223

1

3

n

n

-

-??

??

-

??

?

??

??

??

==-

?

-

因为,所以.因为也适合上式,

所以.

4.【答案】B

【解析】由题意得,,,,,所以数列

是周期为4的周期数列,所以

.选B .

5.【解析】(1)由已知11n n a a S S =+,可得

当1n =时,2

111a a a =+,可解得10a =或12a =, 当2n ≥时,由已知可得1111n n a a S S --=+, 两式相减得()11n n n a a a a --=.

若10a =,则0n a =,此时数列{}n a 的通项公式为0n a =. 若12a =,则()12n n n a a a --=,化简得12n n a a -=, 即此时数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列, 故2n

n a =.

综上所述,数列{}n a 的通项公式为0n a =或2n

n a =

.

1.【答案】C 【解析】数列1,2,

,…可化为

,

,…,则

,解得

考点冲关

3.【答案】C 【解析】因为

,所以

,所以,所以

,

即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列,又,所以

4.【答案】B 【解析】当

时,

,当n=1时,

满足上式,所以数列的通项公式为.故选B .

5.【答案】D

【解析】由题意知11n n a a n -=+-,根据累加法得1211()(3)345n n n a a a a a a -++=++-=+-+

1n +

++=232

2

n n ++,故选D.

6.【答案】A

【解析】因为==所以

所以

=

==

.

7.【答案】C 【解析】258n n a n =

+=1158258n n

≤+,但,则258取不到,又727758a =+=7107,828858a =+=461,a 7<a 8,∴数列{a n }的最大项为a 84

61

=.故选C .

8.【答案】B 【解析】因为{

}是递增数列,所以函数

单调递增.当时,

=

单调递增,可得,解得

;当时,

=

单调递增,可得

,所以

.而{

}

是递增数列,所以=

,解得

,所以23a <<,即实数a 的取值范

围是

.故选B.

9.【答案】

()12

n n + 【解析】设数列为

,由图知,

以由此猜想:()11232n n n a n +=++++=

,故填()12

n n +.

10.【答案】

1

2

【解析】由已知得111n n a a +=-

,82a =,所以781112a a =-

=,67111a a =-=-,56

1

12a a =-=,451112a a =-

=,34111a a =-=-,23112a a =-=,1211

12

a a =-=. 11.【答案】1

5,1312,2

33n n n -?

=??

????-≥ ????

? 【解析】n=1时,

时,

1

1233n -??

- ???

,

所以

1

5,1312,233n n n -?

=??

????-≥ ????

?. 12.【答案】(-3,+∞)

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