2016AIMO复赛小五试题(上海)
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1
1 1 1 2 3 4
1 1 1 2(2M 1) M 22( M 1) 2
19) 在粗线围成的区域内填入 1 至 n 的数字,n 为该区域内格子的数量,一行和一列中相同 数字之间的格子数要等于或大于该数字。如:区域里有四个格子则填入 1、2、3、4 四个 数字;一行里有两个 3,则他们之间的格子数要等于或大于 3。那么 AB 两处的数字构成 的两位数是 。
4 a列 a+1列
【解析】考虑 2 行 a 列,设 2 行 a 列有 b 种不同的染色方法,再在其右边加上 1 列 对于 b 种染法的每一种,考虑其右边一列有多少种不同的染法 显然,1、2 号格子颜色不同,3 号格子与 1 号颜色不同,若 3 号与 2 号同色,则 4 号有 2 种染 法,若 3 号与 2 号异色,则 4 号有 1 种染法,于是,第 a 1 列有 1 2 1 1 3 种染法,于是 2 行 a 1 列共有 3b 种不同染法 2 行 1 列有 3 2 6 种染法 于是,2 行 5 列有 6 3 3 3 3 486 种染法。
log a b n ) 。
4 例如 3 81 ,则 4 叫做以 3 为底 81 的对数,记为 log3 81 (即 log3 81 4 ) 。
问题: (1) 、计算以下各对数的值: (3 分)
log 2 4 ________, log 2 8 ________, log 2 32 ________
丙部:第 15 至 20 题 (每题 8 分) 15) 一条直线上有两个钉子,相距 20 厘米,一根弹性均匀的白色绳子两头系在两个钉子上, 甲要将这根绳子涂成红色,他每次最多可以将 2 厘米涂成红色,但乙在旁边捣乱,甲每 涂 1 次,乙都将一个钉子沿直线向外移动 1 厘米,即绳子均匀的拉长 1 厘米,问甲要将 绳子全部涂成红色至少要涂______次
亚洲国际数学奥林匹克联合会
姓名:_____________
甲部:第 1 至 6 题 (每题 4 分) 1) 求123456 434535 365614 216123 551242 642361 的值。
2016 亚洲国际数学奥林匹克公开赛 上海市赛区复赛试题
小学五年级
限时:
2)
求 2015 2015
【解析】如果有 5 个砝码,我们可以让 5 个砝码重量为(1、1、1、1、4)或者(1、1、1、1、2)这样中 位数有 2 种 如果有 6 个砝码,我们可以构造(1、1、1、1、2、2)这样中位数有 3 种 如果有 7 个砝码,我们可以构造(1、1、1、1、2、2、4)这样中位数有 4 种 如果有 8 个砝码,我们可以构造(1、1、1、1、2、2、4、4)这样中位数有 5 种 我们大胆猜测答案为 64 3 61 ,构造为 (1,1,1,1, 2, 2, 4, 4,8,8, , 230 , 230 )
12! 除以 1001 的余数为 880
~ 全卷完 ~
题目 D: 求证:对于任意一个正整数 M ,总存在正整数 N,使得
【解析】显然 1
1 1 1 1 2 3 4 1 M N
1 1 1 1 1 ,1 2 2 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 16 2 4 4 8 8 8 8 16 我们可知,对于任意正整数 M ,总有:
示例:
题目 B: 用 R、G、B 三种颜色对下图 2 5 的表格进行染色,要求有公共边的两个格子必须染成不同的 颜色。问:一共有多少种不同的染色方法?
1 2
3
20) 在盘面中填入 1~5,使得每一行、每一列均不重复。每个粗线框左上角的数字和运算符 号“+” 、 “-” 、 “×” 、 “÷”表示该区域内的数字之和差积商等于该数字。AB 组成的两位 数是。 (示例为 1~4)
8
请问:这只青蛙按照规定的两种方式跳跃,能到达下列方格中的________(填出你认为 可以到达的所有方格的字母) A、 (3, 5) ; B、 (7,7) ; C、 (6,3) ; D、 (8,4) .
17) 阅读下列材料,并解决后面的问题. 材料:一般地, n 个相同的因数 a 相乘: 第 11 题 12) 有大、中、小三个正方体水箱,它们的内边分别长 6 米、3 米和 2 米。如果分别将两堆 碎石放在中、小水箱,那么它们的水位分别上升 12 厘米和 18 厘米。如果将两堆碎石都 放在大水箱,那么水位将上升多少厘米?
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题目 A: 一组砝码的质量总和是 2S, 如果能够在那组砝码中选出 k 个砝码,使得这些砝码的质量之 和刚好等于 S, 则称这个正整数 k 为中位数。对于由 64 个砝码所构成的砝码组,最多可以 有 个不同的中位数。
11) 参考附图,将图中三角形沿虚线折叠,所得图形的面积是原图的 和是 56 平方厘米,问原三角形的面积是多少平方厘米?
11 ,阴影部份面积之 15
“ (列,行) ”的形式表示方格网中的每一格, 6 例如方格 A 可以用(2,5)表示,B 可以用(6,3) 5 A 4 表示,一只青蛙在方格网上从(1,1)格开始, 3 B 可以按照如下两种方式跳跃: 2 (1)能从任意一点(a,b),跳到点(2a,b)或(a,2b); 1 (2)对于点(a,b),如果 a b ,则能从 (a, b) 跳到 1 2 3 4 5 6 7 a b (a-b,b);如果 ,则能从(a,b)跳到(a,b-a). 第 16 题 例如,按照上述跳跃方式,这只青蛙能够到达点(3,1) ,跳跃的一种路径为: (1,1)→(2,1)→(4,1)→(3,1) .
13) 现在有 8 对兄弟,从中选出 8 人,8 人中恰好有 3 对兄弟的组合有多少个?
(2) 、观察(1)中三数 4、8、32 之间满足怎样的关系式?(2 分) ________________________ 之间又满足怎样的关系式? (2 分) ________________________ (3) 、由(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗? (4 分)
2015 的值。 2016
准考证号:_________
90 分钟
3)
743 A0 可被 12 整除,求 A 的值。
学校:__________
线
考生须知: 1. 本卷包括试题和答题卡。 2. 本卷满分 120 分,共 20 题,包括 1-6 每题 4 分、7-14 每题 6 分、15-20 每题 8 分。 3. 比赛期间,不得使用计算工具。 4. 请将答案写在答题卡上。 5. 比赛完毕时,试题和答题卡会被收回。 6. 本卷中所有图形不一定依比例绘成。 7. 若计算结果是分数请化至最简,并确保为真分数或带分数,或将计算结果写成小数。 8. 答案可以根式表示,但该根式必须是最简形式。
9)
老师把练习本分给学生。如果其中两人分 6 本,其余每人分 4 本,则多出了 7 本;如果 有 1 人分 10 本,其余每人分 6 本,则还差 15 本。那么一共有多少本练习本?
16) 如右图,有一个 8 行 8 列的方格网,以
8 7
10) 火车 A 和火车 B 在平行铁道上同向而行,它们的长度分别是 150 米和 100 米;火车 A 和 火车 B 的速度分别是 17 米每秒和 12 米每秒。已知火车 B 比火车 A 早 10 分钟出发,那 么火车 A,从两车开始接触起计算,需要多少秒才可以完全超越火车 B?
aa
n个a
a
记为 a ,例如 2 2 2 2 。
3
n
23 8 ,此时,3 叫做以 2 为底 8 的对数,记为 log 2 8 (即 log 2 8 3 ) 。
n 一般地, 若 a b( a 0 且 a 1 ,b 0 ) , 则 n 叫做以 a 为底 b 的对数, 记为 log a b (即
1 1 3 16 16
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联系方式:__________
封
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密
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7
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10 第6题 乙部:第 7 至 14 题 (每题 6 分)
亚洲国际数学奥林匹克公开赛
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7)
小奥和小林步行的速度分别是每分钟行 200 米和每分钟行 250 米, 他们从两地同时出发, 相向而行,第一次相遇后他们继续前行,各自到两地后立即沿原路返回,从开始出发到 第二次相遇经过 30 分钟,问两地的距离?
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20 8) 小匹从甲地行到乙地、小克从乙地行到甲地。两人同时出发相向而行。经过两小时后相 遇, 相遇后两人继续前进, 半小时后小匹距离乙地还有 8000 米, 小克距离甲地还有 7000 米,问小匹的速率是每小时多少米?
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4)
Hale Waihona Puke Baidu
一列火车长 200 米,完全通过一座长 3400 米的大桥需要 4 分钟,那么这列火车的速度 是每小时多少公里?
5)
如果梯形的下底减少 12 厘米的话,它的面积就减少 120 平方厘米;如果梯形的高增加 7 厘米的话,它的面积就增加 238 平方厘米。求该梯形的面积。
答
题
卡
总 分:
6)
参考附图,附图是从大正方体的一角挖去一个小正方体。大正方体的边长是 20 厘米, 被挖去的小正方体边长都是 6 厘米。问附图所示的立体的表面积是多少平方厘米?
log a M log a N ____________( a 0 且 a 1 , M 0 , N 0 ) log 2 4 、 log 2 8 、 log2 32
14) 奥数书的每页都印有一个页码,例如第一张纸有两页,共有两个页码。原本所有页码之 和是 6903,后来编者增加内容及再加入 7 张纸,而最后每一页都有一个页码数。问现在 所有页码之总和是多少?
示例:
题目 C: 算式 1!+2!+3!+4!+5!+6!+…+2012!的计算结果除以 1001 的余数是多少?
【解析】 1001 7 11 13 所以从 13! 开始,算式中的每一项都是 1001 的倍数,即除以 1001 的余数为 0 所以,我们只要计算 1! 2! 3! 12! 除以 1001 的余数即可 1! 、 2! 、 3! 、……、12! 除以 1001 的余数分别为 1、2、6、24、120、720、35、280、518、175、 924、77 于是 1! 2! 3!
18) 华罗庚先生曾经指出:善于“退” ,足够地“退” ,退到最原始而不失去重要性的地方, 是学好数学的一个诀窍。 退到简单情形,把简单情形作为考察的起点,在解决简单情形下的问题的过程中常可寻 得解决复杂情形、一般情形的解题方法。 这就是华罗庚先生所说的一种重要的思想方法——退中求进。 下面四道题目的解题方法中,题目________采用了退中求进的思想方法(填写 A、B、C、 D 中你认为所有正确的答案)