推理与证明(综合法、分析法与反证法)

3 6 4 5.
2. 已知二次函数 f ( x) ax2 bx c 的导数为 f '( x) , f '(0) 0 , 对于 任意实数 x,都有 f ( x) 0 ,则
f (1) 的最小值为( f '(0)
C 2
)
A 3
B
5 2
D
3 2
日照实验高中 2007 级导学案——推理与证明
1 y 1 y 1 x 1 x 2 都不成立 , 则有 2 同时成 2和 2和 x x y y
因此,
1 y 1 x 2 中至少有一个成立. 2或 x y
课堂巩固 1、结论“至多有两个解”的否定形式是___________。 A、没有解 B、没有解或至少有三个解 C、至少有三个解 D、至少有两个解 2 2、用反证法证明“设a、b、c∈Z，且ax +bx+c=0有有理根， 求证： a、b、c中至少有一个是偶数”， 其反设应是_______。 3、用反证法证明：“在△ABC 中，若∠C 是直角，则∠B 一定是 锐角”。有一个同学的证明如下，你认为是否正确。 证明：假设∠B 是直角，因为∠C 是直角，所以∠B+∠C=180º 所以∠A+∠B+∠C>180º，这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠B 一定是锐角。 4、已知a、b∈R，若a+b>1，求证：a、b之中至少有一个不小于1/2 归纳反思:
④ y
x2 3 x2 2
x
的最小值是 2.
2. 函数 f ( x) ln(e 1) A. B. C. D.
x () 2
是偶函数,但不是奇函数 是奇函数,但不是偶函数 既是奇函数,又是偶函数 既不是奇函数,又不是偶函数
3. 若 x, y R ,且 2 x2 y 2 6 ,则 x2 y 2 2 x 的最大值是( ) A 14 B 15 C16 D17


1 y 1 x 2 中至少有一个成立. 2或 x y
证明 (用反证法证明) 假设 立. 因为 x 0 且 y 0 ,所以 1 x 2 y 且 1 y 2 x . 两式相加得 2 x y 2 x 2 y , 所以 x y 2 , 这与已知条件 x y 2 矛盾,
f ( x y ) f ( x) f ( y ) 成 立 . f ( x) 0 .
求证: 对定义域内任意 x 都有
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数。证明：设 x、y、z 都是奇数，则 x2、y2、z2 都是奇数 ∴x2+y2 为偶数 ∴ x2+y2≠z2 这与已知矛盾
∴ x、y、z 不可能都是奇数。例 2. 若三个方程 x2+4mx-4m+3=0； x2+(m-1)x+m2=0；x2+2mx-2m=0 至少有一个方程有实数根，求实数 m 的取值范围。 解：当三个方程都没有实根时， 有 △1=(4m)2-4(3-4m)<0 △2=(m-1)2-4m2<0 △3=4m2+8m<0
4. 定义在 (, ) 上的函数 y f ( x) 在 (, 2) 上是增函数,且函数
y f ( x 2) 为 偶 函 数 , 则 f(-1), f(4), f( 5
__________________________________.
1 )的大小关系是 2
归纳反思：
教师备课 学习笔记 合作探究： 1.求证:
推理与证明
综合法与分析法 学习目标： 1． 理解综合法和分析法的概念及区别 2． 熟练的运用综合法分析法证题 学习重难点: 综合法和分析法的概念及区别 自主学习： 一：知识回顾 1． 合情推理：前提为真，结论可能为真的推理。它包括归纳推理与 类比推理。 2． 演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为 真的推理叫演绎推理 二：课题探究 1. 直接证明: 从命题的条件或结论出发,根据已知的定义,公理,定理 直接推证结论的真实性. 2. 综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列 的中间推理,最后导出所求证的命题.综合法是一种由因所 果的证明方法. 3. 分析法: 一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条 件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已 知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法 是一种执果索因的证明方法. 4.综合法的证明步骤用符号表示: 教师备课 学习笔记
例 3. 设 a、b 是两个正实数，且 a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2． 证明：(用分析法思路书写) 要证 a3+b3＞a2b+ab2 成立， 只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立， 即证 a2-ab+b2＞ab 成立。(∵a+b＞0) 只需证 a2-2ab+b2＞0 成立， 也就是要证(a-b)2＞0 成立。 而由已知条件可知，a≠b，有 a-b≠0， 所以(a-b)2＞0 显然成立，由此命题得证. 例 4 已知 a,b 是正整数,求证:
即： ∴ -3/2<m<-1
4m2+4m-3<0 3m2+2m-1>0 m2+2m<0
得：
-3/2<m<1/2 m<-1或m>1/3 -2<m<0
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∴ 上述三个方程至少有一个方程有实根的 m 的范围应为：
m≥-1 或 m≤-3/2.例 3 若 x, y 正实数 ,且 x y 2 , 求证:
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a b a b. b a
巩固练习 1. 下列正确命题的序号是________. ① 若 a, b R ,则
b a 2; a b
② 若 a, b R ,则 lg a lg b 2 lg a lg b ; ③ 若 x R ,则 | x
4 4 4 ; || x | 2 | x| x | x|知 a>0,b>0,求证 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明: 因为 b2+c2 ≥2bc,a>0 又因为 c2+b2 ≥2bc,b>0
所以 a(b2+c2)≥2abc.
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所以 b(c2+a2)≥ 2abc.因此 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 例 2: 已知:a,b,c 三数成等比数列,且 x,y 分别为 a,b 和 b,c 的等差中项. 求证:
a b 2. x y
证明: 依题意, :a,b,c 三数成等比数列, 又由题设: x

a b
b a b , , c ab bc
ab bc ,y , 2 2
而
a b 2a 2c 2b 2c 2(b c) 2. x y a b bc bc bc bc
P0 (已知) P 1
P n (结论)
5.分析法的证明“若 A 成立,则 B 成立”的思路与步骤; 要正(或为了证明)B 成立, 只需证明 A 1 成立( A 1 是 B 成立的充分条件). 要证 A 1 成立, 只需证明 A2 成立( A2 是 A 1 成立的充分条件). …, 要证 Ak 成立, 只需证明 A 成立(A 是 Ak 成立的充分条件).. A 成立, 三: 例题解析
合作探究:
1. 已知函数 f ( x) a
x
x2 (a>1). x 1
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(1) 证明:函数 f ( x ) 在 (1, ) 上为增函数. (2) 用反证法证明方程 f ( x) 0 没有负数根.
2. 设 函 数 f ( x ) 对 定 义 域 内 任 意 实 数 都 有 f ( x) 0 , 且
a b a b. b a
证明: 要证
a b a b 成立， b a
只需证 a a b b ab ( a b ) 成立， 即证 (a b ab )( a b ) ab ( a b ) .
即证 a b ab ab 也就是要证 a b 2 ab ,即 ( a b ) 0 . 该式显然成立,所以
2.2.2 反证法 学习目标： 理解反证法的概念,掌握反证法证题的步骤 学习重点难点： 反证法的概念及应用 反证法合理性的理解以及用反证法证明具体问题 自主学习： 一：知识再现 1.直接证明的定义: 从命题的条件或结论出发,根据已知的定义,公理,定 理直接推证结论的真实性. 2.命题的四种形式 :原命题,逆命题,否命题,逆否命题.原命题与逆否命题同 真假 二：新课探究 1. 间接证明定义:间接证明不是从正面论证命题的真实性,而是考虑证明 它的等价命题,或是证明命题的否定不成立,一间接地目的达到证题的 目的. 2. 反证法:一般地,假设原命题不成立 ,经过正确的推理,最后得出矛盾 , 因此说明假设错误,从而证明了原命题成立. 3. 反证法的步骤: ① 反设:假设所要证明的结论不成立,假设结论的反而成立. ② 找矛盾:由“反设”出发,通过正确地推理,导出矛盾---与已知条 件已知公理,定义,定理,反设及明显的事实矛盾或自相矛盾. ③ 结论:结论的反面不正确,肯定结论成立 4. 反证法适宜什么样的证明题 ① 直接证明较困难，可考虑使用反证法 ②命题的结论部分含有“不可能、唯一、至少、至多”等特殊词语，可 考虑使用反证法。 三.例题解析 例 1.已知 x、y、z 是整数，且 x2+y2=z2 求证：x、y、z 不可能都是奇 教师备课 学习笔记