高等代数第一学期总复习
大一高等代数期末考知识点
大一高等代数期末考知识点高等代数作为大一学生必修的一门数学课程，是代数学的重要分支，是培养学生抽象思维和逻辑思维的基础。
本文将系统地总结大一高等代数知识点，以帮助同学们复习期末考试。
一、集合与二元关系1. 集合及其运算：包括集合的定义、集合之间的相等关系、子集与真子集、交集、并集、补集和差集等。
2. 二元关系：掌握关系的定义、域、逆关系、复合关系、等价关系和序关系的概念。
二、数系与复数1. 自然数、整数、有理数、实数和复数的定义及其性质。
2. 复数的运算：复数的加减乘除、乘方和开方。
三、代数式与多项式1. 代数式的概念：包括代数式、项、系数和次数等。
2. 多项式的运算：多项式的加减乘除以及整式化简。
3. 多项式的因式分解：二次、三次多项式的因式分解方法。
四、方程与不等式1. 一元一次方程和不等式：一元一次方程和不等式的解集、方程组与不等式组的解集。
2. 一元二次方程与不等式：二次方程和不等式的解集、因式分解法和配方法解方程和不等式。
3. 绝对值方程与不等式：绝对值方程和不等式的解集。
五、函数与图像1. 函数的概念：函数的定义、定义域、值域、图像和性质。
2. 基本初等函数：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
3. 函数的运算：函数的加减乘除、复合函数以及函数的逆。
六、行列式与矩阵1. 行列式的概念与性质：行列式的定义、性质、性质的运算规律。
2. 矩阵的概念与性质：矩阵的定义、矩阵的加法和数乘、矩阵的乘法、矩阵的转置和矩阵的逆运算。
3. 线性方程组：线性方程组的定义、增广矩阵、齐次方程组与非齐次方程组。
七、向量与线性空间1. 向量的概念与运算：向量的定义、向量的加法、数乘和数量积。
2. 线性空间的概念与性质：线性空间的定义、线性空间的性质、线性相关与线性无关、线性空间的基与维数。
3. 子空间与线性变换：子空间的定义、子空间的性质、线性变换的定义、线性变换的性质。
八、特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的概念：矩阵的特征值与特征向量的定义。
高等代数知识点总结
f : A B, a f (a).
如果 f (a) b B ，则 b 称为 a 在 f 下的像， a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次
线性方程组。 这类方程组的一般形式是
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a12 x1 a22 x2 a2n xn 0, ...... am1x1 am2 x2 amn xn 0.
f (x) a0 (x 1 )(x 2 )......(x n ) 证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n a1 x n1 ...... an1 x an 0
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。 说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上， 在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果
所给的是数域 K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组，所求出的解 也都是数域 K 中的元素。因此，对 K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。
命题 n 次代数方程在复数域C内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
高等代数上册总复习一
一、填空题（每小题4分，共20分） 1）(211x dx -+=⎰(11111212dx dx --+==⎰⎰。
2）已知单位向量,,a b c 适合等式0a b c ++=，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=32-。
3）()()202x tf x t e dt -=-⎰的最大值是213e -。
4）过原点()0,0作曲线13x y e =的切线，则切线方程为13y x =。
5）曲线()()121tan 12x x x y e arc x x ++=-+的水平渐近线4y π=。
二、选择题（每小题4分，共20分）1）()()23sin 11111ax ax x x f x x e e x ⎧-<⎪=-⎨⎪-+≥⎩在(),-∞+∞上连续，则a =（ A ）A 、ln 2B 、0C 、2D 、任意实数2）已知ln y =dy =（ D ）AB、-C、 D、3）设()0f x '存在，则()()0002limh f x h f x h h→+--=（ C ）A 、一定不存在B 、不一定存在C 、()03f x 'D 、()03f x h '- 4）若()f x 的导函数是cos xe x -+，则()f x 的一个原函数是（ B ）A 、sin xe x --+ B 、cos x e x -- C 、cos xex --- D 、sin x e x -+5）若()f x 连续，()212xf t dt x =⎰，则40fdx =⎰（ B ）A 、2B 、4C 、8D 、16三、计算题（每题6分，共36分） 1）讨论极限0sin limx xx→。
解： 因为0000sin sin sin sin lim lim 1,lim lim 1x x x x x x x xx x x x++--→→→→===-=- 所以0sin limx xx→不存在。
2）设ttx ey te-⎧=⎪⎨=⎪⎩求22,dy d y dx dx。
高代第1-2章总复习
数学科学学院2010 /2011学年（下）学期《高等代数(1)》总复习资料第一章基本概念一、本章小结这一章五节所讨论的四个方面的内容:既有复习、归纳、整理的意思,又有在原有的基础上提高的意思,并为今后的学习作了必要的准备.第一个问题,即第一节所讲的集合及运算是数学中的基本内容之一,这不仅是以后学习做了必要的准备,而且也为从整体上去考虑问题树立了一个初步的理念.第二个问题,即第二节所讲的映射,是高等代数中的另一个基本概念之一,尤其是其中的逆映射概念及其性质,是我们后序章节中利用和重点讨论的对象.第三个问题即第三节所讲的自然数集的最小数原理为根据所导出的数学归纳法,是数学中常用的证明问题的方法.第四个问题,即第四节所讲的从整数集合除法不能施行而导出了整数的带余除法和因数分解理论,这不仅复习了数的基础知识,而且也是第二章讨论多项式的整除性和因式分解理论提供了一个模式,甚至于把整数的整除性和因数分解理论平行迁移到多项式中去,很容易地就得出多项式的整除理论和因式分解理论,这为学好多项式理论奠定了基础.第五个问题,即第五节所讲的数域和数环,让我们形成一个理念,运算是代数学的基本课题.能够进行某种运算是一个数集的重要特性,特别是能够进行四则混合运算的数集对我们来说尤其重要,我们把它称为数域.以后各章节所用的数都是数域中的数.最后我们澄清了复数中的比较大小问题.二、本章的基本概念集合、子集、交集、并集、差集、笛卡儿积集；代数运算；整数与因数，最大公因数、最小公倍数；互质(互素)，质数；数环与数域.三、本章的主要结果1．自然数的最小数原理;2．第一、二数学归纳法原理;3．整数整除的性质;4.带余除法定理;5．最大公因数的性质:(1)若(,),,,;d a b then u v Z ua vb d =∃∈+=(2)若(,),|,|,|.d a b c a c b thenc d =且(最大公因数的定义). 6．互质(互素)的基本性质:(1)(,)1,,1a b u v Z ua vb =⇔∃∈+=;(2) |,(,)1|a bc a b a c =⇒;(3) 121212|,|,(,)1|a b a b a a a a b =⇒;7.质数的基本性质:(1) 若p 是一质数,那么它与任一整数a 只有两种关系:|,(,)1p a or a p =;(2) 若p 是一质数,|,p ab 那么|p a 或者|p b ,其中,a b 为任意整数;(3) 若p 是一质数,12|...,s p a a a |i p a 某一.8.因数唯一分解定理;9.标准分解式的意义(1)设整数a 的标准因数分解式为:1212...,r m m m r a p p p =那么整数b 是a 的正因数的充分必要条件是:1212...r l l l r b p p p =,其中0,1,2,...,i i l m i r ≤≤=;(2)设整数,a b 的标准因数分解式分别为:12121212......,t t t r m m m m m m t t t r a p p p q q q ++++=12121212......t t st n n n n n n t t t s b p p p q q q ++++= 其中(1,2,...,),(1,2,...,),(1,2,...,)i i i p i t q i t t r q i t t s ==++=++都是两两不同的质数.令min{,}(1,2,...,)i i i l m n i t ==,则整数(,)a b 就是1212(,)...t l l l t d a b p p p ==.若令max{,}(1,2,...,)i i i k m n i t ==,则整数[,]a b 就是121212121212[,].........t t st t t r n n n k m m k k m t t t r t t s a b p p p q q q q q q ++++++++=. 而且我们有(,)[,]a b a b ab =.注1 在不考虑相伴数的前提下,两个整数的最大公因数和最小公倍数是唯一的.注2 这里给出的最大公因数和标准因数分解式的意义,在第二章讨论一元多项式理论时可以平行地加以迁移.10.数域的基本性质:任何数域都包含有理数域,或者说有理数域是最小的数域;11.质数有无穷多个.12.设整数,a b 不全为0,且11,,0.a a d b b d d ==>则11(,)1(,)a b a b d =⇔=;13.空集是任意集合的子集!14.以有限集合的子集为元素所构成的集合:集合的幂集,注意其元素的个数的记数方法:四、本章的主要方法1.数学归纳法;2.辗转相除法.五、本章的主要运算及题型1.利用数学归纳法证明与自然数有关的命题;2.利用集合等相关的定义,证明集合运算的基本性质;3.两个集合相等的证明方法;4.单射、满射及可逆映射的证明方法;5.最大公因数的判定、计算及证明方法;6.互素的证明.五、典型例题及补充习题例1 试用数学归纳法证明:)14(31)12(...53122222-=-++++n n n . 例2已知},|2{1Q b a b a F ∈+=与},|3{2Q b a b a F ∈+=都是数域,其中Q 是有理数域,试证明21F F ≠.例3已知,f g 都是R R →的映射,其中2:|sin ,:|cos 1,f x x g x x x R →→+∀∈试分别写出(),(),()f g x g f x f R注3 复习课后习题及作业.第二章 多项式理论一、本章小结这一章用八节讨论一元多项式的理论,前六节是在一般数域上讨论一元多项式的整除性、带余除法、因式分解的理论和根等问题.第七、八节是在具体数域上讨论一元多项式的因式分解和根的求解问题. 从本章的内容来看,整除是基础,中心问题是多项式的因式分解,而因式分解与根是紧密联系的.因此学习这一章要紧紧抓住整除、分解、根这三个问题及其联系.第四节的因式分解定理充分体现了这一点.最后两节介绍了多元多项式的基本概念和运算,重点讨论了对称多项式的基本理论以及它的应用.多元多项式是一元多项式的发展,而一元多项式又是多元多项式的特殊情形.因而一元多项式理论是多元多项式的基础.值得注意的是:对称多项式理论在中学数学的教学中具有非常广泛的应用.二、本章的基本概念一元多项式、多项式的整除、带余除法、商式、余式、最大公因式；多项式的互质、不可约多项式、重因式、多项式的导数、多项式的典型分解式、多项式函数与多项式的根、本原多项式;多元多项式、多元多项式的字典排列法、对称多项式、齐次多项式、初等对称多项式.三、本章的主要结果1．整除的基本性质、多项式的带余除法定理:()()()(),()()()0f x g x q x r x r x g x or r x =+∂<∂=;2．最大公因式的性质：(1)若()((),()),(),()[],()()()()();d x f x g x then u x v x F x u x f x v x g x d x =∃∈+= 注意 (),()[]u x v x F x ∈不是唯一的!(2)若()((),()),()|(),()|(),()|().d x f x g x c x f x c x g x then c x d x =且(最大公因式的定义);3．两个多项式互素的充分必要条件,即:((),())1(),()[],()()()()1f x g x u x v x F x u x f x v x g x =⇔∃∈+=.4．互素多项式的两个基本性质:(1)若()|()(),((),())1,()|()f x g x h x f x g x then f x h x =;(2)若121212()|(),()|(),((),())1,()()|()f x g x f x g x f x f x then f x f x g x =.5.不可约多项式的基本性质:(1)若()p x 是不可约的,那么它与任一多项式()f x 只有两种关系:()|(),((),())1p x f x or p x f x =.(2)若()p x 是不可约的,且()|()(),()|(),()|()p x f x g x then p x f x or p x g x .(3)若()p x 是不可约的,且12()|()()(),()|()s i p x f x f x f x then p x f x 某一.6.重因式定理: 若()p x 是()f x 的k 重不可约因式,则()p x 是'()f x 的1k -重;因式.由此可得: ()f x 没有重因式((),'())1f x f x ⇔=.7.余式定理;8.因式唯一分解定理;9.数域F 上的n 次多项式在F 中最多有n 个根;10.代数基本定理:n 次多项式在复数域C 中恰好有n 个根(重根按重数计算);11.在复数域C 中,任一n 次多项式可以唯一分解为一次不可约多项式的乘积;12.韦达公式;13.虚根成对定理;14.在实数域R 中,任一n 次多项式都可以唯一分解为一次与二次不可约多项式的乘积;15.整系数多项式在有理数域Q 上可约的充分必要条件是它在整数环上可约;16.艾森斯坦因判断法;注意:这种方法只是给出了一种判断有理系数多项式不可约的充分条件!17.若有理数,(,)1r r s s=是整系数多项式 120120()...,(0)n n n n n f x a x a x a x a a a --=++++≠的根,则0|,|.n r a s a18.典型分解式的两个重要应用:(1)设多项式()f x 的标准因式分解为:1212()()()...(),0r m m m r f x ap x p x p x a =≠为多项式()f x 的首项系数,其中0,(),1,2,...,i i m p x i r ≥=均为给定数域上的互不相同的且首项系数为1的不可约多项式;同时设另一个多项式()g x 的标准因式分解为:1212()()()...(),0r n n n r g x bp x p x p x b =≠为其首项系数;那么多项式()g x 是()f x 的因式的充分必要条件是,1,2,...,i i m n i r ≥=;(2)设多项式(),()f x g x 的标准因式分解为:12121212()()()...(),()()()...()r r m m m n n n r r f x ap x p x p x g x bp x p x p x ==令min{,}(1,2,...,)i i i l m n i r ==,则((),())f x g x 就是1212()((),())()()...()r l l l r d x f x g x p x p x p x ==.若令max{,}(1,2,...,)i i i k m n i t ==,则[](),()f x g x 就是[]1212(),()()()...()rk k k r f x g x p x p x p x = 且当1a b ==时,我们有((),())[(),()]()()f x g x f x g x f x g x =.注1 在不考虑相伴多项式的前提下,两个多项式的最大公因式和最小公倍式是唯一的.注2 这里给出的最大公因式和标准因式分解的意义,是第一章讨论的整数的最大公因数与因数分解相关结论的平行地迁移.19.首项定理;20.和与积的次数定理;21.对称多项式基本定理;四、本章的主要方法1.多项式的带余除法;2.辗转相除法;3.分离重因式法;4.综合除法;5.关于整系数多项式在有理数域上不可约的艾森斯坦因判断法;6.求整系数多项式的有理根的方法;7.将任一对称多项式表示成初等对称多项式的多项式两种方法：(1)首项除首项的方法;(2)适用于齐次对称多项式的待定系数法.*8.分母有理化方法.五、本章的主要运算及题型1.多项式的带余除法计算:()()()()f x g x q x r x =+;注意:在这一章,多项式的带余除法计算是最基本的运算,是各类其他运算的基础.2. 利用辗转相除法求两个多项式的最大公因式()((),())d x f x g x =以及[]F x 中的(),()u x v x ,使得()()()()()d x u x f x v x g x =+.3.两个多项式互质的证明;4.最大公因式的判定、计算及证明方法;5.重因式的判定及计算;6.有理根的判定及计算;7.将任一对称多项式表示成初等对称多项式的多项式;五、典型例题及补充习题例1设F 为有理数域,且设,951624)(234++--=x x x x x f 452)(23+--=x x x x g .求出F 上的多项式)(),(x v x u ,使得())(),()()()()(x g x f x g x v x f x u =+.解 对)()(x g x f 与施行辗转相除法,得到以下一串等式:),936(2)()(2+--+⋅=x x x x g x f211()(639)(1),33g x x x x x ⎛⎫=--+-+-- ⎪⎝⎭ )1)(96(9362+-+=+--x x x x ,由此得出()1)(),(-=x x g x f .进而可得2211111(639)()[()()2]()3333111()(223)()333x x x x g x f x g x x x g x x f x x x g x ⎛⎫⎛⎫-=--+-+-=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭由此可以推得)322(31)(,3131)(2--=+-=x x x v x x u . 注 3 利用多项式带余除法求两个多项式的最大公因式可以任意改变被除式与除式的系数,但求满足等式())(),()()()()(x g x f x g x v x f x u =+的(),()u x v x 时,则不能任意改变其中的系数.例2试求以()()x a x b --除多项式()f x 所得的余式,其中.a b ≠解 令()f x 为一n 次多项式，被()()x a x b --除所得的余式或者为一次多项式或者为常数.令(),()()()()()r x Ax B then f x x a x b q x r x =+=--+.因而(),().f a Aa B f b Ab B =+⎧⎨=+⎩ 解得:11[()()],[()()].A f a f b B af b bf a a b a b=-=---所以 11()[()()][()()].r x f a f b x af b bf a a b a b=-+--- 例3求多项式5432()57248f x x x x x x =-+-+-在有理数域、实数域和复数域上的典型分解式.解 多项式可能的有理根为：1,2,4,8±±±±；由综合除法可知,2是多项式的3重根.在有理数域上：543232()57248(2)(1)f x x x x x x x x x =-+-+-=-++ 在实数域上：32()(2)(1)f x x x x =-++在复数域上：311()(2)22f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭例4 证明:如果(),()f x g x 不全为零,且()()()()((),())u x f x v x g x f x g x += 那么((),())1u x v x =.证明 设()((),())d x f x g x =,且11()()(),,()()()f x d x f x g x d x g x ==.由题意可知(),()f x g x 不全为零,所以多项式()0d x ≠.因而由()()()()u x f x v x g x f x gx +=得11()()()()1u x f x v x g x +=,所以((),())1u x v x =. 证毕 例5设(),()f x g x 为数域F 上多项式,证明()(),()1f x g x = 的充分必要条件是()()(),()()1f x g x f x g x +=.证明 必要性 ((),())1f x g x =,则(),()u x v x ∃,使得()()()()1u x f x v x g x +=所以有(()())()()(()())1u x v x f x v x f x g x -++=,()(()())(()())()1u x f x g x v x u x g x ++-=即((),()())f x f x g x +=((),()())g x f x g x +=1,再从互素的性质可得 (()(),()())1f x g x f x g x +=.充分性 显然(略) 证毕例6证明:α是多项式()f x 的k 重根的充要条件是:(1)()'()''()...()0,k f f f f αααα-=====但()()0k f α≠.证明 必要性 设α是多项式()f x 的k 重根,则有()()(),k f x x q x α=-且()x α-不整除()q x ,从而α是多项式'()f x 的1k -重根,是多项式''()f x 的2k -重根,…,(1)()k f x -的单根,但α不是多项式()()k f x 的根.故有(1)()'()''()...()0,k f f f f αααα-=====但()()0k f α≠.充分性 若(1)()'()''()...()0,k f f f f αααα-=====但()()0k f α≠.则必有()()(),k f x x q x α=-且()x α-不整除()q x .事实上,由()'()0,f f αα==知()x α-是()f x 的重因式,设其重数是m ,于是有()()(),m f x x q x α=-且()x α-不整除()q x .若m k >,则有()()0k f α=,与已知矛盾; 若m k <,则有(1)()0k f α-≠,与已知矛盾; 故m k =,即α是多项式()f x 的k 重根. 证毕基础练习1、设F 上一个数域,()[],,,0.f x F x a b F a ∈∈≠证明()f x 在数域F 上不可约的充分必要条件是:多项式()()g x f ax b =+在F 上不可约.2、设1()()()f x d x f x =,1()()()g x d x g x =.证明：如果((),())()f x g x d x =,且()f x 和()g x 不全为零,则11((),())1f x g x =.3、求多项式5432221228226x x x x x +----的有理根.4、请把n 元对称多项式3123x x x ∑表示成初等对称多项式的多项式.。
高等代数知识点总结精编版
第一章 代数学的经典课题
§1 若干准备知识
1.1.1 代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，
则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义
定义（数域） 设 K 是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对 K 内任意两个数 a 、b（ a 可以等于 b ）， 必有 a b K，ab K，且当 b 0时，a / b K ，则称K为一个数域。 例 1.1 典型的数域举例： 复数域 C；实数域 R；有理数域 Q；Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a,b ∈Q}，其中 i = 1 。
第一学期第四次课
第二章 向量空间与矩阵
第一节 m 维向量空间
2.1.1 向量和m维向量空间的定义及性质
定义（向量）设 K 是一个数域。 K 中 m 个数 a1 , a2 ,......, am 所组成的一个 m 元有序数
证明 由已知，
a0 n a1 n1 ...... an1 an 0 . 两边取复共轭，又由于 a0 , a1 ,......, an R，所以
a0 n a1 n1 ...... an1 an 0 .
推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。
证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在 C 内有奇数个根，故其中必有一
在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像，记做 f ( A) ，即 f ( A) f (a) | a A。
若 a a' A, 都有 f (a) f (a'), 则称 f 为单射。若 b B, 都存在 a A ，使得 f (a) b ，则称 f 为满射。如果 f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。
高等代数大一上学期知识点
高等代数大一上学期知识点一、向量向量是高等代数中的一个重要概念。
它通过大小和方向来描述一个物理量。
在高等代数的学习中，我们需要了解以下几个关键点：1. 向量的表示：向量可以由有序数对或者坐标表示，例如 (x, y, z)。
它可以在平面或空间中进行运算。
2. 向量的加法和减法：向量的加法和减法是将两个向量的对应分量相加或相减得到一个新的向量。
记作 A + B 或者 A - B。
3. 向量的数量积：向量的数量积是将两个向量的对应分量相乘，并将相乘的结果相加得到一个标量。
记作 A · B。
4. 向量的向量积：向量的向量积是将两个向量进行叉乘运算得到一个新的向量。
记作 A × B。
二、矩阵和行列式矩阵和行列式是高等代数中的重要工具，用于解决线性代数的问题。
在大一上学期的高等代数课程中，我们需要掌握以下知识点：1. 矩阵的定义与表示：矩阵是一个由数构成的矩形阵列。
通常用大写字母表示矩阵，例如 A、B、C。
矩阵的元素可以是实数或复数。
2. 矩阵的运算：矩阵可以进行加法、减法和数乘运算。
加法和减法是对应元素相加或相减得到一个新的矩阵；数乘是将一个数与矩阵的每个元素相乘得到一个新的矩阵。
3. 矩阵的乘法：矩阵的乘法是将两个矩阵按照一定规则进行相乘得到一个新的矩阵。
需要注意矩阵乘法的运算顺序不可颠倒。
4. 行列式的计算：行列式是描述矩阵特征的一个数值。
行列式的计算涉及到按照一定规则进行元素的排列和求和。
三、线性方程组线性方程组是高等代数中一个重要的研究对象。
在大一上学期的高等代数课程中，我们需要了解以下几个关键点：1. 线性方程组的定义与表示：线性方程组由一组线性方程组成，其中每个方程的未知数是一个变量。
例如，x + 2y = 3和2x - y = 1就构成了一个线性方程组。
2. 线性方程组的解：线性方程组可能有唯一解、无解或者无穷多解。
我们需要学习如何判断线性方程组的解的情况，并找到解的求解方法。
高等代数复习资料
高等代数复习资料高等代数是大学数学中的一门重要课程，它是线性代数的延伸和拓展，涉及到向量空间、矩阵理论、线性变换等内容。
熟练掌握高等代数的基本概念和方法对于学习数学、物理、经济学等领域都具有重要意义。
本文档将为大家提供高等代数复习资料，帮助你巩固和复习相关知识。
第一部分：向量空间向量空间是高等代数中的重要概念，它是一种具有加法和数乘运算的集合。
理解向量空间的基本性质和运算规则是高等代数学习的基础。
在复习向量空间时，可以重点关注以下内容：1. 向量空间的定义和性质：了解向量空间的定义，包括加法和数乘的性质，以及满足的几个条件。
掌握零向量、加法逆元等概念。
2. 子空间：理解子空间的概念，包括子空间的闭性、加法和数乘的封闭性等。
重点掌握如何判断一个集合是否为子空间。
3. 线性相关性和线性无关性：了解线性相关和线性无关的概念，以及线性相关性和线性无关性的判别标准。
学习如何求解线性方程组。
第二部分：矩阵理论矩阵是高等代数中的重要工具，它用于表示线性变换和解决线性方程组。
学习矩阵理论可以帮助我们更好地理解向量空间和线性变换。
在复习矩阵理论时，可以关注以下内容：1. 矩阵的运算：了解矩阵的加法、数乘和乘法等运算规则。
掌握矩阵的转置、逆和行列式等概念。
2. 线性变换和矩阵表示：理解线性变换与矩阵之间的关系，学习如何通过矩阵表示线性变换。
3. 线性方程组与矩阵：掌握使用矩阵解决线性方程组的方法，包括高斯消元法和矩阵的逆等。
第三部分：线性变换线性变换是高等代数的核心内容，它描述了向量空间中的数学变换。
理解线性变换的基本概念和性质对于学习高等代数非常重要。
在复习线性变换时，可以关注以下内容：1. 线性变换的定义和性质：了解线性变换的定义，包括保持加法和数乘运算、保持零向量等性质。
2. 线性变换的矩阵表示：了解线性变换与矩阵之间的关系，学习如何通过矩阵表示线性变换。
3. 特征值和特征向量：掌握特征值和特征向量的概念，学习如何求解特征值和特征向量。
高等代数大一上知识点总结
高等代数大一上知识点总结高等代数是大学数学中的一门重要课程，它主要研究抽象代数结构及其相应的运算规则。
在大一上学期的高等代数课程中，我们学习了以下几个知识点：1. 集合论基础在高等代数中，集合论是一门重要的基础课程。
我们首先学习了集合的基本概念，如元素、子集、交集、并集等。
接着，我们学习了集合的运算规则，包括交运算、并运算以及补集运算等。
通过集合论的学习，我们对代数中的集合运算有了初步的了解。
2. 二元运算与群论在高等代数中，二元运算是一种将两个元素映射到另一个元素的运算。
我们学习了二元运算的基本性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等。
进一步地，我们引入了群的概念，研究了群的基本性质及其分类。
通过群论的学习，我们能够更深入地理解代数结构中的运算规则。
3. 环论与域论在高等代数中，环是一种包含两种二元运算的代数结构。
我们学习了环的定义和性质，如交换律、分配律等。
进一步地，我们引入了域的概念，研究了域的基本性质及其分类。
通过环论和域论的学习，我们对代数结构中的环和域有了更深入的理解。
4. 线性空间与线性变换线性空间是高等代数中的重要概念之一，它是一种满足线性运算规则的向量集合。
我们学习了线性空间的定义和性质，如线性组合、线性相关与线性无关等。
同时，我们还学习了线性变换的定义和性质，如线性变换的线性性质、核与像等。
通过线性空间和线性变换的学习，我们能够更好地理解向量空间及其相应的变换规则。
5. 特征值与特征向量在高等代数中，特征值与特征向量是线性变换中的重要概念。
我们学习了特征值与特征向量的定义和性质，以及它们在矩阵计算中的应用。
通过特征值与特征向量的学习，我们能够更好地理解线性变换在向量空间中的作用。
总结起来，高等代数大一上知识点主要包括集合论基础、二元运算与群论、环论与域论、线性空间与线性变换以及特征值与特征向量等内容。
通过对这些知识点的学习，我们能够建立起一套严密的数学理论体系，为后续更深入的数学学习打下坚实的基础。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
q2 f (1 q1q2 ) g.
多项式的根和系数的关系.
Vieta定理：
设f ( x) an xn an1xn1 a1x a0
an ( x 1)( x 2 )( x n )
则
1
2
n
an 1 an
1 2 13 n1 n
an2 an
1 n1 2 n
- x3 - x2 +x + 1 - x3 - 2x2 + 3
q1(X) = x-1
r2(x)= x -1 所以 ( f, g ) = r2(x) = x -1
r1(x)= x2 +x -2 =(x-1)(x+2)
f gq1 r1,
g r1q2 r2 .
r2 g r1q2 g ( f gq1)q2.
1 2 n (1) n
( 1) n 1 a0 . an
a1 an
第二章 行列式
二、三阶行列式
（对角线法则）
推广
逆序数 对换
n 阶行列式
（Cramer法则）
定义
性质
展开
解方程组
（利用代数余子式）
逆序数
则称这在两一个个数排组列成一个i逆1i2序．it 中is，若in数
在数域P中至多有n个根。 8.多项式函数相等与多项式相等是一致的。
重点:一元多项式的因式分解理论。
难点:最大公因式的概念,多项式的整除, 互素和不可约多项式等概念之间的 联系与区别。
q2(X) =x+1
g(X)
x3+ 2x2 -3 x3 + x2 -2x
x2 +2x -3 x2 + x -2
f(X) x4+ x3- x2- 2x+ 1 x4+2 x3 - 3x
(3). f(x)没有重因式
( f (x), f (x)) 1
(4) 消去重因式的方法:
f (x) ( f (x), f (x))
是一个没有重因式的多项式,它与f(x)具有完全相同 的不可约因式.
四、多项式根的理论
1.多项式函数,根和重根的概念。 2.余数定理：x-c去除f(x)，所得的余式为常数。
二、整除性理论
1.整除的概念及其基本性质.
2.带余除法. (1) 带余除法定理.
f ( x) q( x)g( x) r( x)
(2) 设 f (x), g(x) P[x]，g(x) 0, g(x) | f (x)
g(x)除f(x)的余式r(x)=0。
多项式的整除性不因数域的扩大而改变.
整除的性质.
1).任一多项式整除它自身； 零多项式能被任一多项式整除； 零次多项式整除任一多项式．
2) 若 f ( x，) |则g( x)
af ( x) | bg( x), a,b P (a 0).
3) 若 g( x) | f ( x)，f ( x) | g( x), 则 f ( x)＝cg( x)，c 0.
3.综合除法
① 求一次多项式
x a 去除 f x 的商式及余式．
② 把 f x 表成 x a 的方幂和.
4. 最大公因式和互素.
(1) 最大公因式,互素的概念. (2) 最大公因式的存在性和求法-----
辗转相除法.
f ( x) q( x)g( x) r( x) (f(x),g(x))=(g(x),r(x))
(3) 设d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式,则
f (x)u(x) g(x)v(x) d (x)
反之不然.
(4). ( f (x), g(x)) 1 u(x), v(x) : f (x)u(x) g(x)v(x) 1
(5). f (x) | g ( x)h( x), ( f ( x), g ( x)) 1 f (x) | h(x). f (x) | h(x), g(x) | h(x), ( f (x), g(x)) 1 f (x)g(x) | h(x)
4) 若 f ( x) | g( x)，g( x) | h( x)，f ( x) | h x
5) 若 f ( x) | gi ( x)，i = 1,2, , r
则对 ui ( x) P[ x], i = 1,2, , r 有
f ( x) | (u1 x g1( x) u2( x)g2( x) ur ( x)gr ( x))
(6) 多个多项式的互素. (7) 最小公倍式.
三、 因式分解理论
1.不可约多项式 (1).不可约多项式的概念. (2).不可约多项式p(x)有下列性质: f (x) F[x] p(x) | f (x), or ( p(x), f (x)) 1, p(x) | f (x)g(x) p(x) | f (x) or p(x) | g(x). (3).整系数多项式在有理数域上可约⇔ 它在整数环上可约. (4).艾森斯坦判断法.
2．基本结论: (1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运
算规律.
(2) ( f (x) g(x)) max(( f ( x)), ( g( x))), ( f (x)g(x)) ( f (x)) ( g( x)).
(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数 项(最高次项系数)的乘积。
第一章 多项式
一元多项式理论，主要讨论了三个问题：
一、整除性理论(整除,最大公因式,互素)； 二、因式分解理论(不可约多项式,典型分
解式,重因式)； 三、根的理论(多项式函数,根的个数)。 其中整除性是基础，因式分解是核心。
一、基本概念. 1.一元多项式(零多项式),多项式的次数。多项
式的相等，多项式的运算，一元多项式环。
2.因式分解的有关结果: (1) 因式分解及唯一性定理. (2) 次数大于零的复系数多项式都可以分解
成一次因式的乘积.
(3) 次数大于零的实系数多项式都可以分解Leabharlann 成一次因式和二次不可约因式的乘积.
3.重因式
(1). 重因式的概念.
(2).若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式 (k≥1)。则p(x)是f ’(x)的k-1重因式。
x c | f (x) f (c) 0.
3.有理系数多项式的有理根的求法。 4.实系数多项式虚根成对定理。 5.代数基本定理：每个n(n≥1)次复系数多项式
在复数域中至少有一个根。因而n次复系数多 项式恰n有个复根(重根按重数计算)。
6.韦达定理。 7.根的个数定理：P[x]中n(n≥0)次多项式