函数模型的应用举例课件人教A版必修1

所以 x＝1713. 因此，学生达到(或超过)55 的接受能力的时间 为 1713－6＝1113<13(min)，所以老师来不及在学 生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难 题．
• [点评] 本题是常数函数、一次函数、二次函数混 合在一起的分段函数，自变量的取值不同函数解析 式可能不一样，这一点要特别注意．另外，函数的 最值也是通过先求每一段的最值，然后再作比较而 求得．
解：总利润 L(Q)＝40Q－210Q2－10Q－2000 ＝－210(Q－300)2＋2500， 故当 Q＝300 时，总利润最大，其值为 2500 万元．
互动课堂
• 典例导悟
• 类型一 利用已知函数模型解决问题 • [例1] 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，
学生接受能力信赖于老师引入概念和描述问题所用 的时间．讲授开始时，学生的兴趣激增，中间有一 段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态， 随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明， 用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大， 表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间 (单位：min)，可有以下的公式：
－0.1x2＋2.6x＋43， 0<x≤10，
f(x)＝59，
10<x≤16，
－3x＋107，
16<x≤30.
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持 多长时间？
(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能 力何时强一些？
(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时 间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的 状态下讲授完这个难题？
• 答案：C
• 2．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次由 一个分裂成两个，这种细菌由一个繁殖成4096个需 要经过的小时数为( )
• A．12小时
B．4小时
• C．3小时
D．2小时
• 解析：设需要x个15分钟，由题意2x＝4096，∴x＝
12.
• ∴共需15×12＝180分钟，选C.
• 答案：C
(值为59)，并维持6 min.
• (2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5， • f(20)＝－3×20＋107＝47<53.5＝f(5)． • 因此，开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min
强一些． • (3)当0<x≤10时，令f(x)＝55， • 则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49. • 所以x＝20或x＝6. • 但0<x≤10，故x＝6. • 当16<x≤30时，令f(x)＝55，则－3x＋107＝55.
• [解] (1)当0<x≤10时， • f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9. • 故f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为 • f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59； • 当16<x≤30时，f(x)单调递减， • f(x)<－3×16＋107＝59. • 因此，开讲后10 min，学生达到最强的接受能力
• 2．应用函数模型解决问题的基本过程 图1
• 自我检测 • 1．今有一组数据，如表所示：
x12 3
4
5
y 3 5 6.99 9.01 11
• 下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规 律的一个是( )
• A．指数函数
B．反比例函数
• C．一次函数
D．二次函数
• 解析：画出散点图，结合图象可见各个点接近于一 条直线，所以可用一次函数表示．
D．2018
• 解析：此题是平均增长率问题的变式考题，哪一年 的年产量超过12万件，其实就是求在2006年的基础 上再过多少年其年产量大于12万件．
• 设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过12 万件，
• 根据题意，得2(1＋20%)n>12，即1.2n>6，两边取对 数，得nlg1.2>lg6.
(2)当 0≤x≤5 时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6， 故当 x＝4 时，f(x)有最大值 3.6.
当 x>5 时，f(x)<8.2－5＝3.2. 故当工厂生产 400 台产品时，盈利最大，此时， 每台产品的售价为R44＝2.4 万元/百台＝240 元/ 台．
∴
n>
lg6 lg1.2
＝
lg2＋lg3 2lg2＋lg3－1
＝
0.3010＋0.4771 2×0.3010＋0.4771－1.
∴n＝10，即 2006＋10＝2016.因此，选 B.
答案：B
4．某工厂生产某种产品的固定成本为 2000 万元，并且每多生产一单位产品，成本增加 10 万 元，又知总收入 k 是单位产品数 Q 的函数 k(Q)＝ 40Q－210Q2，求总利润 L(Q)的最大值．
.假定该产品产销平
衡，那么根据上述统计规律，解决下列问题：
• (1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
• (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？并求此时每 台产品的售价为多少？
解：依题意，G(x)＝x＋2，设利润函数为 f(x)，
则 f(x)＝8－.20－.4xx2＋ x>35.2x－2.80≤x≤5
• 3．某工厂2006年生产一种产品2万件，计划从2007 年开始每年的产量比上一年增长20%.则这家工厂生 产 这 种 产 品 的 年 产 量 超 过 12 万 件 时 是 ________ 年．(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.47716
• C．2017
.
(1)要使工厂有盈利，则有 f(x)>0.
当 0≤x≤5 时 ， 有 － 0.4x2 ＋ 3.2x－ 2.8>0， 得
1<x<7，∴1<x≤5；
当 x>5 时，有 8.2－x>0，得 x<8.2，∴5<x<8.2.
综上，要使工厂盈利，应满足 1<x<8.2.即产品数
量应控制在大于 100 台小于 820 台的范围内．
变式体验 1 某产品生产厂家根据以往的生产销
售经验得到下面的统计规律：每生产产品 x 百台，其
总成本为 G(x)万元，其中固定成本为 2 万元，并且每
生产 100 台的生产成本为 1 万元(总成本＝固定成本＋
生 产 成 本 ) ， 销 售 收 入 R(x) 满 足 R(x) ＝
－0.4x2＋4.2x－0.8，0≤x≤ 10.2，x>5