高中数学第二章函数2.3函数的应用(Ⅰ)课件新人教B版必修1
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新教材人教版高中数学B版必修 第一册1 2.2.3 一元二次不等式的解法课件
栏目 导引
第二章 等式与不等式
若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝x|x－x 2≤0，则 A∩B ＝( ) A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1} 解析：选 B.因为 A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，所以 A∩B ＝{x|0<x≤1}．
第二章 等式与不等式
2．2.3 一元二次不等式的解法
第二章 等式与不等式
考点
学习目标
一元二次不等式 会借助因式分解或配方法
的解法
求解一元二次不等式
分式不等式 会将简单的分式不等式转
的解法
化为一元二次不等式求解
核心素养 数学运算 数学运算
第二章 等式与不等式
问题导学 预习教材 P68－P71 的内容，思考以下问题： 1．一元二次不等式的定义是什么？ 2．如何用因式分解法解一元二次不等式？ 3．如何用配方法解一元二次不等式？
第二章 等式与不等式
法三：因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，
所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两个不相等的实数根 x1＝－3，x2＝ －12. 又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图像开口向上， 所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪－12，＋∞.
栏目 导引
第二章 等式与不等式
(2)原不等式可化为2x－922≤0， 所以原不等式的解集为xx＝94. (3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0， 所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根， 又二次函数 y＝2x2－3x＋2 的图像开口向上， 所以原不等式的解集为 R.
栏目 导引
第二章 等式与不等式
第二章 等式与不等式
若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝x|x－x 2≤0，则 A∩B ＝( ) A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1} 解析：选 B.因为 A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，所以 A∩B ＝{x|0<x≤1}．
第二章 等式与不等式
2．2.3 一元二次不等式的解法
第二章 等式与不等式
考点
学习目标
一元二次不等式 会借助因式分解或配方法
的解法
求解一元二次不等式
分式不等式 会将简单的分式不等式转
的解法
化为一元二次不等式求解
核心素养 数学运算 数学运算
第二章 等式与不等式
问题导学 预习教材 P68－P71 的内容，思考以下问题： 1．一元二次不等式的定义是什么？ 2．如何用因式分解法解一元二次不等式？ 3．如何用配方法解一元二次不等式？
第二章 等式与不等式
法三：因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，
所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两个不相等的实数根 x1＝－3，x2＝ －12. 又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图像开口向上， 所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪－12，＋∞.
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第二章 等式与不等式
(2)原不等式可化为2x－922≤0， 所以原不等式的解集为xx＝94. (3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0， 所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根， 又二次函数 y＝2x2－3x＋2 的图像开口向上， 所以原不等式的解集为 R.
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第二章 等式与不等式
新教材高中数学第二章函数1生活中的变量关系课件北师大版必修第一册
[归纳提升] 依赖关系的判断方法与步骤 对于两个变量，如果一个变量的改变影响另一个变量，则这两个变 量具有依赖关系，否则不具有依赖关系．
【对点练习】❶ 下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系？ (1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯 中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的 关系； (2)商品的价格与销售量； (3)某同学的学习时间与其学习成绩．
2．俗语“名师出高徒”说明 A．名师与高徒之间具有依赖关系 B．名师与高徒之间具有函数关系 C．名师是高徒的函数 D．高徒是名师的函数 [解析] 说明名师与高徒之间存在依赖关系．
(A)
3．下列各量间不存在依赖关系的是
(D)
A．人的年龄与他(她)拥有的财富
B．某人的体重与其饮食情况
C．水稻的亩产量与施肥量
[解析] (1)由图象可知甲、乙到达终点所用的时间分别为 12 s，12.5 s．故甲先到达终点；
(2)v 乙＝1120.05＝8(m/s)．
4．给出下列关系： ①人的年龄与体重之间的关系； ②抛物线上的点与该点坐标之间的关系； ③橘子的产量与气候之间的关系； ④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系． 其中不是函数关系的有__①__③__④____． [解析] 由已知关系判断得，①③④中关系不确定，故不是函数关 系，只有②是函数关系．
D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数
(2)汽车的“燃油效率”是指汽车每 消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了 甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油 效率情况，下列叙述中正确的是( D )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶 5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙 车比用乙车更省油
新教材高中数学第二章双曲线方程及性质的应用课件新人教B版选择性必修第一册ppt
【补偿训练】 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数 k 的取 值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
【解析】联立x2－y2＝4，
消去 y，
y＝k（x－1），
(3)△F1MF2 的底|F1F2|＝8，由(2)知 m＝± 10 . 所以△F1MF2 的高 h＝|m|＝ 10 ，所以 S△MF1F2＝4 10 .
与双曲线有关的综合问题 (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点 的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解． (2)当与直线知识综合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方 程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．
弦长及中点弦问题的解题策略 (1)利用弦长公式|AB|＝ 1＋k2 |xA－xB|＝ 1＋k2 · （xA＋xB）2－4xAxB ，求解 的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形 式． (2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标 联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系． 其具体解题思路如下：
类型三 双曲线性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)
x2 y2 【典例】1.设 F1，F2 是双曲线 C：a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点，A 为左顶
16 点，点 P 为双曲线 C 右支上一点，|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，|PF2|＝ 3 ，O 为坐标
原点，则→OA ·→OP ＝( )
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
新教材北师大版必修第一册 第二章函数3函数的单调性2函数的单调性的应用 课件(40张)
有
()
A.f(-2)<f(1)<f(3)
B.f(1)<f(-2)<f(3)
C.f(3)<f(-2)<f(1)
D.f(3)<f(1)<f(-2)
【解析】选A.因为对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[(f(x1)-f(x2)]>0, 当x1<x2时,x1-x2<0,则f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2);当x1>x2时,x1-x2>0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).可得函数f(x)是增函数, 所以f(-2)<f(1)<f(3).
y
-f(y).
(1)证明:函数f(x)是增函数;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f( 1 )<2.
3
课堂检测·素养达标
1.函数y= 1 在[2,3]上的最小值为 ( )
x－1
A.2 B. 1
2
C ．1
D．－1
3
2
【解析】选B.y= 1 在[2,3]上单调递减,
x 1
所以x=3时取最小值为 1 .
的取值范围是 ( )
A.(3,+∞) B.(-∞,3)
C.[2,3)
D.[0,3)
【思路导引】从定义域,单调性两个方面列不等式求范围.
【变式探究】 本例的条件若改为“单调递增”,试求m的取值范围. 【解析】因为f(x)的定义域为[0,+∞), 由f(2x-4)>-1,得f(2x-4)>f(2), 因为f(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以2x-4>2,解得x>3.
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)课件(人教版)
(2)x2-4x+4≤0;
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
高中数学必修1(人教B版)第二章_2-3知识点总结配同步练习及答案
描述：例题：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 函数 2.3 函数的应用（I）
一、学习任务
了解一次函数、二次函数模型的意义，并能进行简单应用．
二、知识清单
函数模型的应用
三、知识讲解
1.函数模型的应用
函数模型的概念
函数模型就是用函数知识对日常生活中普遍存在的成本最低、利润最高、产量最大、收益最好、用料最省等实际问题进行归纳加工，建立相应的目标函数，确定变量的取值范围，运用函数的方法进行求解，最后用其解决实际问题．
几种函数模型的增长速度比较
在区间 上，尽管函数 ， 和 都是增函数，但它们的增长速度不同，随着 的增大，指数函数 的增长速度会越来越快，会超过并远远大于幂函数 的增长速度，而 的增长则会越来越慢，因此总会存在一个 ，当 时，就有 ．
(0,+∞)y =(a >1)a x y =x (a >1)log a y =(a >0)x a x y =(a >1)a x y =(a >0)x a y =x (a >1)log a x 0x >x 0x <<log a x a a
x
向高 为的水瓶内注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图像如图所示，那
么水瓶的形状是（ ）
解：B
取 的中点 作 轴的垂线，由图可知，当水深 达到容量高度的一半时，体积大于一
H V
h OH E h h
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答案：A ． 分钟B ． 分钟C ． 分钟D ． 分钟B
3.50 3.75
4.00
4.25。
高中数学必修一第二章：函数.第一节：值域
高中数学（人教B 版）必修一：第二章 函数2.1.1 函数函数的值域一.值域：在函数y=f(x)中，由所有函数值构成的集合：{y |y=f(x)，y ∈A}，叫做这个函数的值域。
值域即因变量y 的取值范围，是函数的象的集合。
二.基本函数的值域： ①.一次函数y=kx+b [ y ∈R 或（-∞，+∞) ]②.二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0） ( , +∞)③.二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0） (-∞, ) ④.反比例函数y= [ y ≠0或（-∞，0) ∪（0，+∞)] 二.求函数的值域的方法：方法一.观察法：例一：求函数y= 的值域.例二：求函数y= 的值域.规律总结：当x ≥2时， = 。
当x ≤2时， = 。
当x ≥-2时， = 。
当x ≤-2时， = 。
方法二.分离常数法：——适用于分式。
例三：求函数y= 的值域.4a 4ac-b 2 4a 4ac-b 2 k x 1 1 x 2+1 x 2-1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x-1 x+1例四：求函数y= 的值域.方法三.反表示法：用y 表示f(x).——适用于形如y= 的函数。
例五：求函数y= 的值域.方法四.二次函数配方法：配方、画图、截断——适用于形如F(x)=af(x)2+bf(x)+c 的函数。
例六：求函数y=x 2-4x+5的值域.方法五.换元法：——适用于带根号且根号下为一次式的函数。
例七：求函数y=x+ 的值域.方法六.判别式法：——适用于二次分式函数。
例八：求函数y= 的值域.x 2-1 x 2+1 af(x)+b cf(x)+d 2x-1 x+1 2x+1 x 2-3x+4 x +3x+4。
新北师大版高中数学必修1课件：第二章 §2 2.2 第1课时 函数的三种表示方法
题型一 题型二 题型三
反思列表法、图像法和解析法分别从三个不同的角度刻画了自 变量与函数值的对应关系.采用列表法的前提是定义域内自变量的 个数较少;采用图像法的前提是函数的变化规律清晰;采用解析法 的前提是变量间的对应关系明确.
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个 笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).
123456
解析:由题意知该学生离学校越来越近,故排除选项A;又由于开始 匀速,后来因交通堵塞停留一段时间,最后是加快速度行驶,故选C. 答案:C
123456
3若g(x+2)=2x+3,则g(3)的值是( ) A.9 B.7 C.5 D.3 答案:C
123456
4某航空公司规定,乘客所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由图中 的函数图像确定,则乘客可免费携带行李的最大质量为( )
题型一 题型二 题型三
题型一 函数的表示方法 【例1】 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试分别用列 表法、图像法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与 收款总额y(元)之间的函数关系. 分析:明确函数的定义域 明确函数的值域 用三种表示 方法表示函数
2.2 函数的表示法
第1课时 函数的三种表示方法
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法. 2.会作简单函数的图像,掌握求函数解析式的一般方法.
1.函数的表示法
名师点拨函数的三种表示方法的优缺点比较.
【做一做1】 以下形式中,不能表示“y是x的函数”的是 ( )
A.
x
1
2
3
4
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答:每天应该从报社买进400份报纸,才能使每月所获得的利润最 大,每月最多可赚1 170元.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
一次函数模型的应用
【例1】 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间 的关系为y=6x+30 000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至 少日生产文具盒( )
【问题思考】
1.对教材例2中的“客房问题”你有什么体会?在现实问题中,有没
有与它类似的问题?如果有,请举例说明.
提示:“客房问题”反映的规律性在实际生活中有很多典例,实际归
结到最后,“客房问题”是一个二次函数模型的具体应用,在现实生活
中的“调价问题”与其类似,其模型为:
当某类商品在销售价格为b元时,可售出a件,现欲提价,若单价每
y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N), 令y1-y2=0,得x=34. 所以,当购买34个茶杯时,两种办法付款相同;
当4≤x<34时,y1<y2,即优惠办法(1)更省钱; 当x>34时,y1>y2,优惠办法(2)更省钱.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.一次函数模型的实际应用: 一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则. 2.一次函数的最值求解: 一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答时, 注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
令y=kx+b(k≠0).
因为当x=16时,y=42,当x=20时,y=30,
代入得
42 30
= =
16������ 20������
+ +
������, ������,
解得
������ = -3, ������ = 90.
即y=-3x+90.
显然当x=24时,y=18;当x=28时,y=6.
对照数据,可以看出y=-3x+90即为所求的函数解析式.
2.3 函数的应用(Ⅰ)
课标阐释
思维脉络
1.会利用所学知识,解决
一次函数型、二次函数型
及分段函数型的实际问
题.
2.掌握求解函数应用题的
基本步骤,培养学生的数
学应用意识.
一
二
一、函数模型 【问题思考】 1.在函数建模中,怎样确立两个变量是哪种函数关系? 提示:通常需要先画出函数图象,根据图象来确定两个变量的关 系,选择函数类型. 2.函数模型在实际应用中,函数的自变量有什么特点? 提示:在实际应用中,函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示 长度时,x≥0;x表示件数时,x≥0,且x∈Z等.在解答时,必须要考虑这 些实际意义.
提高m元,则销售量平均减少n件,求提高多少元时销售的总收入最
高?
设将商品售价提高x个m元,
则总收入为y=(b+xm)·(a-xn)=-mnx2+(am-bn)x+ab.
它是一个自变量为自然数的二次函数,且其二次项系数小于零,
根据二次函数的知识知它有最大值.
一
二
2.做一做:某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元, 卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价 格退回报社,在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份,其 余10天每天只能卖出250份.若每天从报社买进报纸的数量相同,则 每天应该从报社买进多少份报纸,才能使每月所获得的利润最大? 并计算该销售点一个月最多可赚多少元?
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)解析:因利润z=12x-(6x+30 000),所以z=6x-30 000,由z≥0解得
x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.
答案:D
(2)解:由优惠办法(1)可得函数解析式为y1=20×4+5(x4)=5x+60(x≥4,且x∈N).
由优惠办法(2)可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且 x∈N).
一
二
归纳提高1.在求其解析式时,应先确定分“段”,即函数分成几段,并 抓住“分界点”,确保分界点“不重,不漏”.
2.在求函数值时,先确定自变量的值所属的区间,再代入;同样,已 知函数值,求解自变量的值时,就是解方程的过程,即每段都令y取已 知函数值,解出相应x的值,再判断是否属于所在区间.
一
二
二、解决数学应用题的一般步骤
考虑到x的实际意义及y的取整性,所以y=-3x+90,x∈{1,2,3,…,30}.
一
二
4.填空:(1)一次函数模型 解析式:y=kx+b(k≠0). (2)二次函数模型 ①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); ②顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中顶点坐标为(h,k). (3)分段函数模型 有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同,此 时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它,由于分段函数在不同 的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际 问题中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.
一
二
3.已知某商场经营一批进价为12元/个的小商品,在4天的试销中, 对此商品的销售单价x(元)与相应的日销售量y(个)进行了统计,其 数据如下表:
x 16 20 24 28 y 42 30 18 6
你能否找到一种函数,使它反映y关于x的函数关系?若能,写出函 数解析式.
一
二
提示:观察x,y的数据,可大体看到y与x是一次函数关系,
解:设每天应从报社买x份报纸,由题意知250≤x≤400,设每月赚y 元,根据题意得y=0.5x·20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×100.35x·30=0.3x+1 050,x∈[250,400].
因为y=0.3x+1 050是定义域上的增函数,所以当x=400 时,ymax=120+1 050=1 170(元).
A.2 000套 B.3 000套 C.4 000套 D.5 000套 (2)商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商 店推出两种优惠办法: (1)买一个茶壶赠一个茶杯; (2)按总价的92%付款. 某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个), 付款y(元),分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨 论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
一次函数模型的应用
【例1】 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间 的关系为y=6x+30 000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至 少日生产文具盒( )
【问题思考】
1.对教材例2中的“客房问题”你有什么体会?在现实问题中,有没
有与它类似的问题?如果有,请举例说明.
提示:“客房问题”反映的规律性在实际生活中有很多典例,实际归
结到最后,“客房问题”是一个二次函数模型的具体应用,在现实生活
中的“调价问题”与其类似,其模型为:
当某类商品在销售价格为b元时,可售出a件,现欲提价,若单价每
y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N), 令y1-y2=0,得x=34. 所以,当购买34个茶杯时,两种办法付款相同;
当4≤x<34时,y1<y2,即优惠办法(1)更省钱; 当x>34时,y1>y2,优惠办法(2)更省钱.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.一次函数模型的实际应用: 一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则. 2.一次函数的最值求解: 一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答时, 注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
令y=kx+b(k≠0).
因为当x=16时,y=42,当x=20时,y=30,
代入得
42 30
= =
16������ 20������
+ +
������, ������,
解得
������ = -3, ������ = 90.
即y=-3x+90.
显然当x=24时,y=18;当x=28时,y=6.
对照数据,可以看出y=-3x+90即为所求的函数解析式.
2.3 函数的应用(Ⅰ)
课标阐释
思维脉络
1.会利用所学知识,解决
一次函数型、二次函数型
及分段函数型的实际问
题.
2.掌握求解函数应用题的
基本步骤,培养学生的数
学应用意识.
一
二
一、函数模型 【问题思考】 1.在函数建模中,怎样确立两个变量是哪种函数关系? 提示:通常需要先画出函数图象,根据图象来确定两个变量的关 系,选择函数类型. 2.函数模型在实际应用中,函数的自变量有什么特点? 提示:在实际应用中,函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示 长度时,x≥0;x表示件数时,x≥0,且x∈Z等.在解答时,必须要考虑这 些实际意义.
提高m元,则销售量平均减少n件,求提高多少元时销售的总收入最
高?
设将商品售价提高x个m元,
则总收入为y=(b+xm)·(a-xn)=-mnx2+(am-bn)x+ab.
它是一个自变量为自然数的二次函数,且其二次项系数小于零,
根据二次函数的知识知它有最大值.
一
二
2.做一做:某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元, 卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价 格退回报社,在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份,其 余10天每天只能卖出250份.若每天从报社买进报纸的数量相同,则 每天应该从报社买进多少份报纸,才能使每月所获得的利润最大? 并计算该销售点一个月最多可赚多少元?
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)解析:因利润z=12x-(6x+30 000),所以z=6x-30 000,由z≥0解得
x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.
答案:D
(2)解:由优惠办法(1)可得函数解析式为y1=20×4+5(x4)=5x+60(x≥4,且x∈N).
由优惠办法(2)可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且 x∈N).
一
二
归纳提高1.在求其解析式时,应先确定分“段”,即函数分成几段,并 抓住“分界点”,确保分界点“不重,不漏”.
2.在求函数值时,先确定自变量的值所属的区间,再代入;同样,已 知函数值,求解自变量的值时,就是解方程的过程,即每段都令y取已 知函数值,解出相应x的值,再判断是否属于所在区间.
一
二
二、解决数学应用题的一般步骤
考虑到x的实际意义及y的取整性,所以y=-3x+90,x∈{1,2,3,…,30}.
一
二
4.填空:(1)一次函数模型 解析式:y=kx+b(k≠0). (2)二次函数模型 ①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); ②顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中顶点坐标为(h,k). (3)分段函数模型 有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同,此 时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它,由于分段函数在不同 的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际 问题中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.
一
二
3.已知某商场经营一批进价为12元/个的小商品,在4天的试销中, 对此商品的销售单价x(元)与相应的日销售量y(个)进行了统计,其 数据如下表:
x 16 20 24 28 y 42 30 18 6
你能否找到一种函数,使它反映y关于x的函数关系?若能,写出函 数解析式.
一
二
提示:观察x,y的数据,可大体看到y与x是一次函数关系,
解:设每天应从报社买x份报纸,由题意知250≤x≤400,设每月赚y 元,根据题意得y=0.5x·20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×100.35x·30=0.3x+1 050,x∈[250,400].
因为y=0.3x+1 050是定义域上的增函数,所以当x=400 时,ymax=120+1 050=1 170(元).
A.2 000套 B.3 000套 C.4 000套 D.5 000套 (2)商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商 店推出两种优惠办法: (1)买一个茶壶赠一个茶杯; (2)按总价的92%付款. 某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个), 付款y(元),分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨 论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?