【人教A版】高中数学必修二：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系学案设计_新人教A版必修2
人教A版数学必修二2.1.2 空间中直线和直线的位置关系 经典教学设计
《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计一、教学内容分析立体几何是在初中平面几何的拓展，难度更大，它的难度在于如何把实际生活中的实体在平面内体现出来，需要发挥学生丰富的空间想象能力，而空间想象能力，不是每个学生天生具有的，要通过一段时间甚至是长期的训练才能掌握，异面直线是立体几何中最基础的元素位置，学生刚刚接触到新的内容，往往把两条异面直线看成两条相交直线，所本节课必须通过实体、课件的动画演示让学生感知异面直线，老师要带领学生充分利用生活中现有的可以看作线与面的实体，平移这些实体，让学生体会到异面直线的位置变化，逐步提高学生的空间想象能力。
二、学生分析学习本节内容知识的学生，是高一学生，学生对几何的认识还停留在初中的平面图象，缺少立体空间的想象，特别对于被挡信的直线与平面的认知比较模糊，而且在作立体图形的能力更低，所以需要利用学生周边的几何体，加强学生的空间想象能力，利用信息技术，引导学生如何去认知空间图形。
三、教学目标分析（一）知识目标1．能理解异面直线的定义；2．了解空间中两条直线的三种位置关系，知道异面直线、异面直线的夹角以及直线垂直的概念；3．能正确理解平行公理和等角定理，并会运用进行相关的推理证明.（二）能力目标1．通过对实际模型的认识，能将文字语言转化为图形语言和符号语言，能准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题；2．通过对比空间和平面两直线间的位置关系之间异同和联系，逐步提高将立体图形转为平面图形的能力；3．学习空间中两直线间的位置关系时，逐步提高公理化思想和空间想象能力。
（三）情感态度与价值观目标通过主动探究、合作学习，相互交流，逐步辨证唯物主义观点，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野，使学生逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值。
人教A版高中数学必修2《空间中直线与直线之间的位置关系》教案
广东省中学青年数学教师优秀课评比参赛课例——教案课题：《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》授课老师：潮州市湘桥区南春中学郑珠珠教材：普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修21、教学目标（1）知识目标：掌握空间中两条直线的位置关系，理解异面直线的概念；以公理4和等角定理为基础，理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。
（2）能力目标：通过研究空间中两直线的位置关系以及异面直线所成的角，培养学生的空间想象力、观察能力和分析问题的能力。
（3）情感目标：让学生体验从具体到抽象的学习规律，在探究活动中增强学生的合作意识和动手能力，激发学生的学习兴趣。
2、教学重点、难点重点：（1）空间中两条直线之间的位置关系；（2）异面直线及其所成角的概念。
难点：理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。
3、教学方法与手段本节课应该始终贯彻“以学生为主体，以教师为主导，以观察、探究为主线”的教学理念，坚持具体与抽象相结合的原则，采用“启发式”、“讨论式”等教学方法，并充分利用多媒体和实物模型辅助教学，化静为动，进一步培养学生的空间想象力和观察能力，并在动手、讨论的过程中培养学生合作、探究的能力。
4、教学过程（一）创设情境，提出问题1、思考：同一平面内两直线有几种位置关系？学生：相交、平行。
老师：那么空间中的两条直线呢？引出本节课的课题：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2、让学生观察两个生活实例，直观感知异面直线不平行、不相交的特征：（1）天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线，既不平行，也不相交；（2）立交桥上下两层桥面所在直线，既不平行，也不相交。
（二）启发引导，构建概念1、让学生观察长方体模型（如图），发现：C C既不平行也不相交。
直线'A B与直线'学生在几何模型中进一步体会异面直线不平行、不相交的特征，从而构建：【异面直线的概念】不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
注1：对“任何”这个词的理解。
高中数学人教A版必修22.1.2 空间中直线与直线的位置关系 经典教学设计
优质资料---欢迎下载《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计一、教学内容分析立体几何是在初中平面几何的拓展，难度更大，它的难度在于如何把实际生活中的实体在平面内体现出来，需要发挥学生丰富的空间想象能力，而空间想象能力，不是每个学生天生具有的，要通过一段时间甚至是长期的训练才能掌握，异面直线是立体几何中最基础的元素位置，学生刚刚接触到新的内容，往往把两条异面直线看成两条相交直线，所本节课必须通过实体、课件的动画演示让学生感知异面直线，老师要带领学生充分利用生活中现有的可以看作线与面的实体，平移这些实体，让学生体会到异面直线的位置变化，逐步提高学生的空间想象能力。
二、学生分析学习本节内容知识的学生，是高一学生，学生对几何的认识还停留在初中的平面图象，缺少立体空间的想象，特别对于被挡信的直线与平面的认知比较模糊，而且在作立体图形的能力更低，所以需要利用学生周边的几何体，加强学生的空间想象能力，利用信息技术，引导学生如何去认知空间图形。
三、教学目标分析（一）知识目标1．能理解异面直线的定义；2．了解空间中两条直线的三种位置关系，知道异面直线、异面直线的夹角以及直线垂直的概念；3．能正确理解平行公理和等角定理，并会运用进行相关的推理证明.（二）能力目标1．通过对实际模型的认识，能将文字语言转化为图形语言和符号语言，能准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题；2．通过对比空间和平面两直线间的位置关系之间异同和联系，逐步提高将立体图形转为平面图形的能力；3．学习空间中两直线间的位置关系时，逐步提高公理化思想和空间想象能力。
（三）情感态度与价值观目标通过主动探究、合作学习，相互交流，逐步辨证唯物主义观点，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野，使学生逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值。
高中数学：2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》教学案(新人教版A版必修2)
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？ 问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？ 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB 异面的有哪些？ 2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
共面直线=>a ∥c公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 ABCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
[精品]新人教A版必修二高中数学2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系导学案
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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB 异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b共面直线 =>a ∥c强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 ABCD中，E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形证明：连接BD1BD 因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD且EH=21BD同理FG∥BD且FG=2因为EH∥FG且EH=FG所以四边形EFGH是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？4、组织学生思考教材P46的思考题让学生观察、思考：∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
人教版高中数学全套教案导学案高中数学 (2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系)示范教案 新人教A版必修2
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系整体设计教学分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.三维目标1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系.2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用.3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系.学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1推进新课新知探究提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD —A′B′C′D′中，如图1,BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？通过观察得出结论：BB′与DD′平行.再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符表示为：a∥b,b∥c ⇒a∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a 、b ，在空间中任取一点O ，过点O 分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O 有无限制条件？ 答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O 取在a 或b 上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a 、b 相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图6求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD 21. 同理，FG∥BD，且FG=BD 21. 所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形.变式训练1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD 21. 同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC=BD,所以EF=EH.所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC⊥BD. 求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD 21. 同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD 21，EF=AC 21. 所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC=BD ，所以EF=EH.因为FG∥BD，EF∥AC，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC⊥BD，所以EF⊥EH.所以四边形EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法.例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线.(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 变式训练如图8，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A ′B′所成的角的度数；(2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角， ∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C 是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形.∴ED∥B1F.变式训练如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；（4）DC与BD1；（5）D1E与CF.解：（1）∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD,∴AB与CC1异面. （2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.∴A1C与D1B相交.（4）∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD,∴DC与BD1异面.（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.又AE∥DD1，∴GD 1过AA 1的中点E.∴直线D 1E 与CF 相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与A 1C ），有时看上去像相交（如图中的DC 与D 1B ）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG.因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故E G∥BC 且EG=BC 21，FG∥AD，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求. 由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°. 点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.变式训练设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角.解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，图12∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角.由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=3221=CD ， ∴HG·HE·sin∠EHG=612sin∠EHG. ∴612sin∠EHG=312.∴sin∠EHG=22.故∠EHG=45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°.知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有对____________.图13答案：三拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB 与CD 所在直线垂直；②CD 与EF 所在直线平行；③AB 与MN 所在直线成60°角；④MN 与EF 所在直线异面.其中正确命题的序是（ ）A.①③B.①④C.②③D.③④答案：D课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.作业课本习题2.1 A 组3、4.设计感想空间中直线与直线的位置关系是立体几何的基础，本节通过空间模型让学生直观感受两直线的位置关系，进一步培养学生的空间想象能力.两直线的异面关系是本节的重点和难点，本节选用大量典型题目训练学生求两异面直线所成的角，使学生熟练掌握直线与直线的位置关系.另外,本节加强了三种语言的相互转换，因此这是一节值得期待的精彩课例.。
人教A版高中数学必修二空间中直线与直线之间的位置关系教案
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标：1、知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板四、教学思想（一）复习（见投影）（二）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
高中数学A版数学必修二2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系学案
2.1.2空间中直线与直线的位置关系1.教学目标1.1知识与技能(1)通过学习能知道空间直线的三种位置关系;(2)初步理解异面直线的概念,会判断两直线的异面关系;(3)初步理解与运用公理4解决问题,初步了解等角定理;(4)初步理解异面直线所成角的概念,运用平移的方法求异面直线所成的角.1.2过程与方法(1)通过学习经历异面直线的概念的形成过程，体会异面直线的直观画法；(2)通过长方体的模型让学生发现与感知平行线的传递性质．(3)通过对等角定理的温故知新的探究，解决了异面直线的定义，并能求简单的异面直线所成的角；1.3情感、态度与价值观(1)让学生初步体会化归思想与空间想象能力的养成意义；(2)培养学生自主发现问题与解决问题的能力．2.重点、难点2.1重点：异面直线的概念、异面直线所成的角与简单角的求法；公理4的运用．2.2难点：异面直线概念的理解与求法．3.教学准备：长方体模型，直线、平面教具，教学课件．4.教学过程设计：4.1复习引入：平面三个公理和作用设计意图：巩固上一节课的知识以及集中学生的注意力，让学生快速投入本节课的学习中4.2异面直线4.2.1异面直线的概念思考1： 同一平面内的直线有哪些位置关系？思考2：在空间中，两条直线不相交则平行吗？思考3：在空间中，无公共点的两条直线一定平行吗？设计意图：由一系列问题，诱发学生探知的欲望，养成思考问题的习惯．师生活动：教师放课件图片，引导学生观察：黑板所在直线与课桌边缘所在直线的位置关系，立交桥上下面公路所在直线的位置关系等例子，让学生发现，直线与直线有既不平行又不相交的位置关系,从而得出异面直线的概念.板书：异面直线的定义：把不同在任何．．．．．一个平面内的两直线叫做异面直线．（关键点：不同在任何一个平面内）．概念辨析：例1：判断正误（1）下面两图中直线m 和l 都是异面直线（2） （3） 设计意图：通过3道判断题，让学生深刻解定义中关键词“不同在任何一个平面内”，加深对异面直线的理解。
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第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
学习目标
(1)了解空间中两条直线的位置关系;
(2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力;
(3)理解并掌握公理4;
(4)理解并掌握等角定理;
(5)异面直线所成角的定义、范围及应用.
分组合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:平面内两条直线的位置关系有哪几种?
问题2:平面内不平行的两直线必相交,问空间内还成立否?
二、自主探索,尝试解决
六角螺母中(图1),两条路线AB,CD既不平行,又不相交(非平面问题).
图2中的两条直线也是既不平行,又不相交.
三、信息交流,揭示规律
1.异面直线的定义:
2.异面直线的画法
3.空间两直线的位置关系
按平面基本性质分
按公共点个数分
4.异面直线所成的角
①公理4:
②定理(等角定理):
四、运用规律,解决问题
【例1】右图长方体中
(1)说出以下各对线段的位置关系.
①EC和BH是直线;
②BD和FH是直线;
③BH和DC是直线;
(2)与棱AB所在直线异面的棱共有条.
【例2】如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.
(1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线?
(2)直线BA'和CC'的夹角是多少?
(3)哪些棱所在直线与直线AA'垂直?
【例3】如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求
(1)BE与CG所成的角;
(2)FO与BD所成的角.
五、变式演练,深化提高
1.已知a,b,c是三条直线,且a∥b,a与c的夹角为θ,那么b与c夹角为.
2.判断:
(1)两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行.( )
(2)两条直线和第三条直线垂直,则这两条直线互相平行.( )
(3)两条直线和第三条直线平行,则这两条直线互相平行.( )
3.如图,已知空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH是什么四边形,并证明你的结论.
4.如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=2,AD=2,AE=2.
(1)求BC和EG所成的角.
(2)求AE和BG所成的角.
六、反思小结,观点提炼
请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.
七、作业精选,巩固提高
课本P51习题2.1A组5,6.B组1
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参考答案
三、1.不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
2.画异面直线时,为了体现它们不共面的特点,常借助一个或两个平面来衬托.
3.按平面基本性质分:(1)同在一个平面内:相交直线、平行直线;
(2)不同在任何一个平面内:异面直线.
按公共点个数分:(1)有一个公共点:相交直线;
(2)无公共点:平行直线、异面直线.
注1:两直线异面的判别一:两条直线既不相交又不平行.
两直线异面的判别二:两条直线不同在任何一个平面内.
4.①公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.——平行线的传递性
推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.
②定理(等角定理):空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O直线a'∥a,b'∥b则把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
异面直线所成的角的范围为(0°,90°].
注2:如果两条异面直线a,b所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直,
记为a⊥b.
注3:在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等.
四、【例1】(1)①相交②平行③异面(2)4
【例2】解:(1)由异面直线的定义可知,棱AD,DC,CC',DD',D'C',B'C'所在直线分别与BA'是异面直线.
(2)由BB'∥CC'可知,∠B'BA'是异面直线BA'和CC'的夹角,∠B'BA'=45°,所以直线BA'和CC'的夹角为45°.
(3)直线AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'分别与直线AA'垂直.
【例3】
解:(1)如图,∵CG∥BF,
∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,
又△BEF中∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH,
∵HD∥EA∥FB,
∴HD∥FB,
∴四边形HFBD为平行四边形,
∴HF∥BD,∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.
连接HA,AF,易得FH=HA=AF,∴△AFH为等边三角形,
又依题意知O为AH中点,∴∠HFO=30°,
即FO与BD所成的角为30°.
注4:求异面直线的步骤是:“一作(找)二证三求”.
五、1.θ
2.(1)×(2)×(3)√
3.解:四边形EFGH是平行四边形.证明如下:
连接BD,
∵E,H分别是AB,AD的中点,
∴EH是△ABD的中位线,
∴EH∥BD,且EH=BD,
同理,FG∥BD,且FG=BD,
∴EH∥FG,且EH=FG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
4.(1)45°(2)60°
六、异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
空间两直线的位置关系:相交直线、平行直线、异面直线.
异面直线的画法:用平面来衬托.
异面直线所成的角:平移,转化为相交直线所成的角.
公理4(平行公理):在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理:空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.异面直线所成角的求法:一作(找)二证三求.。