黑龙江省大庆市2021届高三下学期第一次教学质量检测数学(理)试题 扫描版含答案
2021年高三下学期第一次统一练习一模数学(理)试题 Word版含解析
2021年高三下学期第一次统一练习一模数学（理）试题 Word版含解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合，，则【答案】C【解析】试题分析：化简集合A得A={1，2}，故得；故选C.考点：集合的运算.2.在复平面内，复数对应的点位于第一象限第二象限第三象限第四象限【答案】B【解析】试题分析：由于=1+4i-4=-3+4i,故复数对应的点是(-3,4)在第二象限，故选：B．考点：复数的概念及运算.3.是“曲线关于轴对称”的充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：由得函数其图象关于y 轴对称；反之，当曲线关于轴对称时，有)(022z k k x k x ∈=-+=⇒+=+ϕππππϕ成立，所以，故知不一定有，所以是“曲线关于轴对称”的充分而不必要条件. 故选A.考点：1.充要条件；2.三角函数的对称性. 4.当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为【答案】D考点：程序框图. 5.若，则的取值范围是【答案】D【解析】试题分析：由于，所以得即故选D.考点：基本不等式.6.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为【答案】C【解析】试题分析：由，所以所求双曲线的渐近线方程为：；故选：C．考点：双曲线的性质．7.若满足424kx yy xxy+≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，且的最小值为，则的值为【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组424kx yy xxy+≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，所表示的平面区域如图：, 由的最小值为得：直线必过点C（8，0），故知直线必过点C；所以得，得；故选B.考点：线性规划.8.已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，，给出下列命题①；②函数在定义域上是周期为2的函数；③直线与函数的图象有2个交点；④函数的值域为.其中正确的是①，②②，③①，④①，②，③，④【答案】C【解析】试题分析：由于当时，有，所以，从而当时，有，又即；再注意为定义在上的偶函数，所以可作出函数的图象如下：对于①)2015()010072()2015()2014(f f f f ++⨯=-+01log )1(0)110072()0(2=-=+=+⨯+=f f f ，故①正确；排除B ；对于②由图象可知函数不是周期函数，故②是错误的；排除A 、D 对于③由图象可知直线与函数的图象只有1个交点，故③错误； 对于④由图象可知函数的值域为，故④正确. 故选C.考点：函数的图象及性质.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置．） 9.已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为， 则 . 【答案】 【解析】试题分析：由圆的极坐标方程为两边同时乘以得： 化为直角坐标方程得：，即知圆心M 的坐标为； 又将点的极坐标为化为直角坐标得，即； 所以； 故答案为：.考点：极坐标与直角坐标的互化.10.设向量，若，则实数 . 【答案】 【解析】试题分析：由已知得，；由得所以有0)2()2()23()23(=+⨯-+-⨯+λλλλ 即，解得 故答案为：.考点：向量的数量积的坐标运算.11.已知无穷数列满足：.则数列的前项和的最小值为 . 【答案】-30 【解析】试题分析：由已知得数列是以-10为首项，2为公差的等差数列； 所以即 由知：当时；当时；当时；故知数列的前项和的最小值为或； 故答案为-30. 考点：等差数列.12.如图，在圆内接四边形中，//，过点作圆的切线与的延长线交于点.若，则 ； .【答案】4， 【解析】试题分析：由圆的弦切割定理可知：所以有036553622=-+⇒+=BE BE EB EB ，解得； 连结BD ，由AE 是圆的切线得：；又因为AB=AD ，所以，从而有： 所以BD//AE ，故；又因为AB//CD ，所以有，从而有 因此得到； 故得；BE BC AB DC BE BC AB DC 425455=⨯=⨯=⇒= 故答案为：4和.考点：平面几何证明选讲.13.如果在一周内（周一至周日）安排四所学校的学生参观顺义啤酒厂，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有__________种（用数字作答）. 【答案】360 【解析】试题分析： 第一步安排甲学校，由于甲学校连续参观两天，所以只能有6种不同的按排方法； 第二步按排余下的三所学校，由于这三所学校均只参观一天，所以有种不同的按排方法； 由分步计数原理得共有不同的安排方法有种. 故答案为：360. 考点：排列组合.14.已知函数又且的最小值等于.则的值为_________． 【答案】 【解析】试题分析：因为)cos 21sin 23(2cos sin 3)(x x x x x f ωωωω+=+= 又因为，所以的最小值为； 故有. 所以答案为：.考点：1.三角恒等变形公式；2.三角函数的图象和性质.三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（本小题满分13分）在中,角所对的边分别为,已知, . (I)求的值; (II)求的值.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知可得，从而可求出的值，再由正弦定理可得，代入即得a 的值； （Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可求得、、、的值，再由三角形内角和定理可知()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦，利用余弦的和角公式即可求得的值．试题解析： (I)在中,因为,所以,即, ..............2分 所以sin sin sin cos 22A B B B ππ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.................4分 ..................5分由正弦定理,得. .........7分(II)因为,即,所以为钝角,为锐角. 由(I)可知,,所以. ...............9分又, ................10分所以()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦ .............11分 ................ 12分...........13分考点：1. 正弦定理；2. 三角恒等变换. 16.（本小题满分13分）某农民在一块耕地上种植一种作物，每年种植成本为元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（I）设表示该农民在这块地上种植1年此作物的利润，求的分布列；（II）若在这块地上连续3年种植此作物，求这3年中第二年的利润少于第一年的概率.【答案】（I）；（II）0.31.【解析】试题分析：（I）由已知先求出的所有可能取值：1000，2200和4200，然后再由相互独立事件的概率积公式和互斥互事件的概率和公式计算出的所有可能取值所对应的概率，即得到的分布列；（II）这3年中第二年的利润少于第一年的概率为：将（I）中结果代入即得．试题解析：（I）设表示事件“作物产量为300kg”，表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题意知 ................1分因为利润产量市场价格成本所以的所有可能的取值为................6分所以的分布列为........7分（II）这3年中第二年的利润少于第一年的概率为=0.31.................13分考点：1. 相互独立事件的概率积公式；2. 互斥互事件的概率和公式；3.分布列.17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，//，，平面底面，为的中点，是棱的中点，（I）求证：；（II）求直线与平面所成角的正弦值；（III）求二面角的余弦值.【答案】（I）证明祥见解析；（II）；（III）.【解析】试题分析：（I）在中，为中点.所以；又因为平面底面，且平面底面，由面面垂直的性质定理可得到底面，再由线面垂直的性质得；（II）由（I）及已知条件易得，和；故可以为坐标原点，建立空间直角坐标系从而由空间向量知识及可求得直线与平面所成角的正弦值；（III）在（II）中所建立的空间直角坐标系中，求出平面的法向量和平面的法向量，代入公式二面角的夹角公式即可求出二面角的余弦值.试题解析：（I）证明：在中，为中点.所以 .................1分因为平面底面，且平面底面所以底面 ............3分又平面所以. ..............4分（II）解：在直角梯形中，//为中点所以四边形为平行四边形因为所以 由（I ）可知平面所以，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.则(0,0,0),(1,0,0),3),(3,0),Q A P C - 所以(0,3,3),(0,3,0),(1,0,3)PB CD PD =-=-=-- ....................6分 设平面的法向量为则即亦即令，得所以 .........8分设直线与平面所成角为，则所以与平面所成角的正弦值为 ..............10分（III ）解：如（II ）中建立空间直角坐标系因为所以平面即为平面的法向量，且 ................11分因为是棱的中点所以点的坐标为又设平面的法向量为即令得所以 ......................................13分所以由题知，二面角为锐角所以二面角的余弦值为...............................14分考点：1.直线与平面、平面与平面的垂直关系；2. 直线与平面所成的角；3.二面角.18.（本小题满分13分）已知函数.（I ）当时，求函数的单调区间；（II ）设，且函数在点处的切线为，直线//，且在轴上的截距为1.求证：无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方.【答案】（I ）函数的单调递增区间为；单调递减区间位；（II ）祥见解析.【解析】试题分析：（I ）求出函数的导函数，在的条件下列出的单调性与符号的变化情况，即可写出函数的单调区间；（II ）首先利用导数的几何意义求出函数在点处的切线为的斜率，从而就可写出直线的方程为；构造函数()()[(1)1]ln 1(0)h x g x a x x x x =--+=-->则无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方，等价于，再利用导数证明即可.试题解析： （I ）解：................2分所以，时，与的变化情况如下：因此，函数的单调递增区间为；单调递减区间位......................6分（II ）证明：所以 所以的斜率为...................7分 因为//，且在轴上的截距为所以直线的方程为 .................8分令()()[(1)1]ln 1(0)h x g x a x x x x =--+=-->则无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方，等价于...............................9分而............................10分当时，，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减从而当时，取得最大值即在上，取得最大值 .....................12分所以因此，无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方.................13分考点：1. 利用导数研究函数的单调性；2. 导数的几何意义；3.利用导数证明不等式．19.（本小题满分14分）已知椭圆（I ）求椭圆的离心率；（II ）设椭圆上在第二象限的点的横坐标为，过点的直线与椭圆的另一交点分别为.且的斜率互为相反数，两点关于坐标原点 的对称点分别为 ,求四边形 的面积的最大值.【答案】（I ）；（II ）.【解析】试题分析：（I ）将椭圆方程化成标准形式得可得从而计算得即可求得离心率．（II ）由题意可知，点的坐标为设的方程为则的方程为分别联立直线方程与椭圆方程消元得到一个一元二次方程，由于知道是此方程的根，利用韦达定理也就可求出另一根，即是点A 或B 的横坐标，进而可求出直线AB 的斜率，从而就可用斜截式设出直线AB 的方程；从而就可求出原点到直线的距离d,然后联立直线AB 的方程与椭圆的方程，消元后得到一个关于直线AB 截距为参数的一元二次方程，由韦达定理及弦长公式可将弦AB 的长用直线AB 截距表示出来，从而就可用直线AB 截距将三角形OAB 的面积表示成为直线AB 截距的函数，求此函数的最大值即得到三角形OAB 的面积的最大值，再注意到四边形 为平行四边形,且四边形的面积为三角形OAB 的面积的四倍得到结果．试题解析：（I ）由题意，椭圆的标准方程为所以从而因此，故椭圆的离心率................................4分（II ）由题意可知，点的坐标为设的方程为则的方程为...............5分由 得2222(43)(812)41230.k x k k x k k +++++-=由于是此方程的一个解.所以此方程的另一解同理.......................7分 故直线的斜率为33(1)(1)22B A B A AB B A B Ak x k x y y k x x x x -++-+--==-- ..............................9分设直线的方程为由 得所以||AB ==又原点到直线的距离为所以的面积12OAB S ∆==当且仅当，即时.的面积达到最大.且最大值为 . ...................13分由题意可知，四边形 为平行四边形,所以，四边形的面积 ,故四边形面积的最大值为 . ......................14分考点：1. 椭圆的性质；2. 直线与椭圆的位置关系；3. 基本不等式.20. （本小题满分13分）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过坐标原点.数列的前项和为，点在二次函数的图象上. （I ）求数列的通项公式；（II ）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围；（III ）在数列中是否存在这样一些项：，这些项都能够构成以为首项，为公比的等比数列？若存在，写出关于的表达式；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅲ）存在，【解析】试题分析：（I ）由已知可得数列的前项和为的公式，再利用求得数列的通项公式；（Ⅱ）分n 为奇数与偶数先求出，由使对恒成立，通过分离参数t 转化为求函数的最值，即可求得实数的取值范围；（III ）由知，数列中每一项都不可能是偶数，假设存在，对q 的每一个取值：1，2，3，4逐一讨论即可获得结论．试题解析：（I ）由题意可知所以 ......................1分 当时，221121221[(1)(1)].33333n n n n a S S n n n n -+=-=+--+-= 当时适合上式所以，数列的通项公式为......................4分（II ）因为所以1122334451(1)n n n a a a a a a a a a a -+=-+-++-由（I ）可知，数列是以1为首项，公差为的等差数列.① 当时，21212233445221(1)m n m m m T T a a a a a a a a a a -+==-+-++-213435221212224222()()()44()33211(812)(26).99m m m m m a a a a a a a a a a a a a a m m m n n -+=-+-++-+=-+++=-⨯⨯=-+=-+ ② 当时，所以 ；....................7分要使对恒成立，只要使为正偶数）恒成立.即使对为正偶数恒成立，故实数的取值范围是.............9分（III ）由知，数列中每一项都不可能是偶数.① 如存在以为首项，公比为2或4的数列，此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列.② 当时，显然不存在这样的数列.当时，若存在以为首项，公比为3的数列，则所以存在满足条件的数列，且..........................13分考点：1. 数列的通项的求法；2. 数列的前n 项和的求法；3.等差数列与等比数列.brr23521 5BE1 寡 23159 5A77 婷27540 6B94 殔29410 72E2 狢 21373 537D 卽32367 7E6F 繯39149 98ED 飭40488 9E28 鸨[。
黑龙江省大庆市2024届高三第一次教学质量检测数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知在长方体中，在平面上任取一点，作于，则（ ）A ．平面B ．平面C ．平面D ．以上都有可能2.函数的图象和函数的图象的交点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43. 已知口袋中有3个黑球和2个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（ ）A．B．C．D．4. 方程的解是（ ）A ．1B ．2C ．eD ．35. 已知是边长为1的正三角形，，，则（ ）A．B．C．D ．16.已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）A．B．C．D．7.函数的值域为（ ）A．B．C．D．8.复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，为虚数单位，则（ ）A．B．C．D．9.下图是离散型随机变量的概率分布直观图，其中，则（）A．B．C．D．10. 下列说法正确的是（ ）黑龙江省大庆市2024届高三第一次教学质量检测数学试题黑龙江省大庆市2024届高三第一次教学质量检测数学试题三、填空题四、解答题A ．若，则B ．若，，则C ．，则D ．若，则11. 已知i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A．复数的虚数部为B ．复数的共轭复数C ．复数在复平面对应的点位于第二象限D ．复数z 满足，则12. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（ ）A．甲得钱是戊得钱的倍B．乙得钱比丁得钱多钱C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱13. 已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，轴于点，且．当最大时，点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为______．14. 的展开式中常数项为___________.15. 已知一个圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为___________.16. 设，，为非零实数，且，证明：（1）；（2）.17. 如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别是棱BC ，AB 的中点，点F 在棱CC 1上，已知AB ＝AC ，AA 1＝3，BC ＝CF ＝2．（1）求证：C 1E 平面ADF ；（2）设点M 在棱BB 1上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ．18. 已知椭圆的长轴长为4，且椭圆经过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线与椭圆交于两点，直线与弦交于点，求证：．19. 如图，在三棱锥中，底面，，，分别为、、的中点．（1）证明：；（2）求三棱锥的体积．20. 已知分别为三角形三个内角的对边，且有.(1)求角A；(2)若为边上一点，且，求.21. （Ⅰ）不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）已知函数．证明：函数存在极小值点且极小值小于0．。
大庆市高三年级第一次教学质量检测数学试题 参考答案
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若 )("*("))#*)#则"#可能平行也可能相交故 .错误 若"%#+%#则+与" 可能平行也可能+("故 (错误 结合线面平行性质定理可知 4正确! 5!*!若$,(*#则$(中至少有一个大于!若$(中至少有一个大于!则$,(不一定大于#!故$,(*# 是$(中至少有一个大于!的充分不必要条件! 3!4!由题意可知,)%$-, +&所以 ., +&!因为抛物线/ 的通径长#0+!#所以.,%' 轴所以
黑龙江省大庆市2021届高考数学第一次质检试卷(理科)(一模)(含答案解析)
黑龙江省大庆市2021届高考数学第一次质检试卷(理科)(一模)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知合集A ={x|x 2−3x −4<0}，B ={−4,1,3,5}，则A ∩B =( )A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}2.已知复数z =52i−1(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数对应的点位于复平面的( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在二项式(√x +√x 4)n 的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为( )A. 16B. 14C. 13D. 5124.= ( )A. 2B. 4C. 1D. 85.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x(单位： ∘C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据(x i ,y i )(i =1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ∘C 至40 ∘C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A. y =a +bxB. y =a +bx 2C. y =a +be xD. y =a +blnx6. 在△ABC 中，√3sinA =bcosB ，则角B =( )A. π6B. π3C. 2π3D. π47. 定义在实数集R 上的函数f(x)都可以写为一个奇函数g(x)与一个偶函数ℎ(x)之和的形式，如果f(x)=2x +1，那么( )A. g(x)=2x −2−x2，ℎ(x)=2x +2−x2B. g(x)=2x −2−x2，ℎ(x)=1+2x +2−x2C. g(x)=1+2x −2−x2，ℎ(x)=2x +2−x2D. g(x)=2x −2−x +12，ℎ(x)=2x +2−x +128. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠． 某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是( )A. 413.7元B. 513.7元C. 546.6元D. 548.7元9. 在棱长为3，各面都为等边三角形的正四面体内任取一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段的长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1+d 2+d 3+d 4的值为( )A. √2B. √3C. 2D. √610. 已知抛物线C ：y 2=4x 焦点为F ，点D 为其准线与x 轴的交点，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，则△DAB 的面积S 的取值范围为( )A. [5,+∞)B. [2,+∞)C. [4,+∞)D. [2,4]11. 已知sin(α+π3)+sinα=−4√35.−π2<α<0，则sin(−α+5π6)等于( ) A. −45B. −35C. 35D. 4512. 若定义在R 上的函数f(x)，满足f(x +2)=f(x)，且当x ∈[−1,1]时，f(x)=x 2，函数g(x)={log 3(x −1),x >12x ,x ≤1，则函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间[−4,5]内的零点的个数为( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 对于有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下表：根据上表得它们的回归直线方程为，据此模型来预测当x =20时，y 的估计值为 14. 已知点(1,2)是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)渐近线上一点，其离心率是______ 15. 已知正方形ABCD 的边长为8，空间有一点M(不在平面ABCD 内)满足|MA|+|MB|=10，则三棱锥M −ABC 的体积的最大值是______ ．16. 过平面外一条直线，可以作______个平面与该平面平行． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }满足a 1=2，a 2=1，且a n+1a n+1−a n =a n−1a n −a n−1(n ≥2)． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)令b n =12a n a n+2，记数列{b n }的前n 项和为S n ，试求使S n <m −12恒成立的m 的最小值．18. 某市公租房的房源位于A ，B ，C ，D 四个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，在该市的甲、乙、丙三位申请人中： (1)求恰有1人申请A 片区房源的概率；(2)用ξ表示选择A 片区的人数，求x 的分布列和数学期望．19. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 圆周上不同于A 、B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，点E 是线段PB 的中点，点M 在A ^B 上，且MO//AC ．(1)求证：BC ⊥平面PAC ； (2)求证：平面EOM//平面PAC ．20. 设点O 为坐标原点，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ≥b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，过点O 且斜率为16的直线与直线AB 相交M ，且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (Ⅰ)求椭圆E 的离心率e ；(Ⅱ)PQ 是圆C ：(x −2)2+(y −1)2=5的一条直径，若椭圆E 经过P ，Q 两点，求椭圆E 的方程．21. 已知函数f(x)=x2−ax(a≠0)，g(x)=lnx，f(x)图象与x轴交于点M(M异于原点)，f(x)在M处的切线与直线x−y+10=0平行．(Ⅰ)求f(2)的值；(Ⅱ)已知非零实数t，求函数y=tg(x)−f(x)+x2，x∈[1,e]的最小值；(Ⅲ)令F(x)=g(x)+g′(x)，给定x1，x2∈(1,+∞)，x1<x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+(1−m)x2，β=(1−m)x1+mx2，并且使得不等式|F(α)−F(β)|< |F(x1)−F(x2)|恒成立，求实数m的取值范围．22. 已知曲线C1的参数方程为{y=√32tx=1+12t (t为参数)，曲线C2的参数方程为{x=cosθy=sinθ(θ为参数)．(1)若C1与C2相交于A、B两点，求|AB|；(2)若把曲线C2上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到曲线C3，设点P是曲线C3上的一个动点，求它到曲线C1的距离的最大值．23. 用分析法证明：在△ABC中，如果∠A的外角平分线与三角形的外接圆相交于点D，那么BD=CD．【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查集合的交集运算和解一元二次不等式，属于基础题． 解出集合A ，利用交集即可求解． 解：由不等式，解得，所以A ∩B ={1,3}， 故选D ．2.答案：B解析：解：∵复数z =52i−1=5(−2i−1)(2i−1)(−2i−1)=−1−2i ． ∴z =−1+2i ．其对应的点为(−1,2)，它位于复平面的第二象限． 故选：B ．利用复数代数形式的乘除运算化简求出z ，进一步得到z ，得到z 的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：D解析：由二项式系数的性质得到n 的值，由通项公式可得展开式中的有理项的个数，求出9项的全排列数，由插空排列求出有理项都互不相邻的排列数，最后由古典概型概率计算公式得答案．本题考查二项式系数的性质，考查简单的排列组合知识，训练了利用古典概型概率计算公式求概率，是中档题．解：∵二项式(√x √x 4)n的展开式中只有第五项的二项式系数最大，∴二项式的二项展开式共有9项，则n =8．其通项为T r+1=C 8r (√x)8−r(√x4)r=2r·C 8r·x4−34r，当r =0，4，8时，项为有理项． 展开式的9项全排列共有A 99种，有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项在形成的7个空中插孔即可，有A 66⋅A 73种．∴有理项都互不相邻的概率为A66⋅A73A99=512．故选D．4.答案：A解析：试题分析：，考点：向量运算及求模点评：在求模时常利用关系式将其转化为向量运算5.答案：D解析：本题考查函数模型的应用，属于基础题．连接各点，判断图象的大致走向，可判断函数为对数模型．解：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y=a+blnx．故选D．6.答案：A解析：解：根据题意，△ABC中，√3sinA =bcosB，变形可得asinA=√33cosB，又由正弦定理asinA =bsinB，则有sinB=√33cosB，即tanB=√33，则B=π6，故选：A．根据题意，将3sinA =bcosB变形可得asinA=√33cosB，结合正弦定理可得sinB=√33cosB，即tanB=√33，结合B的范围，分析可得答案．本题考查正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式以及变形．7.答案：B解析：解：∵f(x)都可以写为一个奇函数g(x)与一个偶函数ℎ(x)之和的形式， ∴f(x)=g(x)+ℎ(x)，则f(−x)=g(−x)+ℎ(−x)=−g(x)+ℎ(x)， 则g(x)=f(x)−f(−x)2，ℎ(x)=f(x)+f(−x)2，∵f(x)=2x +1， ∴g(x)=f(x)−f(−x)2=2x −2−x2，ℎ(x)=f(x)+f(−x)2=1+2x +2−x2，故选：B根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的性质，建立方程组关系是解决本题的关键．8.答案：C解析：解：某人两次去购物，分别付款168元与423元，由于商场的优惠规定，168元的商品未优惠，而423元的商品是按九折优惠后的，则实际商品价格为423÷0.9=470元， 如果他只去一次购买同样的商品即价值168+470=638元的商品时，应付款为： 500×0.9+(638−500)×0.7=450+96.6=546.6(元)． 故选：C ．两次去购物分别付款168元与423元，而423元是优惠后的付款价格，实际标价为423÷0.9=470元，如果他只去一次购买同样的商品即价值168+470=638元的商品，按规定(3)进行优惠计算即可． 本题主要考查了根据实际问题选择函数类型，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，属于中档题．9.答案：D解析：解：由于正四面体的边长为3， 可得它的高为ℎ=√63×3=√6，如图，设正四面体ABCD 内有一点P ，根据题意得 V A−BCD =V P−ABC +V P−ACD +V P−ABD +V P−BCD ， 即：13S △BCD ×√6=13S △ABC ×d 1+13S △ACD ×d 2+13S △ABD×d 3+13S △BCD ×d 4， ∵正四面体的各个面是全等的正三角形， ∴两边约去13S △BCD ，得√6=d 1+d 2+d 3+d 4即d 1+d 2+d 3+d 4为定值√6． 故选：D ．根据正四面体的棱长为3算出它的高ℎ=√6，再由体积分割法列出等式，然后两边约去三角形的面积化简得√6=d 1+d 2+d 3+d 4，可得本题答案．本题给出棱长为3的正四面体内部的点P ，求点P 到四个面的距离之和．着重考查了正四面体的性质、锥体的体积公式等知识，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由抛物线C ：y 2=4x 可得焦点F(1,0).设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，讨论直线AB 的斜率不存在，求出A ，B 的坐标，由三角形的面积公式计算可得；当直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y =k(x −1).与抛物线方程联立可得：k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，利用根与系数的关系和弦长公式可得|AB|，求出点D(−1,0)到直线AB 的距离d ，再利用S △DAB =12d ⋅|AB|即可得出所求范围． 解：由抛物线C ：y 2=4x 可得焦点F(1,0)． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，当AB 的斜率不存在，即有AB ：x =1，A(1,2)，B(1,−2)，|AB|=4，S =12×4×2=4；当直线AB 的斜率存在时，直线AB 的方程设为：y =k(x −1)(k ≠0)． 联立{y =k(x −1)y 2=4x，化为k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 则x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1．∴|AB|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+k 2)[(2+4k 2)2−4]=4(1+k 2)k 2．点D(−1,0)到直线AB 的距离d =√1+k 2． ∴S △DAB =12⋅√1+k24(1+k 2)k 2=4√1k 2+1>4．综上可得△DAB 的面积S 的取值范围为[4,+∞)．11.答案：A解析：解：因为：sin(α+π3)+sinα=32sinα+√32cosα=√3sin(α+π6)=−4√35， 所以：利用互补角的诱导公式可知：sin(α+π6)=−45=sin[π−(π6+α)]=sin(5π6−α)=sin(−α+5π6)，因此：所求的值为−45． 故选：A ．利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值化简已知可得sin(α+π6)的值，利用诱导公式化简所求即可得解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．12.答案：A解析：本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题． 由题意可得f(x)的周期为2，x ∈[−1,1]时，f(x)=x 2，且本题即求函数f(x)的图象和函数g(x)的图象在区间[−4,5]内交点的个数，数形结合可得结论． 解：∵f(x +2)=f(x)，∴f(x)的周期为2． 当x ∈[−1,1]时，f(x)=x 2， 函数g(x)={log 3(x −1),x >12x ,x ≤1， 则函数ℎ(x)=f(x)−g(x) 在区间[−4,5]内零点的个数， 即函数f(x)的图象(黑色部分)和函数g(x)的图象(黄色部分)在区间[−4,5]内交点的个数， 如图所示：故函数f(x)的图象和函数g(x)的图象 在区间[−4,5]内交点的个数为7，13.答案：211.8解析：试题分析：由数据，分别计算得，代入得，，即回归直线方程为，所以，当x=20时，y的估计值为211.8。
黑龙江省大庆中学2021届高三数学下学期第一次仿真考试试题 文
黑龙江省大庆中学2021届高三数学下学期第一次仿真考试试题 文一、单选题1．已知集合{}13A x x =＜＜，{}220B x x x =--＞，则A B =（ ）A ．()(),11,-∞-+∞B ．()1,3-C ．()(),21,-∞-⋃+∞D ．()2,3-2．若a 、b 、R c ∈，则“a b <”是“22ac bc <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于（ ） A ．−2 B ．2 C ．12 D ．−14．中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C 取决于信道带宽W ，经科学研究表明：C 与W 满足2log (1)S C W N=+，其中S 是信道内信号的平均功率，N 是信道内部的高斯噪声功率，SN为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）(附：lg 20.3010≈)A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%5．已知函数()sin()f x x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．函数()f x 在区间34,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1- D ．曲线12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于直线2x π=-对称6．已知向量a ，b 满足2a =，()2a b a +⋅=，23a b -=，向量a b -与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2，a 4是方程x 2+2x ﹣3=0的两实根.则S 5=（ ）A ．10B ．5C ．﹣5D ．﹣108．已知2sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．19-B ．19C ．9-D ．99．已知函数3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，若(1)()f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知直线l 、m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ）A ．若//l n αβαβ⊂⊂，，，则//l nB ．若l αβα⊥⊂，，则l β⊥C ．若l n m n ⊥⊥，，则//l mD ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥11．已知圆22: 1O x y +=上存在点P ，直线: 40l kx y -+=上存在点Q ，使得6PQO π∠=，则实数k 的取值范围是（） A．[B．(,)-∞⋃+∞ C．[D ．(,[2,)-∞+∞12．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且2022f x为奇函数，则不等式20220xf xe 的解集是（ ）A ．(),0-∞B ．C ．()0,∞+D ．()2022,+∞二、填空题()2022ln ，∞-13．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最小值是___________.14．若数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈，都有11n n a a n +-=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S =_____．15．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，四边形ABCD为矩形，24AB AD ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为________．16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A ，点P 为双曲线右支上一点，直线OP 交双曲线于另一点Q ，若直线AQ 恰好平分线段PF ，则该双曲线的离心率为___ 三、解答题17．(本小题满分12分)为了宣传今年10月在我是举办的“第十五届中国西部博览会”组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n 人，回答问题统计结果如下图表所示：(1)分别求出a ，x 的值；(2)从地2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“西博会”组委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.18．如图，四边形ABCD 中，满足//AB CD ，90ABC ∠=︒，1AB =，3BC ，2CD =，将BAC沿AC 翻折至PAC △，使得2PD =. （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PAD 所成角的正弦值.19．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c 且满足()cos25cos 20A B C -+-=. （1）求角A 的大小. （2）已知a =⋅b c 的取值范围.20．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左､右焦点，且离心率为2，点22A ⎛- ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，且22OA OB b k k a⋅=-.问：AOB 的面积是否为定值？若是定值，求出结果，若不是，说明理由. 21．已知0x =为函数()x f x e kx =-的极值点 （1）求k 的值；（2）若∀(0,)x ∈+∞，2()(1)1f x x a x >-+-+，求实数a 的取值范围.22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线3πθ=与曲线2C 交于点2,3D π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知极坐标系中两点()10,A ρθ，20,+2B πρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若A 、B 都在曲线1C 上，求221211+ρρ的值1．A 【分析】集合A 是已知的，只需将集合B 中x 的范围求解出来表示出集合B ，再求并集即可. 【详解】集合A ={}|13x x <<,220x x -->，解得1x <-或2x >,即{}|12B x x x =-或,所以{}|11A B x x x ⋃=-或，即(−∞,−1)∪(1,+∞).故选：A【点睛】注意集合B 的解集、以及求交集的准确性，区别交集和补集. 2．B 【分析】利用不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义可得出结论. 【详解】充分性：若a b <，0c ，则22ac bc =，充分性不成立；必要性：若22ac bc <，则20c >，由不等式的性质可得a b <，必要性成立. 因此，“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件.故选：B. 3．C 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为21255a ai -++，根据复数的概念，列出方程，即可求解.【详解】根据复数的运算法则，可得()()()()2222a i i a i i i i +++=--+21255a a i -+=+，因为复数2a ii +-是纯虚数，所以2105a -=且205a +≠，解得12a =.故选：C ． 4．B 【分析】先计算1000S N =和4000SN=时的最大数据传输速率1C 和2C ，再计算增大的百分比211C C C -即可. 【详解】当1000S N =时，122log 1001log 1000C W W =≈；当4000SN=时，222log 4001log 4000C W W =≈.所以增大的百分比为：2122112log 4000lg 4000lg 4lg10001111log 1000lg1000lg1000C C C W C C W -+=-=-=-=-lg 42lg 220.30100.220%lg100033⨯==≈≈=. 故选：B. 5．C 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再结合选项一一判断即可； 【详解】解：由函数图象可知541264Tπππ=-=，所以T π=，因为2T ππω==，所以最小正周期为π，所以2ω=，故A 错误；又函数过点5,112π⎛⎫⎪⎝⎭，所以55sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以52,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以252,333πππx ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在25,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；当34,43πx π∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以,267733x πππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，所以sin 23x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，故C 正确； s s 2i in 2112n 236y f x x x ππππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+=+=⎪⎛⎫- ⎪ ⎝- ⎪⎢⎭⎝⎭⎝⎣⎦⎭⎥，当2x π=-时，116in 2s y π=≠±=，故2x π=-不是函数12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，故D 错误故选：C 6．D 【分析】由给定条件依次求出a b ⋅和||b ，再利用向量夹角公式求解即得. 【详解】向量a ，b 满足||2a =，()2a b a +⋅=，则22+⋅=aa b ，得2a b ⋅=-，由222223()122124412a ba b a a b b b-=⇒-=⇒-⋅+=⇒++=，得2b =，向量a b -与b 的夹角为θ，()2cos 23a b b a b a b bθ-⋅⋅-====-，[]0,θπ∈，所以56πθ=. 故选：D 7．C 【分析】根据a 2，a 4是方程x 2+2x ﹣3=0的两实根，得到24,a a 的关系,再由()24552a a S +=求解. 【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2，a 4是方程x 2+2x ﹣3=0的两实根，∴24242,3a a a a +=-⋅=-，所以()()1524555522a a a a S ++===-故选：C. 8．A 【分析】 由22()266πππθθ+-=+，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得2sin(2)2sin ()166ππθθ-=+-，即可求值.【详解】由题意有：22()266πππθθ+-=+，∴2cos(2)sin(2)cos 2()12sin ()26666πππππθθθθ+-=--=+=-+，又2sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴1sin 269πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：A. 9．A 【分析】首先判断函数的单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】解：因为3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时()x f x e -=单调递减，且()1f x ≥，当0x >时，3()f x x =-单调递减，且()0f x <，所以函数3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩在定义域上单调递减，因为(1)()f a f a -≥-，所以1a a -≤-，解得12a ≤，即不等式的解集为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：A 10．D 【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项. 【详解】A.若//l n αβαβ⊆⊆，，，则//l n 或异面，故A 不正确；B.缺少l 垂直于交线这个条件，不能推出l β⊥，故B 不正确；C.由垂直关系可知，//l m 或,l m 相交，或是异面，故C 不正确；D.因为l β//，所以平面β内存在直线//m l ，若l α⊥，则m α⊥，且m β⊂，所以αβ⊥，故D 正确.故选：D 11．B 【分析】由题意，当直线PQ 与圆相切时，PQO ∠最大，此时2OQ ，然后可得圆心到直线的距离小于或者等于2，即可解出不等式.【详解】由题意可得，当直线PQ 与圆相切时，PQO ∠最大，此时2sin 30OPOQ ==︒所以要使圆22: 1O x y +=上存在点P ，直线: 40l kx y -+=上存在点Q ，使得6PQO π∠=成立则有221d k=≤+，解得(,3][3,)k ∈-∞-+∞故选：B 12．C 【分析】本题首先可设()()xf xg x e=，然后根据()()f x f x '>得出()g x 为定义在R 上的减函数，再然后根据2022f x为奇函数得出02022g ，最后将20220xf xe 转化为()()0g x g <，即可解出不等式.【详解】 设()()x f x g x e =，则()()()xf x f xg x e'-'=， 因为()()f x f x '>，所以()0g x '<，()g x 为定义在R 上的减函数， 因为2022f x为奇函数，所以020220f ，02022f ，0002022f g e ，20220xf xe ，即2022xf x e ，()()0g x g <，0x >，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查通过构造函数并利用函数性质解不等式，构造函数()()xf xg x e =是解决本题的关键，考查奇函数的性质的应用，考查利用函数单调性解不等式，是中档题.13．1-. 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，化简目标函数为直线的斜截式，结合图形确定目标函数的最优解，代入，即可求解.【详解】画出约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数32z x y =+，可化为直线322z y x =-+，当直线322z y x =-+过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由0340x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得(1,1)A -，所以目标函数32z x y =+的最小值为min 3(1)211z =⨯-+⨯=-. 故答案为：1-.【点睛】根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值； （2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如y bz x a-=-，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解.14．21nn + 【分析】由11a =，11n n a a n +-=+，利用叠加法，求得1(1)2n a n n =+，求得11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，结合裂项法求和，即可求解.【详解】由11a =，且对于任意的*n N ∈，都有11n n a a n +-=+， 可得1213211()()()123(1)2n n n a a a a a a a a n n n -=+-+-++-=++++=+， 则12112(1)1na n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以1111112 2121223111nnSn n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．故答案为：21nn+．15．64 3π【分析】先根据面面垂直，取平面PAD的外接圆圆心G，平面ABCD的外接圆圆心H，分别过两点作对应平面的垂线，找到交点为外接球球心O，再通过边长关系计算半径，代入球的表面积公式即得结果.【详解】如图，取AD的中点E，BC的中点F，连EF，PE，在PE上取点G，使得2PG GE=，取EF的中点H，分别过点G、H作平面PAD、平面ABCD的垂线，两垂线相交于点O，显然点O为四棱锥P ABCD-外接球的球心，由2AD=，4AB=，可得3PE=33GE OH==2222125AH AE EH=++=，则半径22343(5)3r OA⎛⎫==+=⎪⎪⎝⎭，故四棱锥P ABCD-外接球的表面积为24364433ππ⎛⎫⨯=⎪⎪⎝⎭．故答案为：643π.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.16．3 【分析】设PF 的中点为M ，连接OM ，分析可知//OM FQ 且12OM FQ =，进而可得出12OA AF =，可得出关于a 、c 所满足的等式，由此可求得双曲线的离心率.【详解】设PF 的中点为M ，连接OM ，O 、M 分别为PQ 、PF 的中点，则//OM FQ 且12OM FQ =，所以，12OA OM AF FQ ==，即12a c a =-，3c a =∴，因此，该双曲线的离心率为3ce a ==.故答案为：3. 【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的方法：（1）若可求得a、c，直接利用cea=求解；（2）若已知a、b，可直接利用e=（3）若得到的是关于a、c的齐次方程220pc qac ra++=（p、q、r为常数，且0p≠），则转化为关于e的方程20pe qe r++=求解.17.．(1)a＝18，x＝0.9；(2)35【解析】试题分析：(1)根据第1组数据，先求出总人数n，然后对照直方图中的数据，分别求出a和x；(2)利用分层抽样的原理，先确定出每组抽出的人数，列出所有两人获奖的情况，找出第2组至少1人获奖的情况数，求出相应概率.试题解析：(1)根据频率表中第1组数据可知，第1组的总人数为50.5＝10再结合频率分布直方图可知n＝100.0110⨯＝100∴a＝100×0.020×10×0.9＝18x＝271000.0310⨯⨯＝0.9(2)第2，3，4组中回答正确的共有54人∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：654×18＝2人；第3组：654×27＝3人；第3组：654×9＝1人设第2组的2人为A1，A2，第3组中的3人为B1，B2，B3，第4组的1人为C.则从6人中抽2人的所有可能情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C)，(B2，B3)，(B2，C)，(B3，C)，共15个基本事件其中第2组至少1人被抽中的有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)这9个事件∴第2组至少1人获得幸运奖的概率为93155=.考点：抽样方法，统计，直方图，频率，概率.18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）155.【分析】（Ⅰ）过B作BO AC⊥，垂足为O，连PO，DO，作DE AC⊥，垂足为E，易得PO AC⊥，通过勾股定理可得PO OD⊥，即可得PO⊥平面ACD，进而可得结果；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，平面PAD的法向量，利用向量法即可得结果.【详解】（Ⅰ）过B作BO AC⊥，垂足为O，连PO，DO，则PO AC⊥，作DE AC⊥，垂足为E，则3DE=，12OE=，132DO=所以222PO DO PD+=，即PO OD⊥又AC DO O⋂=，所以PO⊥平面ACD，又PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ACD；（Ⅱ）以O为坐标原点，OC，BO所在的直线为x，y轴建立空间直角坐标系则1,0,02A⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02C⎛⎫⎪⎝⎭，13,02D⎛⎫⎪⎝⎭，3P⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()1,3,0AD=，132AP⎛=⎝⎭设平面PAD 的法向量为(,,)n a b c =，则1302230AP n a c AD n a b ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩取法向量()3,1,1n =--，()1,3,0CD =- 设直线CD 与平面PAD 所成角为θ， 则15sin cos ,5CD n θ=<>=.19．（1）3π；（2）(]2,3.【分析】（1）根据A B C π++=以及二倍角的余弦公式化简原式得到关于cos A 的方程，由此求解出cos A 的值，从而A 的大小可求；（2）先根据正弦定理求解出,b c 关于sin ,sin B C 的表示，然后根据23B C π+=以及三角恒等变换的公式化简bc 的表达式，结合B 的范围可求解出bc 的取值范围.【详解】（1）因为()cos25cos 20A B C -+-=，所cos 25cos 20A A +-=， 所以22cos 5cos 30A A +-=，所以()()2cos 1cos 30A A -+=， 且A 为锐角，()cos 0,1A ∈，所以1cos 2A =，所以3A π=； （2）因为32sin sin sin sin 3a b c A B C π====，所以2sin ,2sin b B c C ==，所以214sin sin 4sin sin 4sin sin 32bc B C B B B B B π⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2cos 2sin 21cos2bc B B B B B =+=+-，所以2sin 216bc B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又因为022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，所以,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以52,666B πππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又sin y x =在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以1sin 2,162B π⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以(]2,3bc ∈.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于利用正弦定理将边化为角的形式，结合三角恒等变换的公式进行化简求解，同时本例中角的范围确定也很重要；若题设未对三角形的形状作规定，第二问还可以采用余弦定理结合基本不等式进行求解.20．（1）2212x y +=；（2【分析】（1A ⎛ ⎝⎭在椭圆上，结合椭圆,,a b c 的关系，列方程组，解得22,a b ，进而可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线l 与椭圆的方程，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，12y y ，由22OA OBb k k a⋅=-得2212k m =-，由弦长公式可得AB ，由点到直线的距离公式可得点O 到直线AB 的距离d ，再计算12AOB S d AB =⋅⋅△即可得出答案.【详解】（1）根据题意可得：2222213124c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：22a =，21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由题意知：0m ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222124220k x kmx m +++-=，()()()2222244212216880km k m k m ∴∆=-+-=-+>，即2221m k <+， 则122421km x x k +=-+，21222221m x x k -=+，()()()2222121212122221m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+， 22212221221222OA OBy y m k b k k x x m a -⋅===-=--，2212k m ∴=-，满足2221m k <+，AB ∴==，又点O 到直线AB的距离d =1122AOBSd AB ∴=⋅⋅=2m = 把2212k m =-代入上式得：2222AOB m S m =⨯=△∴AOB【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用已知等量关系得到变量之间的关系，结合韦达定理可表示出所求的三角形面积；④化简三角形面积的表达式，消元可得定值. 21．（1）()x f x e k '=-，0(0)0f e k '=-=，解得1k =，经检验，()f x 在(,0)-∞递减，在(0,)+∞递增，0x =为()f x 的极小值点，符合题意，因此，1k =．（2）(0,)x ∀∈+∞，210x e x ax +-->，设2()1x g x e x ax =+--，其中(0)0g =()2x g x e x a '=+-，令()()2x h x g x e x a '==+-，则()20x h x e '=+>，()h x ∴在(0,)+∞递增 ()(0)1h x h a >=-①当10a -≥时，即1a ≤，()0g x '≥，()g x 在(0,)+∞递增，()(0)0g x g >=符合题意， 所以1a ≤②当10a -<时，即1a >，0(0,)x ∃∈+∞，00()g x '=，在0(0,)x 上，()0g x '<，()g x 在0(0,)x 递减，所以0(0,)x x ∈时，()(0)0g x g <=不符合题意,综上，实数a 的取值范围为1a ≤22．（1）221:14x C y +=，()222:24C x y -+=；（2）54.【解析】 【分析】（1）在曲线1C 的参数方程中消去参数ϕ可得出曲线1C 的普通方程，根据题意设曲线2C 的极坐标方程为2cos a ρθ=（a 为半径），将点D 的极坐标代入曲线2C 的极坐标方程，求出a 的值，可得出曲线2C 的极坐标方程，确定曲线2C 的形状，可得出曲线2C 的普通方程；（2）将曲线1C 的方程化为极坐标方程为22244sin cos ρθθ=+，将点A 、B 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程可得出21ρ和22ρ的表达式，代入可求出221211+ρρ的值.【详解】（1）1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，1C ∴的普通方程为2214x y +=，由题意，设曲线2C 的极坐标方程为2cos a ρθ=（a 为半径），将2,3D π⎛⎫⎪⎝⎭代入，得1222a =⨯，2a ∴=， 圆2C 的圆心的直角坐标为()2,0，半径为2， 因此，2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=； （2）曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=，即22244sin cos ρθθ=+21220044sin cos ρθθ∴=+，2222220044sin 4cos 4sin cos 22ρππθθθθ==+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2222000022124sin cos 4cos sin 115=+444θθθθρρ++∴+=.。
黑龙江省大庆市2024届高三第一次教学质量检测数学试题(3)
一、单选题1. 设集合，，则等于A．B．C．D．2. 一个棱长为的正方形沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．3. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B两点，若，的周长为8a ，则C 的离心率为（ ）A．B．C．D．4. 设k ，b ∈R ，若关于x 的不等式kx +b +1≥ln x 在（0，+∞）上恒成立，则的最小值是（ ）A ．﹣e 2B．C．D ．﹣e5. 在等比数列中，若，，成等差数列，则数列的公比为A ．0或1或-2B ．1或2C ．1或-2D ．-26.已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，设椭圆与双曲线的离心率分别为、，则（ ）A．B．C．D．7. 已知为虚数单位，复数满足：，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（ ）A．B．C．D．8. 若函数（，且）的值域为，则函数的图象大致是（ ）A．B．黑龙江省大庆市2024届高三第一次教学质量检测数学试题(3)黑龙江省大庆市2024届高三第一次教学质量检测数学试题(3)二、多选题三、填空题C．D．9. 在正方体中，分别为，，，，的中点，则（ ）A ．平面B ．平面C ．平面平面D ．平面平面10. 将两圆方程作差，得到直线的方程，则（ ）A ．直线一定过点B ．存在实数，使两圆心所在直线的斜率为C．对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直D ．过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等11. 已知是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（ ）A．B ．若，则C ．若，则D ．若.则12. 如图，函数的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，的零点为，则（）A ．函数有3个零点B ．恒成立C ．函数有4个零点D ．恒成立13. 已知正项数列，满足，且 ，则首项的取值范围是 ______ ．14. 在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记作：.关于两个不同的平面，有如下四个命题：①若，则存在点满足.②若，则存在点满足.③若，则不存在点满足.④若对空间任意一点，恒有，则.其中所有真命题的序号是______.四、解答题15.已知正项等差数列的前项和为，若，，则___________.16. 已知函数．(1)求的最小值；(2)证明：方程有三个不等实根．17. 某中学高一（1）班在接种了“新冠疫苗”之后，举行了“疫情防控，接种疫苗”知识竞赛.这次竞赛前名同学成绩的茎叶图如图所示，已知前名女生的平均得分为分.（1）①求茎叶图中的值；②如果在竞赛成绩高于分且按男生和女生分层抽样抽取人，再从这人中任选人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，求这人中有女生的概率；（2）如果在竞赛成绩高于分的学生中任选人参加学校座谈会，用表示人中成绩超过分的人数，求的分布列和期望.18. 设为常数，且．(1)证明对任意；(2)假设对任意，有，求的取值范围．19. 设椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上异于左､右顶点的任一点，的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）直线交椭圆于两点，分别为椭圆的左､右顶点，直线和直线交于点，求证：点到轴的距离为定值6．20.已知函数有两个极值点．(1)求的取值范围；(2)求证：．21. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚洲运动会在我国杭州举行，这是我国继北京、广州亚运会后第三次举办亚运会. 浙江某市一调研机构为了解本市市民对“亚运会”相关知识的认知程度，举办了一次“亚运会”网络知识竞赛，满分100分. 现从参加了竞赛的男、女市民中各随机抽取100名市民的竞赛成绩作为样本进行数据分析，对这100名男市民的竞赛成绩进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图.现规定成绩不低于80分的市民获优秀奖，若女市民样本中获得优秀奖的人数占比为.(1)是否有的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关？(2)将样本分布的频率视为总体分布的概率，在这次竞赛中获得优秀奖的市民每人将获得现金100元的奖励. 从该市所有参赛的市民中随机抽取8人，记奖金的总数为元，求的数学期望与方差.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828。
黑龙江省大庆市高三数学第一次教学质量检测试题 理 新人教A版
大庆市高三年级第一次教学质量检测试题理科数学命题组成员： 注意事项:1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 写在本试卷上无效.3. 回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）集合{4,5,3}M m =-，{9,3}N =-，若M N ⋂≠∅，则实数m 的值为（A ）3或3- （B ）3 （C ）3或1- （D ）1- （2）若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（A ）2 （B ）2- （C ）12 （D ）12- （3）设等比数列{}n a 中,前n 项和为n S ,已知7863==S S ，,则=++987a a a（A ）81 （B ）81- （C ）857 （D ）855（4）函数ln ||||x x y x =的图象可能是（A ） （B ） （C ） （D ）（5）三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生都排在一起的概率是（A ）130 （B ）115 （C ）110 （D ）15（6）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（A ）{}1,2,3,4,5 （B ） {}1,2,3,4,5,6（C ） {}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6（7）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（A（B （C （D（8）已知两个平面垂直，下列命题中：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数有（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9）已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递增区间是 （A ）[6,63],k k k Z ππ+∈ （B ）[63,6],k k k Z -∈（C ）[6,63],k k k Z +∈ （D ）无法确定（10）命题2:,10p x R ax ax ∀∈++≥，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是俯视图（A ）(0,4] （B ）[0,4]（C ）(,0][4,)-∞⋃+∞ （D ）(,0)(4,)-∞⋃+∞（11）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则AOB ∆的面积为（A ）5 （B ）52 （C ）32（D ）178（12）已知函数()21,0log ,0kx x f x x x + ≤⎧=⎨>⎩ ，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦ 的零点个数的4个判断：① 当0k >时，有3个零点；② 当0k <时，有2个零点； ③ 当0k >时，有4个零点； ④ 当0k <时，有1个零点；则正确的判断是（A ） ①④ （B ）②③ （C ）①② （D ）③④第II 卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分. （13）由曲线2,x y x y ==所围成图形的面积是____________.（14）已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =+=，则b =____________.（15）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_____________.（16）设,x y 满足约束条件32000,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()20,0z ax by a b =+>>的最大值为1，则22114a b +的最小值为____________. 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）在ABC ∆中，,,a b c分别是角,,A B C 的对边. 已知a=π3A =. （Ⅰ）若b =C 的大小； （Ⅱ）若2c =，求边b 的长.（18）（本小题满分12分）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，首项112a =，前n 项和为n S ，且335544,,S a S a S a +++成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为平行四边形，且BC ⊥ 平面PAB ，PA AB ⊥，M 为PB 的中点，2PA AD ==．（Ⅰ）求证：PD ∥平面AMC ；（Ⅱ）若1AB =，求二面角B AC M --的余弦值．（20）（本小题满分12分）某市为了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格. 把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 . （Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数；（Ⅱ）用此次测试结果估计全市毕业生的情况. 若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X 表示两人中成绩不合格．．．的人数，求X 的分布列及数学期望； （III ）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.（21）（本小题满分12分）已知21()ln(1)2f x ax x x =-+-+,其中0a >. (Ⅰ)求()f x 的单调递减区间；(Ⅱ)若()f x 在[0,)+∞上的最大值是0,求a 的取值范围.（22）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0),,P A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（III ）在 (Ⅱ)的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值范围.数学答案（理科）13．1314．． (12]， 16． 8 三．解答题（本题共6大题，共70分） 17（本小题满分10分）解：（I ）由正弦定理sin sin a b A B = sin B= ，解得sin 2B =，……2分 由于B 为三角形内角，b a < ，则4B π=， ……4分所以53412C ππππ=--=， ………5分 （II ）依题意，222cos 2b c a A bc+-= ，即2141224b b +-=，整理得2280b b --= 7分又0b > ，所以4b =. ………10分另解：由于sin sin a c A C = ,2sin C=，解得1sin 2C = , ………7分 由于a c > ，所以6C π=， ………8分由3A π=，所以2B π=.由勾股定理222b c a =+ ，解得4b =. ………10分 18．（本小题满分12分）解：（I ）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，由题意知10a >，且112n n a q -=⋅， 又因为33a S +、55a S +、44a S +成等差数列，所以)()()(2443355a S a S a S +++=+， ………2分 即)2()2()2(2432132154321a a a a a a a a a a a a ++++++=++++，化简得354a a =，从而142=q ，解得21±=q ， 又0q >，故21=q ， …………4分 12n na =. …………6分（II ）由（I ）知，2n nn na =， 则231123122222n n n n nT --=+++++ ， ①234111*********n n n n nT +-=+++++ ， ② …………8分①-②得：23111111112222222n n n n nT -+=+++++-1111(1)22212212n n n n n ++-+=-=--， 所以222n n n T +=-. …………12分19．（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)证明：连接BD ，设BD 与AC 相交于点O ，连接OM ， 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以点O 为BD 的中点， 又因为M 为PB 的中点，所以OM 为PBD ∆的中位线，所以OM ∥PD ， ………3分 又因为OM ⊂平面AMC ，PD ⊄平面AMC ，所以PD ∥平面AMC . …………6分(Ⅱ)因为BC ⊥平面PAB ，AD ∥BC ，所以AD⊥平面PAB ， 又因为PA AB ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直，故可以建立空间直角坐标系A xyz -(如图所示)， ………8分则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,2,0D ，()1,2,0C ，()0,0,2P ，1,0,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()1,0,0AB =，()1,2,0AC =，1,0,12AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为PA ⊥平面ABCD ,故平面ABC 的一个法向量为()0,0,2AP =，设平面AMC 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即11112002x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z =，则112,1x y =-=，可取()2,1,1n =-， …………10分 从而cos ,62AP n AP n AP n⋅<>===⋅⨯， 故所求二面角B AC M --…………12分 20．（本小题满分12分）解：(I)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，∴此次测试总人数为7500.14=(人). ∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人) .……………4分 (II)X =0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为1475025=,∴X ～7(2,)25B . 218324(0)()25625P X ===，12718252(1)()()2525625P X C ===， 2749(2)()25625P X ===. 所求分布列为………6分714()22525E X =⨯=…………8分 (III)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x 、y 米，则基本事件满足的区域为8109.510.5x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤，事件A “甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x y >，如图所示.∴由几何概型1111222()1216P A ⨯⨯==⨯. 则甲比乙投掷远的概率是116. ………12分 21．（本小题满分12分） 解: (Ⅰ)函数21()ln(1)2f x ax x x =-+-+()0a >的定义域为()1,-+∞， ()211'()111ax a x f x ax x x --=-+-=-++11a ax x a x -⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+令()0f x '= 得12110,1a x x a a-===-， ①当01a <<时,12x x < ,()f x 与()f x '的变化情况如下表x(1,0)-1(0,1)a-11a- 1(1,)a-+∞()f x '-+-()f x减(0)f增1(1)f a-减所以()f x 的单调递减区间是(1,0)-,1(1,)a-+∞； …………2分 ②当1a =时, 120x x ==，2'()01x f x x =-≤+， 故()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞ ； ………4分 ③当1a >时,210x -<< ，()f x 与()f x '的变化情况如下表x1(1,1)a --11a- 1(1,0)a- 0 (0,)+∞()f x '-+-()f x减1(1)f a- 增(0)f减所以()f x 的单调递增减区间是1(1,1)a--,(0,)+∞ . 综上,当01a <<时,()f x 的单调递增减区间是(1,0)-,1(1,)a-+∞ ；当1a >时,()f x 的单调递增减区间是1(1,1)a--,(0,)+∞ ；当1a =时，()f x 的单调递增减区间是(1,)-+∞. …6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知① 当01a <<时,()f x 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-但1(1)(0)0f f a->=,所以01a <<不合题意； …9分 ② 当1a ≥时,()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)f x f ≤，可得()f x 在[0,)+∞上的最大值为(0)0f =,符合题意. ()f x ∴在[0,)+∞上的最大值为0时,a 的取值范围是{}1a a ≥. …12分22.（本小题满分12分）解：（I ）由题意知,21==a c e 2222222214,.43c a b e a b a a -====所以即 而以原点为圆心，椭圆短半轴为半径的圆的方程为222x y b +=，故由题意可知224, 3.b a b ====所以 故椭圆C 的方程为.13422=+y x ……3分 （II ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为).4(-=x k y由.0126432)34(.134),4(222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 得 ……① …… 4分 设点1122(,),(,)B x y E x y ，则11(,)A x y -， 直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--，令0y =得，221221().y x x x x y y -=-+ 将)4(),4(2211-=-=x k y x k y 代入整理得， 得.8)(42212121-++-=x x x x x x x ② ……………………5分 由①得341264,343222212221+-=+=+k k x x k k x x ， 代入②整得，得.1=x所以直线AE 与x 轴相交于定点Q （1，0） ……7分（III ）①当过点Q 的直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =， 解得33(1,),(1,)22M N -，此时54OM ON ⋅=-； …8分 ② 当过点Q 的直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-,且(,),(,)M M N N M x y N x y 在椭圆C 上， 由22(1)143y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 2222(43)84120m x m x m +-+-=， 计算得，0∆>，所以22228412,,4343M N M N m m x x x x m m -+=⋅=++229,43M N m y y m ⋅=-+ 则M N M N OM ON x x y y ⋅=+222512533.4344(43)m m m +=-=--++ ……………………10分 因为20m ≥，所以21133044(43)m -≤-<+， 253354,44(43)4m -≤--<-+ 544OM ON -≤⋅<-. 所以OM ON ⋅的取值范围是5[4,]4--. ……12分。
2021届黑龙江省大庆铁人中学高三下学期一模考试数学(理)试卷参考答案解析
C , b
c
A, c
B, c
C, c
则两名患者选择药方完全不同的情况有 C16C14 24 (种)，两名患者可选择的药方共有 C19C16 54 (种)，所以
P 24 4 ，故答案为 4 ．
54 9
9
16． 33 2 【解析】设直线 l 与函数 f (x) 及 g(x) 的图象分别相切于 A(m, 1 )(m 0) ， B(n, n2 a) ，
如图所示.因为正方形 ABCD 的边长为 2 ，所以 CH 1, SC 2, SH 1，所以 H ,O 重合，即四棱锥的外接球
的半径为 R 1 ，所以四棱锥的外接球的表面积为 S 4πR2 4π .故选 D．
12．C 【解析】设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，直线 AB 的方程为 x my 4 ，与 y2 4x 联立得 y2 4my 16 0 ，
涨幅最大的是 2020 年 1 月，环比涨幅最大的也是 2020 年 1 月，故 C 正确；环比跌幅最大的是 2019 年 3 月，
同比涨幅最小的是 2019 年 2 月，故 D 错误，故选 D．
x 2y 2 0 5．B【解析】作出不等式组 2x y 2 0 表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设 z 2x y ，则 y 2x z ，
铁人中学 2021 年高考模拟试题（理科数学） 全解全析
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
B
D
B
A
A
B
C
B
D
C
1．C 【解析】因为 A {x | 2 x 0} {x | x 2} ，B {x Z | y ln(x 1)} {x Z | x 1} ，所以 A B {0,1, 2} .