欧几里得空间习题解答
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】
第9章欧几里得空间9.1复习笔记一、定义与基本性质1．欧几里得空间定义设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（kα，β）＝k（α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．2．长度（1）定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零，②|kα|＝|k||α|，③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，通常称此为把α单位化．3．向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．零向量才与自己正交．（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），显然a ij＝a ji，于是利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．说明：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②定理2对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，都可以找到一组标准正交基η1，η2，…，ηn，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称做施密特正交化过程．例：把α1＝（1，1，0，0），α3＝（－1，0，0，1），α2＝（1，0，1，0），α4＝（1，－1，－1，1）变成单位正交的向量组．解：①先把它们正交化，得β1＝α1＝（1，1，0，0），②再单位化，得3．基变换公式设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基．三、同构1．同构定义实数域R上欧式空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个双射σ，满足（1）σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β），（2）σ（kα）＝kσ（α），（3）（σ（α），σ（β））＝（α，β），这里α，β∈V，k∈R，这样的映射σ称为V到V'的同构映射．同构的欧氏空间必有相同的维数．每个n维的欧氏空间都与R n同构．2．同构的性质同构作为欧氏空间之间的关系具有（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性；（4）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同．.四、正交变换1．定义欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V，都有（Aα，Aβ）＝（α，β）．2．性质。
欧几里得空间练习题
欧几里得空间练习题一、填空题1. 与任何向量都正交。
2. 设A 、B 均为正交矩阵，则1AB -= 。
3. 若1234,,,εεεε为欧氏空间V 的一组标准正交基，且1234236αεεεε=+++，则α= 。
4. 设A 、B 均为3阶正交矩阵，则12AB -= 。
5. 若1234,,,εεεε为欧氏空间V 的一组标准正交基，且123423αεεεε=+++，则α= 。
6. 若1234,,,εεεε为欧氏空间V 的一组标准正交基，且1234234αεεεε=+++，则α= 。
7. 设欧氏空间的正交变换σ在一组标准正交基下的矩阵是U ，则U = 。
8. 两个欧氏空间同构的充要条件是它们有 。
1. 设,στ是欧氏空间V 的两个正交变换，则（ ） 。
A.στ+ 也是正交变换B.στ也是正交变换C.任意,k R k σ∈也是正交变换D.στ-也是正交变换2. 设V 是n 维欧氏空间 ，那么V 中的元素具有如下性质（ ）。
A ．若()()γβγαβα=⇒=,,B ．若βαβα=⇒=C ．若()11,=⇒=ααα D. 若()βα,>βα=⇒0 3. 关于欧氏空间与线性空间的关系，下列说法错误的是（ ）。
A . 欧氏空间是特殊的线性空间B .如果一个空间是线性空间则它一定是欧氏空间C . 如果一个空间是欧氏空间则它一定是线性空间D . 线性空间比欧氏空间范围大4. 设V 是n 维欧氏空间，W 是V 的子空间，则W 的正交补的维数等于（ ）。
A . dim WB . n -dim WC . n -2dim WD . 不确定5. 设u 是正交矩阵，则（ ）。
A . u 的行列式等于 1B . u 的行列式等于-1C . u 的行列式等于± 1D . u 的行列式等于06. n 维欧氏空间V 上的线性变换ϕ为正交变换的充要条件是（ ）。
A .ϕ在V 的任一组基下的矩阵都是正交矩阵B .ϕ在V 的任一组正交基下的矩阵都是正交矩阵C .ϕ在V 的任一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵D .ϕ在V 的任一组基下的矩阵都是实对称矩阵7. 设δ是n 维（n >0）线性空间V 的一个对称变换,则下列说法错误的是( )。
欧几里得空间习题
2)因为 A 正定，所以存在可逆矩阵 C 使 A CEC CC, 由1）知 C QT , 故 A T QQT T T
9.证明：正交矩阵旳实特征值为±1. 证：设 A为正交矩阵， 为 A 旳实特征值，
即 A , 取共轭转置得 A , 再右乘 A 有 AA 2 , 利用 AA E 得 2 , 因为 0, 所以 2 1,
i1 j1
nn
nn
aij xi x j ,
aij yi y j
i1 j1
i1 j1
故柯西—布涅科夫斯基不等式为
nn
nn
nn
aij xi yj
aij xi x j
aij yi y j
i1 j1
i1 j1
i1 j1
2. 设 1,2, ,n 是欧式空间旳一组基，证明： 1）假如 V 使 ( ,i ) 0(i 1, 2, , n), 那么 0 2）假如 1, 2 V 使对任一 V 有 (1, ) ( 2, )
A (1,2, ,n ) QT 若还有Q1,T1,使 A Q1T1 是 A 旳另一种分解，则 Q1T1 QT , 于是 Q11Q T1T 1 因为Q1,Q 为正交阵, 所以 Q11Q 也是正交阵, 从而 T1T 1 也是正交阵, 另一方面, T1T 1是上三角阵, 由7题知 T1T 1 是主对角线上元素为1或-1旳对角阵, 而 T1,T 旳主对角线元素为正，故 T1T 1 E 即 T1 T , 从而 Q1 Q.
3) 详细写出这个空间中旳柯西—布涅科夫斯基 不等式.
解：1)
(a).(, ) A A ( , )
(b).(k, ) (k ) A k( A ) k(, )
(c).( , ) ( ) A A A (, ) ( , )
习题解答 第九章 欧氏空间(定稿)
当且仅当 与 线性相关时，等号成立. 2. 标准正交基
定义 6 称欧氏空间 V 中一组两两正交的非零向量组1,2 , ,m 为一个正交向量组. 定义 7 设1,2,L ,n 是 n 维欧氏空间 V 中的一组基，若它们两两正交，则称 1,2,L ,n 为 V 的一组正交基；若正交基中的向量1,2,L ,n 都为单位向量，则称为标
n
( A, A) 0 ai2j 0 A 0 i, j1
此即证V是欧式空间。
(1)证：Eij是(i, j)元为1，其余一元皆为0的n阶方阵，那么可证 B11 E11, B12 E12 E21,L , B1n E1n En1 B22 E22 , B2n E2n En2 ,L , Bnn Enn 为V的一组基，于是
故○1 成立，且
V =S (S )
故S和(S)是同一子空间S的正交补，由正交补的唯一性，即证 ○2 .
4.设 是欧式空间V的线性变换，设 是V的一个变换，且, V ,都有(( ), )=(,( )). 证明：
(1) 是V的线性变换 (2)的值域 Im 等于的核ker的正交补。
四、典型题解析
例1.设A, B是n阶实对称阵，定义
(A, B) trAB
○1
证明：所有n阶实对称阵V 关于( A, B)成一欧式空间。 (1)求V的维数。 (2)求使trA=0的空间S的维数。 (3)求S的维数。
证 首先可证V {A Rnn | A A}是R上的一个线性空间。 再证○1 是V 的内积，从而得证V 是关于内积○1 的欧式空间. 事实上A,B,CV ,k R,有
欧几里得空间习题解答P394
第九章 欧几里得空间习题解答P394.1.设A 是一个n 级正定矩阵, 而α=(a 1,a 2,…,a n ), β=(b 1,b 2,…,b n ), 在R n 中定义内积:,),(T A βαβα=(1) 证明在这个定义之下, R n 成一欧氏空间. (2) 求单位向量),...,,(n 21εεε的度量矩阵.(3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式.(1) 证明: 因为A 正定, 所以对任意的α=(a 1,a 2,…,a n ), β=(b 1,b 2,…,b n )∈R n , k ∈R. (i) .00),(,0),(=⇔==≥=αααααααααT T A A 且(ii) ),()(),(T αβαββαβαβα====T T T A A A . (iii) ),(()(),(βαβαβαβαk A k A k k T T ===.(iv) ).,(),()(),(βγβαβγβαβγαβγα+=+=+=+T T T A A A 所以在这个定义之下, R n 成一欧氏空间.(2) 因为,),(ij T j i j i a A ==εεεε 所以单位向量),...,,(n 21εεε的度量矩阵是A. (3) 由|(α,β)|≤|α| |β|, 得∑∑∑∑∑∑======≤==n i nj j i ij n i nj ji ij j n i nj i ij Tb b a a a a b a a A 111111|||||),(|βαβα.2. 在R 4中求α,β之间的夹角<α,β>(内积按通常的定义), 设 (1) α=(2,1,3,2), β=(1,2,-2,1); (2) α=(1,2,2,3), β=(3,1,5,1); (3) α=(1,1,1,2), β=(3,1,-1,0). 解: (1) (α,β)=0， 所以<α,β>=.2π(2)|||6,(,)18(,)(,)arc cos cos ||||24arc arc αβαβαβπαβαβ=====∴====(3)||||(,)3,arc 700'30''38αβαβαβ===∴==︒〈〉 3. d(α,β)=|α-β|通常的α与β的距离, 证明d(α,γ)≤d(α,β)+d(β,γ) .证明: ||||||αβαβ+≤+ ,(,)|||()()||||(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ∴=-=-+-≤-+-+ =4. 在4R 中求一单位向量与(1,1,-1),(1,-1,1-,1),(2,1,1,3)正交 解: 设所求单位向量为:212341234123412344 123(,,,)1,2301011111111111111020001003,2113013100314,0,14ix x x x xxx x x xx x x xx x x xx x x xαα==+-+=⎧⎫⎪⎪--+=⎨⎬⎪⎪+++=⎭⎩⎛⎫-⎛⎫⎛⎫--⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--→-→=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-=-∑则且与各向量的内积为0得令得,0,1,3),()-单位化5．设nααα,...,,21是欧氏空间V的一组基, 证明(1) 如果.0,,...,2,10,),(i===∈γαγγ那么使得niV(2) 如果.,,...,2,1),,(),(,212121γγαγαγγγ===∈那么使得niVii证(1) :因为12(,)0, 1.2,,i ni nγαααα==而是一个基, 所以对于V中向量γ, 设nnkkkαααγ+++=2211,11(,)(,)(,)0.0.n ni i i ii ik kγγγαγαγ==∴====∑∑因此,必有(2) 证，12(,)(,), 1.2,i ii nγαγα==12(,)0, 1.2ii nγγα∴-==由第(1)小题：12120,γγγγ-==故6.设321,,εεε是三维欧氏空间中一组标准正交基,证明:)-2(2313211εεεα+=, )2-(2313212εεεα+=, )22(-313213εεεα++=也是一组标准正交基.解: 1231232211(,,)(,,)2123122αααεεε⎛⎫⎪=--⎪⎪--⎝⎭而1232211212,,3122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭是正交矩阵,所以是标准正交基. 7. 设54321,,,,εεεεε是五维欧氏空间中一组标准正交基, ),,,(3211αααL V = 其中4212511,εεεαεεα+-=+=,42132εεεα++=, 求V 1的一组标准正交基.解: 令;5111εεαβ+==;212121),(),(5421121111222εεεεβαββββααβ-+-=-=-=.10122),(),(),(),(5321213222231111333εεεεββαββββαββββααβ-++=--=--=再标准化为:);(21511εεγ+=);22(10154212εεεεγ-+-=).(2153213εεεεγ-++=8. 求齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-+=-+-+0032532154321x x x x x x x x x的解空间(作为R 5的子空间)的一组标准正交基.解: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=51110410011011131112A .R(A)=2, 所以基础解系为解出：123014115100010001ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由Schmidt 正交化过程::1221331022711161151311116222105022130005ββηββηβ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-=-=++-= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭单位化后得到解空间的标准正交基：1230766130500εεε⎛⎛⎫ ⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪==== ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭9. 在R [x ]4中定义内积为11(,)()()f g f x g x dx -=⎰, 求R [x ]4的一组标准正交基(由基1，x , x 2, x 3出发正交化)解: 2312341,,,x x x αααα====.111βα==21122111223132321211223434142441234112233111222(,)(,)*2(,)(,)1310(,)(,)232(,)(,)(,)3502(,)(,)(,)532(,)2||(,)||3(xdx x xx x x x xαββαβββαβαββαββββββαβαβαββαβββαββββββββββββ--=-=-=--=---=-=---=--=-====⎰又142333116424441218,)()||3945698(,)()||525175x x dx x x x dx ββββββ+--=-+===-+==⎰⎰标准正交基为211=γ, x 262=γ, )13(41023-=x γ, )35(41434x x -=γ.10. 设V 是一n 维欧氏空间,α≠0是V 中一固定向量, (1) 证明: V 1={x |(x ,α)=0, x ∈V }是V 的一个子空间. (2) 证明V 1的维数是n -1.证明: (1) 0∈V 1非空. ∀ β,γ∈ V 1, k ∈R,(β+γ,α)= (β,α) +(γ,α)=0， 得β+γ∈V 1; (k β,α)=k(β,α)=0., 得k β V 1. 所以V 1是V 的一个子空间.(2) 因为α≠ 0, 把α扩充成V 的标准正交基:,,,2n ααα 由于0,),(j =ααn 2,...,j =, 所以12,V n ∈αα , 因而dimV 1≥n -1. 另一方面, 因为 α∉V 1 ,所以dimV 1≤ n -1, 于是dimV 1=n -1.11. (1) 证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。
高等代数欧几里得空间习题
4. 将特征向量1 , 2 ,,n正交化,单位化,得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1
y12
n
y
2 n
.
§6 向量到子空间旳距离，最小二乘法
一. 向量到子空间旳距离
欧氏空间V旳两个向量和旳距离定义为:
d(, ) = -
距离旳性质:
d(, )=d(, ); d(, )0, 而且仅当=时等号成立; d(, )d(, ) + d(, ) (三角不等式)
§2 原则正交基旳定义与求法
一. 正交向量组
定义 设1,2,…,s是一组非零实向量,
假如它们两两正交,则称为正交向量组; 假如其中每个向量旳长度都是1,则称 为正交单位向量组(或原则正交向量组).
事实 向量组1, 2, …, s是一种
原则正交向量组, 当且仅当
(
i
,
j
)
1 0
i j, i j.
定理 设1, 2, , m是欧氏空间
V中一组线性无关旳向量,则一定存在
一种正交单位向量组1, 2, , m,
使得
1, 2, , i
与
1, 2, , i
等价( i = 1, 2, …, m )．
令1=1, 若已构作出正交向量组1,2,,j-1,
则令
j
j
( j , 1 ) (1, 1)
1
( j , 2 ) (2 , 2 )
(2)正交变换作为欧氏空间旳自同构,其 乘积和逆也是正交变换.
(3)在原则正交基下,正交变换与正交矩 阵相应，对称变换与对称矩阵相应。
引理 设A是欧氏空间V上旳一种对称 变换, W是A-子空间, 则W也是A-子 空间.
欧几里得空间
第九章 欧几里得空间习题解答1、 设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=.在n R 中定义内积(,)αβ为'(,)αβαβ=A . 1）证明：在这个定义之下，n R 成一欧氏空间； 2）求单位向量1(1,0,,0)ε=，2(0,1,,0)ε=，，(0,0,,1)n ε=的度量矩阵；3）具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。
解 1）只要证明按定义'(,)αβαβ=A （是数，等于其转置）的一个二元实函数是一个内积就可以了。
1 ''''(,)()(,)αβαβαββαβα====A A A ；2 ''(,)()()(,)k k k k αβαβαβαβ===A A ；3 '''(,)()(,)(,)αβγαβγαγβγαγβγ+=+=+=+A A A4 ',(,)ij i j i ja x x αααα==∑A .由于A 是正定矩阵，所以,ij i j i ja x x ∑是正定二次型，从而(,)0αα≥，并且仅当0α=时，(,)0αα=。
由此可见，n R 在这一定义之下成一欧式空间。
2）设单位向量的度量矩阵为()ij b =B .那么111()10(,)(010)(,1,2,,)10n ij i j ij i n nn a a b a i j n a a εε⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，此即 =B A .3）,(,)ij i j i ja x x αβ=∑，α==β==，故柯西-布涅柯夫斯基不等式为,,ij i jiji i ji ja x yay y ≤∑∑2、 在4R 中，求,αβ之间的夹角,αβ<>（内积按通常定义），设 1）(2,1,3,2)α=，(1,2,2,1)β=-； 2）(1,2,2,3)α=，(3,1,5,1)β=； 3）(1,1,1,2)α=，(3,1,1,0)β=-；解 1）(,)21123(2)210αβ=⨯+⨯+-+⨯=，所以 .2αβπ<>=. 2）(,)18αβ=，(,)18αα=，(,)36ββ=，cos ,αβ<>==，所以.4αβπ<>=.3）(,)3αβ=，(,)7αα=，(,)11ββ=，cos ,αβ<>=，所以1.arccos αβ-<>=3、(,)d αβαβ=-通常称为α与β的距离，证明：(,)(,)(,)d d d αγαββγ≤+. 证 由文献[1]P.362的三角形不等式，有(,)()()(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ=-=-+-≤-+-=+. 4、在4R 中求一单位向量与(1,1,1,1)-，(1,1,1,1)--，(2,1,1,3)正交。
欧几里得空间习题解答
第九章欧几里得空间习题解答P394.1.1(,)'0(""0)'(')'''(,)A A A αααααβαβαβααβαβ∴=≥=⇔====正定非负性证得由矩阵失去,线性性成立,再由(,)=A A 对称性成立，是一个内积()1111161P394.1.2,(06);19,,P394.1.2|(,)|||||(,)|i ijiji j n nnij i ji j n n ij i j i j A a x y c s B a x y εεαεεεαβαβαβ====⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∴≤=∴--≤∑∑∑∑的度量矩阵即为A不等式为|()393.2P ①, α=(2,1,3,2), β=(1,2,-2,1)|||,)0,,2αβαβαβπαβ∴====∴⊥∴=〈〉393.2P ②, α=(1,2,2,3), β=(3,1,5,1)|||6,(,)18(,)(,)arc cos ||||4arc arc αβαβαβπαβαβ=====∴====393.2P ③, α=(1,1,1,2), β=(3,1,-1,0)||||(,)3,arc 700'30''38αβαβαβ===∴==︒〈〉P393. 3||||||αβαβ+≤+(,)|||()()||||(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ∴=-=-+-≤-+-+ =P393.4在4R 中求一单位向量与(1,1,-1),(1,-1,1-,1),(2,1,1,3)正交解设所求212341234123412344123(,,,)1,00230111111111111111020001003,2113013100314,0,14i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα==+-+=⎧⎫⎪⎪--+=⎨⎬⎪⎪+++=⎭⎩⎛⎫-⎛⎫⎛⎫--⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--→-→=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-=-∑则且与各向量的内积为0得令得,0,1,3),()-单位化393.5P ①证:因为12(,)0, 1.2,,i n i n γαααα==而是一个基11(,)(,)(,)0.0.nni i i i i i k k γγγαγαγ==∴====∑∑因此,必有393.5P ②证，12(,)(,), 1.2,i i i n γαγα==12(,)0, 1.2i i n γγα∴-==由第①小题：12120,γγγγ-==故P393.61231232211(,,)(,,)2123122αααεεε⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭而1232211212,,3122ααα⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭是正交矩阵,所以是标准正交基11212431231212121124512451131212351152124531235393.7,/2(,)1111(22)(,)222221210)22)1()2s P αεεαεεεεεεεβααββαβαβεεεεεεεεβββαββεεεεηεεηεεεεηεεεε==-+=++==-=-=-+-=-+-=--=++-=+=-+-=++-123解:再正交化称:P394.8，解：123452111310014001110101115X X X X X X ⎛⎫ ⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫ ⎪=→= ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭解出：123014115100010001ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Schmidt:1221331022711161151311116222105022130005ββηββηβ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-=-=++-= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭单位化便得到解空间的标准正交基：123766135εεε⎛⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪⎪⎪====⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭P394.9 11(,)()()f g f x g x d x-=⎰已知2312341,,,x x xαααα====解：111βα==21122111223132321211223434142441234112233111222(,)(,)*2(,)(,)1310(,)(,)232(,)(,)(,)352(,)(,)(,)532(,)2||(,)||3(xdxx xx xx x x αββαβββαβαββαββββββαβαβαββαβββαββββββββββββ--=-=-=--=---=-=---=--=-====⎰又142333116424441218,)()||3945698(,)()||525175x x dxx x x dxββββββ+--=-+===-+==⎰⎰单位化标准正交基312324,1),3)396.17.4133333333133333343313333333313333x x x xPA A Eγγγγ===-=-------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪==⎪ ⎪-----⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭1123443() 4.840Acy Tr A x x λλλλχχ∴===-⇒==-+-=221-秩(A+4E)=1至少为重根,而-(4+4+4)+解(A+4E)x=o,即1111210311111110212003⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得正交基础体系1100单位化为28λ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解(A-8E)x=0.得解取自A+4E的一列3-33-31111121124124'1402812T T AT T AT -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫- ⎪- ⎪=== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭-单位化为令则112121211111111395.10.10(,,)(,)(,)0,.(,)(,)0P V V V V V k k k V ββαβαβαβββββαβαβ∈≠∅=+=⇒+∈⎫∀∈∴≤⎬==⇒∈⎭11123123111P395.10.2 0dim 1.,,,(2)(,)dim 1.dim 1.n n V V n V i V i L V V n V n αααααααααααα≠∴∉≤-=∈≥∴≤⇒≥-∴≥-故将扩充为的一个正交基那么.P394，11①设两个基：12,12,,,n n εεεηηη及,它们的度量矩阵分别为A 和B,并设121211122111221212'''221122(,,,)(,,,),,(,,)(,,,)(,,)(,,,),(,)(')'()n n n n n n CV X X Y Y X CX Y CY X BY X AY X C AC Y C AC B ηηηεεεαβαεεηηηβεεηηηαβ=∈=========∴=任设所以合同P394.11②， 取V 的一个基12,,,,n A ααα其度量矩阵为因为A 正交,故存在矩阵C,使12121212',,,,,,',,,n n n n C AC E ηηηαααηηηηηη=C AC=E做基(,)=()C,那么,的度量矩阵为因此,为标准正交基.1212121212121212211111P394.12,,,,(,)(,,)()(,,),,|(,,)|,,,,(,,|0()0|()|||0,m ij i j m ij m mm m m m m m V G G G G G ααααααααααααααααααααααααααααααααα⨯∈==⇔≠⇔>⇔=≠记:，称，为，的Gram 矩阵称，为，的Gram 行列式证明，线性无关，）证:若m=1,线性无关，成立121211,|(,,)|0(,,)(,)(,,)0,0,1,2,.n m mj k k ij k ik k i k k k jk jk ji j k k k jm G A c c a c c i m αααβββββααααααγ=≠≠≠≠>==⇔=⇔==⇔-=∴⇔==∑∑∑∑若而，不妨设，1212(,,,),,,,j k k m k jj k m k jc L ck γαααααααααα≠≠=-∈⇔=⇔∑∑线性相关211212112121222122122222212122123|()|||||||||cos (,),(,)|(,)|(,),(,)||||cos ||||||(1cos )(||||cos )|(,,)|()G G G αααααθααααααααααααθαααθααθααα====-==类似地:平行六面体积P394，13，设：1222000n n n n nn A αααααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭因为A 正交，故A'A=E ，令A=12(,,)n βββ由第1行列，211111,1αα==±由β1与其余各列正交，β1⊥βj （j>1），（β1，βj ）=111100(1)j j a a j α=⇒=>1100A A ±⎛⎫∴= ⎪⎝⎭其中A 1仍为上三角正交矩阵，但阶数少1，故可用归纳法给出证明，且n=1时显然为真，由归纳法原理，证毕。
高等代数第9章欧几里得空间习题
(2) (, )=XTY=x1y1+x2y2+…+xnyn.。
.
三. 求标准正交基的办法： Schmidt正交化方法
定理 n维欧氏空间中任一个正交向量 组都能扩充成一组正交基.
.
定理 设1, 2, , m是欧氏空间
V中一组线性无关的向量,则一定存在
一个正交单位向量组1, 2, , m,
使得
1, 2, , i
第9章 欧几里得空间习题课
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基的定义及求法 §3 正交变换，对称变换 §4 子空间的正交补 §5 实对称矩阵的标准形 §6 向量到子空间的距离
主讲人：
.
§1 定义与基本性质
定义 设V是实数域R上的线性空间,在V上 定义了一个二元实函数, 即对于V中任意两个
向量, , 都有惟一确定的实数与之对应, 该实数记作(, ), 它满足如下性质:
(1) A= 1; (2) A可逆, 且A－1 = AT; (3) AT(即A－1 )也是正交矩阵; (4) AB也是正交矩阵.
.
定理 n阶实矩阵A是正交矩阵的 充要条件是, A的列(行)向量组为Rn的 正交单位向量组(标准正交基).
.
定理 设1,2, …,n与1,2,…,n
是欧氏空间V中两组基, 由基
A
(
2
,1
)
( 2, 2 )
( n,1) ( n, 2)
(1, n ) ( 2, n )
(n,n )
称A为基1, 2, …, n的度量矩阵．
.
度量矩阵性质
（1）度量矩阵是对称矩阵
（2）设A为基1，n的度量矩阵。 若=x11++xnn, =y11++ynn,
线性代数习题集第七章
线性代数习题集第七章第七章欧⼏⾥得空间I. 单项选择题1. 欧式空间V 内的s 个⾮零向量12,,,s ααα，如果两两正交，则（）⑴线性相关⑵线性⽆关⑶互相可以线性表⽰⑷两两夹⾓为零2. 给定两个向量1123a α?? ? ?= ?- ?-??，23241α-?? ? ?= ? ???，且内积12,1αα=-，则a 为（）⑴23- ⑵34- ⑶14- ⑷123. n 维欧式空间V 的线性变换σ是可逆的对称变换当且仅当σ关于V 的任意⼀组标准正交基的矩阵是（）⑴可逆变换⑵对称变换⑶正交变换⑷可逆的对称变换 4. 正交变换在标准正交基下的矩阵是（）⑴初等矩阵⑵正定矩阵⑶正交矩阵⑷实对称矩阵 5. 设A 为n 阶对称矩阵，若1A -存在，则1A -是（）⑴正交矩阵⑵正定矩阵⑶对称矩阵⑷反对称矩阵 6. 下列有关正交变换的命题中，正确的是（）⑴保持任意向量长度不变的线性变换是正交变换⑵保持任意两个⾮零向量夹⾓不变的线性变换是正交变换⑶正交变换是对称变换⑷正交变换在任意⼀组基下的矩阵是正交矩阵7. 在欧式空间V 中，两组标准正交基间的过渡矩阵是（）⑴正定矩阵⑵对称矩阵⑶正交矩阵⑷转置矩阵 8. 实上三⾓矩阵为正交矩阵时，必为对⾓矩阵，其对⾓线上的元素为（）⑴1 ⑵-1 ⑶0 ⑷±1 9. 欧式空间中线性变换σ是正交变换的充要条件是（）⑴σ为对称变换⑵σ保持向量的长度不变⑶σ保持向量间的夹⾓不变⑷保持向量间的正交关系不变 10. n 阶实矩阵T 是正交矩阵当且仅当T 的⾏向量组是（）⑴正交组⑵标准正交组⑶线性⽆关组⑷单位向量组 11. 正交矩阵的实特征值只能是（）⑴正实数⑵负实数⑶1或-1 ⑷零12. 矩阵1121121121121-?? ?- ? ?-??是（）⑴正交矩阵⑵⾮正交矩阵⑶正定矩阵⑷实反对称矩阵13. 设1111A ??=，P 为⼆阶正交阵，且'0002P AP ??=，则P =（）⑴12121212??-⑵? -?⑶?-⑷12121212-??14. 设()12,a a α=，()12,b b β=为⼆维实空间2R 中任意两个向量，2R 对以下规定的哪个内积作成欧式空间（）⑴1221,a b a b αβ=+ ⑵1122,a b a b αβ=-⑶1122,1a b a b αβ=++ ⑷()()121122,2a a b a a b αβ=+++II. 填空题 1. 设12,,,s ααα是欧式空间V 中的s 个向量，如果12,,,s ααα两两正交，则它们______. 2. 欧式空间V 内任意两个向量,αβ有,αβαβ≤，等号成⽴的充要条件是_________. 3. 欧式空间中，正交向量组必__________.4. 在欧式空间V 中，设(),,.L V R V σλ?∈∈∈如果(),σ?λ?=且?________，则称λ为________，?为________.5.如果向量组()12,,,2s s ααα≥中任⼀向量都不能被其余向量线性表⽰，则此向量组________.6. 如果对称矩阵A 为⾮奇异矩阵，则1A -也是________.7. 正交变换σ保持向量的内积不变，因⽽它保持向量的________和________不变. 8. 设实数域R 上的⼀个n 阶⽅阵T 满⾜' ',T T TT E ==即________，则称T 为________. 9. 设σ为n 维欧式空间V 的⼀个线性变换，若σ对⼀组基12,,,n ααα中的向量有()()1111,,,1,2,,i n ασααα==，则σ________正交变换.10. 设()A ij a =是数域K 上的⼀个n 阶⽅阵，如果________，则称A 是⼀个对称矩阵，如果________，则称A 是⼀个反对称矩阵.11. 正交矩阵A 的⾏列式A =________或________.12. 设σ是欧式空间V 内的⼀个对称变换，则σ的对应于不同特征值的特征向量________.13. 欧式空间中的正交变换之积________正交变换. 14. 对称变换在标准正交基下的矩阵是________矩阵.15. 设A 是⼀个n 阶实对称矩阵，则存在n 阶______，使1'T AT T AT D -==为对⾓形矩阵. 16. 设V 是⼀个n 维欧式空间，令()0n 表⽰V 中全体正交变换所成的集合，则()0n 具有性质⑴_______________；⑵_______________；⑶_______________. 17. 设σ是欧式空间V 内的⼀个线性变换，若对V 中任意向量,αβ都有()(),,ασββ=，则称σ为____________.18. 设σ是n 维欧式空间V 内的⼀个线性变换，如果对任意,V αβ∈，有()(),,αβασβ=，则称σ为⼀个____________.19. 欧式空间V 中的线性变换σ称为反对称的，如果对V 中任意向量,αβ，都有_________.20. 设(1α=，(2α=-，(3α=-，则123,,ααα是3R 的⼀个标准正交基，因为____________，____________.III. 判断题1. 设,αβ是欧式空间V 中的任意两个向量，则,αβαβ≤.2. 设()12,a a α=，()12,b b β=为⼆维实空间2R 中任意两个向量，规定内积：()()1212,a a b b αβ=++，则,0αβ≥，当且仅当0α=时，,0αα=.3. 令2R 为实数域上全体⼆维向量所组成的线性空间，()12,a a α=，()12,b b β=为其中任意两个向量，规定：()12122,a a b a b αβ=++，则,,αββα=.4. 实对称矩阵的特征值必为实数.5. 在某⼀组基下的矩阵是实对称矩阵的线性变换是对称矩阵.6. 对称变换的特征值都是实数.7. 对称变换在任意⼀组基下的矩阵都是实对称矩阵.8. 保持任意两个⾮零向量夹⾓不变的线性变换⼀定是正交变换.9. 设()12,a a α=，()12,b b β=为⼆维实空间2R 中任意两个向量，2R 对以下所规定的内积作成欧式空间，1221,a b a b αβ=+.10. 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.11，在4R 中，向量()1,2,2,3α=，()3,1,5,1β=的夹⾓为4π.12. 正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.IV. 简答（或计算）题1. 求与()1,2,1,1α=-，()2,3,1,1β=，()1,1,2,2γ=---都是正交的向量.2. 在欧式空间4R 中，求()1,2,2,3α=，()3,1,5,1β=的夹⾓.3. 在欧式空间4R 中，求()2,1,3,2α=，()1,2,2,1β=-的夹⾓.4. 设()()()1231,0,2,0,0,2,0,3,2,6,4,9ααα===，试将()123,,L ααα的基扩充成欧式空间4 R 的⼀组基.5. 求线性⽅程组123452111311101032112x x x x x ?? ?--?? ? ?= --的解空间的标准正交基.6. 设220212020A -?? ?=-- ? ?-??，求正交矩阵T ，使'T AT 成对⾓形.7. 求下列矩阵123213336A ??= ? ???的特征值和特征向量，并将特征向量标准正交化.8. ⽤正交变换化⼆次型222123121323222f x x x x x x x x x =+++++为标准形.9. ⽤正交变换化⼆次型123444f x x x x =+为标准形.10. 设0111101111011110A -??-= - -，求正交矩阵U ，使'U AU 成对⾓形. 11. 设12345,,,,εεεεε是五维欧式空间V 的⼀组标准正交基，()1123,,V L ααα=，其中11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的⼀组标准正交基.12. 在[]4R x中定义内积为：()()11,f g f x g x dx -=?，求[]4R x 的⼀组标准正交基（对基231,,,x x x 正交单位化）13. 求⼀个正交变换，把⼆次型()222123123121323,,44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-化为标准形.14. 已知⼆次型()22212312323,,2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>，通过正交变换化成标准形：22212325f y y y =++，求参数a 及所⽤的正交变换矩阵. *15. 设n 阶⽅阵A 有n 个特征值0,1,2,n 1-，且⽅阵B 与A 相似. 求B E +，这⾥E 为n 阶单位矩阵.*16. 设⼆次型222123122313222f x x x ax x bx x x x =+++++，经正交变换X U Y =化成22232f y y =+，其中()'123,,X x x x =和()'123,,Y y y y =是三维列向量，U 是三阶正交矩阵. 试求,a b .*17. 欧式空间4R 中，若基()()()()12341,1,0,0,1,2,0,0,0,1,2,11,0,1,1αααα=-=-==的度量矩阵为：23013601001391197A -??--= -. ⑴求基()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1εεεε====的度量矩阵；⑵求向量γ，它与以下向量都正交，()()()1231,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,3=-=--=. *18. 在2R 中，已知基()()121,0,0,1αα==的度量矩阵1112A ??=. 求2R 的⼀个标准正交基，并验证该基的度量矩阵是1001E ??=. *19. 设12345,,,,εεεεε是五维欧式空间的⼀个标准正交基，()1123,,V L ααα=，其中11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的⼀个标准正交基. *20. 设M 是欧式空间3R 的⼆维⼦空间，取其基()()121,1,2,2,2,3αα==. 求M ⊥.*21. 设V 为四维欧式空间，1234,,,εεεε为V 的⼀个标准正交基，⼦空间()12,M L αα=，其中1122123,αεεαεεε=+=+-. 求M ⊥.*22. 设4R 中的⼦空间M 是齐次线性⽅程组123412412342303220390x x x x x x x x x x x ++-=??+-=??++-=?的解空间，试分别求M ，M ⊥的基. 并写出以M ⊥为解空间的齐次线性⽅程组.*23. 已知'100030007Q AQ ?? ?= ? ，其中0Q ??- =- ??，302032225A ?? ?=- ? ?-??.求A 的特征值与特征向量.*24. 已知6,3,3是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，()'11,1,1?=是属于特征值6的⼀个特征向量.V. 证明题1. 证明：对欧式空间中任意向量,αβ，下列等式成⽴：222222αβαβαβ++-=+.2. 在欧式空间中，若向量α与β正交. 求证：220αβαβ+--=.3. 设123,,,n αααα是欧式空间V 的⼀组基. 证明：若1,0(1,2,,)i n βα==，则0β=.4. 设α与β为n 维欧式空间V 中两个不同的向量，且1αβ==. 证明：,1βα≠.5. 设设123,,,n αααα是欧式空间V 的⼀组基. 证明：如果V γ∈，使1,0(1,2,,)i n γα==，则0r =.6. 设V 为 n 欧式空间，12,V γγ∈，如果对V 中任意向量α均有12,,γαγα=，则12γγ=.7. 设β与123,,,n αααα都正交. 证明：β与123,,,n αααα的任意线性组合都正交.8. 设123,,,n αααα是欧式空间V 内的n 个⾮零向量且它们两两正交. 证明：123,,,n αααα线性⽆关.9. 设A 为实对称矩阵. 证明：0A =充要条件是20A =. 10.设12,,,m ααα是欧式空间V内的⼀个向量组，令111212122212,,,,,,,,,m m m m m mαααααααααααααα??= ? ? ?. 证明：当且仅当0?≠时，12,,,m ααα线性⽆关.11. 设,στ是n 维欧式空间V 的两个线性变换. 证明：στ也是V 的正交变换. 12. 证明：实对称矩阵A 正定的充要条件是'A B B =，其中'B 为可逆矩阵. 13. 设,A B 都是正交矩阵，且A B =-. 证明：0A B +=. 14. 证明：对称的正交矩阵的特征值必为1+或1-.15. 设σ是欧式空间V 中对称变换. 证明：σ对应于不同特征值1,2λλ的特征向量12,??彼此正交.16. 设,A B 均为n 阶对称矩阵. 证明：AB 为对称矩阵的充要条件是AB BA =.17. 设A 为实对称矩阵，B 为反对称矩阵，且AB BA =，A B -是⾮奇异矩阵. 证明：()()1A B A B -+-是正交矩阵.18. 设A 为n 阶反对称矩阵，若A 为⾮奇异⽅阵. 证明：1A -也是反对称⽅阵.19. 设可逆矩阵A 的伴随矩阵A *为反对称矩阵. 证明：A 的转置矩阵'A 也是反对称矩阵. 20. 设,ατ均为欧式空间V 的两个对称变换. 证明：σττσ+也是V 的对称变换.21. 设α是n 维欧式空间V 中的⼀个⾮零向量. 证明：{},0M V ξξα=∈=是V 的⼦空间.22. 证明：第⼆类正交变换⼀定有特征值-1. 23. 设A 为正交矩阵. 证明：A *也是正交矩阵.24. 证明：在欧式空间中，对任意向量,ξη均有22,1414ηξηξη=+--. 25. 设12,,,n ααα是n 维欧式空间V 的⼀个基. 证明：12,,,n ααα是标准正交基的充要条件是对V 中任意1122n n x x x αααα=+++，1122n n y y y βααα=+++，1122,n n x y x y x y αβ=+++.*26. 设12,,,n εεε是n 维欧式空间的的⼀个基. 证明：12,,,n εεε是标准正交基的充要条件是任意向量α的坐标可由内积表出：1122,,,n n αεεαεεαεε=+++.*27. 设12,,,n εεε是n 维欧式空间V 的⼀个标准正交基，n 阶实矩阵()ij A a =是此基到基12,,n ηηη的过渡矩阵. 证明：12,,n ηηη是标准正交基的充要条件是A 为正交矩阵.*28. 证明：有限维欧式空间存在标准正交基. *29. 设12,,,m ααα是n 维欧式空间V 的⼀个标准正交基. 证明：对任意V ξ∈，以下不等式成⽴：2211,mi αξ=≤∑.*30. 证明：n 阶实对称矩阵A 是正定的，当且仅当存在nR ⼀个基，使A 为其度量矩阵. *31. 设,A B 是两个n 阶正交矩阵. 证明：1AB -的⾏向量构成欧式空间nR 的⼀个标准正交基.*32. 证明：两个有限维欧式空间同构的充要条件是它们的维数相同.*33. 证明：n 维欧式空间V 与'V 同构的充要条件是，存在双射f ：'V V →，并且对V 中任意向量,ξη，有,(),()f f ηξη=.*34. 设f 是欧式空间V 到'V 的⼀个同构映射. 证明：1f -是'V 到V 的同构映射.*35. 设()12,,,,1,2,,i i i in a a a i n α==是n 维欧式空间n R 的向量组. 证明：110,1,2,,;,0nnij ji j j i j a xi n x αα=====∑∑的解空间同构.*36. 证明：实系数线性⽅程组1,1,2,,nij jj j a xb i n ===∑⑴有解的充要条件是向量()12,,,nn b b b R β=∈与齐次⽅程组10,1,2,,nij j j a x i n ===∑⑵的解空间正交.*37. 设A 是n 阶正定矩阵，E 是n 阶单位矩阵. 证明：A E +的⾏列式⼤于1.。
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第九章 欧几里得空间习题解答P394.1.1(,)'0(""0)'(')'''(,)A A A αααααβαβαβααβαβ∴=≥=⇔====正定非负性证得由矩阵失去,线性性成立,再由(,)=A A 对称性成立，是一个内积()1111161P394.1.2,(006);19,,P394.1.2|(,)|||||(,)|i i j ij i j n nnij i ji j n n ij i j i j A a x y c s B a x y εεαεεεαβαβαβ====⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∴≤=∴--≤∑∑∑∑L L L Q 的度量矩阵即为A 不等式为|()393.2P ①, α=(2,1,3,2), β=(1,2,-2,1)|||,)0,,2αβαβαβπαβ∴====∴⊥∴=〈〉393.2P ②, α=(1,2,2,3), β=(3,1,5,1)|||6,(,)18(,)(,)arc cos cos ||||24arc arc αβαβαβπαβαβ=====∴====393.2P ③, α=(1,1,1,2), β=(3,1,-1,0)||||(,)3,arc 700'30''38αβαβαβ===∴==︒〈〉P393. 3 ||||||αβαβ+≤+Q(,)|||()()|||||(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ∴=-=-+-≤-+-+ =P393.4在4R 中求一单位向量与(1,1,-1),(1,-1,1-,1),(2,1,1,3)正交解设所求212341234123412344123(,,,)1,00230111111111111111020001003,2113013100314,0,14i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα==+-+=⎧⎫⎪⎪--+=⎨⎬⎪⎪+++=⎭⎩⎛⎫-⎛⎫⎛⎫--⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--→-→=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-=-∑则且与各向量的内积为0得令得,0,1,3),()-单位化393.5P ①证:因为12(,)0, 1.2,,i n i n γαααα==L L 而是一个基11(,)(,)(,)0.0.nni i i i i i k k γγγαγαγ==∴====∑∑因此,必有393.5P ②证，Q 12(,)(,), 1.2,i i i n γαγα==L12(,)0, 1.2i i n γγα∴-==L由第①小题：12120,γγγγ-==故P393.6 1231232211(,,)(,,)2123122αααεεε⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭Q而1232211212,,3122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭是正交矩阵,所以是标准正交基11212431231212121124512451131212351152124531235393.7,/2(,)1111(22)(,)222221210)22)1()2s P αεεαεεεεεεεβααββαβαβεεεεεεεεβββαββεεεεηεεηεεεεηεεεε==-+=++==-=-=-+-=-+-=--=++-=+=-+-=++-123解:再正交化称:P394.8，解：123452111310014001110101115X X X X X X ⎛⎫ ⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫ ⎪=→= ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭解出：123014115100010001ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Schmidt:1221331022711161151311116222105022130005ββηββηβ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-=-=++-= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭单位化便得到解空间的标准正交基：123766135εεε⎛⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪⎪⎪====⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭P394.9 11(,)()()f g f x g x dx-=⎰已知2312341,,,x x xαααα====解：111βα==21122111223132321211223434142441234112233111222(,)(,)*2(,)(,)1310(,)(,)232(,)(,)(,)352(,)(,)(,)532(,)2||(,)||3(xdxx xx xx x x αββαβββαβαββαββββββαβαβαββαβββαββββββββββββ--=-=-=--=---=-=---=--=-====⎰Q又142333116424441218,)()||3945698(,)()||525175x x dxx x x dxββββββ+--=-+===-+==⎰⎰单位化标准正交基312324,1),3)396.17.4133333333133333343313333333313333x x x xPA A Eγγγγ===-=-------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪==⎪ ⎪-----⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭1123443() 4.840Acy Tr A x x λλλλχχ∴===-⇒==-+-=Q 221-秩(A+4E)=1至少为重根,而-(4+4+4)+解(A+4E)x=o,即1111210311111110212003⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得正交基础体系1100单位化为28λ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解(A-8E)x=0.得解取自A+4E的一列3-33-31111121124124'1402812T T AT T AT -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫- ⎪- ⎪=== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭-单位化为令则112121211111111395.10.10(,,)(,)(,)0,.(,)(,)0P V V V V V k k k V ββαβαβαβββββαβαβ∈≠∅=+=⇒+∈⎫∀∈∴≤⎬==⇒∈⎭11123123111P395.10.2 0dim 1.,,,(2)(,)dim 1.dim 1.n n V V n V i V i L V V n V n αααααααααααα≠∴∉≤-=∈≥∴≤⇒≥-∴≥-Q L L 故将扩充为的一个正交基那么.P394，11①设两个基：12,12,,,n n εεεηηηL L 及,它们的度量矩阵分别为A 和B,并设121211122111221212'''221122(,,,)(,,,),,(,,)(,,,)(,,)(,,,),(,)(')'()n n n n n n CV X X Y Y X CX Y CY X BY X AY X C AC Y C AC B ηηηεεεαβαεεηηηβεεηηηαβ=∈=========∴=L L L L L L 任设所以合同P394.11②，取V 的一个基12,,,,n A αααL 其度量矩阵为因为A 正交,故存在矩阵C,使12121212',,,,,,',,,n n n n C AC E ηηηαααηηηηηη=L L L L C AC=E做基(,)=()C,那么,的度量矩阵为因此,为标准正交基.1212121212121212211111P394.12,,,,(,)(,,)()(,,),,|(,,)|,,,,(,,|0()0|()|||0,m ij i j m ij m mm m m m m m V G G G G G ααααααααααααααααααααααααααααααααα⨯∈==⇔≠⇔>⇔=≠L L L L L L L L 记:，称，为，的Gram 矩阵称，为，的Gram 行列式证明，线性无关，）证:若m=1,线性无关，成立121211,|(,,)|0(,,)(,)(,,)0,0,1,2,.n m mj k k ij k ik k i k k k jk jk ji j k k k jm G A c c a c c i m αααβββββααααααγ=≠≠≠≠>==⇔=⇔==⇔-=∴⇔==∑∑∑∑L L L 若而，不妨设，1212(,,,),,,,j k k m k jj k m k jc L ck γαααααααααα≠≠=-∈⇔=⇔∑∑Q L L 线性相关211212112121222122122222212122123|()|||||||||cos (,),(,)|(,)|(,),(,)||||cos ||||||(1cos )(||||cos )|(,,)|()G G G αααααθααααααααααααθαααθααθααα====-==类似地:平行六面体积P394，13，设：1222000n n n n nn A αααααα⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭LL M M O M L因为A 正交，故A'A=E ，令A=12(,,)n βββL由第1行列，211111,1αα==±由β1与其余各列正交，β1⊥βj （j>1），（β1，βj ）=111100(1)j j a a j α=⇒=>1100A A ±⎛⎫∴= ⎪⎝⎭其中A 1仍为上三角正交矩阵，但阶数少1，故可用归纳法给出证明，且n=1时显然为真，由归纳法原理，证毕。
P394，14①，设1212(,,,),,,,nn n A αααααα=L L ?则做成的一个基,用Schmidt 方法把它们正交化12,,,(9,130,4.1)n P εεεL 由定理21212(,,,)(,,,),i i i L L εεεααα=∀L L111212212121(,,,)(,,,),0n in n n iin n nn t t t t t t t t εεεααα-⎛⎫⎪ ⎪∴=> ⎪ ⎪⎝⎭L L L L O1112111122(,,),0()n n nn t Q T T t Q AT A QT QT A QT Q T εεε--⎛⎫⎪==⎪⎪⎝⎭∴=====LL O 111t 令正交,T =唯一性若1122122,0,0,Q Q T T QT T T T ---∴=∴∴Q -122上三角矩阵T T为正交矩阵Q 的对角线皆大于的对角线皆大于由13题(见P19,138,10.1)T 2T -1=E ，∴T 2=T ，满秩 ∴Q 2=QP394，14②，Q A 正交，则存在C 可逆使A=C'C而C 可逆，由①，有C=QT ，Q 正交T 上三角。