高中数学高考导数题型分析及解题方法
导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1．
32
()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 题型二：利用导数几何意义求切线方程
1．若曲线x x x f -=4
)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）
2．若曲线4
y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
1．已知函数
))1(,1()(,)(2
3f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围
解：（1）由
.23)(,)(2
23b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：
).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即
而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上
故??
?-=-=+??
?-=-=++30233
23c a b a c a b a 即
∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③
由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴
.542)(2
3+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2
+-=-+='
x x x x x f
当;
0)(,32
2;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时
① ②
13)2()(.0)(,132
=-=∴>'≤ （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又,23)(2 b ax x x f ++='由①知2a+b=0。 依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032≥+-b bx x ①当 6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥= b b b f x f b x 时； ②当 φ∈∴≥++=-'='-≤= b b b f x f b x ,0212)2()(,26min 时； ③当. 60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时 综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞ 题型四：利用导数研究函数的图象 1．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ） （A ） （B ） （C ） （D ） 2．函数的图像为14313 +-= x x y ( A ) 3．方程内根的个数为在)2,0(07622 3=+-x x ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 1．已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－2 3与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函 数f （x ）的单调区间 （2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ） 由f '（ 23－ ）＝124a b 093－＋＝，f '（1）＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝1 2－ ，b ＝－2 f '（x ）＝3x2－x －2＝（3x ＋2）（x －1），函数f （x ）的单调区间如下表： 所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－23）与（1，＋∞），递减区间是（－2 3，1） （2）f （x ）＝x3－12x2－2x ＋c ，x ∈〔－1，2〕，当x ＝－23时，f （x ）＝2227＋c 为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。 要使f （x ） 题型六：利用导数研究方程的根 1．已知平面向量a =(3,－1). b =(21 ,23). （1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2－3)b ，y =-k a +t b ，x ⊥y ， 试求函数关系式k=f(t) ； (2) 据(1)的结论，讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况. 解：(1)∵x ⊥y ，∴x y ?=0 即[a +(t2-3) b ]·(-k a +t b )=0. 整理后得-k 2 a +[t-k(t2-3)] a b ?+ (t2-3)·2 b =0 ∵a b ?=0，2 a =4，2 b =1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=41 t(t2-3) (2)讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 41 t(t2-3)与直线y=k 的交点个 数. 于是f ′(t)= 43(t2-1)= 43 (t+1)(t-1). 当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=21 . 当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－21 函数f(t)=41 t(t2-3)的图象如图13－2－1所示， 可观察出： (1)当k ＞21或k ＜－21 时,方程f(t)－k=0有且只有一解； (2)当k=21或k=－21 时,方程f(t)－k=0有两解； (3) 当－21＜k ＜21 时,方程f(t)－k=0有三解. 题型七：导数与不等式的综合 1．设 ax x x f a -=>3 )(,0函数在),1[+∞上是单调函数. （1）求实数a 的取值范围； （2）设 x ≥1，)(x f ≥1，且0 0))((x x f f =，求证：00)(x x f =. 解：（1） ,3)(2a x x f y -='='若)(x f 在[)+∞,1上是单调递减函数，则须 ,3,02x a y ><'即这样的实数a 不存在.故)(x f 在[)+∞,1上不可能是单调递减函数. 若)(x f 在[)+∞,1上是单调递增函数，则a ≤2 3x ， 由于 [)33,,12