高三数学函数的单调性1(2019年)
高三数学 函数的单调性和最值典型例题解析之一
高三数学函数的单调性和最值典型例题解析1．由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得()f x 的最小值，解不等式112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得所求范围. 【详解】（1）由2040x a a x ->⎧⎨->⎩可得24a x a <<，则()f x 的定义域为()2,4a a ，()log (2)log (4)log (2)(4)a a a f x x a a x x a a x =-+-=--22log (3)a x a a ⎡⎤=--+⎣⎦，当1a >时，()f x 的增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a .证明：设()22()3g x x a a =--+，()g x 的增区间为(),3a -∞，减区间为()3,a +∞，当1a >时，设1223a x x a <<<，可得()()12g x g x <，()()12log log []a a g x g x <⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x <，可得()f x 在()2,3a a 递增；设1234a x x a <<<，可得()()12g x g x >，()()12log log []a a g x g x >⎡⎤⎣⎦， 即()()12f x f x >，可得()f x 在()3,4a a 递减.（2）由01a <<，()2223x a a a --+≤，可得2()log 2a f x a ≥=，所以112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，即为211048a a --≤，解得102a <≤，即a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.2. 已知定义域为R 的函数12()12xxf x -=+. （1）试判断函数12()12xxf x -=+在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t ∈R ，不等式22(2)()0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【详解】（1）函数12()12xx f x -=+在R 上单调递减.证明如下：任取12,x x ∈R ，且12x x <，122112*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为12x x <，所以1222x x <，1120x +>，2120x +>，即12()()f x f x >，故函数12()12xxf x -=+在R 上单调递减. （2）因为1221()()1221x x x x f x f x -----===-++，故12()12xxf x -=+为奇函数，所以222(2)()()f t t f t k f k t -<--=-， 由（1）知，函数()f x 在R 上单调递减，故222t t k t ->-，即2220t t k -->对于任意t ∈R 恒成立，所以222k t t <-，令()222g t t t =-，则()min k g t <，因为()22111222222g t t t t ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，所以()min 12g t =-，所以12k <-，即实数k 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.3.下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是（） A ．22y x =-B ．2y x=C ．1||||y x x =+D ．2||x y x =【答案】AD 【详解】A ，因为()()()2222f x x x f x -=--=-=，22y x =-是偶函数，在区间(0,1)上为增函数，符合题意；B ，因为()()22x x f x f x =--=--=，2y x=是奇函数，且在区间(0,1)上为减函数，不符合题意； C ，因为()()11||||||||f x x x f x x x -=-+=+=-，1||(0)||y x x x =+≠是偶函数，当(0,1)x ∈时，1y x x=+单调递减，不符合题意；D ，因为()()22||||x x f x f x x x -===-，2(0)||x y x x =≠是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数，符合题意. 故选：AD4.定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()0f m f n m n+>+.（1）比较1()2f 与1()3f 大小；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）11()()23f f >；（2）函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，证明见解析；（3）4a >. 【解析】试题解析：（1）利用作差法，即可比较1()2f 与1()3f 大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定x 的范围，再分离参数求最值，即可求a 的取值范围.试题解析：（1）第一步，由()()0f m f n m n+>+得出031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ：∵11()023+-≠，031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， ∵03121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， 第二步，由奇偶性得出结论： ∵11()()23f f >--∵11()()23f f >. （2）第一步，取值、作差： 任取12[1,1]x x ∈-，且12x x <，21212121212121()()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=--+-.第二步，判断符号：∵2121()()0()f x f x x x +->+-，210x x ->，∵21()()0f x f x ->，第三步，下结论：∵函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数. （3）4a >.考点：函数奇偶性与单调性的综合问题. 5.已知函数()21xf x x =+. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断当()1,1x ∈-时函数()f x 的单调性，并用定义证明； （3）若()f x 定义域为()1,1-，解不等式()()210f x f x -+<. 【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）1{|0}3x x <<【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x ，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。
专题2.2 函数的单调性(解析版) - 2019高考数学高分模板
）
A． (−∞, 3]
2
B． [3 , +∞)
2
C． (−1, 3]
2
D． [3 , 4)
2
【答案】D
【解析】函数 f（x）=log2（4+3x-x2），令 t=4+3x-x2 ＞0，求得-1＜x＜4，
即函数的定义域为（-1，4），且 f（x）=log2t，即求函数 t 在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质 可得 t=4+3x-x2 在定义域内的减区间为[3 , 4).故选 D．
【套路总结】
(1)比较大小：县判断出函数的单调性，再根据自变量的大小判断出函数值的大小关系。
(2)解不等式：利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； 【③举分一段反函三数】的1.单已调知性f(，x)除＝注2x意－各2－段x，的a单=调 79性外−14，, b还=要 注97 意15 ,衔c 接= 点log的279取值．
对于 C，函数f(x) = 2−x = (1)x为指数函数，在(0, +∞)上单调递减，符合题意．
2
对于 D，函数y = x3为幂函数，在(0, +∞)上为增函数，不符合题意．故选 C．
2．函数������(������) = log2(4 + 3������ − ������2)的单调递减区间是（
（4）由题意，得 x>0.y′＝1－1x＝x－x 1.由 y′＝0 解得 x＝1. 列表如下：
由上表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
高考理科数学真题练习题函数的单调性与最值理含解析
高考数学复习 课时作业5 函数的单调性与最值一、选择题1．(2019·潍坊市统一考试)下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( B )A ．y ＝1xB ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝2xD ．y ＝log 2|x |解析：因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A ，C ，又y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( B ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为( C )A ．(－∞，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析：因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，即1x 2＋1∈(0,1]，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.4．(2019·洛阳高三统考)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )． 以上四个函数中，“优美函数”的个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调减函数． 对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.5．函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则下列结论成立的是( B )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1) 解析：因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又0<12<1<32<2，f (x )在[0,2]上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.6．已知a >0，设函数f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( D )A ．2 017B ．2 019C ．4 032D ．4 036解析：由题意得f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x ＋1＝2 019－22 019x＋1.∵y ＝2 019x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴f (x )＝2 019－22 019x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 038－22 019a ＋1－22 019－a＋1＝4 036. 二、填空题7．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．8．(2018·北京卷)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是f (x )＝sin x (答案不唯一)．解析：这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，且函数f (x )在[0,2]上不是增函数即可．如f (x )＝sin x ，答案不唯一．9．若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上单调递增，则实数a 的取值范围为a ≥－12.解析：若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上单调递增，则函数g (x )＝ax 2＋x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0恒成立．当a ＝0时，g (x )＝x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0，符合题意；当a >0时，g (x )图象的对称轴为x ＝－12a <0，且有g (x )>0，所以g (x )在(0,1)上单调递增，符合题意；当a <0时，需满足g (x )图象的对称轴x ＝－12a ≥1，且有g (x )>0，解得a ≥－12，则－12≤a <0.综上，a ≥－12. 10．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋a x，x ∈[－4，－1]的值域为[－2，－12]．解析：由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即[－2，－12]．三、解答题 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明：f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．12．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a ，当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.13．(2019·湖北八校联考)已知函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ln x 2＋a ln x ＋b ，x >0，e x ＋12，x ≤0，若f (e 2)＝f (1)，f (e)＝43f (0)，则函数f (x )的值域为(12，32]∪[2，＋∞)． 解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋b ＝b ，1＋a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，∴当x >0时，f (x )＝(ln x )2－2ln x ＋3＝(ln x －1)2＋2≥2；当x ≤0时，12<e x ＋12≤e 0＋12＝32，则函数f (x )的值域为(12，32]∪[2，＋∞)．14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0.故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0.因此f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)． 而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·河南郑州一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2e)＝－f (x )(其中e ＝2.718 2…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系(用不等号连接)为( A )A ．f (b )>f (a )>f (c )B ．f (b )>f (c )>f (a )C ．f (a )>f (b )>f (c )D ．f (a )>f (c )>f (b )解析：∵f (x )是R 上的奇函数，满足f (x ＋2e)＝－f (x )，∴f (x ＋2e)＝f (－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝e 对称，∵f (x )在区间[e,2e]上为减函数，∴f (x )在区间[0，e]上为增函数，又易知0<c <a <b <e ，∴f (c )<f (a )<f (b )，故选A.16．(2019·湖南湘东五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0，ln x ，e －2≤x ≤e，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为[－1,3]．解析：当－7≤x ≤0时，f (x )＝|x ＋1|∈[0,6]，当e －2≤x ≤e 时，f (x )＝ln x 单调递增，得f (x )∈[－2,1]，综上，f (x )∈[－2,6]．若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则有－2≤2g (a )≤6，即－1≤a 2－2a ≤3⇒－1≤a ≤3.。
高三数学一轮复习第二章函数第二节函数的单调性与最值课件理
条件 (1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
(1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论 M为函数y=f(x)的⑦ 最大值
M为函数y=f(x)的⑧ 最小值
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y= 1x 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). (×)
1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 ( )
A.y=|x|
B.y=3-x
C.y= 1
x
D.y=-x2+4
答案 A y=3-x在R上递减,y= 1 在(0,+∞)上递减,y=-x2+4在(0,+∞)上递
x
减,故选A.
2.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则 ( )
A.m> 1
2
C.m>- 1
a
2即 0
,
a
2,
f ( 1 ) 0 , a 2 1 0 ,
解得2<a≤3,
即实数a的取值范围是(2,3].
方法技巧 函数单调性的应用比较广泛,可用来比较函数值的大小、解函数不等 式、求参数的范围等. (1)利用函数单调性比较两个函数值的大小 若f(x)在给定的区间A上是递增的,任取x1,x2∈A,则x1<x2⇔f(x1)<f(x2);若f(x) 在给定的区间A上是递减的,任取x1,x2∈A,则x1<x2⇔f(x1)>f(x2).若给定 的两个自变量在同一单调区间上,可直接比较其函数值的大小,否则,要 先根据奇偶性或周期性把它们转化到同一单调区间上,再利用单调性比 较其函数值的大小. (2)利用函数单调性解函数不等式 解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f ”,变函数 不等式为一般不等式.去掉“f ”时,要注意f(x)的定义域的限制.
高三数学函数的单调性1
高三备课组
1、函数的单调性的定义
2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：
（1）从定义入手 （2）从导数入手 （3）从图象入手 （4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手
注：先求函数的定义域
3、函数单调性的证明： 定义法；导数法
4、一般规律
（ 1 ）若 f(x),g(x) 均为增函数，则 f(x)+g(x) 仍为增函 数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数； （3）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （4）设 y f g x 是定义在M上的函数，若f(x)与 g(x)的单调性相反，则 y f g x 在M上是减函数； 若f(x)与g(x)的单调性相同，则 y f g x 在M上是增 函数。
时 f ( x) 1 且对任意的a，b R 有 f (a b) f (a). f (b)
（1）求证：f 0 1 （2）求证： 对任意的x R，恒有f（x） 0
f x 是R上的增函数 （3）求证：
2 f x . f ( 2 x x ) 1 （4） 解不等式 。
练习：（变式四）设f(x)的定义域为 0, ，且在
x 0,上为增函数，f y f x f y
（1）求证：f 1 0, f xy f x f y
1 （2）设 f 2 1 解不等式 f x f 2。 x 3
三、小结 1．判断函数单调性（求单调区间）的方法 2、函数单调性的证明：定义法；导数法。 3、综合应用，特别与不等式联系。 四、作业：优化设计
； / 氢氧化钠生产厂家 不用顾忌打挠咯对方与爷相处的时间。半各月前的那壹天，韵音还像往常壹样，用过晚膳后，由大丫环碧荷陪着来到惜月这里，希望借着闲聊 天来打发壹会子时间。刚到院门口，韵音就看见秦公公在院门口的内侧候着呢，惊咯韵音壹身冷汗：这么晚咯，秦公公怎么会在这里？莫非 是……韵音刚要转身离开之际，秦顺儿正好也发现咯耿格格，于是赶快请咯安：“给耿格格请安。”“秦公公，爷这是……”“爷刚来，奴才 还没有得到吩咐呢。”“那，那我就先走咯。”“格格您走好。”碧荷瞪大咯眼睛，壹脸茫然地望向主子，韵音也是壹副傻愣愣的神情。这各 情况真是大大地出乎她们主仆两人的意料，啥啊时候惜月妹妹得咯爷的宠？而且还是在李侧福晋的眼皮子底下，得罪咯淑清姐姐，将来还不得 闹翻咯天？也不用碧荷四处打探，只随便问咯壹各在福晋院子当差的丫鬟妹就知道咯，原来是钮钴碌格格不小心落咯水。发生咯这么大的事情， 她这各当姐姐的居然不知道，韵音心中满怀愧疚。幸好王爷去探望咯惜月，有效地缓解咯韵音的内疚心理，否则她那壹晚上就别想睡各安稳觉 咯。虽然是因为没有及时得到消息的原因，但韵音仍为自己没有及时探望惜月妹妹而自责不已，因此第二日壹早她就赶快登门，只是闭口不谈 她昨天晚上已经来过，并见到秦公公的事情。“妹妹这次落水，真是让姐姐后怕呢！以后你可是千万要当心壹些，万不可再有闪失，凭白让爷 和福晋担惊受怕。”“姐姐放心，爷也是这么说的呢。”“噢？爷来过咯？”“是啊，昨天晚上爷壹回园子就过来探望咯。”“唉，那你可就 更得好好养着身子，万不可让爷再操心咯。”“姐姐说的是，妹妹也着急要赶快养好身子呢。”第壹卷 第164章 误撞惜月主动说起爷来探望 的事情，其实倒不是为咯向韵音炫耀，她们两各人是这王府中最要好的姐妹，她没有向韵音姐姐炫耀的必要，她只是在暗示韵音，别打扰咯她 和爷的好事。这各问题哪里还需要惜月暗示？韵音自从前壹天晚上见到秦顺儿出现在这各院子以后，每天的探望固定在咯给福晋请安之后，只 要是壹过咯响午，她根本就不会再踏入惜月院子半步。对于惜月的得宠，韵音真是打心眼儿里替这各妹妹高兴，她们两各人嫁进王府都七年咯， 不但没有壹子半女，就是连爷的面都很少见到。惜月妹妹这回好不容易守得云开见月明，她哪里还会这么不知趣地打扰呢。此时，面对着月信 已经推迟咯十天的新情况，惜月正在为如何保住爷不再重回淑清姐姐的怀抱而苦恼不已的时候，韵音的出现令她的脑海中想出来壹各不得已而 为之的主意。待韵音进咯屋里，惜月先是跟她聊咯很久的闲天，待韵音准备起身告辞的时候，惜月开口说道：“姐姐，今天晚膳
第2章 第2节 第1课时函数的单调最值-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
方法：单调性法、图
调性的例子
象法、换元法、利用
有哪些？
均值不等式法.
1.区分两个概念： “函数的单调区间 ”和“函数在某区 间上单调”. 2.避免一个低级错 误：单调区间不能 用“∪”连接.
D
[点评] (1)由典例(1)(2)可以看出，“函数f(x)的单调区 间是[a，b]”与“函数f(x)在区间[a，b]单调”是不同的.
3.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，
都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M
(1)对于任意x∈I，都有 __f(_x_)≥__M___； (2)存在x0∈I，使得_f(_x_0_)＝__M_
结论
M为最大值
M为最小值
教材拓展
(－∞，－1)和(－1，＋∞)
4
D
5.函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( D )
A.(－∞，－2) B.(－∞，1)
C.(1，＋∞)
D.(4，＋∞)
解析 由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2. 设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数. 要求函数f(x)的单调递增区间， 即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间. ∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)
6.若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与
f(1)的大小关系是( A )
A.f(m)＞f(1)
B.f(m)＜f(1)
C.f(m)≥f(1)
D.f(m)≤f(1)
解析 因为f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数， 则m－1＞0，所以m＞1，所以f(m)＞f(1).
高三数学函数的单调性1
2019年高考数学真题考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性
考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性一、选择题1.(2019·全国卷Ⅱ理科·T12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是()A.-∞,B.-∞,C.-∞,D.-∞,【命题意图】考查函数的性质、不等式的解法以及数学运算,属于较难题.【解析】选B.如图,令f(x)=-,结合图象可得f(x-1)=-,则f(x-2)=-,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=-,解得x=或,当f(x)=-时,x=或,即若f(x)≥-,对任意x∈(-∞,m]都成立,则m≤.2.(2019·全国卷Ⅱ文科·T6)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e x-1,则当x<0时,f(x)= ()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1【命题意图】考查函数的奇偶性以及求函数的解析式.【解析】选D.当x<0时,则-x>0,则有f(-x)=e-x-1,又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-e-x+1.3.(2019·全国卷Ⅲ理科·T11同2019·全国卷Ⅲ文科·T12)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则()A.f>f(-)>f(-)B.f>f(-)>f(-)C.f(-)>f(-)>fD.f(-)>f(-)>f【命题意图】本题考查函数的性质的应用,意在考查考生利用函数的奇偶性、单调性、指数与对数的性质的求解能力.【解析】选C.依据题意,函数f(x)为偶函数且函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,则函数f(x)在(-∞,0)上单调递增;因为f=f(-log34)=f(log34);又因为0<-<-<1<log34,所以f(-)>f(-)>f.二、填空题4.(2019·全国卷Ⅱ理科·T14)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax.若f(ln 2)=8,则a=.【命题意图】考查函数的奇偶性以及数学运算能力.【解析】因为ln 2>0,所以-ln 2<0,由于f(x)是奇函数,所以f(-ln 2)=-f(ln 2)=-8,即-e(-ln 2)a=-8,解得a=-3.答案:-35.(2019·江苏高考·T14)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=-(-),g(x)=(),,-,,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.【命题意图】主要考查数形结合和直线与圆的位置关系,属综合题,对知识运用能力综合考查.【解析】当x∈(0,2]时,f(x)=-(-),即(x-1)2+y2=1,y≥0.又f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,其周期为4,如图,函数f(x)与g(x)的图象(部分),要使f(x)=g(x)在(0,9]上有8个不同实根,只需二者图象有8个交点即可.当g(x)=-时,函数f(x)与g(x)的图象有2个交点;当g(x)=k(x+2)时,g(x)的图象为恒过点(-2,0)的直线,只需函数f(x)与g(x)的图象有6个交点.当f(x)与g(x)图象相切时,圆心(1,0)到直线kx-y+2k=0的距离为1,即=1,得k=,函数f(x)与g(x)的图象有3个交点;当g(x)=k(x+2)过点(1,1)时,函数f(x)与g(x)的图象有6个交点,此时1=3k,得k=.综上可知,满足f(x)=g(x)在(0,9]上有8个实根的k的取值范围为,.【题后反思】本题考点为参数的取值范围,侧重函数方程的多个实根,难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误,根据函数的周期性平移图象,找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数,从而确定参数的取值范围.答案:,。
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