1.3角的平分线
三角平分线模型定理
三角平分线模型定理1.引言1.1 概述三角平分线模型定理是三角形中一个重要的几何定理，它涉及到三角形的平分线以及与之相关的性质。
在我们的日常生活和实际应用中，三角形是非常常见的图形，所以了解和掌握三角形的性质和定理对我们的学习和应用都有重要的意义。
本文旨在介绍三角平分线的定义和性质，以及三角平分线模型定理。
首先，我们将给出三角平分线的定义。
三角形的平分线是指从三角形的一个顶点引出的直线，将对立边分成两个相等的线段。
这个定义非常直观和容易理解，同时也是我们后续讨论的基础。
接着，我们将探讨三角平分线的性质。
首先，三角形的三条平分线的交点被称为三角形的内心，该内心与三个顶点的连线的交点分别是三角形的三条边的中点。
这一性质的直观解释是，平分线将对立边分成相等的线段，所以三条平分线的交点就是三个中点的共同点。
除此之外，我们还将研究三角平分线模型定理。
该定理是一个重要的几何定理，它给出了三角形内心与三角形的三个顶点之间的距离关系。
根据三角平分线模型定理，内心到三角形每条边的距离等于该边上相邻两边的长度之差的一半。
这一定理的应用范围广泛，在许多几何问题的解决中都起到了关键的作用。
通过对三角形平分线的概念、性质和模型定理的深入了解，我们将能够更好地理解和运用三角形的相关知识。
本文将系统地介绍这些内容，帮助读者全面掌握三角平分线的概念和定理，并为读者进一步探索几何学和应用数学提供基础知识。
下面将详细讨论三角平分线的定义和性质，以及三角平分线模型定理，以便读者对这一主题有更清晰和全面的理解。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构：本文主要包含引言、正文和结论三个部分。
引言部分：引言部分将对本文的内容进行概述，并介绍文章的结构和目的。
正文部分：正文部分将包括两个小节，分别是“三角平分线的定义和性质”和“三角平分线的模型定理”。
1. 三角平分线的定义和性质：这一小节将详细介绍三角平分线的定义和相关的性质。
1.3 角的平分线
1.3 角的平分线教学目标：1、通过折叠的方式认识角的轴对称性。
2、理解并能运用角的平分线的性质。
3、会画已知角的平分线。
教学重点：引导学生了解有关线角平分线的知识。
难点：运用角平分线的性质解决问题。
：教学过程：在纸上画∠BAC ,把它剪下来并对折，使角的两边重合，然后把纸铺平，独立解决以下问题：1、角是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？___________________________尝试用尺规作图的方法作出∠BAC的平分线AD。
____________________________ 3、在AD上任取一点P，作出点P到∠BAC 两边的垂线段PM与PN，垂足分别为点M和点N，如果把∠BAC沿AD折叠，线段PM与PN重合吗？由此，你能得出什么结论？___________________________________________________________4、在AD上另取另一点Q，重复上述操作，你还能得出同样的结论吗？___________________________________________________________二、小组合作1、任意作一个锐角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线，你有什么发现？___________________________________________________________2、任意作一个直角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线，你有什么发现___________________________________________________________3、任意作一个钝角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线，你有什么发现？猜想结论：___________________________________________________________三、学以致用天泉农副产品集散地M位于三个村庄A、B、C之间，其位置到三条公路AB、AC、BC 的距离相等，你能找到M的位置吗？a) 如上左图，在直角坐标系中，AD 是R t △OAB的角平分线，点D 到AB 的距离是2，求点D 的坐标。
青岛版八年级数学(上)1.3角的平分线
1.3角的平分线学习目标：1、能够通过折纸、画图等操作，体会角的对称性，从而认识角平分线的性质.2、能够利用尺规作图，作出角的平分线.3、经历探索角平分线的性质，在操作活动和观察分析过程中培养学生主动探索与合作交流的能力. 重点难点：重点是角平分线的性质.难点:是角平分线性质的由来与应用.学习过程一、情境引入：在V型公路（∠AOB）内部有两个村庄C、D，如图所示，你能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路两条路的距离相等，且使C、D两村的工人上下班的路一样吗？二、自主学习：1、动手操作：（1）自主学习课本第10角是（2）请做出∠AOB2、合作探究a、我们知道了角的平分线的一种做法，现在如果没有量角器，你用什么办法就可以作出角的平分线？完成用尺规做已知角的平分线。
（1）（2）（3）b、任意画一个锐角三角形，作出每个角的平分线，你能有什么发现？三、精讲点拨1、实验与探究阅读课本第11页的实验与探究，由此你能得出什么结论？并用测量的方法进行验证，最后试总结得出结论.。
2、挑战自我如图，见课本p12图1—15你能在三角形的内部画出集散地M的位置吗？于是我们可以得到结论：。
四、系列训练（一）基础练习1、课本第12页练习第1小题。
A组第1、2小题.2、如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC，若AB=7 ,CD=2求△ABD的面积.（二）拓展延伸3、如图1,在△ABC中, ∠C=900,BD平分∠ABC,交AC于点D,AC=15cm,且CD∶AD=2∶3,求点D到AB的距离.4、如图2，在△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，交AC于点D，边点D作DE⊥AB于E，E点恰为AB的中点，若DE=1，DB=2，求AC的长.五、课堂小结：基础：本节课的知识点哪些？能力：本节课有哪些收获和疑问？六、当堂检测1、如果三角形内的一点到三角形三边的距离相等，那这个点是（）2、如图：已知∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，OE⊥A C于E,且OE=2,求点O到AB、CD的距离之和是。
角的平分线定理 定理1
角的平分线定理定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合矩形的定理矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形性质定理2：矩形的对角线相等矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形定理菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形定理正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理：1.等腰梯形在同一底上的两个角相等2.等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理：1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边平行四边形定理平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等推论：夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形初中数学几何平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行推论：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补对称定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称中心对称定理。
八上-角平分线的性质和判定(教案)
八上-角平分线的性质和判定(教案)第一章：角平分线的定义1.1 导入：回顾初中阶段所学过的线段、射线和直线的性质。
1.2 讲解角平分线的定义：在一个角内部，从角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的小角的线段叫做这个角的角平分线。
1.3 角平分线的表示方法：用符号“∠平分线”表示。
1.4 角平分线与角的关系：角平分线将角分成两个相等的小角，即每个小角等于原角的一半。
第二章：角平分线的性质2.1 导入：回顾初中阶段所学过的线段的性质。
2.2 讲解角平分线的性质：角平分线上的任意一点，到角的两边的距离相等。
2.3 角平分线性质的证明：通过几何图形，利用线段的性质和角度关系进行证明。
2.4 角平分线性质的应用：解决与角平分线有关的问题。
第三章：角平分线的判定3.1 导入：回顾初中阶段所学过的线段的判定方法。
3.2 讲解角平分线的判定方法：已知一条线段，如何判断它是某个角的角平分线。
3.3 角平分线判定方法的证明：通过几何图形，利用线段的性质和角度关系进行证明。
3.4 角平分线判定方法的应用：解决与角平分线有关的问题。
第四章：角平分线与三角形的关系4.1 导入：回顾初中阶段所学过的三角形的性质。
4.2 讲解角平分线与三角形的关系：三角形的三条角平分线相交于一点，这一点称为三角形的内心。
4.3 内心性质的证明：通过几何图形，利用线段的性质和角度关系进行证明。
4.4 内心性质的应用：解决与三角形内心有关的问题。
第五章：角平分线的实际应用5.1 导入：通过实际例子，引入角平分线的应用。
5.2 讲解角平分线在实际问题中的运用：如在建筑设计、土地测量等领域中的应用。
5.3 角平分线实际应用的举例：分析实际问题，运用角平分线的性质和判定方法解决问题。
5.4 角平分线实际应用的练习：让学生通过练习题，巩固角平分线在实际问题中的运用。
第六章：角平分线的作图6.1 导入：回顾之前学过的几何作图方法。
6.2 讲解如何作一个角的角平分线：利用直尺和圆规完成角的角平分线的作图。
三角形角平分线有关的定理
三角形角平分线有关的定理1.引言1.1 概述概述部分内容：在我们的日常生活和几何学中，三角形是一种常见的几何图形。
它由三条边和三个顶点组成。
而在三角形中，角平分线是一种非常重要的概念。
角平分线是指从一个顶点出发，将一个角平分为两个相等的角的直线或线段。
在本篇文章中，我们将探讨与三角形角平分线相关的一些重要定理。
这些定理涉及到角平分线的定义、性质以及在几何学中的重要应用。
首先，我们将详细介绍角平分线的定义和性质。
通过理解角平分线的定义，我们可以更好地掌握它的特点和作用。
同时，探究角平分线的性质也能够帮助我们在解决相关几何问题时提供有力的依据。
其次，我们将重点讨论角平分线在几何学中的重要应用。
通过具体的实例和问题，我们将展示角平分线在解决三角形相关问题时的作用和意义。
这些应用包括角平分线的角度关系、角平分线与三角形边长的关系等。
通过学习这些应用，我们可以更好地理解角平分线在解决实际问题中的应用及其重要性。
最后，我们将对本文进行总结，并展望未来对于三角形角平分线相关定理的深入研究。
通过对这些定理的理解和应用的进一步探索，我们有望为几何学的发展做出更多的贡献。
同时，针对目前存在的问题和难点，我们也可以提出一些新的研究方向和解决思路。
通过本文的阅读和学习，我们将更深入地了解三角形角平分线相关的定理，并能够灵活运用于实际问题的解决中。
同时，我们也将对几何学的研究有更深入的认识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
希望读者能够通过本文的阅读，对三角形角平分线有一个全面而深入的了解。
1.2文章结构文章结构部分是用来概述和介绍整篇文章的组织结构和内容安排。
在本文中，文章结构包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要是对整篇文章进行概述，介绍了本文讨论的主题是三角形角平分线有关的定理。
文章将从定义和性质、重要应用两个方面进行论述。
此外，介绍了本文的目的是为了深入研究和了解三角形角平分线的基本原理和应用。
正文部分分为两个部分，分别是定理一和定理二。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
1.3 第6课时 用尺规画角的平分线及过已知点作已知直线的垂线同步练习 苏科版八年级数学上册
第6课时用尺规画角的平分线及过已知点作已知直线的垂线【基础练习】知识点1用直尺和圆规作角的平分线1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图,则此作法的数学依据是()A.SASB.SSSC.AASD.ASA2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交M和N,再分别以点M,N为圆心,大于12BC于点D,则∠ADB=°.3.如图所示,∠AOB=70°,以点O为圆心,以适当长为半径作弧分别交OA,OB于C,D两点;分别CD的长为半径作弧,两弧相交于点P;以O为端点作射线OP,在射线以点C,D为圆心,以大于12OP上取点M,连接MC,MD.若测得∠CMD=40°,则∠MDB=°.4.如图,已知△ABC,用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D.(保留作图痕迹,不要求写作法)知识点2用直尺和圆规过已知点作已知直线的垂线5.如图,过直线AB外一点P作PE⊥AB,由作图过程可知△PEC≌△PED,依据是()A.SASB.SSSC.ASAD.AAS6.[2019·常州二模]如图,一位同学用直尺和圆规作出了△ABC中BC边上的高AD,则一定有()A.P A=PCB.P A=PQC.PQ=PCD.∠QPC=90°7.如图,已知△ABC,根据题意完成下列各题:(1)用尺规过点A作BC所在直线的垂线;(2)用尺规作出AC边上的高.【能力提升】8.[2020·襄阳]如图2,Rt△ABC中,∠ABC=90°,根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是()图2A.DB=DEB.AB=AEC.∠EDC=∠BACD.∠DAC=∠C9.尺规作图:如图3,过点A作出直线AM,使AM∥BC.(要求:保留作图痕迹,标注字母M,不写作图步骤)图310.[2019·达州节选]如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.尺规作图:(1)作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D;(2)过点D作BC的垂线,垂足为E(不写作法,保留作图痕迹).图411.如图5,已知在△ABC中,∠A=70°.(1)分别作∠B,∠C的平分线,它们交于点O;(2)求∠BOC的度数.图512.如图6,已知∠MON,点B,C分别在射线OM,ON上,且OB=OC.(1)用直尺和圆规作出∠MON的平分线OP,在射线OP上取一点A,分别连接AB,AC(只需保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)的条件下求证:AB=AC.图613.如图7,已知△ABC,按如下步骤作图:(1)以点A为圆心,AB长为半径画弧;(2)以点C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;(3)连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.求证:AC⊥BD.图714.已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,点E在边AB上,且AE=AC,∠BAC的平分线AD与BC相交于点D.(1)根据上述条件,用尺规在图8中作出点E和∠BAC的平分线AD(不要求写出作法,但要保留作图痕迹);(2)连接DE,求证:DE⊥AB.图8答案1.B2.125[解析] 由题意可得AD平分∠CAB.∵∠C=90°,∠B=20°,∴∠CAB=70°.∴∠CAD=∠BAD=35°.∴∠ADB=180°-20°-35°=125°.3.55[解析] 由作法得OC=OD,OP平分∠AOB,则∠AOP=∠BOP=12∠AOB=35°.在△OMC和△OMD中,{OC=OD,∠COM=∠DOM, OM=OM,∴△OMC≌△OMD(SAS).∴∠OMC=∠OMD=12∠CMD=20°.∴∠MDB=∠DOM+∠OMD=35°+20°=55°.4.解:如图,①以点B为圆心,以任意长为半径画弧,分别交AB,BC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,以大于12EF的长为半径画弧,两弧相交于点G,连接BG交AC于点D.BD即为所求.5.B6.C7.解:如图所示,(1)直线AE即为所求.(2)BF即为所求.8.D[解析] 由作图可知AD平分∠BAC,DE⊥AC,∴∠DAE=∠DAB,∠DEA=∠B=90°.在△ADE 和△ADB 中,{∠DAE =∠DAB ,∠DEA =∠B ,AD =AD ,∴△ADE ≌△ADB (AAS), ∴DB=DE ,AB=AE. ∵∠AED+∠B=180°, ∴∠BAC+∠BDE=180°.又∵∠EDC+∠BDE=180°,∴∠EDC=∠BAC ,故选项A,B,C 正确. 故选D .9.解:如图,直线AM 即为所求.10.解:(1)如图,CD 即为所求. (2)如图,DE 即为所求.11.解:(1)如图所示.(2)∵BO 平分∠ABC ,CO 平分∠ACB ,∴∠OBC=12∠ABC ,∠OCB=12∠ACB.∵∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-12(∠ABC+∠ACB )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A ,而∠A=70°,∴∠BOC=90°+12×70°=125°.12.解:(1)如图所示.(2)证明:由(1)知OP 是∠MON 的平分线,∴∠POB=∠POC.在△ABO 与△ACO 中,{OB =OC ,∠AOB =∠AOC ,OA =OA ,∴△ABO ≌△ACO (SAS). ∴AB=AC.13.证明:在△ABC 和△ADC 中,{AB =AD ,BC =DC ,AC =AC ,∴△ABC ≌△ADC (SSS). ∴∠CAB=∠CAD.在△ABE 和△ADE 中,{AB =AD ,∠EAB =∠EAD ,AE =AE ,∴△ABE ≌△ADE (SAS).∴∠AEB=∠AED=90°.∴AC ⊥BD.14.解:(1)如图①.(2)证明:如图②.∵AD 平分∠BAC , ∴∠EAD=∠CAD.在△ADE 和△ADC 中,{AE =AC ,∠EAD =∠CAD ,AD =AD ,∴△ADE ≌△ADC (SAS).∴∠AED=∠ACD=90°,即DE ⊥AB.。
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1、任意作一个锐角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线，你有什么发现？
___________________________________________________________
2、任意作一个直角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线，你有什么发现
___________________________________________________Байду номын сангаас_______
本节课总体来说很好，同学们都积极的参与了课堂教学，真正体现了学生的主体作用。
3、任意作一个钝角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线，你有什么发现？
猜想结论：___________________________________________________________
三、学以致用
天泉农副产品集散地M位于三个村庄A、B、C之间，其位置到三条公路AB、AC、BC的距离相等，你能找到M的位置吗？
若点N在∠AMB的角平分线上，∠A=∠B=90°,那么你有怎样的结论？
_____________________________________________________
D
O
B
A
C
B
C
D
A
3、如上左图，△ABC中,∠A=90°,BD平分
∠ABC,AD=3cm,BC=10cm,求△BDC的面积。
___________________________________________________________
4、在AD上另取另一点Q，重复上述操作，你还能得出同样的结论吗？
___________________________________________________________
A
B
C
O
D
B
A
y
x
N
A
M
B
a)如上左图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D到AB的距离是2，求点D的坐标。
b)如上右图，若点M在∠ANB的角平分线上，∠A=∠B=90°,那么你有怎样的结论？________________________________________________
1、角是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
_______________________________________________
2、尝试用尺规作图的方法作出∠BAC的平分线AD。
___________________________________________________
3、在AD上任取一点P，作出点P到∠BAC两边的垂线段PM与PN，垂足分别为点M和点N，如果把∠BAC沿AD折叠，线段PM与PN重合吗？由此，你能得出什么结论？
4、如上右图，已知∠AOB和C、D两点，是否能找到一点P，使得点P到OA、OB的距离相等，而且P点到C、D两点的距离相等。
板书设计
1.3角的平分线
1、角是轴对称图形
2、角平分线的性质
A
B
C
D
（用尺规做出角的平分线）
教学反思（主要记录课堂设计理念，实际教学效果及改进设想等）
教学反思
利用折纸的方法探索角的轴对称性，进一步体验轴对称的特征，发展了空间观念。学生能够用尺规作出已知角的平分线，能规范的写出已知、求作和做法。
第一章轴对称与轴对称图形
1.3角的平分线
教学目的
1、通过折叠的方式认识角的轴对称性。
2、理解并能运用角的平分线的性质。
3、会画已知角的平分线。
教学重难点
引导学生了解有关线角平分线的知识。
运用角平分线的性质解决问题。
突破措施
探究式教学方法
教学准备
多媒体课件
教学过程
修改栏
教学设计
一、自主探索
A
B
C
D
在纸上画∠BAC ,把它剪下来并对折，使角的两边重合，然后把纸铺平，独立解决以下问题：