山东省淄博实验中学2021届第一学期高三第一次模块考试数学试题
山东省淄博实验中学高三数学上学期第一次诊断考试试题 理
淄博实验中学高三第一学期第一次诊断考试试题数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{|20},{|0},{|(2)0}A x R x B x R x B x R x x =∈->=∈<=∈->，则“z A B ∈U ”是“x C ∈”的（ ）A ．充分而比必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也必要条件2、一是函数()2(32)ln 20082009f x x x x x =-++-，则方程()0f x =在下面哪个范围内必有实根（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()2,43、函数22x y x =-的图象大致是（ ）4、三个数20.310.3120.31,log ,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<5、已知tan 2α=，则2sin sin cos ααα-的值是（ ）A ．25B ．25- C ．2- D ．2 6、已知函数()220ln(1)0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨->⎩，若()f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．(],1-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-7、定义在R 上的函数()f x 满足()(),()(4)f x f x f x f x -=-=+，且(1,0)x ∈-时，()125x f x =+，则2(log 20)f =（ ）A ．1B ．45 C ．1- D ．45- 8、由直线1,22x x ==，曲线1y x =及x 轴所围成的图形的面积是（ ） A ．154 B ．174 C ．1ln 22 D ．2ln 2 9、若函数()f x 在R 上可导，且满足()()f x xf x '<，则（ ）A ．()()212f f <B ．()()212f f >C ．()()212f f =D ．()()12f f =10、已知函数()224|log |02151222x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d === 其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ ）A ．()16,21B ．()16,24C ．()17,21D ．()18,24第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在题中的横线上）11、设命题:0,1p a a ∀>≠，函数()xf x a x a =--有零点，则:p ⌝ 12、设1:21(0),:021x p x m m q x -+<>>-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围 为 13、已知函数2log (1)y ax =-在()1,2上单调递增，则a 的取值范围14、已知0,0x y ≥≥，且1x y +=，则1411x y +++的最小值为 15、若实数,x y 满足21x y x y +>⎧⎪⎨-<⎪⎩，则y x 的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，16-19小题各12分，20小题13分，21小题14分，共75分）16、已知0a >且1a ≠，设命题:p 函数log (1)a y x =+在()0,+∞上单调递减；命题:q 曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，如果p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，求a 的取值范围。
山东省淄博实验中学2022届高三上学期第一次教学诊断考试数学(理)试题 扫描版含答案
理科参考答案 一、DACCB ABCDB AD 二 、13. 214 14. 3π 15. 32- 16. 3 三、17.解：()I ()03:><<a a x a p ，41=a 时 ，4341:<<x p …（1分） 121:<<x q …（2分） q p ∧ 为真 p ∴真且q 真 …（3分） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<1214341x x ，得4321<<x ，即实数x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4321x x …（5分） ()II q 是p 的充分不必要条件，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=121x x A ，{}0,3><<=a a x a x B则A 是B 的真子集 …（7分） 1231a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩或⎪⎩⎪⎨⎧≥<1321a a …（9分） 得2131≤≤a ，即a 的取值范围为1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦， …（10分） 18.解：解：（1）∵△ABC 中，， ∴依据正弦定理，得， ∵锐角△ABC 中，sinB ＞0， ∴等式两边约去sinB ，得sinA= ∵A 是锐角△ABC 的内角，∴A=； （2）∵a=4，A=， ∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，得16=b 2+c 2﹣2bccos ， 化简得b 2+c 2﹣bc=16， ∵b +c=8，平方得b 2+c 2+2bc=64， ∴两式相减，得3bc=48，可得bc=16． 因此，△ABC 的面积S=bcsinA=×16×sin =4．19.解：()I ()12cos 2cos 2sin 32+-=xx x x f 21cos 21sin 2312cos 1sin 23+-=++-=x x x x …（2分） 216sin +⎪⎭⎫⎝⎛-=πx …（3分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x πππ6563≤-≤∴x …（4分）ππ656=-∴x ，即π=x 时， ()1min =x f …（6分）()II ()1011=x f ，即1011216sin =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，得536sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx …（7分） 20π≤≤x ， 366πππ≤-≤-∴x ，546cos =⎪⎭⎫⎝⎛-∴πx …（8分）1sin sin sin cos 666262x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…（10分）341552=+⨯= …（12分）20.解：()I ∵22()()1x a f x x bx -=++是奇函数,∴()()0f x f x +-=恒成立…（1分）()20a b x a ∴++=恒成立，0,0a b ∴== …（3分） 22()1x f x x ∴=+， 222(1)(1)'()(1)x x f x x -+=+ …（4分）由'()0f x >,得-1＜x ＜1；由'()0f x <,得x ＞1或x ＜-1 …（5分） 故函数()f x 的增区间为()1,1-，()f x 的减区间为(,1)(1,)-∞-+∞和…（6分） ()II ∵2m —1＞()f x 有解，∴2m —1＞min ()f x 即可 …（7分） 当()()()0,0;0,00;00x f x x f x f x >>==<<时当时当时， …（8分） 由()I 知()f x 在(),1-∞-上为减函数，在()1,0-上为增函数()()min 11f x f ∴=-=- …（10分）∴2m —1＞1-，∴m ＞0 …（12分） 21.解：()I 令()()1005=0313v t t t =-+，解得()45t t ==-秒或秒舍 …（2分） 从发觉前方事故到车辆完全停止行驶距离为s s =3120100.93600⨯⨯+()401005313t dt t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎰ …（4分） =30+()2401005ln 136t t ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=30+1005ln 51636-⨯=70()米 …（6分） ()II 设高速上油费总额为y ，速度v 满足60120v ≤≤，则 …（7分） S y w v =⨯=40250v S v ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥=45S …（9分） 当且仅当40250v v =，100v =时取等号 …（10分） 由[]10060120v =∈，，即100/v km h =时，高速上油费最少 …（12分） 22（12分）解：（Ⅰ）由，得切线的斜率(2)31,2,k f a a '==-=-∴=，故2()2ln 2f x x x x =-+， 由()2f x x m ≥+得22ln m x x ≤- ∵不等式()2f x x m ≥+在1[e]e ,上有解，所以2max (2ln )m x x ≤- 令2()2ln g x x x =-，故()0g x '=时，1x =．当()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<．故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =-， 所以1m ≤- （Ⅱ）由于()f x 的图象与x 轴交于两个不同的点()()12,0,,0A x B x 所以方程22ln 0x x ax -+=的两个根为12,x x ，则211122222ln 02ln 0x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，两式相减得()()1212122ln ln x x a x x x x -=+--， 又()()222ln ,2f x x x ax f x x a x'=-+=-+，则 ()()1212121212122ln ln 442x x x x f x x a x x x x x x -+⎛⎫'=-++=- ⎪++-⎝⎭ 下证()1212122ln ln 40x x x x x x --<+-（*），即证明()211112222ln 0,x x x x t x x x x -+<=+ 120,01,x x t <<∴<<即证明()()21ln 01t u t t t -=+<+在01t <<上恒成立由于()()()()222221211114(1)(1)(1)t t t u t t t t t t t -+---'=+=-=+++又01t <<，所以()0u t '> 所以，()u t 在()0,1上是增函数，则()()10u t u <=，从而知()2111222ln 0x x x x x x -+<+ 故()1212122ln ln 40x x x x x x --<+-，即1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭成立。
山东省淄博实验中学2020-2021学年高一第一次阶段性诊断检测试题数学试题 Word版含解析
D. 丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件，即可容易求得甲乙丙之间的推出关系，则问题得解.
【详解】由甲是乙的必要不充分条件，知甲不能推出乙，乙能推出甲，
由丙是乙的充分不必要条件，知丙能推出乙，乙不能推出丙，
所以，丙能推出甲，甲不能推出丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
4.命题“对任意 ，都有 ”的否定为（）
A.对任意 ，都有
B.存在 ，使得
C.存在 ，使得
D.不存在 ，使得
【答案】Bห้องสมุดไป่ตู้
【解析】
【分析】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断即可.
【详解】命题“对任意 ，都有 ”是全称量词命题，则命题的否定是：存在 ，使得 .
故选：B
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
淄博实验中学高一级部第一次阶段性诊断检测试题
数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集 ，集合 ， ，则 为( )
A. {1,2,4}B. {2,3,4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4}
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据全集U求出集合A的补集 ，再求 与集合B的并集 ．
【详解】由题得， 故选C.
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．
2.设甲、乙、丙是三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（）
A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
2021届山东省高三一模数学试题分类汇编——专题八函数与导数
专题八函数与导数一、单项选择1.（济宁一模3）已知a=sin2，6=log20.2，c=20.2，则A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a2.（潍坊一模3）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：x﹣2﹣1123y0.240.51 2.02 3.988.02在以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是A．y a bx=+B．by ax=+C．logby a x=+D．xy a b=+3.（滨州一模4）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），且∀x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2时，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则（）A．f（log43）＜＜B．＜f（log43）＜C．＜＜f（log43）D．＜f（log43）＜4.（菏泽一模5）函数的图象大致为（）A．B．C．D．5.（烟台一模5）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P=P0e−kt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10h的过滤过程污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？（结果四舍五入取整数，参考数据：ln2≈0.693，ln5≈1.609）A.11hB.21hC.31hD.41h6.（泰安一模6）已知定义在R 上的偶函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则（ ） A ．f （2）＜f （log 6）＜f （log 4）B ．f （log 6）＜f （log 4）＜f （2）C ．f （log 6）＜f （2）＜f （log 4）D ．f （2）＜f （log 4）＜f （log 6）7.（青岛一模5）若f(x)={log 3(x +1),x ≥02x ,x <0，则不等式f(x)>12的解集为（ ）A.()()+∞--,130,1B.()()∞+∞，，13-1- C.()()1-300,1-， D.()()∞+∞，，1-31--8.（日照一模6）如图所示，单位圆上一定点A 与坐标原点重合.若单位圆从原点出发沿x 轴正向滚动一周则A 点形成的轨迹为A ．B ．C ．D ．9.（潍坊一模7）已知20202021a =，20212020b =，ln2c =，则A ．log log a b c c >B ．log log c c a b >C ．c c a b <D ．a b c c <10.（烟台一模7）已知f(x)是定义在R 上的奇函数，f(2-x)=f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x 3，则 A.f(2021)=0B.2是f(x)的一个周期C.当x ∈(1,3)时，f(x)=(1-x)3D.f(x)>0的解集为(4k,4k+2)(k ∈Z)11.（济南一模6）函数y=f(x)在［－2π,2π]上的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是A.f(x)=sinx+cosxB.f(x)=|sinx|+cosxC.f(x)=sin|x|+cosxD.f(x)=sin|x|+|cosx|12.（青岛一模7）已知)(x f y =为奇函数，)1(+=x f y 为偶函数，若当[]1,0∈x ，)(log )(2a x x f +=，则=)2021(fA.-1B.0C.1D.213.（德州一模7）设函数f （x ）＝xe x ﹣a （x ﹣1），其中a ＜1，若存在唯一整数x 0，使得f （x 0）＜a ，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣，1）B ．[﹣，）C ．[，）D ．[，1）14.（聊城一模8）已知函数()2,0,ln ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩()2g x x x =-，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围为 A ．m>1 B ．m ≥1C ．m<1D ．m ≤115.（滨州一模7）定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （2+x ）＝f （2﹣x ），当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝x +2，设函数h （x ）＝e ﹣|x ﹣2|（﹣2＜x ＜6）（e 为自然对数的底数），则f （x ）与h （x ）的图象所有交点的横坐标之和为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．816．（2021•临沂一模7）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f （x ）＝e x e x +1−12，则函数y ＝[f （x ）]的值域为（ ）A ．{0}B ．{﹣1，0}C ．{﹣2，﹣1，0}D ．{﹣1，0，1}17.（济南一模8）设a=20221n2020, b=2021ln2021, c=20201n2022,则A.a>c>bB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c 二、多项选择18．（2021•淄博一模10）已知函数f （x ）＝2x +2﹣x ，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）是偶函数B ．f （x ）是增函数C ．f （x ）最小值是2D ．f （x ）最大值是419.（济南一模10）已知函数f(x)=x 3-ax+1的图象在x=2处切线的斜率为9,则下列说法正确的是A.a=3B.f(x)在x= -1处取得极大值C.当x ∈(-2,1]时，f(x) ∈(-1,3]D.f(x)的图象关于点（0,1)中心对称20.（潍坊一模10）已知函数21, 0()cos , 0x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩，则下列结论正确的是A ．()f x 是偶函数B ．3(())12f f π-=C ．()f x 是增函数D ．()f x 的值域为[﹣1，+∞)21.（菏泽一模10）对于函数，下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）在处取得极大值B ．f （x ）有两个不同的零点C ．D ．若在（0，+∞）上恒成立，则22.（日照一模10）已知x 1+log 3x1=0,x 2+log 2x2=0，则A. 0<x 2<x 1<1B. 0<x 1<x 2<1C. x 2lgx 1-x 1lgx 2<0D. x 2lgx 1-x 1lgx 2>023.（青岛一模11）若实数b a <，则下列不等式关系正确的是（ ） A.(25)b <(25)a <(35)aB.若2log ,1>>ab a a 则C.ba ab a +>+>11,022则若 D.若m >53,a,b ∈(1,3) ，则13（a 3−b 3)−m(a 2−b 2)+a −b >024.（滨州一模11）若0＜x 1＜x 2＜1，e 为自然对数的底数，则下列结论错误的是（ ） A ．＜B ．＞C ．＞lnx 2﹣lnx 1D ．＜lnx 2﹣lnx 125.（泰安一模11）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝．则下列结论正确的是（ ）A ．当x ＜0时，f （x ）＝﹣e x （x +1）B ．函数f （x ）在R 上有且仅有三个零点C ．若关于x 的方程f （x ）＝m 有解，则实数m 的取值范围是f （﹣2）≤m ≤f （2）D ．∀x 1，x 2∈R ，|f （x 2）﹣f （x 1）|＜226.（日照一模11）已知函数f(x)对于任意x ∈R ，均满足f(x)=f(2-x).当x ≤1时f (x )={lnx,0<x ≤1e x ,x ≤0若函数g(x)=m|x|-2-f(x)，下列结论正确的为A. 若m<0，则g(x)恰有两个零点B. 若32<m <e ，则g(x)有三个零点C. 若0<m ≤32，则g(x)恰有四个零点D. 不存在m 使得g(x)恰有四个零点27.（济宁一模12）已知函数f(x)=e sinx -e cosx，其中e 是自然对数的底数，下列说法中正确的是 A.函数f(x)的周期为2π B.f(x)在区间(0,π2)上是减函数C.f (x +π4)是奇函数D.f(x)在区间(π2,π)上有且仅有一个极值点三、填空28．（2021•临沂一模13）若函数f （x ）满足：（1）对于任意实数x 1，x 2，当0＜x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）； （2）f （x 1x 2）＝f （x 1）﹣f （x 2），则f （x ）＝ .（答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可）29.（潍坊一模14）写出一个存在极值的奇函数()f x ＝ ．30.（日照一模13）若函数f (x )=log a x(a >1)，在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a= . 31.（济宁一模14）已知函数f (x )={e x ，x >0f (x +2)，x ≤0，则f(-5)= .32.（日照一模15）已知函数f (x )=3x+1+a3x +1(a ≥3)，若对任意x 1，x 2，x 3∈R ，总有f(x 1)，f(x 2)，f(x 3)为某一个三角形的边长，则实数a 的取值范围是 .33．（2021•淄博一模16）已知函数f （x ）＝|x 3+2x +a |在[1，2]上的最大值是6，则实数a 的值是 ． 34.（菏泽一模16）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （0）＝1，g （x ）＝f （x ﹣1）是奇函数，则f （2021）＝ ，．35.（德州一模16）设定义在D 上的函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为l ：y ＝g （x ），当x ≠x 0时，若＜0在D 内恒成立，则称P 点为函数y ＝f （x ）的“类对称中心点”，则函数h（x ）＝+lnx 的“类对称中心点”的坐标为 ．四、解答36.（济南一模18）已知函数f(x)= 2(1),0.1,0.2x a x e x x ax x x ⎧+≤⎪⎨-+>⎪⎩. （1)若a=2,求f(x)的最小值；（2)若f(x)恰好有三个零点，求实数a 的取值范围．37.（潍坊一模21）已知函数2()2sin x af x x-=-(a ∈R)．（1）若曲线()y f x =在点(2π，()2f π)处的切线经过坐标原点，求实数a ； （2）当a ＞0时，判断函数()f x 在x ∈(0，π)上的零点个数，并说明理由．38.（菏泽一模22）已知函数f （x ）＝lnx ﹣kx （k ∈R ），g （x ）＝x （e x ﹣2）． （1）若f （x ）有唯一零点，求k 的取值范围； （2）若g （x ）﹣f （x ）≥1恒成立，求k 的取值范围．39.（日照一模22）已知函数f (x )=e x −ax −1,g (x )=kx 2. （1）当a>0时，求f(x)的值域； （2）令a=1，当x ∈(0,+∞)时，f (x )≥g (x )ln (x+1)−x 恒成立，求k 的取值范围.40.（泰安一模22）已知函数f （x ）＝xlnx ﹣x 2+（2a ﹣1）x （a ∈R ）． （1）讨论函数f （x ）的极值点的个数； （2）已知函数g （x ）＝﹣f ′（x ）有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 2.证明：x 2﹣x 1＜．41.（2021•淄博一模22）已知数列)()11(*∈+=N n nan n (1)证明:e a n <(n ∈N *,e 是自然对数的底数);(2)若不等式e na n ≤++)11（(n ∈N *,a>0)成立，求实数a 的最大值。
山东省淄博实验中学2020-2021学年高三第一次(4月)诊断数学试题含解析〖附13套高考模拟卷〗
山东省淄博实验中学2020-2021学年高三第一次（4月）诊断数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知2cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-2．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.83．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立4．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．366．已知向量()1,2a =-，(),1b x x =-，若()2//b a a -，则x =（ ） A ．13B ．23C ．1D ．37．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77D ．788．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（ ）A ．0B ．1C ．2lg eD ．2lg109．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ） A ．254B ．9C ．7D ．25210．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是 A ．13-B ．13C．12-D．1211．如图所示，为了测量A、B两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45︒的方向上，B在C的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得B在E的北偏西30的方向上，再开回C处，由C向西开26百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5︒的方向上，则A、B两座岛屿间的距离为（）A．3 B．32C．4 D．4212．已知0.212a⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b-=，13log2c=，则( )A．a b c>>B．b a c>>C．b c a>>D．a c b>>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省淄博实验中学2021届高三数学寒假学习效果检测(开学考试)试题 理(含解析).doc
山东省淄博实验中学2021届高三数学寒假学习效果检测（开学考试）试题 理（含解析）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ＝{x∈N|x≤3}，B ＝{x|x 2+6x ﹣16＜0}，则A∩B＝（ ） A. {x|﹣8＜x ＜2} B. {0，1}C. {1}D. {0，1，2}【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A 、B ，求出A ∩B 即可．【详解】集合A ＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x 2+6x ﹣16＜0}＝{x |﹣8＜x ＜2}， A ∩B ＝{0，1}．故选B ．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目． 2.已知i 为虚数单位，则复数22i +1iz =+的模为（ ）B.2D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法运算法则，求出z ，再由模长公式即可求解【详解】222(1)2i +21,||1i 1ii z i i z -==+=+∴==+-故选:A.【点睛】本题考查复数的代数运算、模长，属于基础题. 3.已知向量,a b 的夹角为23π，且()3,4,2a b =-=，则2a b +=( )A. B. C. 2D. 84【答案】B 【解析】向量,a b 的夹角为23π，且()3,4a =-，(235a ∴=+=，又2b =，()22222224445452cos 2843a ba ab b π∴+=+⋅+=⨯+⨯⨯⨯+=，284a b ∴+== B.4.下列说法正确的是( ) A. 若命题,p q ⌝均真命题，则命题p q ∧为真命题B. “若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若1sin 62παα=≠，则” C. 在ABC ∆，“2C π=”是“sin cos A B =”的充要条件D. 命题:p “2000,50x R x x ∃∈-->”的否定为:p ⌝“2,50x R x x ∀∈--≤”【答案】D 【解析】 【分析】利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否定，充要条件判断选项的正误即可． 【详解】对于A ：若命题p ，￢q 均为真命题，则q 是假命题，所以命题p∧q 为假命题，所以A 不正确；对于B ：“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”，所以B 不正确；对于C ：在△ABC 中， “2C π=”⇔“A+B=2π”⇔“A=2π-B”⇒sinA=cosB ，反之sinA=cosB ，A+B=2π，或A=2π+B ，“C=2π”不一定成立，∴C=2π是sinA=cosB 成立的充分不必要条件，所以C 不正确；对于D ：命题p ：“∃x 0∈R，x 02-x 0-5＞0”的否定为￢p ：“∀x∈R，x 2-x-5≤0”，所以D 正确． 故选D ．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否定等知识，是基本知识的考查．5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）A. 14B. 642+C. 862+D. 842+【答案】C 【解析】根据题意知原图是一个直三棱柱，躺在平面上，上下底面是等腰直角三角形，则表面积由五个面构成，表面积为：12223222386 2.2⨯+⨯=+ 故答案为C .6.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2x f x m =-，则()2019f =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B 【解析】 【分析】根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x +1）=f （1-x ），便可推出f （x +4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m =0，从而求得m =1，这样便可得出f （2021）=f （-1）=-f （1）=-1． 【详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-； ∴(2)()()f x f x f x +=-=-； ∴(4)()f x f x +=； ∴()f x 的周期为4；∵[0,1]x ∈时，()2xf x m =-；∴由奇函数性质可得(0)10f m =-=； ∴1m =；∴[0,1]x ∈时，()21xf x =-；∴(2019)(15054)(1)(1)1f f f f =-+⨯=-=-=-. 故选：B .【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.7.执行如图所示的程序框图，如果输入1a =-，2b =-，则输出的a 的值为（ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，若输入1a =-，2b =-；则第一次不满足条件6a >，则2a =；第二次不满足条件6a >，则224a =⨯=；第二次不满足条件6a >，则428a =⨯=；此时满足条件6a >，输出8a =，故选B ． 考点：程序框图．8.为得到函数2sin 36x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2cos y x =的图象上所有的点( )A. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变) B. 向右平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D. 向右平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】把函数222y cosx sinx π==+（）的图象上所有的点向右平移3π个单位长度，可得26y sin x π=+（）的图象；再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变，可得函数2sin 36x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 故选D ．【点睛】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 9.已知函数()()log 31(0a f x x a =+->1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则121m n++的最小值为（ ） A.23B.43C. 2D. 4【答案】B 【解析】 【分析】令31+=x ，求出定点(2,1)A --，代入直线方程可得24m n +=，利用基本不等式，即可求解.【详解】函数()()log 31(0a f x x a =+->1)a ≠的图象恒过定点(2,1)A --, 点A 在直线40mx ny ++=上，24,(1)32nm n m ∴+=++=， 0mn >，12112[(1)]()1321n m m n m n+=+++++ 12(1)4[2]32(1)3m m n n +=++≥+， 当且仅当122,,32n m m n =+==时，等号成立.故选:B【点睛】本题考查函数过定点、基本不等式求最值，拼凑积为定值是解题关键，属于基础题. 10.如图，正方形的四个顶点(1,1), (1,1), (1,1), (1,1)A --B -C D -，及抛物线2(1)y x =-+和2(1)y x =-,若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）A.23B.13C.16D.12【答案】B 【解析】 【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论． 【详解】∵A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），C （1，1），D （﹣1，1）， ∴正方体的ABCD 的面积S ＝2×2＝4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：S ＝21⎰[1﹣()21x -]dx ＝2（21x 3-x 3）10|=2[（113-）﹣0]＝22433⨯=， 则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是41343=．故选B ．【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．11.已知函数84,1()ln ,1x e x f x x x ⎧--≤=⎨->⎩，记()()g x f x ex a =--，若()g x 存在3个零点，则实数a的取值范围是（）A.3(2,)2e e-- B. (2,)e e--C.3(,)2e e-- D.1(,)2e e--【答案】C【解析】【分析】由g（x）＝0得f（x）＝e x+a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【详解】由g（x）＝0得f（x）＝e x+a，作出函数f（x）和y＝e x+a的图象如图：当直线y＝e x+a过A 12e-（，）点时，截距a=32e-，此时两个函数的图象有2个交点，将直线y＝e x+a向上平移到过B（1，0）时，截距a=-e，两个函数的图象有2个交点，在平移过程中直线y＝e x+a与函数f（x）图像有三个交点，即函数g（x）存在3个零点，故实数a的取值范围是3,2e e⎛⎫--⎪⎝⎭，故选C．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查了函数零点问题，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题.12.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，O 是坐标原点，过2F 的一条直线与双曲线C 和y 轴分别交于,A B 两点，若2||||OA OF =，||3|OB OA =，则双曲线C 的离心率为（ ） 21+ 31+ 2131【答案】D 【解析】 【分析】由条件得到2O F A ∠=3π，连接A 1F ，在三角形12F F A 中，由余弦定理可得A 13F c =， 再由双曲线定义A 12A F F -=2a ，可得ca.【详解】∵2OA OF =，得到|233|OB OA ==，∴2O F A ∠=3π，又2OA OF c ==，连接A 1F ，12 2F F c =，在三角形12 F F A 中，由余弦定理可得A 13F c =，又由双曲线定义A 12A F F -=2a 32c c a -=，∴ca31， 故选D.【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用及离心率的求法，综合考查了三角形中余弦定理的应用，属于中档题.第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为___．【答案】1 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【详解】由z=x-2y 得1122y x z =-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线1122y x z =-，，1122y x z =-，的截距最小， 此时z 最大，由22 22x y x y -⎧⎨+⎩＝＝ ，得A （1，0）．代入目标函数z=x-2y ， 得z=1-2×0=1， 故答案为1．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，123n n a S +=+，则4S =____________． 【答案】66 【解析】 试题解析：依题，与原式作差得，，即，，可见，数列从第二项起是公比为3的等比数列，，所以345(13)113S -=+-66=．故答案为66．考点：1．数列的求和；2．等比数列．15.在平面直角坐标系xOy 中,已知过点()1,1M 的直线l 与圆()()22125x y ++-=相切,且与直线10ax y +-=垂直,则实数a =__________． 【答案】12【解析】因为()1,1M 在圆()()22125x y ++-=上，所以圆心与切点()1,1M 的连线与切线l 垂直，又知l 与直线与直线10ax y +-=垂直，所以圆心与切点()1,1M 的连线与直线10ax y +-=斜率相等，1211(1)2a --==---，所以12a =，故填：12．16.已知a ，b∈R，e 为自然对数的底数．若存在b∈[﹣3e ，﹣e 2]，使得函数()f x ＝e x ﹣ax －b 在[1，3]上存在零点，则a 的取值范围为_____． 【答案】2,4e e ⎡⎤⎣⎦ 【解析】分析：先转化为00x e ax b =+存在零点，再利用数形结合分析两种情况下求a 的最大值和最小值得解.详解:由题得存在23,b e e ⎡⎤∈--⎣⎦，使得函数()xf x e ax b =--在[]1,3上存在零点， 所以存在0[1,3]x ∈,使得000()0xf x e ax b =--=,所以00x eax b =+,令(),xg x e =直线y=ax+b,则两个函数的图像存在一个交点，当直线y=ax+b 过点（1，e ）,(0,-3e)时，此时a 最大，此时b=-3e,a=4e ， 所以a≤4e.当直线y=ax+b 过点2(0,)e -且与xy e =相切时，a 最小，设切点为(,)t t e ，则切线方程为()(1)t t t ty e x t e e x e t =-+=+-， 此时2(1), 2.t e t e t -=-∴= 所以a 的最小值为2.t e e = 所以a 的取值范围为2,4e e ⎡⎤⎣⎦. 故答案为2,4e e ⎡⎤⎣⎦点睛：(1)本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义，意在考查学生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力. (2)本题的关键有两点，其一是转化为00x e ax b =+存在零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出a 的最大值和最小值. 三、解答题：共70分。
山东省淄博市高三第一次模拟考试数学试题(文科)
保密★启用并使用完毕前淄博市2021学年度高三模拟考试试题文科数学本试卷，分第一卷和第二卷两局部．共4页，总分值150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考前须知：答题前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
第一卷每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第二卷必须用毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第一卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合A{x|0x2}，B{x|(x1)(x1)0}，那么AIBA．0，1B．1，2C．(,1)U(0,)D．(,1)U(1,)2i对应的点位于2．在复平面内，复数iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．tan=2，那么sin2的值是44C．33A．B．5D．5554．在等差数列a n中，a3a810，那么3a5a7=A．10B．18C．20D．285x的值为2，那么输出的x的值为．执行如下图的程序框图，假设输入的A．3B．126C．127D．1286．设a1，b0，假设a b 2，那么12的最小值为a1bA．322B．6C．42D．227．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥 ABCD 的正视图与俯视图如图所示，那么其侧视图的面积为 A ．2 12B ．2C ．2D ．1448．以下说法正确 的是．．A ．“p q 为真〞是“p q 为真〞的充分不必要条件；y 2 ，那么变量 x 每增加一个单位， y?平均减少B ．设有一个回归直线方程为? 个单位；C ．假设a,b0,1，那么不等式a 2 b 2 1 成立的概率是 ；44D ．空间直线a,b,c ，假设a b ，b c ，那么a//c ．9．过抛物线y 24x 焦点F 的直线交其于A ，B 两点，O 为坐标原点．假设|AF|3，那么AOB 的面积为2 B ．2C ． 3 2D ．2 2A ．2210．假设函数f(x)的导函数在区间a,b 上的图像关于直线 a byf(x)在区间x对称，那么函数2[a,b]上的图象可能是A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④第二卷(共100分)二、填空题：本大题共 5小题，每题 5分，共25分. 11 f(x) 为奇函数，当 x 0 时， f(x)log 2x，那么满足不等式f(x)的x 的取值范围．函数是．x y 5 012．变量x,y 满足约束条件x 2y 1，那么z x2y 的最大值是．x 1 0r rr2 rr r r13．向量a 、b 的夹角为600，且|a| ，|b|1，那么向量a 与向量a 2b 的夹角等于 ．14．点A 2,0,B0,2，假设点C 是圆x 22x y 2 0上的动点，那么△ABC 面积的最小值 为．15．对于大于 1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂〞：713315．仿此，假设 m 3的“分裂数〞中有一个是2021，2 3 39 3 ,⋯⋯,3,4 1751119那么m．三、解答题：本大题 6小题，共 75分16．〔此题总分值12分〕向量rx 1，x x ，函数 f xa b ，三个内角asin,b(3cossin,1)(ABCA,B,C2222的对边分别为 a,b,c .〔Ⅰ〕求 f(x)的单调递增区间；〔Ⅱ〕假设f(B C)1,a 3,b 1，求ABC 的面积S ．17．〔此题总分值12分〕在如下图的几何体中，四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1平面ABC ，CACB ，A 1B 1∥AB ，AB2A 1B 1，E ，F 分别是AB ，AC 1的中点．〔Ⅰ〕求证：EF ∥平面BBC 11C ；〔Ⅱ〕求证：C 1A 1平面ABB 1A 1．18．〔此题总分值12分〕参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见局部信息如下，据此解答如下问题：〔Ⅰ〕求参加数学抽测的人数n 、抽测成绩的中位数及分数分别在80,90，90,100内的人数；〔Ⅱ〕假设从分数在80,100 内的学生 中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在 90,100内的概率．19．(此题总分值12分)在数列a n 中，a 11，22a n a n1n1(n2,nN *)，设b na n n ．〔Ⅰ〕证明：数列 b n 是等比数列；〔Ⅱ〕求数列nb n的前n 项和T n ；〔Ⅲ〕假设c n( 1 )n a n ，P n 数列 c n 22 c n 1 的前n 和，求不超 P 2021的最大的整数．2c n c n20．〔本分13分〕C ：x 2y 21(ab 0)的离心率1，右焦点F 2到直l 1:3x4y0的距离a 2b 223．5〔Ⅰ〕求C 的方程；〔Ⅱ〕右焦点 F 2斜率k 〔k 0〕的直l 与C 相交于E 、F 两点，A 的右点，直AE,AF 分交直x3于点M,N ，段MN 的中点P ，直PF 2的斜率k ，求：kk 定．21．〔本分14分〕函数f(x) xlnx ，g(x) x 2ax2〔e ，a R 〕．〔Ⅰ〕判断曲 yf(x)在点〔1，f(1) 〕的切与曲yg(x)的公共点个数； 〔Ⅱ〕当x1,e ，假设函数yf(x) g(x)有两个零点，求a 的取范．e一模数学试题参考答案及评分说明一、：本大共10小，每小5分，共50分．1．B2．D3．B4．C5．C6．A7．D8．B9．C10．D 二、填空：本大共5小，每小5分，共25分.〔文科〕12．9〔文科〕 π〔或( 1,0)U(1, ) 30〕11．13．614．〔文科〕3 215．〔文科〕45三、解答：本大共 6小，共75分，解答写出文字明、明程或演算步．16．〔文科本分12分〕解：〔Ⅰ〕由意得r rsinx(3cosxsin x)1f(x)ab22 223sin xcosxsin 2 x122 22=3sinx1 cosx 1 =3sinx1cosxπsin(x)，⋯⋯⋯⋯3分2 22 226令2k ππx π2k ππ(kZ)262解得2k π2πx2k ππ(kZ)33所以函数f(x)的增区2k π2π,2k ππ(k Z).⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分33〔Ⅱ〕解法一：因f(BC) 1,所以sin(Bπ 1，C)6ππ7π 又B C (0,π)，B C( , ),66 6所以BC π ππ 2π ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分6 ,BC，所以A,2 33由正弦定理ab 把a3,b 1代入，得到sinB1 ⋯⋯⋯⋯10分得B或者sinA2sinB65 ，因A2角，所以B5B3舍去66所以Bππ，得C.66所以，ABC 的面S1absinC1 3113.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分2224解法二：同上〔略〕A2π ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分3 ,由余弦定理，a 2b 2c 2 2bccosA ，得31c 2 c ，c 1或 3〔舍去〕10分所以，ABC 的面S11 3 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分bcsinA21142217．〔文科本分 12分〕明：〔Ⅰ〕接BC 1，因E 、F 分是AB ,AC 1的中点，所以EF ∥BC 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分又因 EF 平面BB 1C 1C ，BC 1平面BB 1C 1C ，所以EF ∥平面 BBCC．⋯⋯⋯⋯ 4分1 1〔Ⅱ〕A 1E ，CE .因BB 1平面ABC ，BB 1 平面A 1ABB 1，所以平面A 1ABB 1平面 ABC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分因CA CB ，E 是AB 的中点，所以CE AB所以CE平面A 1ABB 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分因B 1A 1∥BA ,B 1A 11BA=BE2所以四形A 1EBB 1平行四形，所以 BB 1//A 1E .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分又BB 1//CC 1，所以A 1E//CC 1 所以四形A 1ECC 1平行四形，C 1A 1∥CE .所以 C 1A 1平面ABB 1A 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分18．〔文科 本分 12分〕解：〔Ⅰ〕分数在50,60 内的数2，由率分布直方可以看出，分数在90,100内同有2人．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分，由210 ，得n25，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分n茎叶可知抽成的中位数 73．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分分数在80,90 之的人数25 27 10 24⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分参加数学人数n25，中位数 73，分数在80,90 、90,100内的人数分4 人、2人．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分〔Ⅱ〕“在80,100 内的学生中任两人，恰好有一人分数在90,100内〞事件M ，将80,90内的4人号a,b,c,d ；90,100内的2人号A,B在80,100内 的 任取两人的 基本 事件：ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB 共15个⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分其中，恰好有一人分数在90,100内的根本领件有aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,共8个故所求的概率得 PM =8⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分 15答：恰好有一人分数在 90,100内的概率815⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分19．(文科此题总分值12分)解：〔Ⅰ〕由2a na n1n 1两加2n 得，2(a n n)a n 1n1⋯⋯2 分a n n1b n 1 bn 是公比2的等比数列⋯3 分所以，即b n1，数列an1(n1)22其首b 1a 1 1 1 1 1 ，所以b n (1)n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分2 2 2〔Ⅱ〕nb nn( 1 )n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分1 2 3 2 4 2n n 1 nT nL①222 23 24 2n1 2n1T n1234 Ln1n②2222324 25 2n2n1①-②得1T n1111L1 n 1 1n2 222 23 24 2n2n12n2n1所以T nn 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分22n(Ⅲ)由(Ⅰ)得a n(1)nn ，所以c nn2c n 2 c n 1n 2n111 11 1⋯⋯⋯⋯⋯10分c n 2 c nn2nn(n 1)nn1P2021(1 1 1) (11 1) (1 1 1) LL(11 1 )202111 2 2 3 3 42021 20212021所以不超P 2021的最大的整数是 2021．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分20．〔文科本分13分〕解：〔Ⅰ〕由意得ec 1 ， 3c 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分a23242所以c1，a2，所求方程x 2y 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分431．〔Ⅱ〕点P1,0 的直l 方程：yk(x 1)，点E(x 1,y 1)，点F(x 2,y 2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分将直l 方程yk(x1)代入x 2y 2 1C:43整理得：(4k 23) x 2 8 k 2 x 42 12 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分k因点P 在内，所以直 l 和都相交，0 恒成立，且x 1x 2 8k 2x 1 x 2 4k 2 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7分4k234k 23直AE 的方程：yy 1(x 2) ，直AF 的方程：yy 2(x2)2 x 2x 12令x3，得点M3, y 1 ，N 3, y 2 ，x 1 22x 2所以点P 的坐3,1y 12y 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分2 x 1x 2 21( y 1y 2 ) 0y 1 y 2直PF 2的斜率k'2x 1 2x 2 21)3 1(x 1 2 x 24 21y 2x 1 x 2y 1 2(y 1 y 2) 1 2kx 1x 23k(x 1 x 2)4k⋯⋯⋯11分4x 1x 22(x 1 x 2)44 x 1x 22(x 1 x 2)4将x 1x 28k 2,x 1x 24k 2 12代入上式得：4k 24k 2334k 2 128k 21 2k 4k23 3k 4k 23 4k3k'4k 22412 2 8k 44k4k 2 3 4k 2 3所以kk'定3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分421．〔文科本分 14分〕解：〔Ⅰ〕f(x)lnx 1，所以斜率k f(1)1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分又f(1) 0，曲在点〔1， 0〕的切方程 yx 1⋯⋯⋯⋯3分由yx 2 ax 22(1 a)x 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分y x 1x由△=(1a)2 4 a 2 2a 3可知：当△> 0 ，即 a 1或 a 3，有两个公共点；当△= 0，即 a1a3，有一个公共点；或当△< 0 ,即 1 a 3 ，没有公共点⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分〔Ⅱ〕yf(x)g(x)=x 2 ax 2 xlnx ，由y 0 得a x 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分lnx2 x (x1)(x2)令h(x) x lnx ， h(x)x x 2当x1e ,e，由h(x)0得x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分所以，h(x)在1,1上减，在1,e上增e因此，h min(x)h(1)3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分由h( 1) e 1e2e 1，h(e)e 21比可知h(1)e eh(e)所以，当3a e 21，函数y f(x)g(x)有两个零点.⋯⋯⋯⋯⋯14分e。
山东省淄博市淄博实验中学2021-2022学年高三上学期期末数学试题 附答案
淄博实验中学高三年级第一学期第二次模块考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2430A x x x =-+<，11142xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则()A B ⋂=R （ ）A ．()2,3B ．[)2,3C ．(]1,2D ．(]0,12．设复数z 满足()23i 32i z -=+，则z =（ ）A ．12BC ．1D ．23．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）A B ．12C ．14D 4．“4a =-”是“210x ay +-=与直线()3220a x y +++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线4310x y ++=垂直，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．54D ．536．()622x a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为－120，则该二项式展开式中的常数项为（ ）A ．320B ．－160C ．160D ．－3207．已知函数()() 2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭，()1fα=-，()3f β=，若αβ-的最小值为32π，且的图像关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程是（ ） A ．34x π=-B ．2x π=-C ．12x π=D ．4x π=8．已知函数()()()2231xx f x a e a xe x =+-++有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则3122312111x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．3B ．4C ．9D ．16二、多项选择题本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是有（ ）A ．已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，10x 的方差为3，则1 2x +，22x +，32x +，…，102x +的方差也为3B ．对具有线性相关关系的变量x ，y ，其经验回归方程为ˆ0.3yx m =-，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是4C ．已知随机变量X 服从正态分布()2,Nμσ，若()()151P X P X >-+≥=，则2μ=D ．已知随机变量X 服从二项分布1,3B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()316E X +=，则6n = 10．已知向量()2,1a =，()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b⊥，则tan θ=B ．若b 在a上的投影向量为-，则向量a 与b 夹角为23π C ．与a共线的单位向量只有一个为⎝⎭D ．存在θ，使得a b a b +=+11．在平面直角坐标系XOY 中，过直线20x y +-=上任一点P 做圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则下列说法正确的是（ ） A ．边形OAPB 为正方形时，点P 的坐标为()1,1 B ．四边形OAPB 面积的最小值为1 C ．APB ∠不可能为钝角D ．当PAB △为等边三角形时，点P 的坐标为()2,012．如图①，矩形ABCD 的边AB =AD x =，0x >，三角形ABE 为等边三角形，沿AB 将三角形ABE 折起，构成四棱锥E ABCD -如图②，则下列说法正确的是（ ）． A ．若M 为AB 中点，则在线段EB 上存在点p ，使得PC平面EDMB ．当()3,23x ∈时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面ECD ⊥平面ABCD C ．若使点E 在平面ABCD 内的射影落在线段DC 上，则此时该四棱锥的体积最大值为33 D ．若6x =，且当点E 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段DC 上时，三棱锥E HAD -的外接球半径与内切球半径的比值为32622++三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，若3PF =，则OPF △的面积为______． 142sin122cos 1213tan12︒︒-=-︒________________．15．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，满足对任意1x ，[)20,x ∈+∞，其中12x x ≠，都有()()()1211220x x x f x x f x -->⎡⎤⎣⎦，且()23f =，则不等式()6f x x>的解集为_____________． 16．我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．现有一张半径为R 的圆形纸，对折1次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第2次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规相同的两个之一进行第3次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同．如果把k 次对折后得到的不同规格的图形面积和k S 用表示，由题意知212R S π=，2234R S π=，则4S =___________．如果对折n 次，则1k n S k ==∑____________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足：11a =，121n n S S +=+，*n ∈N ．（1）证明：数列{}1n S +为等比数列；（2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，ABC △的面积为S ．请在①cos 3sin b b C c B +=；②()2cos cos b a C c A -=；③222433a b c S +-=这三个条件中任选一个，完成下列问题： （1）求角C ；（2）若5a =，7c =，延长CB 到点D ，使21cos 7ADC ∠=，求线段BD 的长度． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取3件作检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为n ，如果2n =，再从这批唐三彩中任取3件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验：如果3n =，再从这批唐三彩中任取1件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验，其他情况下，这批唐三彩的优质品概率为13，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为13，且各件唐三彩是否为优质品相互独立．（1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率；（2）已知每件唐三彩的检验费用为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为X 元，求X 的分布列及数学期望． 20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，ABCD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点．（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ：（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值是63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，，且C过点22⎛⎝⎭． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求22F A F B ⋅的最大值； 22．（本小题满分12分） 已知函数()()1xf x ex -=+（1）求函数()f x 的极值；（2）设1t ，2t 为两个不等的正数，且211212ln ln t t t t t t -=-，若不等式12ln ln 0t t λ+>恒成立，求实数λ的取值范围．高三年级第一学期第二次模块考试试题数学参考答案1-8：ACBAC DBC 9-12：AC BD ABC BCD13 14．18或0.125 15．()()2,02,-⋃+∞ 16．21516R π 2112n R n π⎛⎫+- ⎪⎝⎭17．（1）由121n n S S +=+，有()1121n n S S ++=+，当1110n n S S ++=+=，即11n n S S +==-时，显然不满足11a =， ∴{}1n S +是以2为公比的等比数列． 5分 （2）当1n =时，11112S a +=+=由（1）可得：21n n S =-，则1121n n S ++=-， 6分∴()11121212n n n n n n a S S +++=-=---=， 7分∴()()1211212122121n n n n n nb +==---⨯-- 8分 121223*********121212121212121n n n n n T b b b ++=+++=-+-++-=-------- 10分18．（1）若选①：∵cos sin b b C B +=．∴sin sin cos sin B B C C B +=， 1分 又sin 0B ≠，∴1cos C C +=，即1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 3分 又0C π<<，∴5666C πππ-<-<，即66C ππ-=， 4分 故3C π=． 5分若选②：∵()2cos cos b a C c A -=， ∴()2sin sin cos sin cos B A C C A -=， 1分即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B C A C C A A C B =+=+=， 2分 又sin 0B ≠，∴1cos 2C =， 3分 又0C π<<， 4分 ∴3C π=， 5分若选③：由2223ABC a b c S +-=△，则有12cos sin 32ab C ab C =⨯，∴tan C =0C π<<， ∴3C π=． 5分（2）ABC △中，由余弦定理：22525cos 493AC AC π+-⋅⋅=得8AC =或3AC =-（舍）， 7分由cos ADC ∠=，可得sin ADC ∠= 8分 ACD △中，()()1sin sin sin 272714CAD C ADC C ADC π∠=--∠=+∠=+⋅=， 由正弦定理得；sin sin CD ACCAD ADC =∠∠=，解得10CD =， 11分 ∴5BD CD BC =-=．19．（1）设第一次取出的3件唐三彩中恰有2件优质品为事件1A ，第一次取出的3件唐三彩全是优质品为事件2A ，第二次取出的3件唐三彩都是优质品为事件1B ，第二次取出的1件唐三彩是优质品为事件2B ，这批唐三彩通过检验为事件A ，依题意有()()1122A A B A B =⋃，所以()()()233211223121115C 33333243P A P A B P A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 5分 （2）X 可能的取值为300，400，600，()32323322120300C C 33327P X ⎛⎫⎛⎫==+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()311400327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()323122600C 339P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭． 所以X 的分布列为X300 400 600P2027 127 292012100003004006002727927EX =⨯+⨯+⨯=． 12分 20．【详解】（1）PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC PC ⊥．又1AD CD ==，在Rt ADC △中，得2AC =， 2分设AB 中点为G ，连接CG ，则四边形ADCG 为边长为1的正方形，所以CG AB ⊥，且2BC =因为222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥， 3分又因为BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ，又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ． 5分 （2）以C 为坐标原点，分别以射线CD 、射线CP 为y 轴和z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -． 又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫-⎪⎝⎭，()1,1,0CA =，()0,0,CP a =，11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,PA a =-．由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-为平面PAC 的一个法向量． 7分 设(),,n x y z =为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=， 即0x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--， 8分有26cos ,2m n a m n m na ⋅===⋅+2a =． 9分 从而()2,2,2n =--，()1,1,2PA =-． 设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ， 则2242sin cos ,612n PA n PA n PAθ⋅-+====⨯⋅． 11分 即直线PA 与平面EAC 2． 12分 21．（1）由22c e a ==，得22222a c b ==，∴椭圆方程为222212x y b b+=，又椭圆C 过点2322⎛ ⎝⎭，∴22222312b b ⎝⎭⎝⎭+=解得21b =，∴22a =．所以椭圆C 的方程为2212x y +=． 4分 （2）由（1）得()11,0F -，()21,0F ，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+， 5分 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程得()221,21,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2222214220k x k x k +++-=， 6分()()42221642122880k k k k ∆=-+-=+>，由根与系数的关系得2122421k x x k +=-+，21222221k x x k -=+ 7分 由已知得()()()()22112212121,1,11F A F B x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+()()()2121212111x x x x k x x =-+++++()()21212121211x x x x k x x x x =-++++++⎡⎤⎣⎦ ()()()2221212111k x x k x x k =++-+++ ()()22222222241112121k k k k k k k --=++-++++()()()()()()22222222212214121212121k k k k k k k k k +---++=+++++42242422222224422121k k k k k k k k k +---+++++=+()222717972122221k k k -==-<++ 10分当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =-，此时不妨设点A在第二象限，则1,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，∴22,2F A ⎛=- ⎝⎭，22,2F B ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴22172,2,42222F A F B ⎛⎛⎫⋅=-⋅--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11分 综上所述，22F A F B ⋅的最大值为72． 12分22．解，（1）因为()xf x xe -'=-，所以当(),0x ∈-∞，()0f x '>，()f x 在(),0-∞上单调递增． 4分 当()0,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减． 4分 （2）令11ln x t =，22ln x t =，则211212122112121211ln ln 1x x x x x x x x t t t t t t e x e x e e e e++-=-⇔-=-⇔=， 依题意得实数1x ，2x 满足()()12f x f x =且不等式120x x λ+>恒成立． 6分 不妨设12x x >，由（l ）知1210x x -<<<<+∞，法1，不等式120x x λ+>恒成立知21x x λ>-，所以0λ>，∴120x x λ>->．又函数()f x 在()0,+∞单调递减，∴()12x f x f λ⎛⎫<-⎪⎝⎭， 又()()12f x f x =，所以()11x f x f λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即111111x x x x e eλλ--++<， 8分两边取对数得()()111ln 1ln 110x x x λλλλ⎛⎫+---+< ⎪⎝⎭对()11,0x ∈-恒成立， 设()()()ln 1ln 11x F x x x λλλλ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，()1,0x ∈-， 则()()()()()()1111111x x F x xx x x λλλλλλ++-'=+-+=++--，①当1λ≥时，()0F x '>对()1,0x ∈-恒成立，此时()F x 在()1,0-上单调递增，故()()00F x F <=恒成立，符合题意， ②当()0,1λ∈时，() 11,0λ-∈-，则() 1,0x λ∈-，()0F x '<， 此时()F x 在()1,0λ-上单调递减，故()()00F x F >=，不符合题意． 综上所述，1λ≥． 12分。
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淄博实验中学2018级（高三）第一学期第一次模块考试
数学
一、选择题
1．已知复数z 满足12i z(1i)-=+，则z =（ ）
A B C D 2．已知集合A {lg(2)}x y x ==-∣，集合1244x B x ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭
，则A B ⋂=
A ．{2|}x x ≥-
B ．{}22x x -<<∣
C ．{}22x
x -≤<∣
D ．{}2x
x <∣ 3．下面四个条件中，使a<b 成立的充分不必要条件是（ ） A ．22a b <
B ．33a b <
C ．1a b <+
D ．1a b <-
4．若()2X ~N 1,σ-，且(41)0.45P X -<<-=，则()2P X >等于（ ） A ．0.45
B ．0.3
C ．0.1
D ．0.05
5．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos 22πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值为（ ）
A ．
4
5 B ．45-
C ．35
D ．35
-
6．已知2()()12x x a f x a R -=∈+是奇函数，且实数k 满足1
(21)3
f k -<
，则k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)-+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,)+∞ 7．已知向量(3,1)a =，(m 1,3)b =-，若向量a ，b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．(1)+∞
B ．(1)++∞
C ．(1(1)+⋃++∞
D ．(1(1)+⋃++∞
8．若sin 2α，sin()βα-=，且,4παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3,2πβπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则αβ+的值是（ ） A ．
74π B ．94π C ．54π或74π D ．
54π或94
π
9．（多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A ．若a>b>0，则22ac bc >
B ．若a<b<0，则22a ab b >>
C ．若a>b>0且c<0，则22c c
a b
>
D ．若a>b 且11
a b
>，则ab<0
10．（多选题）下列关于函数1
5()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象或性质的说法中，错误的是（ ）
A ．函数()f x 的图象关于直线83
x π
=对称 B ．将函数()f x 的图象向右平移
3π个单位所得图象的函数为1
2sin 2
2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
C ．函数()f x 在区间8,33ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增
D ．若()f x a =，则1
cos 2
32a x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭
11．（多选题）某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道，现从备选的10题中随
机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格．则下列选项正确的是（ ）
A ．答对0题和答对3题的概率相同，都为1
8
B ．答对1题的概率为3
8
C ．答对2题的概率为
512
D ．合格的概率为
12
12．（多选题）已知函数()1f x +关于点（-1，0）对称，对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x -=+成立，且当12x x ≠，12,[0,1]x x ∈时，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的有（ ） A ．()()()()()123201920200f f f f f +++⋅⋅⋅++= B ．函数()
5y f x =+为偶函数
C ．函数()f x 在[-2020，0]上有1011个零点
D ．函数()f x 在[2020，2021]上为减函数 三．填空题
13．若圆锥的母线与高的夹角为
3
π
，且底面半径为________． 14．定义方程()()'f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”．如果函数()g x x =与()()ln 1h x x =+的“新驻点”分别为α、β，那么α和β的大小关系是________．
15．已知函数2(43)3,
()log (1)1,
a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨
++≥⎪⎩（a>0且a 1≠）在R 上单调递减，则a 的取值范围是________． 16．若0a b +≠，则222
1
()a b a b ++
+的最小值为________．
四．解答题
17．2020年初，新冠肺炎疫情暴发，全国中小学生响应教育部关于“停课不停学”居家学习的号召．因此，网上教学授课在全国范内展开，为了解线上教学效果，根据学情要对线上教学方法进行调整，从而使大幅度地提高教学效率．近期某市组织高一年级全体学生参加了某项技能操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A 、B 校60名学生的成绩，得到样本数据如下：B 校样本数据统计图
（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；
（2）从A 校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样的方法抽取6人，从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和不小于15的概率． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且225n n S a n =+-. （1）求证：数列{}2n a -是等比数列；
（2）记()21log 2n n b a +=-，求数列11n n b b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
19．已知向量3sin ,12x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2
cos ,cos 22x x n ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，函数1()2
f x m n =⋅-． （1）若,36x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，求()f x 的取值范围；
（2）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，
c ，若()1f B =，5a =，b =ABC 的面积． 20．疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了A 餐、B 餐
两种餐盒．经过前期调研，食堂每天备餐时A 、B 两种餐盒的配餐比例为3∶1．为保证配餐的分量足，后勤会对每天的餐盒的重量进行抽查．若每天抽查5个餐盒，假定每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同，
（1）求抽取的5个餐盒中有三个B 餐的概率；
（2）某天配餐后，食堂管理人员怀疑B 餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个B 餐盒查看．如果抽出一个是A 餐盒，则放回备餐区，继续抽取下一个；如果抽到的是B 餐盒，则抽样结束．规定抽取次数不超过()*n n N ∈次．假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中A 、B 餐盒的比例．若抽样结束时抽到的A 餐盒数以随机变量X 表示，求X 的分布列与数学期望． 21．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足2
31
p x =-
+（其中0x a ≤≤，a 为正常数）．已
知生产该产品还需投入成本102p +万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为204p ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭元，假
定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?并求出最大利润的值．
22．已知函数()ln x f x ae x =，（其中e=2.71828…是自然对数的底数），2()ln g x x x a =+，0a >． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的x ∈（0，1）恒成立，求实数a 的取值范围．。