《二次根式和它的性质》公开课教学PPT课件
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二次根式及其性质PPT课件
• 干扰素是一种抗病毒、抗肿瘤的药物。将人的干 扰素的cDNA在大肠杆菌中进行表达，产生的干 扰素的抗病毒活性为106 U/mg，只相当于天然 产品的十分之一，虽然在大肠杆菌中合成的β-干 扰素量很多，但多数是以无活性的二聚体形式存 在。为什么会这样？如何改变这种状况？研究发 现，β-干扰素蛋白质中有3个半胱氨酸（第17位、 31位和141位），推测可能是有一个或几个半胱 氨酸形成了不正确的二硫键。研究人员将第17位 的半胱氨酸，通过基因定点突变改变成丝氨酸， 结果使大肠杆菌中生产的β-干扰素的抗病性活性 提高到108 U/mg，并且比天然β-干扰素的贮存 稳定性高很多。
12.5 二次根式及其性质
➢ 要点、考点聚焦 ➢ 课前热身 ➢ 典型例题解析 ➢ 课时训练
➢ 要点、考点聚焦
1.二次根式的定义 (1)式子 (aa≥0)叫做二次根式. (2)二次根式 中a ，被开方数必须非负，即a≥0， 据此可以确定被开方数为非负数. (3)公式( )a2=a(a≥0).
2.积的算术平方根 (1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的 积. (2)公式 ab= a •(ab≥0，b≥0).
4.在函数 y
1 x 4
中，自变量x的取值范围是( C )
A.x ≥4 B. x ≤4 C. x >4 D. x <4
➢ 课前热身
5.化简
5
5 5
1
5
6.直接写出下列各题的计算结果：
(1) ( 1 2 ) 2 = 1 ； (2) ( 16 ) ( 9 ) 12 ；
(3) 502 142 = 48 ； (4)(3+ 10 )2002·(3 10 )2003=3 10 .
【例3】 求代数式的值.
【最新】人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的概念和性质》公开课课件.ppt
时的高度 h(单位：m)满足关系 h＝5t2.如果用含有 h 的式子表示 t，则 t＝
________．
【答案】(1) 17 (2) 65 (3) 65 (4) 3
h a (5) 5
活动 2：二次根式的非负性 (多媒体展示) (1)式子 a表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子 a才有意义？ (2)当 a＞0 时， a________0；当 a＝0 时， a________0；二次根式是 一个________． 【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数 a 必须是非负数 (2)＞ ＝ 非 负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性． 当 a＞0 时， a表示 a 的算术平方根，因此 a＞0； 当 a＝0 时， a表示 0 的算术平方根，因此 a＝0. 也就是说，当 a≥0 时， a≥0.
2Rh2 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简．如何进行二 次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容．
二、新课教授
活动 1：知识迁移，归纳概念
ห้องสมุดไป่ตู้
(多媒体演示)用含根号的式子填空． (1)17 的算术平方根是________； (2)如图，要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和 4 cm 的三角形，斜边长应
三、例题讲解 【例】当 x 是怎样的实数时， x－2在实数范围内有意义？ 解：由 x－2≥0，得 x≥2. 所以当 x≥2 时， x－2在实数范围内有意义．
四、巩固练习 1．已知 a－2＋ b＋12＝0，求－a2b 的值． 【答案】 a－2≥0， b＋12≥0，又∵它们的和为 0，∴a－2＝0 且 b＋12＝ 0，解得 a＝2，b＝－21. ∴－a2b＝－22×(－12)＝2. 2．若 x，y 使 x－1＋ 1－x－y＝3 有意义，求 2x＋y 的值． 【答案】－1
16.2.1二次根式的概念和性质(共26张PPT)
引 例 ： |a - 1 |+ ( b + 2 ) 2 = 0 , 则 a =
b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解 ： ∵ a+2 ≥ 0、 |3b-9|≥ 0、 (4-c) 2≥ 0，
又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴ 2a-b+c=2× (-2) -3+4 = -3。
零 的 算 术 平 方 根 是 0。 负 数 有 没 有 算 术 平 方 根 ？ 没有
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
6、
x-1 x-2
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。
性 质 1 ： a ≥ 0 (a ≥ 0 ) （ 双 重 非 负 性 ）
3
3
( 5)2 5
( 2 )2 - 2
3
3
二次根式的性质（３）
算一算： 想一想：
02 = 0 ； 2 2 = 2 ； （ -2 ） 2 = 2 ； 3 2 = 3 ； （ -3 ） 2 = 3 。 a2 等 于 什 么 呢 ？
性 质 3： 当 a≥ 0 时 ， a2 = 当 a＜ 0 时 ， a2 =
二次根式
1.二次根式的概念
营 销 策 划 方 案的通 用格式
写 清 策 划 书 名称,简 单明了 ,如“xx 营 销 策划书 ”,“xx”为 活动 内容或 营销活 动主题 , 不 需 要 冠 以 协会名 称.如果 需要冠 名协会 ,则可以 考虑以 正、副 标题的 形式出 现.避
《二次根式课件》公开课课件
二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究 。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和 运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平 方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术 平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法 和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二 次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解 。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进 行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解 或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项 式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简 后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法
二次根式的性质课件(共31张PPT)
(1) ( a)2 a
(2) (a)2 a
(3) (a2)2 2a
例5:已知:x<0,化简: 16x2
解 :1 6 x 2(4x)24x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
练一练:
化 :x 2 简 6 x 9 x 2 2 x 1
(其 中 -1x3)
化简：
(1) 210 （2） a 4
算 一 算 ： (1 ) （ -9 ） 2 (2 )
(
1 3
)2
(3 ) 6 4
(4 ) (x 2+ 1 )2
归纳
a2 a
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
由 a2 aa0,可以得 a a2a0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
x1 y 3 0
∴ x 1 ＝０， y 3 ＝０
∴x＝１，y＝－３
∴x＋y＝－２
例 求下列二次根式的值
解：(1)
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2)
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x11x 1 3
∴当x＝ 3 时， x2 2x 1 1 3
初中阶段的三个非负数： (a≥０) ≥０
题型:二次根式的非负性的应用.
(2)(3)a 2b 2
(a＜0,b＞0)
(4) 12aa2 (a＞1 )
(5) (x1)296xx2
(1＜x＜3 )
( a)2 a(a0)
a(a0)
a 2 a a(a0)
注意区a别 2与( a） 2
1. 求式子 x＋1－5－有x意义时X的取值范围。
(2) (a)2 a
(3) (a2)2 2a
例5:已知:x<0,化简: 16x2
解 :1 6 x 2(4x)24x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
练一练:
化 :x 2 简 6 x 9 x 2 2 x 1
(其 中 -1x3)
化简：
(1) 210 （2） a 4
算 一 算 ： (1 ) （ -9 ） 2 (2 )
(
1 3
)2
(3 ) 6 4
(4 ) (x 2+ 1 )2
归纳
a2 a
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
由 a2 aa0,可以得 a a2a0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
x1 y 3 0
∴ x 1 ＝０， y 3 ＝０
∴x＝１，y＝－３
∴x＋y＝－２
例 求下列二次根式的值
解：(1)
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2)
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x11x 1 3
∴当x＝ 3 时， x2 2x 1 1 3
初中阶段的三个非负数： (a≥０) ≥０
题型:二次根式的非负性的应用.
(2)(3)a 2b 2
(a＜0,b＞0)
(4) 12aa2 (a＞1 )
(5) (x1)296xx2
(1＜x＜3 )
( a)2 a(a0)
a(a0)
a 2 a a(a0)
注意区a别 2与( a） 2
1. 求式子 x＋1－5－有x意义时X的取值范围。
《二次根式和它的性质》PPT课件 (共19张PPT)
求a,b的值
a=1,b=7
例4.根据算术平方根的意义填空：
( 4) =
2
( 2) =
2
1 2 ( ) = 3
( 0) =
2
知识点2 二次根式的性质 2. a
2
= a (a≥0)
例5 计算：
解：
(1)( 16 ) 2 ; (3)( 0.85 ) 2 ;
(2)(3 7 ) 2 ;
(4)( a + 5 ) 2 (a≥ 5).
( 双重非负性 )
例3：已知（x+2）2 + y =0，求xy=？ 解： ∵ （ x+2 )2 ≥0， y ≥0，（x+2）2+ y =0
∴ （x+2 )2 =0， y =0
解得x=-2
x y=0
y
∴
练习：若
xy =(-2)0=1
a+
a + b + 1 =0，求a、b的值。
小试身手
已知 a b + 6与 a + b 8互为相反数
（2）要使一艘飞船脱离地心引力，进入围绕太阳运行的 轨道所需要的速度称为第二宇宙速度．第二宇宙速度为 V2 = 2V1 ．第二宇宙速度是多少？
交流与发现
山青林场有甲、乙、丙、丁四块正方形苗圃．已知甲苗圃的面积为S平方米．
（1）如果乙苗圃的面积比甲苗圃大25平方米，乙苗圃的边长是多少？ S + 25 米. （2）如果丙苗圃的面积为甲苗圃的2倍，丙苗圃的边长是多少？ 2 S 米. s 1 （3）如果丁苗圃的面积是甲苗圃的面积的 ，丁苗圃的边长是多少？ p 米
80
2
(3)( 3.6 ) ; 3.6
二次根式的性质 公开课 PPT
16.1.2二次根式的性质
复习提问
二次根式的概念
探究一:二次根式的双重非负性:
4 2.
1 9
1 3
.
0.0001 0.01 .
0 0.
二次根式的性质1：
a ≥0 (a≥0)——双重非负性
已 知 2 a |3 b 1 | 0 ,求 a、 b的 值 .
如果几个非负数（a2 、|a|、 a (a 0) ）的和为0， 那么每一个非负数都是0.
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
A
做一做
3、计算：
(1) (7)2 ( 7)2 (2) (1)12 (1)32
(3)(5)21 6(2)2 (4) ( 2)2 0.12 1
5
4
(5)( a)2 a2(a0) (6) (41)2 (41)2
72 7
(7) 3( 31) 3
2
解：（1）（3） 2=3； 22
（2）（3 5） 2=32（5） 2=95=45.
究三:利用算术平方根的意义填空:
2 2 _ 2_ _ ,
| 2 | _2_ _ ;
5 2 _5_ _ ,
| 5 | _5_ _ ;
0 2 _0_ _ ,
| 0 | _0_ _ .
请比较左右两边的式子,想一想:
a （1）
≥0 (a≥0)——双重非负性
2
（2） a a,(a0)
a ( a >0 )
（3） a 2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
计 算 (1)： 0 2( 33)2 解：(1)02(33)2
10 (3)2( 3)2 10 27 17
2.若 (1x)2 x-1,则x的取值范围为 ( )
复习提问
二次根式的概念
探究一:二次根式的双重非负性:
4 2.
1 9
1 3
.
0.0001 0.01 .
0 0.
二次根式的性质1：
a ≥0 (a≥0)——双重非负性
已 知 2 a |3 b 1 | 0 ,求 a、 b的 值 .
如果几个非负数（a2 、|a|、 a (a 0) ）的和为0， 那么每一个非负数都是0.
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
A
做一做
3、计算：
(1) (7)2 ( 7)2 (2) (1)12 (1)32
(3)(5)21 6(2)2 (4) ( 2)2 0.12 1
5
4
(5)( a)2 a2(a0) (6) (41)2 (41)2
72 7
(7) 3( 31) 3
2
解：（1）（3） 2=3； 22
（2）（3 5） 2=32（5） 2=95=45.
究三:利用算术平方根的意义填空:
2 2 _ 2_ _ ,
| 2 | _2_ _ ;
5 2 _5_ _ ,
| 5 | _5_ _ ;
0 2 _0_ _ ,
| 0 | _0_ _ .
请比较左右两边的式子,想一想:
a （1）
≥0 (a≥0)——双重非负性
2
（2） a a,(a0)
a ( a >0 )
（3） a 2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
计 算 (1)： 0 2( 33)2 解：(1)02(33)2
10 (3)2( 3)2 10 27 17
2.若 (1x)2 x-1,则x的取值范围为 ( )
《二次根式和它的性质》PPT课件(上课用)
(3)( 0.85)2 = ( 0.85)2 = 0.85;
(4)( a + 5)2 =a＋5 (a≥ 5) .
快速抢答
(1)( 12)2; (3)( 3.6 )2;
(2)(4 5 )2; (4)( x2+ 1)2
知识点.性质公式( a)2 = a(a≥ 0的) 逆用
把式子 ( a )2 = a(a≥ 0) 反过来，就得到 a = ( a )2 (a≥ 0).
•
1、有时候，我们活得累，并非生活过于刻薄，而是我们太容易被外界的氛围所感染，被他人的情绪所左右。
•
2、身材不好就去锻炼，没钱就努力去赚。别把窘境迁怒于别人，唯一可以抱怨的，只是不够努力的自己。
•
3、大概是没有了当初那种毫无顾虑的勇气，才变成现在所谓成熟稳重的样子。
•
4、世界上只有想不通的人，没有走不通的路。将帅的坚强意志，就像城市主要街道汇集点上的方尖碑一样，在军事艺术中占有十分突出的地位。
•
18、在人生的舞台上，当有人愿意在台下陪你度过无数个没有未来的夜时，你就更想展现精彩绝伦的自己。但愿每个被努力支撑的灵魂能吸引更多的人同行。
•
19、积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会中看到了某种忧患。莫找借口失败，只找理由成功。
•
20、每一个成就和长进，都蕴含着曾经受过的寂寞、洒过的汗水、流过的眼泪。许多时候不是看到希望才去坚持，而是坚持了才能看到希望。
•
5、世上最美好的事是：我已经长大，父母还未老;我有能力报答，父母仍然健康。
•
6、没什么可怕的，大家都一样，在试探中不断前行。
•
7、时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。纽扣第一颗就扣错了，可你扣到最后一颗才发现。有些事一开始就是错的，可只有到最后才不得不承认。
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(2)根号内不再含有开得尽方的因式.
被开方数不含分母，不含开得尽方的因数或因式，
这样的二次根式叫最简二次根式.
例7 把下列各式子化成最简二次根式：
（1） 32； （2） 125； 27
（3） a3 . 8
解：（1） 32 16 2 4 2.
（2） 125 125 5 5 5 5 3 5 15 . 27 27 3 3 3 3 3 9
复习小结:
一个正数有两个平方根； 0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根； 因此，开方时被开方数只能为正数或0.
二、创设情境，引入新知
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为3的正方形的边长为 3 ，面积为S
的正方形的边长为 S . （2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为 130 m2，则它的宽为 65 m.
二次根式和它的性质
第一课时
一、回顾与思考
1．4的平方根是____2_；0的平方根是__0____.
2．5的平方根是_____5__；5的算术平方根是___5_.
3. 什么叫平方根？ 什么叫算术平方根？
请同学们议一议：
（1）-1有算术平方根吗？ （没有） （2）0的算术平方根是多少？（0） （3）当a＜0时，a有平方根吗？（没有）
谢谢大家
猜一猜：当a≥0时，二次根式 a2的值是什
么？
复习 回顾 二次根式有哪些性质?
a 2 a a 0
a2 a(a 0)
例3 化简：
（1） 36；
解：（1） 36= 62 =6；
（2） 9 . 4
（2） 9 =
( 3)2
3 .
42 2
1 4 9 ，4 9
2 121 64 ，121 64
等式 a+1≥0，得 a≥-1.
所以，当a≥-1时， a 1 在实数范围内有意义.
（2）如果 1 3a 有意义，那么1-3a≥0.
解不等式 1-3a≥0，得 a 1 . 3
所以，当 a 1 .时， 1 3a 在实数范围内有意义. 3
当x是怎样的实数时， x 2在实数范围内有
意义？
解：由x－2≥0，得 x≥2.
商的算术平方根等于被除式的算术 平方根除以除式的算术平方根
例5 化简：
（1） 3 ； 25
解：
3 = 3 = 3； 25 25 5
（2） 45 ； 169
45 = 45 169 169 = 95 = 3 5 .
132 13
议一议
如何化去
1 2
根号内的分母？
1 1 2 2 2 2
2
22
22
慧眼识真!
1 49 4 9 2 132 122 132 122 13 12
4 9 有意义吗？如果有
意义，应该等于多少？
做一做
1 4
9
，4 9
2 16
25
， 16 25
(3) 6 与 6 相等吗？为什么？
77
一般地，二次根式有下面的性质: (a 0,b＞0)
a a bb
五、检测反馈
当a是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有意义？
（1） 3a ； （2） a 1 ； （3） 6 2a2.
总结:
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于0； ②分母中有字母时，要保证分母不为0.
第二课时
议一议
计算
22
，32
，
1 5
2
，02
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
例2 计算: （1）（ 15）2；（2）（- 0.83）2；（3）（- 3 2）2 .
解：（1）（ 15）2 15； （2）（- 0.83）2 （ 0.83）2 0.83； （3）（- 3 2）2 （- 3）2 （ 2）2 9 2 18.
练习：
1.当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义?
（1） x 3
（2） 2 4x
3
（3） 5x
（4） 1
2 x
（5）
1 x x
（6） x 1
（7） x2
（8） x3
2.计算： （1）( 2.1)2； （2）(2 3 )2 .
（1）( 2.1)2 =2.1； （2）(2 3 )2 22 ( 3 )2 4 3 12.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时 间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单 位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t， 那么t为______h5___.
三、探索新知，解决问题
在上面的问题中，化简的结果分别
是
3，
S ， 65 ，
h 5
.
它们都表示一些正数的算术平方根.
3 2 3 ，2 3
一般地，二次根式有下面的性质: (a 0,b 0)
ab a b
积的算术平方根等于积中各因式 的算术平方根.
例4 化简： （1） 9 25；
解：
9 25 9 25 35 15；
（2） 300.
300= 100 3 = 100 3 =10 3.
如果一个二次根式的被开方数中有的因式 （或因数）能开得尽方，可以利用公式将 这些因式（或因数）开出来．
1. a 表示 a 的算术平方根.
2. a 可以是数，也.
4. a 0.
5. a 既可表示开方运算，也可表示运算的结果.
四、例题讲解，应用新知
例1 a是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有意义？
(1) a 1；
(2) 1-3a .
解：（1）如果 a 1 有意义，那么a+1≥0，解不
22
2
例6 化去下列各式根号内的分母：
（1） 2； 5
解：
2= 25= 25 5 5 5 52 = 10 ；
5
（2） 1； 7
1= 7 = 7 7 72 72 = 7. 7
练习 化简
(1) 121 225
(2) 42 7
（3） 18
4 5
9
5 2
7
(6) 0.3
化简结果要求:
(1)根号内不再含有分母．
（3） a3
2a 3
2a a2 a 2a
.
8 16
16
4
1.二次根式的性质: a2 a(a 0)
ab a b(a 0, b 0)
2.运用性质化简:
a a (a 0, b 0) bb
(1)根号内不再含有分母．
(2)根号内不再含有开得尽方的因式.
被开方数不含分母，不含开得尽方的因数或因式， 这样的二次根式叫最简二次根式.