2019-2020年高三上学期第一次模拟数学试卷(理科)含解析

2019-2020年高三上学期第一次模拟数学试卷（理科）含解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．

1．已知集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=( )

A．{0} B．{0，﹣2} C．{﹣2，0，2} D．{0，2}

2．复数z为纯虚数，若（3﹣i）?z=a+i （i为虚数单位），则实数a的值为( )

A．﹣B．3 C．﹣3 D．

3．如图所示的程序框图，若输入的x值为0，则输出的y值为( )

A．B．0 C．1 D．或0

4．已知条件p：|x+1|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( ) A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3

5．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N*），则S6=( )

A．44B．45C．（46﹣1）D．（45﹣1）

6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A．10+B．10+C．6+2+D．6++

7．设A，B为抛物线y2=2px（p＞0）上不同的两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则△OAB 面积的最小值为( )

A．p2B．2p2C．4p2D．6p2

8．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x+y的取值范围

是( )

A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2]D．[1，3]

9．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，若=+，且⊥，则实数λ的值为( )

A．B．13 C．6 D．

10．过双曲线=1 （a＞0，b＞0）的一个焦点F向其一条渐近线作垂线l，垂足为A，

l与另一条渐近线交于B点，若，则双曲线的离心率为( )

A．2 B．C．D．

11．已知a，b都是负实数，则的最小值是( )

A．B．2（﹣1）C．2﹣1 D．2（+1）

12．已知函数f（x）=，关于x的方程f（x+﹣2）=a的实根

个数不可能为( )

A．5个B．6个C．7个D．8个

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13．若函数，在区间上是单调减函数，且函数值从1减少到﹣1，则=__________．

14．已知数列a n=n2sin，则a1+a2+a3+…+a100=__________．

15．将标号为1，2，3，4，5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有__________种放法．

16．已知△ABC中的内角为A，B，C，重心为G，若2sinA=，则cosB=__________．

三、解答题：本大题共5小题，满分60分．其中22，23，24题为选做题.

17．已知等差数列{a n}的公差d≠0，a1=2，且a4，a6，a9成等比数列．

（1）求通项公式a n；

（2）令b n=a n+1+2n，n∈N*，求数列{b n}的前n项的和T n．

18．甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是，乙，丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立．

（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；

（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值（数学期望）．

19．如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=BC，E是底边BC上的

一点，且EC=3BE．现将△CDE沿DE折起到△C1DE的位置，得到如图2所示的四棱锥C1﹣ABED，且C1A=AB．

（1）求证：C1A⊥平面ABED；

（2）若M是棱C1E的中点，求直线BM与平面C1DE所成角的正弦值．

20．如图所示，已知点M（a，3）是抛物线y2=4x上一定点，直线AM、BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A、B两个不同的点．

（1）求点M到其准线的距离；

（2）求证：直线AB的斜率为定值．

21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．

（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；

（2）若存在x0∈[，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．

四、选做题【坐标系与参数方程选做题】

22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．

【几何证明选讲选做题】

23．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，求．

【不等式选讲选做题】

24．设不等式+≤a对一切x＞0，y＞0恒成立，求实数a的最小值．

2015-2016学年江西省宜春市高安市新街二中高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．

1．已知集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=( )

A．{0} B．{0，﹣2} C．{﹣2，0，2} D．{0，2}

【考点】交集及其运算．

【专题】集合．

【分析】求出集合N，根据集合的基本运算即可得到结论．

【解答】解：N={x|x=2a，a∈M}={﹣2，0，2}，

则M∩N={0}，

故选：A

【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合N是解决本题的关键．

2．复数z为纯虚数，若（3﹣i）?z=a+i （i为虚数单位），则实数a的值为( )

A．﹣B．3 C．﹣3 D．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【专题】数系的扩充和复数．

【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求解a的值．

【解答】解：∵（3﹣i）?z=a+i，

∴，

又z为纯虚数，

∴，解得：a=．

故选：D．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

3．如图所示的程序框图，若输入的x值为0，则输出的y值为( )

A．B．0 C．1 D．或0

【考点】程序框图．

【专题】算法和程序框图．

【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的是什么．

【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下；

输入x=0，

x＞1？，否；

x＜1？，是；

y=x=0，

输出y=0，结束．

故选：B．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．

4．已知条件p：|x+1|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( ) A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】简易逻辑．

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，转化为对应的不等式关系进行求解即可．

【解答】解：由|x+1|≤2得﹣3≤x≤1，即p：﹣3≤x≤1，

若p是q的充分不必要条件，

则a≥1，

故选：A．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．

5．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N*），则S6=( )

A．44B．45C．（46﹣1）D．（45﹣1）

【考点】数列递推式．

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】由a n+1=3S n（n∈N*），可得S n+1﹣S n=3S n，S n+1=4S n，利用等比数列的通项公式即可得出．

【解答】解：∵a n+1=3S n（n∈N*），

∴S n+1﹣S n=3S n，

∴S n+1=4S n，

S1=1，S2=3+1=4．

∴数列{S n}是等比数列，首项为1，公比为4．

∴S n=4n﹣1．

∴S6=45．

故选：B．

【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A．10+B．10+C．6+2+D．6++

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD，BA⊥底面PAD，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1．即可得出．

【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD，BA⊥底面PAD，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1．

PC=2，PB=，BC=．

∴S△PBC==．

该几何体的表面积S=++++

=6+．

故选：C．

【点评】本题考查了四棱锥的三视图及其表面积的计算公式、勾股定理，考查了计算能力，属于基础题．

7．设A，B为抛物线y2=2px（p＞0）上不同的两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则△OAB 面积的最小值为( )

A．p2B．2p2C．4p2D．6p2

【考点】抛物线的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】先设直线的方程为斜截式（有斜率时），代入抛物线，利用OA⊥OB找到k，b的关系，然后利用弦长公式将面积最后表示成k的函数，然后求其最值即可．最后求出没斜率时的直线进行比较得最终结果．

【解答】解：当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+b．

由消去y得k2x2+（2kb﹣2p）x+b2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由题意得△=（2kb﹣2p）2﹣4k2b2＞0，即kb＜．

，

所以=．

所以由OA⊥OB得

所以b=﹣2pk，①代入直线方程得y=kx﹣2pk=k（x﹣2p），

所以直线l过定点（2p，0）．

再设直线l方程为x=my+2p，代入y2=2px得y2﹣2pmy﹣4p2=0，

所以y1+y2=2pm，y1y2=﹣4p2，所以

==，

所以S=，

所以当m=0时，S的最小值为4p2．

故选C

【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系中的弦长问题中的最值问题，一般先结合韦达定理将要求最值的量表示出来，然后利用函数思想或基本不等式求最值即可．

8．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x+y的取值范围

是( )

A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2]D．[1，3]

【考点】简单线性规划．

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过平移从而求出z的取值范围．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．

由z=x+y得y=﹣x+z，即直线的截距最大，z也最大．

平移直线y=﹣x+z，即直线y=﹣x+z经过点B（2，1）时，截距最大，此时z最大，为z=2+1=3．经过点A（0，1）时，截距最小，此时z最小，为z=1．

∴1≤z≤3，

故z的取值范围是[1，3]．

故选：D．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

9．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，若=+，且⊥，则实数λ的值为( )

A．B．13 C．6 D．

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】平面向量及应用．

【分析】由⊥，得?=0，用向量表示后展开，结合已知条件可求得实数λ的值．

【解答】解：∵=+，且⊥，

∴?=（+）?（）

=

==0．

∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，

∴2×3（λ﹣1）?cos120°﹣4λ+9=0．

解得：．

故选：D．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题．

10．过双曲线=1 （a＞0，b＞0）的一个焦点F向其一条渐近线作垂线l，垂足为A，

l与另一条渐近线交于B点，若，则双曲线的离心率为( )

A．2 B．C．D．

【考点】双曲线的简单性质．

【专题】平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】先由=2，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应

的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．

【解答】解：如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，

延长FA与另一条渐近线交于点B．所以FB⊥OA，

又因为=2，所以A为线段FB的中点，

∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，

所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．

故∠2+∠3=90°=3∠2?∠2=30°?∠1=60°?=．

∴=3，e2==4?e=2．

故选A．

【点评】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，同时考查平面向量的共线定理的运用，属于中档题．

11．已知a，b都是负实数，则的最小值是( )

A．B．2（﹣1）C．2﹣1 D．2（+1）

【考点】函数的最值及其几何意义．

【专题】计算题．

【分析】把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值．

【解答】解：直接通分相加得

=

=1﹣

=1﹣

因为a，b都是负实数，所以，都为正实数

那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值

最小值为为2

分母有最小值，即有最大值

那么1﹣可得最小值

最小值：2﹣2

故选B．

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，本题解题的关键是整理出原式含有基本不等式的形式，可以应用基本不等式求最值．

12．已知函数f（x）=，关于x的方程f（x+﹣2）=a的实根

个数不可能为( )

A．5个B．6个C．7个D．8个

【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．

【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】由基本不等式可得x+﹣2≥0或x+﹣2≤﹣4，再作出函数f（x）

=的图象，从而由图象分类讨论，从而由此分析关于x的方程f（x+﹣2）=a的实根个数．

【解答】解：由基本不等式可得，

x+﹣2≥0或x+﹣2≤﹣4；

作函数f（x）=的图象如下，

①当a＞2时，x+﹣2＜﹣24或0＜x+﹣2＜1，

故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为4；

②当a=2时，x+﹣2=﹣24或0＜x+﹣2＜1或x+﹣2=2，

故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为6；

③当1＜a＜2时，﹣24＜x+﹣2＜﹣4或0＜x+﹣2＜1或1＜x+﹣2＜2或2＜x+﹣2＜3，故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为8；

④当a=1时，x+﹣2=﹣4或0＜x+﹣2＜1或1=x+﹣2或x+﹣2=3，

故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为7；

⑤当0＜a＜1时，﹣4＜x+﹣2＜0或3＜x+﹣2＜4，

故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为6；

⑥当a=0时，x+﹣2=0或3＜x+﹣2＜4，

故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为3；

⑦当a＜0时，x+﹣2＞3，

故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为2．

故选A．

【点评】本题考查了函数的图象的作法及基本不等式的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13．若函数，在区间上是

单调减函数，且函数值从1减少到﹣1，则=．

【考点】正弦函数的单调性．

【专题】计算题．

【分析】由题意可得，函数的周期为2×（﹣）=π，求出ω=2．再由sin（2?+φ）=1，

可得φ=，从而得到函数的解析式，从而求得的值．

【解答】解：由题意可得，函数的周期为2×（﹣）=π，即=π，∴ω=2，

∴f（x）=sin（2x+φ）．

再由sin（2?+φ）=1，可得φ=，

∴f（x）=sin（2x+），

∴=sin（+）=cos=，

故答案为．

【点评】本题主要考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．

14．已知数列a n=n2sin，则a1+a2+a3+…+a100=﹣5000．

【考点】数列的求和．

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】由已知得a n=，k∈N，由此能求出a1+a2+a3+…+a100．

【解答】解：∵a n=n2sin，，k∈N，

∴a n=，k∈N，

∴a1+a2+a3+…+a100

=1﹣32+52﹣72+92﹣112+972﹣992

=﹣2（1+3+5+7+9+11+…+97+99）

=﹣2×

=﹣5000．

故答案为：﹣5000．

【点评】本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要注意三角函数的周期性的合理运用．

15．将标号为1，2，3，4，5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有150种放法．

【考点】计数原理的应用．

【专题】排列组合．

【分析】先把5个不同的求分为（3，1，1）或（2，2，1）两组，求出分组的种数，再分配到分配到三个不同的盒子里即可

【解答】解：标号为1，2，3，4，5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，

分为（3，1，1）或（2，2，1）三组，共有+=25，

再分配到三个不同的盒子里，共有25=150种

故答案为：150

【点评】本题考查了分组分配的问题，关键是分组，属于中档题

16．已知△ABC中的内角为A，B，C，重心为G，若2sinA=，则cosB=．

【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．

【专题】平面向量及应用．

【分析】利用正弦定理化简已知表达式，通过不共线，求出a、b、c的关系，利用余

弦定理求解即可．

【解答】解：设a，b，c为角A，B，C所对的边，由正弦定理

2sinA=，

可得2a++3c=，则2a+=﹣3c=﹣3c（﹣），

即（2a﹣3c）=，

又因∵不共线，则2a﹣3c=0，，即2a==3c

∴，，

∴．

故答案为：．

【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力．

三、解答题：本大题共5小题，满分60分．其中22，23，24题为选做题.

17．已知等差数列{a n}的公差d≠0，a1=2，且a4，a6，a9成等比数列．

（1）求通项公式a n；

（2）令b n=a n+1+2n，n∈N*，求数列{b n}的前n项的和T n．

【考点】数列的求和；等差数列的性质．

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】（1）首先利用已知条件求出等差数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式．（2）根据（1）的结论，利用分类的方法求数列的和．

【解答】解：（1），

d2=a1d，

因为d≠0，

则d=a1=2．

所以a n=2+（n﹣1）?2=2n

（2）因为，

所以T n=2（1+2+3+…+n）+n+（21+22+…+2n）

=

=n2+2n+2n+1﹣2

【点评】本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，利用分类求和的方法求数列的和．属于基础题型．

18．甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是，乙，丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立．

（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；

（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值（数学期望）．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．

【专题】概率与统计．

【分析】（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为A1，A2，A3，由已知A1，A2，A3相互独立，由此能求出乙，丙各自能被聘用的概率．

（2）ξ的可能取值为1，3．分别求出P（ξ=1）和P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和数学期望．

【解答】解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为A1，A2，A3，

由已知A1，A2，A3相互独立，

且满足

解得，．

∴乙，丙各自能被聘用的概率分别为，．

（2）ξ的可能取值为1，3．

∵

=P（A1）P（A2）P（A3）+[1﹣P（A1）][1﹣P（A2）][1﹣P（A3）]

==．

∴P（ξ=1）=1﹣P（ξ=3）=．

∵．

【点评】本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．

19．如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=BC，E是底边BC上的

一点，且EC=3BE．现将△CDE沿DE折起到△C1DE的位置，得到如图2所示的四棱锥C1﹣ABED，且C1A=AB．

（1）求证：C1A⊥平面ABED；

（2）若M是棱C1E的中点，求直线BM与平面C1DE所成角的正弦值．

【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．

【分析】（1）设AD=AB==1，利用勾股定理的逆定理可以判断C1A⊥AD，C1A⊥AE；（2）由（1）知：C1A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分别以AB，AD，AC1为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，明确平面的法向量的坐标和的坐标，利用直线与平面的法向量的夹角的余弦值等于线面角的正弦值解答．

【解答】解：（1）设AD=AB==1，则C1A=1，C1D=，

∴，

∴C1A⊥AD，…

又∵BE=，C1E=

∴AE2=AB2+BE2=

∴

∴C1A⊥AE …

又AD∩AE=E

∴C1A⊥平面ABED；…

（2）由（1）知：C1A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分别以AB，AD，AC1为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，…

则B（1，0，0），C1（0，0，1），E（1，，0），D（0，1，0），

∵M是C1E的中点，

∴M（），

∴=（），…

设平面C1DE的法向量为=（x，y，z），，

由即，令y=2，得=（1，2，2）…

设直线BM与平面C1DE所成角为θ，则sinθ=||=

∴直线BM与平面C1DE所成角的正弦值为．…

【点评】本题考查了线面垂直的判定定理的运用以及利用空间向量解决线面角的问题，属于中档题．

20．如图所示，已知点M（a，3）是抛物线y2=4x上一定点，直线AM、BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A、B两个不同的点．

（1）求点M到其准线的距离；

（2）求证：直线AB的斜率为定值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】（1）由已知得32=4a，，由此能求出点M到其准线的距离．

（2）设直线MA的方程为：，联立，得

，由已知条件推导出，，由此能证明直线AB的

斜率为定值．

【解答】（1）解：∵M（a，3）是抛物线y2=4x上一定点

∴32=4a，

∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1

∴点M到其准线的距离为：．

（2）证明：由题知直线MA、MB的斜率存在且不为0，

设直线MA的方程为：，

联立，得，

∵，∴，

∵直线AM、BM的斜率互为相反数

∴直线MA的方程为：y﹣3=﹣k（x﹣），

同理可得：，

∴====﹣，