分式方程的增根与无解

分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解

例谈分式方程的增根与无解

例1 解方程2

3

44222+=---x x x x . ① 解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)-4x=3(x-2).② 解这个方程,得x=2.

经检验:当x=2时,原方程无意义,所以x=2是原方程的增根. 所以原方程无解. 例2 解方程

22321++-=+-x

x

x x . 解:去分母后化为x -1=3-x +2(2+x ). 整理得0x =8.

因为此方程无解,所以原分式方程无解.

例3(2007湖北荆门)若方程32x x --=2m

x

-无解,则m=——————. 解:原方程可化为32x x --=-2

m

x -.

方程两边都乘以x -2,得x -3=-m . 解这个方程,得x=3-m .

因为原方程无解,所以这个解应是原方程的增根.即x=2, 所以2=3-m ,解得m=1. 故当m=1时,原方程无解.

例4当a 为何值时,关于x 的方程223

242

ax x x x +=--+①会产生增根? 解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x +2)+ax =3(x -2) 整理得(a -1)x =-10 ②

若原分式方程有增根,则x =2或-2是方程②的根. 把x =2或-2代入方程②中,解得,a =-4或6.

若将此题“会产生增根”改为“无解”,即:

当a 为何值时,关于x 的方程223

242

ax x x x +=--+①无解? 此时还要考虑转化后的整式方程(a -1)x =-10本身无解的情况,解法如下: 解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x +2)+ax =3(x -2) 整理得(a -1)x =-10 ② 若原方程无解,则有两种情形:

(1)当a -1=0(即a =1)时,方程②为0x =-10,此方程无解,所以原方程无解。 (2)如果方程②的解恰好是原分式方程的增根,那么原分式方程无解.原方程若有增根,增根为x =2或-2,把x =2或-2代入方程②中,求出a =-4或6.

综上所述,a =1或a =一4或a =6时,原分式方程无解. 一、填空题

1、已知a =4,b =9,则a 、b 的比例中项是

2、已知线段a =4cm ,b =9cm ,线段c 是a 、b 的比例中项,则线段c 的长为

3、已知(-3):5=(-2):(x -1),则x =

4、若x 是3、4、9的第四比例项,则x = ,

5、已知a b =c d =e f =3

5 ,b +d +f =50,那么a +c +e =

6、如果x y =7

3 ,那么x -y y = ,x +y y = , x +y x +y =

7、已知x:y=2:3,则(3x+2y ):(2x -- 3y)=

8、已知5x - 8y=0,则x+y x = 9、已知x 5 =y 3 =z 4 ,则2x+y-z

x+3y+z =

10、已知5x+y 3x-2y =12 ,则x y = , x+y

x-y = ;

二、选择题

1、已知y 是3,6,8的第四比例项,则y 等于( ) (A)4 3 (B)16 (C)12 (D)4

3、若(m+n):n=5:2,则m:n的值是()

(A)5:2 (B)2:3 (C)3:2 (D)2:5

解分式方程及增根_无解的典型问题含答案

分式方程 1. 解分式方程的思路是: (1) 在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程。 (2) 解这个整式方程。 (3) 把整式方程的根带入最简公分母,看结果是不是为零,使最简公分母为零的根是原方 程的增根,必须舍去。 (4) 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 例1:解方程 214111x x x +-=-- 例2:解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根,则常数a 的值。 解:化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根,把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10,解得6a = 所以4a =-或6a =时,原方程产生增根。 方法总结:1.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 例3:解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解,则常数a 的值。 解:化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时,整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。 当10a -≠时,整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。 把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。 综上所述:当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。 方法总结:1.化为整式方程。 2.把整式方程分为两种情况讨论,整式方程无解和整式方程的解为增根。 例4:若分式方程212 x a x +=--的解是正数,求a 的取值范围。 解:解方程的23a x -=且2x ≠,由题意得不等式组:2-a 032-a 23 >≠解得2a <且4a ≠- 思考:1.若此方程解为非正数呢?答案是多少? 2.若此方程无解a 的值是多少? 方程总结:1. 化为整式方程求根,但是不能是增根。 2.根据题意列不等式组。

分式方程的增根与无解教学文案

分式方程的增根与无解 甲:增根是什么? 乙:增根是解分式方程时,把分式方程转化为整式方程这一变形中,由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如 例1、解方程:。① 为了去分母,方程两边乘以,得② 由②解得。 甲:原方程的解是。 乙:可是当时,原方程两边的值相等吗? 甲:这我可没注意,检验一下不就知道了。哟!当时,原方程有的项的分母为0,没有意义,是不是方程变形过程中搞错啦? 乙:求解过程完全正确,没有任何的差错。 甲:那为什么会出现这种情况呢? 乙:因为原来方程①中未知数x的取值范围是且,而去分母化为整式方程②后,未知数x的取值范围扩大为全体实数。这样,从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。 甲:如此说来,从方程①变形为方程②,这种变形并不能保证两个方程的解相同,那么,如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢? 乙:很简单,两个字:检验。可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母,看是否使公分母等于0,如果公分母为0,则说明这个值是增根,否则就是原方程的解。 甲:那么,这个题中就是增根了,可原方程的解又是什么呢? 乙:原方程无解。

甲:啊?!为什么会无解呢? 乙:无解时,方程本身就是个矛盾等式,不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等,如上题中,不论x取何值,都不能使方程①两边的值相等,因此原方程无解,又如对于方程,不论x取何值也不能使它成立,因此,这个方程也无解。 甲:是不是有增根的分式方程就是无解的,而无解的分式方程就一定有增根呢? 乙:不是!有增根的分式方程不一定无解,无解的分式方程也不一定有增根,你看: 例2、解方程, 去分母后化为,解得或,此时,是增根,但原方程并不是无解,而是有一个解,而方程,去分母后化为,原方程虽然无解,但原方程也没有增根。 乙:增根不是原分式方程的解,但它是去分母后所得的整式方程的解,利用这种关系可以解决分式方程的有关问题,你看: 例3、已知关于x的方程有增根,求k的值。 首先把原方程去分母,化为。③ 因为原方程的最简公分母是,所以方程的增根可能是或 若增根为,代入方程③,得,; 若增根为,代入方程③,得,。 故当或时,原方程会有增根。 甲:虽然无解的分式方程不一定有增根,有增根的分式方程不一定无解,但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系,这是怎么一回事?

分式方程的增根与无解的区别及联系

分式方程的增根与无解的区别 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念,同学们在学习分式方程后,常常会对这两个概念混淆不清,认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事,事实上并非如此. 分式方程有增根,指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值;而分式方程无解则是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等.它包含两种情形:(一)原方程化去分母后的整式方程无解;(二)原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根,从而原方程无解.现举例说明如下: 例1 解方程 2 344222+=---x x x x .① 解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)-4x=3(x-2).② 解这个方程,得x=2. 经检验:当x=2时,原方程无意义,所以x=2是原方程的增根. 所以原方程无解.

【说明】显然,方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2.而在去分母化为方程②后,此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数.所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时,x 的值就是增根.本题中方程②的解是x =2,恰好使公分母为零,所以x =2是原方程的增根,原方程无解. 例2 解方程 22321++-=+-x x x x . 解:去分母后化为x -1=3-x +2(2+x ). 整理得0x =8. 因为此方程无解,所以原分式方程无解. 【说明】此方程化为整式方程后,本身就无解,当然原分式方程肯定就无解了.由此可见,分式方程无解不一定就是产生增根. 例3(2007湖北荆门)若方程 32x x --=2m x -无解,则m=——————. 解:原方程可化为32x x --=-2 m x -.

习题:分式方程及增根、无解(含答案)

1 当堂检测 11- x 1. 解方程 1=1-x - 3答案: x = 2是增根原方程无解。 x -22-x a 1- 2x 2. 关于x 的方程 a +1=1-2x 有增根,则a = ------------------ 答案:7 x -44-x m 3. 解关于 x 的方程 m =1下列说法正确的是(C ) x -5 A.方程的解为x = m + 5 B.当m -5时,方程的解为正数 C.当m -5时,方程的解为负数 D.无法确定 x +a 4. ----------------------------------------------------------------- 若分式方程x +a =a 无解,则a 的值为 -------------------------------------- 答案:1或-1 x - 1 m +x 5. 若分式方程m + x =1有增根,则m 的值为 --------- 答案:-1 x - 1 1m 6. ----------------------------------------------------------------- 分式方程 1 = m 有增根,则增根为 -------------------------------------- 答案:2 或-1 x -2x +1 1k 7. 关于x 的方程 1 +1= k 有增根,则 k 的值为 ------------- 答案:1 x -2x -2 x +a 8. 若分式方程x + a =a 无解,则a 的值是 --------- 答案:0 a m + x 1 9.若分式方程2m + m + x = 0无解,则m 的取值是 ------- 答案:-1或- 1 x - 1 2 10. 若关于x 的方程 = m - 3无解,则 m 的值为 ---- 答案:6,10 2x +1 x -m 3 11. 若关于x 的方程x -m -3 = 1无解,求m 的值为 ---------- 答案: x - 1 x 12.解方程 1 =1 -6- x 答案x =-6 2-x x -2 3x 2 -12 7 24 13.解方程 2-4=0 x-1 x 2 -1 2x 2 14. 解方程 2x -2 =1 2 x -5 2x +5 x -2 15. 解方程x -2 x +3 x -1 m 2 16. 关于 x 的方程 = 有增根,则 m 的值 答案:m=2 或-2 x -3 2 x -6 x -a 3 2x 2 -13 x 2-9

分式方程——增根与无解

分式方程中的增根与无解 考点1解分式方程 (1)=+1 (2)+= 考点2增根 1.若关于x的方程有增根,试求k的值. 2.若关于x的方程+=2有增根,求增根和m的值? 3.解关于x的分式方程时不会产生增根,则m的取值是( ) A.m≠1?B.m≠﹣1C.m≠0? D.m≠±1 4.已知关于x的方程﹣=0的增根是1,则字母a的取值为() A.2B.﹣2?C.1 D.﹣1

1.当a=时,关于x的方程ax=1无解;当m= 时,关于x的方程(m-1)x=5无解;当时,关于x的二元一次方程ax2+bx+c=0无解。 2.若关于x的方程=6+无解,求m的值? 3.当a为何值时,关于x的方程﹣=1无解? 考点4有解 1.当a= 时,关于x的方程ax=1有解,解为;当m=时,关于x的方程(m-1)x=5有解,解为;当时,关于x的二元一次方程ax2+bx+c=0有解,解为。 1.已知x=3是分式方程﹣=2的解,那么实数k的值为() A.﹣1 B.0 C.1?D.2 2.已知关于x的方程有正根,则实数a的取值范围是() A.a<0且a≠﹣3? B.a>0?C.a<﹣3 D.a<3且a≠﹣3 3.若关于x的分式方程+=1有非负数解,求m的取值范围.

1.如果不等式组恰有3个整数解,则a的取值范围是() A.a≤﹣1 B.a<﹣1?C.﹣2≤a<﹣1 D.﹣2<a≤﹣1 2.已知关于x的不等式组有且只有1个整数解,则a的取值范围是() A.a>0 B.0≤a<1 C.0<a≤1 D.a≤1 3.已知,关于x的分式方程有增根,且关于x的不等式组只有4个整数解,那么b的取值范围是() A.﹣10恰有两个负整数解,则b的取值范围是()

解分式方程及增根-无解的典型问题含答案

( 分式方程 1. 解分式方程的思路是: (1) 在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程。 (2) 解这个整式方程。 (3) 把整式方程的根带入最简公分母,看结果是不是为零,使最简公分母为零的根是原 方程的增根,必须舍去。 (4) 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 例1:解方程 214111 x x x +-=-- ) 例2:解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根,则常数a 的值。 解:化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根,把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10,解得6a = 所以4a =-或6a =时,原方程产生增根。 方法总结:1.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 — 例3:解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解,则常数a 的值。 解:化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时,整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。 当10a -≠时,整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。 把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。 综上所述:当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。 方法总结:1.化为整式方程。 2.把整式方程分为两种情况讨论,整式方程无解和整式方程的解为增根。 . 例4:若分式方程212 x a x +=--的解是正数,求a 的取值范围。 解:解方程的23a x -=且2x ≠,由题意得不等式组:2-a 032-a 23 >≠解得2a <且4a ≠-

分式方程的增根及无解

分式方程的增根与无解 甲:增根是什么? 乙:增根是解分式方程时,把分式方程转化为整式方程这一变形中,由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如 例1、解方程:。① 为了去分母,方程两边乘以,得② 由②解得。 甲:原方程的解是。 乙:可是当时,原方程两边的值相等吗? 甲:这我可没注意,检验一下不就知道了。哟!当时,原方程有的项的分母为0,没有意义,是不是方程变形过程中搞错啦? 乙:求解过程完全正确,没有任何的差错。 甲:那为什么会出现这种情况呢? 乙:因为原来方程①中未知数x的取值范围是且,而去分母化为整式方程②后,未知数x的取值范围扩大为全体实数。这样,从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。 甲:如此说来,从方程①变形为方程②,这种变形并不能保证两个方程的解相同,那么,如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢? 乙:很简单,两个字:检验。可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母,看是否使公分母等于0,如果公分母为0,则说明这个值是增根,否则就是原方程的解。 甲:那么,这个题中就是增根了,可原方程的解又是什么呢? 乙:原方程无解。

甲:啊?!为什么会无解呢? 乙:无解时,方程本身就是个矛盾等式,不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等,如上题中,不论x取何值,都不能使方程①两边的值相等,因此原方程无解,又如对于方程,不论x取何值也不能使它成立,因此,这个方程也无解。 甲:是不是有增根的分式方程就是无解的,而无解的分式方程就一定有增根呢? 乙:不是!有增根的分式方程不一定无解,无解的分式方程也不一定有增根,你看: 例2、解方程, 去分母后化为,解得或,此时,是增根,但原方程并不是无解,而是有一个解,而方程,去分母后化为,原方程虽然无解,但原方程也没有增根。 乙:增根不是原分式方程的解,但它是去分母后所得的整式方程的解,利用这种关系可以解决分式方程的有关问题,你看: 例3、已知关于x的方程有增根,求k的值。 首先把原方程去分母,化为。③ 因为原方程的最简公分母是,所以方程的增根可能是或 若增根为,代入方程③,得,; 若增根为,代入方程③,得,。 故当或时,原方程会有增根。 甲:虽然无解的分式方程不一定有增根,有增根的分式方程不一定无解,但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系,这是怎么一回事?

分式方程的增根与无解[1]

例谈分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念,同学们在学习分式方程后,常常会对这两个概念混淆不清,认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事,事实上并非如此. 分式方程有增根,指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值;而分式方程无解则是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等.它包含两种情形:(一)原方程化去分母后的整式方程无解;(二)原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根,从而原方程无解.现举例说明如下: 例1 解方程2 344222+=---x x x x . ① 解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)-4x=3(x-2).② 解这个方程,得x=2. 经检验:当x=2时,原方程无意义,所以x=2是原方程的增根. 所以原方程无解. 【说明】显然,方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2.而在去分母化为方程②后,此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数.所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时,x 的值就是增根.本题中方程②的解是x =2,恰好使公分母为零,所以x =2是原方程的增根,原方程无解. 例2 解方程22321++-=+-x x x x . 解:去分母后化为x -1=3-x +2(2+x ). 整理得0x =8. 因为此方程无解,所以原分式方程无解. 【说明】此方程化为整式方程后,本身就无解,当然原分式方程肯定就无解了.由此可见,分式方程无解不一定就是产生增根.

习题:分式方程及增根、无解(含答案)

1 当堂检测 1. 解方程1 1322x x x -=---答案:2x =是增根原方程无解。 2. 关于x 的方程12144a x x x -+=--有增根,则a =-------答案:7 3. 解关于x 的方程15m x =-下列说法正确的是(C ) A.方程的解为5x m =+ B.当5m >-时,方程的解为正数 C.当5m <-时,方程的解为负数 D.无法确定 4.若分式方程1x a a x +=-无解,则a 的值为-----------答案:1或-1 5. 若分式方程=11m x x +-有增根,则m 的值为-------------答案:-1 6.分式方程121m x x =-+有增根,则增根为------------答案:2或-1 7. 关于x 的方程1 122k x x +=--有增根,则k 的值为-----------答案:1 8. 若分式方程x a a a +=无解,则a 的值是----------答案:0 9.若分式方程201m x m x ++=-无解,则m 的取值是------答案:-1或1 -2 10. 若关于x 的方程(1)5 321m x m x +-=-+无解,则m 的值为-------答案:6,10 11. 若关于x 的方程3 11x m x x --=-无解,求m 的值为-------答案: 12.解方程2116 2-x 2312x x x -=---答案6 7x =- 13.解方程224 0x-11x -=- 14. 解方程22 12525x x x -=-+ 15. 解方程2 22213 339x x x x --=-+- 16. 关于x 的方程2 1326x m x x -=--有增根,则m 的值-----答案:m=2或-2 17.当a 为何值时,关于x 的分式方程3 11x a x x --=-无解。答案:-2或1

八下分式方程的增根与无解

八下分式方程的增根与 无解 Hessen was revised in January 2021

八年级数学下---分式方程的增根与无解专项练习 分式方程有增根:指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值;(注意是分母为0的x值不一定都是增根) 分式方程无解:是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等.它包含两种情形:(一)原方程化去分母后的整式方程无解;(二)原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根,从而原方程无解. 练习1:1、当k为何值时,方程x x k x - - = - 1 33 会出现增根 2、已知分式方程33 1 2 x ax x + + + =有增根,求a的值。 3、分式方程 x x m x x x - + - = + 111 有增根x=1,则m的值为多少 4、a为何值时,关于x的方程 4 1 2 1 x x x a x x - += + - () 有解 5、求使分式方程 x x m x - -= - 3 2 3 2 产生增根的m的值。

6、已知关于x 的方程2x x k 2x 21x 12-+=++-有增根,求k 的值。 7、当m 为何值时,关于x 的方程 2111 2x x m x x x ---=+-无实根。 练习2:1、若方程4412212--=--+x x x k x 会产生增根,则( ) A 、2±=k B 、k=2 C 、k=-2 D 、k 为任何实数 2、若解分式方程21112x x m x x x x +-++=+产生增根,则m 的值是( ) A. -1或-2 B. -1或2 C. 1或2 D. 1或-2 3、若方程)1)(1(6-+x x -1 -x m =1有增根,则它的增根是( ) A 、0 B 、1 C 、-1 D 、1或-1 4、若方程 有增根,则a =( ). 5、已知 有增根,则k =( ). 6、若分式方程 1x ?2+3=3?x a +x 有增根,则a 的值是 ( ) 7、关于x 的方程12144a x x x -+=--有增根,则a =( ) 8、 若分式方程=11 m x x +-有增根,则m 的值为( )

分式方程增根与无解专题说课讲解

分式方程增根与无解 专题

收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 分式方程的增根和无解专题讲义 题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验. 例1.解方程(1) 2223-=---x x x (2) 114112=---+x x x 专练一、解分式方程 (每题5分共50分) (1) 223433x x x x +-=+ (2)3513+=+x x ; (3)30120021200=--x x (4)255522-++x x x =1 (5) 2124111x x x +=+--. (6) 2227461x x x x x +=+-- (7)11322x x x -+=--- (8)512552x x x =--- (9) 6165122++=-+x x x x 题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根. 例2、 若方程 x x x --=+-34731有增根,则增根为 .

收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 例3.若关于x 的方程 3 13292-=++-x x x m 有增根, 则增根是多少?产生增根的m 值又是多少? 评注:由以上几例可知,解答此类问题的基本思路是: (1)将所给方程化为整式方程; (2)由所给方程确定增根(使最简公分母为零的未知数的值或题目给出) (3)将增根代入变形后的整式方程,求出字母系数的值。 专练习二: 1.若方程3 323-+=-x x x 有增根,则增根为 . 2、 使关于x 的方程a x x a x 22 24222-+-=-产生增根的a 的值是( ) A. 2 B. -2 C. ±2 D. 与a 无关 3、若解分式方程21112x x m x x x x +-++=+产生增根,则m 的值是( ) A. -1或-2 B. -1或2 C. 1或2 D. 1或-2 4.当m 为何值时,解方程 115122-=-++x m x x 会产生增根? 5、关于x 的方程 x x k x -=+-323 会产生增根,求k 的值。 6、当k 为何值时,解关于x 的方程:()()()1151112x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。

分式方程增根与无解专题讲义

分式方程的增根和无解专题讲义 班级: 姓名: 题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验. 例1.解方程(1) 2223-=---x x x (2) 114112=---+x x x 专练一、解分式方程 (每题5分共50分) (1) 223433 x x x x +-=+ (2)3513+=+x x ; (3)30120021200=--x x (4)255522-++x x x =1 (5) 2124111x x x +=+--. (6) 2227461x x x x x +=+-- (7)11322x x x -+=--- (8)512552x x x =--- (9) 6165122++=-+x x x x 题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根. 例2、 若方程 x x x --=+-34731有增根,则增根为 . 例3.若关于x 的方程 3 13292-=++-x x x m 有增根, 则增根是多少?产生增根的m 值又是多少?

评注:由以上几例可知,解答此类问题的基本思路是: (1)将所给方程化为整式方程; (2)由所给方程确定增根(使最简公分母为零的未知数的值或题目给出) (3)将增根代入变形后的整式方程,求出字母系数的值。 专练习二: 1.若方程3 323-+=-x x x 有增根,则增根为 . 2、 使关于x 的方程a x x a x 22 24222-+-=-产生增根的a 的值是( ) A. 2 B. -2 C. ±2 D. 与a 无关 3、若解分式方程21112x x m x x x x +-++=+产生增根,则m 的值是( ) A. -1或-2 B. -1或2 C. 1或2 D. 1或-2 4.当m 为何值时,解方程 115122-=-++x m x x 会产生增根? 5、关于x 的方程 x x k x -=+-323 会产生增根,求k 的值。 6、当k 为何值时,解关于x 的方程:()()()115111 2x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。 7、当a 取何值时,解关于x 的方程:()() x x x x x ax x x ---++=+-+12212212无增根? 题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解. 例4、 若方程 x m x x -=--223无解,求m 的值.

分式方程的增根与无解

分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念,同学们在学习分式方程后,常常会对这两个概念混淆不清,认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事,事实上并非如此. 分式方程有增根,指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值;而分式方程无解则是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等.它包含两种情形:(一)原方程化去分母后的整式方程无解;(二)原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根,从而原方程无解.现举例说明如下: 例1 解方程2 344222+=---x x x x . ① 解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)-4x=3(x-2).② 解这个方程,得x=2. 经检验:当x=2时,原方程无意义,所以x=2是原方程的增根. 所以原方程无解. 【说明】显然,方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2.而在去分母化为方程②后,此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数.所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时,x 的值就是增根.本题中方程②的解是x =2,恰好使公分母为零,所以x =2是原方程的增根,原方程无解. 例2 解方程22321++-=+-x x x x . 解:去分母后化为x -1=3-x +2(2+x ). 整理得0x =8. 因为此方程无解,所以原分式方程无解. 【说明】此方程化为整式方程后,本身就无解,当然原分式方程肯定就无解了.由此可见,分式方程无解不一定就是产生增根. 例3(2007湖北荆门)若方程 32x x --=2m x -无解,则m=——————. 解:原方程可化为32x x --=-2m x -. 方程两边都乘以x -2,得x -3=-m . 解这个方程,得x=3-m . 因为原方程无解,所以这个解应是原方程的增根.即x=2, 所以2=3-m ,解得m=1. 故当m=1时,原方程无解.

分式方程的增根与无解详解

分 式 方 程 的 增 根 与 无 解 讲 解 例1解方程— 24x 3 ? ① x 2 x 4 x 2 解:方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).② 解这个方程,得x=2. 经检验:当x=2时,原方程无意义,所以x=2是原方程的增根. 所以原方程无解. 例2解方程x 1 3 x 2 . x 2 2 x 解:去分母后化为x — 1 = 3— x + 2 (2+ x ). 整理得0x = 8. 因为此方程无解,所以原分式方程无解. 例3 (2007湖北荆门)若方程 王卫二―丄无解,则m= ------------ . x 2 2 x 解:原方程可化为x 3二—m . x 2 x 2 方程两边都乘以x — 2,得x — 3=— m 解这个方程,得x=3— m 因为原方程无解,所以这个解应是原方程的增根.即 x=2, 所以2=3— m 解得m=1.

故当m=1时,原方程无解.

ax 例4当a为何值时,关于x的方程齐厂齐①会产生增根? 解:方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2) 整理得(a—1) x = —10 若原分式方程有增根,则x= 2或-2是方程②的根. 把x = 2或一2代入方程②中,解得,a = —4或6. 若将此题“会产生增根”改为“无解”,即: 2 ax 3 当a为何值时,关于x的方程厂2 厂门①无解? 此时还要考虑转化后的整式方程(a—1)x二—10本身无解的情况,解法如下: 解:方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2) 整理得(a—1) x = —10 若原方程无解,则有两种情形: (1)当a—1 = 0 (即a= 1)时,方程②为0x =一10,此方程无解,所以原方程无解。 (2)如果方程②的解恰好是原分式方程的增根,那么原分式方程无解?原方程若有增根,增根为x = 2或一2,把x = 2或一2代入方程②中,求出a= —4或6. 综上所述,a= 1或a = —4或a=6时,原分式方程无解. 例5: (2005扬州中考题)

解分式方程及增根-无解的典型问题含答案

优博辅导中心 1 当堂检测 1. 解方程1 1322x x x -=--- 答案:2x =是增根原方程无解。 2. 关于x 的方程12 144a x x x -+=--有增根,则a =-------答案:7 3. 解关于x 的方程15m x =-下列说法正确的是(C ) A.方程的解为5x m =+ B.当5m >-时,方程的解为正数 C.当5m <-时,方程的解为负数 D.无法确定 4.若分式方程1x a a x +=-无解,则a 的值为-----------答案:1或-1 5. 若分式方程=11m x x +-有增根,则m 的值为-------------答案:-1 6.分式方程1 21m x x =-+有增根,则增根为------------答案:2或-1 7. 关于x 的方程1 122k x x +=--有增根,则k 的值为-----------答案:1 8. 若分式方程x a a a +=无解,则a 的值是----------答案:0 9.若分式方程201m x m x ++=-无解,则m 的取值是------答案:-1或1 -2 10. 若关于x 的方程(1)5 321m x m x +-=-+无解,则m 的值为-------答案:6,10 11. 若关于x 的方程3 11x m x x --=-无解,求m 的值为-------答案: 12.解方程2116 2-x 2312x x x -=---答案6 7x =- 13.解方程22 4 0x-11x -=- 14. 解方程22 12525x x x -=-+ 15. 解方程2 22213 339x x x x --=-+- 16. 关于x 的方程2 1326x m x x -=--有增根,则m 的值-----答案:m=2或-2 17.当a 为何值时,关于x 的分式方程3 11x a x x --=-无解。答案:-2或1

分式方程的增根与无解

甲:增根是什么? 乙:增根是解分式方程时,把分式方程转化为整式方程这一变形中,由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如 例1、解方程:。① 为了去分母,方程两边乘以,得② 由②解得。 甲:原方程的解是。 乙:可是当时,原方程两边的值相等吗? 甲:这我可没注意,检验一下不就知道了。哟!当时,原方程有的项的分母为0,没有意义,是不是方程变形过程中搞错啦? 乙:求解过程完全正确,没有任何的差错。 甲:那为什么会出现这种情况呢? 乙:因为原来方程①中未知数x的取值范围是且,而去分母化为整式方程②后,未知数x的取值范围扩大为全体实数。这样,从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。 甲:如此说来,从方程①变形为方程②,这种变形并不能保证两个方程的解相同,那么,如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢? 乙:很简单,两个字:检验。可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母,看是否使公分母等于0,如果公分母为0,则说明这个值是增根,否则就是原方程的解。 甲:那么,这个题中就是增根了,可原方程的解又是什么呢? 乙:原方程无解。 甲:啊?!为什么会无解呢? 乙:无解时,方程本身就是个矛盾等式,不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等,如上题中,不论x取何值,都不能使方程①两边的值相等,因此原方程无解,又如对于方程,不论x取何值也不能使它成立,因此,这个方程也无解。 甲:是不是有增根的分式方程就是无解的,而无解的分式方程就一定有增根呢?

乙:不是!有增根的分式方程不一定无解,无解的分式方程也不一定有增根,你看: 例2、解方程, 去分母后化为,解得或,此时,是增根,但原方程并不是无解,而是有一个解,而方程,去分母后化为,原方程虽然无解,但原方程也没有增根。 乙:增根不是原分式方程的解,但它是去分母后所得的整式方程的解,利用这种关系可以解决分式方程的有关问题,你看: 例3、已知关于x的方程有增根,求k的值。 首先把原方程去分母,化为。③ 因为原方程的最简公分母是,所以方程的增根可能是或 若增根为,代入方程③,得,; 若增根为,代入方程③,得,。 故当或时,原方程会有增根。 甲:虽然无解的分式方程不一定有增根,有增根的分式方程不一定无解,但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系,这是怎么一回事? 乙:你说的没错,增根与无解都是分式方程的“常客”,它们虽然还没有达到形影不离的程度,但两者还是常常相伴而行的,在有些分式方程问题中,讨论无解的情形时应考虑增根,例如: 例4、已知关于x的方程无解,求m的值。 先把原方程化为。④ (1)若方程④无解,则原方程也无解,方程④化为,当,而时,方程④无解,此时。 (2)若方程④有解,而这个解又恰好是原方程的增根,这时原方程也无解,所以,当方程④的解为时原方程无解,代入方程④,得,故。 综合(1)、(2),当或时,原方程无解。 妙用分式方程的增根解题 在解分式方程的过程中,我们还可以利用增根来求分式方程中的待定字母的值.请看下面几例.

分式方程的增根与无解详解(可编辑修改word版)

分式方程的增根与无解讲解2 4x 3 例1 解方程 x - 2 - x 2- 4 = .① x + 2 解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得 2(x+2)-4x=3(x-2).②解这个方程,得 x=2. 经检验:当 x=2 时,原方程无意义,所以 x=2是原方程的增根.所以原方程无解. x -1例2 解方程= x + 2 3 -x 2 +x + 2 . 解:去分母后化为 x-1=3-x+2(2+ x).整理得 0x=8. 因为此方程无解,所以原分式方程无解. x - 3 m 例3(2007 湖北荆门)若方程= 无解,则m=——————. x - 2 2 -x x - 3 m 解:原方程可化为=-. x - 2 x -2 方程两边都乘以 x-2,得x-3=- m.解这个方程,得 x=3-m. 因为原方程无解,所以这个解应是原方程的增根.即 x=2, 所以 2=3-m,解得 m=1. 故当 m=1 时,原方程无解. 例4 当a 为何值时,关于 x 的方程 2 + x - 2 ax = x2- 4 3 x + 2 ①会产生增根? 解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)+ax=3(x-2)整理得(a-1)x=-10 ② 若原分式方程有增根,则 x=2 或-2 是方程②的 根.把x=2 或-2 代入方程②中,解得,a=-4 或 6.若将此题“会产生增根”改为“无解”,即: 当a 为何值时,关于 x 的方程 2 + x - 2 ax = x2- 4 3 x + 2 ①无解? 此时还要考虑转化后的整式方程(a-1)x=-10 本身无解的情况,解法如下:解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得 2(x+2)+ax=3(x-2) 整理得(a-1)x=-10 ②

分式方程的增根与无解

分式方程的增根与无解 增根是解分式方程时,把分式方程转化为整式方程这个变形中,因为去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值,比如解方程、: 。① 为了去分母,方程两边乘以,得② 由②解得。 甲:原方程的解是。 乙:不过当时,原方程两边的值相等吗? 甲:这我可没注意,检验一下不就知道了。哟!当时,原方程有的项的分母为0,没有意义,是不是方程变形过程中搞错啦? 乙:求解过程完全准确,没有任何的差错。 甲:那为什么会出现这种情况呢? 乙:因为原来方程①中未知数x的取值范围是且,而去分母化为整式 方程②后,未知数x的取值范围扩大为全体实数。这样,从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。 甲:如此说来,从方程①变形为方程②,这种变形并不能保证两个方程的解相同,那么,如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢? 乙:很简单,两个字:检验。能够把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母,看是否使公分母等于0,如果公分母为0,则说明这个值是增根,否则就是原方程的解。 甲:那么,这个题中就是增根了,可原方程的解又是什么呢? 乙:原方程无解。

甲:啊?!为什么会无解呢? 乙:无解时,方程本身就是个矛盾等式,不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等,如上题中,不论x取何值,都不能使方程①两边的值相等,所以原方 程无解,又如对于方程,不论x取何值也不能使它成立,所以,这个方程也无解。 甲:是不是有增根的分式方程就是无解的,而无解的分式方程就一定有增根呢?乙:不是!有增根的分式方程不一定无解,无解的分式方程也不一定有增根,你看,方程,去分母后化为,解得或,此时,是增根,但原方程并不是无解,而是有一个解,而方程,去分母后化为,原方程虽然无解,但原方程也没有增根。 甲:看起来增根并不是什么“好东西”,有没有办法能够避免增根? 乙:有是有,不过解起来比较费劲,有时划不来,还不如解后再检验。比如解方 程,可先把右边化为0,得。左边通分计算,得,即,分子分解因式,再约分,得,由分子,得你看,原来那个增根就没有出现。 增根不是原分式方程的解,但它是去分母后所得的整式方程的解,如上面方程①的增根,它虽然不是方程①的解,但却是去分母后所得整式方程②的解,利用这种关系能够解决分式方程的相关问题,你看: 已知关于x的方程有增根,求k的值。 首先把原方程去分母,化为。③

分式方程的增根和无解教学设计

分式方程的增根和无解教学设计 教学内容 本节课是华东师大版教材第十六章16.3可化为一元一次方程的分式方程内容的延伸和拓展。 内容分析 分式方程的增根和无解是整章的难点,学生对其理解较为困难,出错率较高。针对性设计一节课的内容,让学生再次理解增根和无解的内涵及区别和联系,巩固强化已学知识。教学目标 1.知识与技能理解分式方程的增根的概念及产生的原因,理解增根与无解的区别和联系。并学会检验,正确解决一些常见题。 2.过程与方法经历实际题型--探究方法---总结归纳的学习过程。培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想、逆向思维、分类讨论思想。提升学生学习数学的自信心。 3.情感态度与价值观通过教学活动,培养学生乐与探究,合作学习的习惯,培养学习努力寻求解决问题的进取心,巩固学习好数学的自信心。 教学重点增根产生的原因、无解的内涵及求解方法 教学难点分式方程的无解 教学准备课件、导学案、电子白板 教学过程 一.知识回顾 1.什么是分式方程?(方程中含有分式,并且分母中含有未知数字母的方程) 2.解分式方程的一般步骤是什么?关键是什么?一去,二解,三检验。关键是检验 3.如何进行验根? 4.一元一次方程ax=b的解的情况怎样? 一元一次方程ax=b的解的情况 1.)有唯一解 a 0, b . 2.)有无数解 a 0, b 0. 3.)无解 a 0 , b 0 . 5.解不等式组 二.探索新知

1. 解分式方程2212-1--=-x x x 解:(找最简公分母)方程两边都乘以 ,得 整理得(或化简得) 解这个方程,得 检验: 把 代入 = (结论) 2.解方式方程 22321)1(---=--x x x x 141622)2(2=--+-x x x 本节课目标 1. 掌握分式方程的增根与无解这两个概念; 2. 掌握增根与无解有关题型的解题方法; 例1 解方程: 23442 22+=---x x x x 总结;分式方程的增根 指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式,扩大了未知数的取值范围产生的未知数的值;从而使分式方程无解。1)整式方程有解2)整式方程的解使最简公分母=0。从而使分时方程产生了增根3)从而使分式方程无解。 二.例题讲解 例1解关于x 的方程 2232 42ax x x x +=--+ 产生增根,求a 的值 方法总结1.将分式方程转化为整式方程。2.有增根使最简公分母为零时,求增根3.把增根 代入整式方程求出字母的值。 随堂练习1.分式方程x kx x -+=-434 2有增根,则增根为( ) A 、2 B 、-1 C 、2或-1 D 、无法确定 2.若分式方程 11 1=-+x mx 有增根,求m 的值 3.关于x 的分式方程x kx x -+=-4342有增根,求k 的值 小组讨论 1.分式方程因增根产生无解。那么分式方程无解是否都是由增根造成的? 3. 分式方程无解和增根一样吗?

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