第3章动态规划3_0-1背包问题..
动态规划与回溯法解决0-1背包问题
0-1背包动态规划解决问题一、问题描述：有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。
原理：动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。
但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。
过程：a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第i 个物品选或不选），V i表示第i 个物品的价值，W i表示第i 个物品的体积（重量）；b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；d) 定义V(i,j)：当前背包容量j，前i 个物品最佳组合对应的价值；e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。
判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解，则有(X2，X3，…，Xn)是其子问题的最优解，假设(Y2，Y3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，则理应有(V2Y2+V3Y3+…+V n Yn)+V1X1 > (V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1；而(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn)，则有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V1X1+V2X2+…+VnXn)；该式子说明(X1，Y2，Y3，…，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；f) 寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；由此可以得出递推关系式：1) j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)2) j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝number＝4，capacity＝7四、构造最优解：最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解，构造时从第一个物品开始。
0_1背包问题的多种解法
一、 问题描述0/1背包问题:现有n 种物品，对1<=i<=n ，已知第i 种物品的重量为正整数W i ，价值为正整数V i ，背包能承受的最大载重量为正整数W ，现要求找出这n 种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W 且总价值尽量大。
（注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分）二、 算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：)2(max )1()1}(1,0{11∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤ni i i ini i i x v n i x Wx w 于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件（1），并使目标函数式（2）达到最大的解向量),......,,,(321n x x x x X =。
首先说明一下0-1背包问题拥有最优解。
假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解，则),......,,(32n x x x 是下面问题的一个最优解：∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤ni i i ini i i x v n i x x w W x w 2211max )2}(1,0{。
如果不是的话，设),......,,(32n y y y 是这个问题的一个最优解，则∑∑==>n i ni ii ii xv y v 22，且∑=≤+ni iiW yw x w 211。
因此，∑∑∑====+>+ni i i n i n i i i i i x v x v x v y v x v 1221111，这说明),........,,,(321n y y y x 是所给的0-1背包问题比),........,,,(321n x x x x 更优的解，从而与假设矛盾。
穷举法：用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包重量的子集），计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。
动态规划——01背包问题
动态规划——01背包问题⼀、最基础的动态规划之⼀01背包问题是动态规划中最基础的问题之⼀，它的解法完美地体现了动态规划的思想和性质。
01背包问题最常见的问题形式是：给定n件物品的体积和价值，将他们尽可能地放⼊⼀个体积固定的背包，最⼤的价值可以是多少。
我们可以⽤费⽤c和价值v来描述⼀件物品，再设允许的最⼤花费为w。
只要n稍⼤，我们就不可能通过搜索来遍查所有组合的可能。
运⽤动态规划的思想，我们把原来的问题拆分为⼦问题，⼦问题再进⼀步拆分直⾄不可再分（初始值），随后从初始值开始，尽可能地求取每⼀个⼦问题的最优解，最终就能求得原问题的解。
由于不同的问题可能有相同的⼦问题，⼦问题存在⼤量重叠，我们需要额外的空间来存储已经求得的⼦问题的最优解。
这样，可以⼤幅度地降低时间复杂度。
有了这样的思想，我们来看01背包问题可以怎样拆分成⼦问题：要求解的问题是：在n件物品中最⼤花费为w能得到的最⼤价值。
显然，对于0 <= i <= n,0 <= j <= w，在前i件物品中最⼤花费为j能得到的最⼤价值。
可以使⽤数组dp[n + 1][w + 1]来存储所有的⼦问题，dp[i][j]就代表从前i件物品中选出总花费不超过j时的最⼤价值。
可知dp[0][j]值⼀定为零。
那么，该怎么递推求取所有⼦问题的解呢。
显⽽易见，要考虑在前i件物品中拿取，⾸先要考虑前i - 1件物品中拿取的最优情况。
当我们从第i - 1件物品递推到第i件时，我们就要考虑这件物品是拿，还是不拿，怎样收益最⼤。
①：⾸先，如果j < c[i]，那第i件物品是⽆论如何拿不了的，dp[i][j] = dp[i - 1][j];②：如果可以拿，那就要考虑拿了之后收益是否更⼤。
拿这件物品需要花费c[i]，除去这c[i]的⼦问题应该是dp[i - 1][j - c[i]]，这时，就要⽐较dp[i - 1][j]和dp[i - 1][j - c[i]] + v[i]，得出最优⽅案。
分支界限方法01背包问题解题步骤
分支界限方法是一种用于解决优化问题的算法。
在动态规划算法中，分支界限方法被广泛应用于解决01背包问题。
01背包问题是一个经典的动态规划问题，其解题步骤如下：1. 确定问题：首先需要明确01背包问题的具体描述，即给定一组物品和一个背包，每个物品有自己的价值和重量，要求在不超过背包容量的情况下，选取尽可能多的物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
2. 列出状态转移方程：对于01背包问题，可以通过列出状态转移方程来描述问题的求解过程。
假设dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时能够获得的最大价值，则状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])3. 初始化边界条件：在动态规划中，需要对状态转移方程进行初始化，一般情况下，dp数组的第一行和第一列需要单独处理。
对于01背包问题，可以初始化dp数组的第一行和第一列为0。
4. 利用分支界限方法优化：针对01背包问题，可以使用分支界限方法来优化动态规划算法的效率。
分支界限方法采用广度优先搜索的思想，在每一步选择最有希望的分支，从而减少搜索空间，提高算法的效率。
5. 实际解题步骤：根据上述步骤，实际解决01背包问题的步骤可以概括为：确定问题，列出状态转移方程，初始化边界条件，利用分支界限方法优化，最终得到问题的最优解。
分支界限方法在解决01背包问题时起到了重要的作用，通过合理的剪枝策略，可以有效地减少动态规划算法的时间复杂度，提高问题的求解效率。
分支界限方法也可以应用于其他优化问题的求解过程中，在算法设计和实现中具有重要的理论和实际意义。
在实际应用中，分支界限方法需要根据具体问题进行灵活选择和调整，结合动态规划和剪枝策略，以便更好地解决各类优化问题。
掌握分支界限方法对于解决复杂问题具有重要的意义，也是算法设计和优化的关键技术之一。
分支界限方法在解决01背包问题的过程中，具有重要的作用。
0_1背包问题的多种解法
页脚内容1一、 问题描述0/1背包问题:现有n 种物品，对1<=i<=n ，已知第i 种物品的重量为正整数W i ，价值为正整数V i ，背包能承受的最大载重量为正整数W ，现要求找出这n 种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W 且总价值尽量大。
（注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分）二、 算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件（1），并使目标函数式（2）达到最大的解向量),......,,,(321n x x x x X =。
首先说明一下0-1背包问题拥有最优解。
假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解，则),......,,(32n x x x 是下面问题的一个最优解：∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤ni i i ini i i x v n i x x w W x w 2211max )2}(1,0{。
如果不是的话，设),......,,(32n y y y 是这个问题的一个最优解，则∑∑==>n i ni ii ii xv y v 22，且∑=≤+n i i i W y w x w 211。
因此，∑∑∑====+>+ni i i n i n i i i i i x v x v x v y v x v 1221111，这说明),........,,,(321n y y y x 是所给的0-1背包问题比),........,,,(321n x x x x 更优的解，从而与假设矛盾。
穷举法：用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包重量的子集），计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。
由于程序过于简单，在这里就不再给出，用实例说明求解过程。
下面给出了4个物品和一个容量为10的背包，下图就是用穷举法求解0-1背包问题的过程。
蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题【精选】
一、实验内容：分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。
注：0/1背包问题：给定种物品和一个容量为的背包，物品的重n C i 量是，其价值为，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装i w i v 入背包中的物品的总价值最大。
其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。
二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1.蛮力法求解0/1背包问题：1）基本思想：对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。
在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。
2）代码:#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100//最多可能物体数struct goods //物品结构体{int sign;//物品序号int w;//物品重量int p;//物品价值}a[N];bool m(goods a,goods b){return (a.p/a.w)>(b.p/b.w);}int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int X[N],cx[N];/*蛮力法求解0/1背包问题*/int Force(int i){if(i>n-1){if(bestP<cp&&cw+a[i].w<=C){for (int k=0;k<n;k++)X[k]=cx[k];//存储最优路径bestP=cp;}return bestP;}cw=cw+a[i].w;cp=cp+a[i].p;cx[i]=1;//装入背包Force(i+1);cw=cw-a[i].w;cp=cp-a[i].p;cx[i]=0;//不装入背包Force(i+1);return bestP;}int KnapSack1(int n,goods a[],int C,int x[]){Force(0);return bestP;}int main(){goods b[N];printf("物品种数n: ");scanf("%d",&n);//输入物品种数printf("背包容量C: ");scanf("%d",&C);//输入背包容量for (int i=0;i<n;i++)//输入物品i 的重量w 及其价值v {printf("物品%d 的重量w[%d]及其价值v[%d]:",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].p);b[i]=a[i];}int sum1=KnapSack1(n,a,C,X);//调用蛮力法求0/1背包问题printf("蛮力法求解0/1背包问题:\nX=[ ");for(i=0;i<n;i++)cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵printf("]装入总价值%d\n",sum1);bestP=0,cp=0,cw=0;//恢复初始化}3）复杂度分析：蛮力法求解0/1背包问题的时间复杂度为：。
用蛮力法、动态规划法和贪心法求解0 1背包问题
printf("\n");
}
｝
以下要依次判断每个子集的可行性，找出可行解:
voidpanduan(inta[][4],intcw[])////判断每个子集的可行性，如果可行则计算其价值存入数组cw,不可行则存入0
{
int i,j;
int n=16;
int sw,sv;
for(i=0;i<16;i++)
用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价值，然后在他们中找到价值最大的子集。
所以蛮力法解0/1背包问题的关键是如何求n个物品集合的所有子集，n个物品的子集有2的n次方个，用一个2的n次方行n列的数组保存生成的子集，以下是生成子集的算法：void force(int a[][4])//蛮力法产生4个物品的子集
{
int i,j;
int n=16;
int m,t;
for(i=0;i<16;i++)
{t=i;
for(j=3;j>=0;j--)
{
m=t%2;
a[i][j]=m;
t=t/2;
}
}
for(i=0;i<16;i++)//输出保存子集的二维数组
{
for(j=0;j<4;j++)
{
printf("%d",a[i][j]);
i++;
}
return maxprice;
}
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
0_1背包问题的多种解法
、问题描述0/1背包问题：现有n种物品，对1<=i<=n，已知第i种物品的重量为正整数W,价值为正整数V，背包能承受的最大载重量为正整数V，现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W且总价值尽量大。
(注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分)、算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：nw i x i Wi i ⑴X i {0,1(1 i n)nmax v i x (2)i 1于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件( 1)，并使目标函数式(2)达到最大的解向量首先说明一下0-1背包问题拥有最优解假设(X1, X2,X3,……,X n)是所给的问题的一个最优解，则 (X2,X3,……,X n)是下面问题的一个最优解:nWi 2X i {0,1}(2W1X1 maxi n) inv i X。
如果不是的话，设(y2> y3>....2..,y n)是这个问题的一个最优解，则n nV i y i V i X ii 2 i 2，且 W1X1n nW i y i W。
因此，V1X1 V i y ii 2 i 2n nV1X1V j X VX i，这说明i 2 i 1(X1,y2,y3, ....... , y n)是所给的0-1背包问题比(X1,X2,X3, ............ , X n)更优的解，从而与假设矛盾穷举法:用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集(总重量不超过背包重量的子集)，计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。
由于精品(X1, X2,X3,……X n)。
程序过于简单，在这里就不再给出，用实例说明求解过程。
下面给出了4个物品和一个容量为10的背包，下图就是用穷举法求解0-1背包问题的过程。
(a)四个物品和一个容量为10的背包(b)用回溯法求解0-1背包问题的过程递归法：在利用递归法解决0-1背包问题时，我们可以先从第n个物品看起。
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注:(3-4-3)式 此时背包容量为j，可选择物品为i。此时在对xi 作出决策之后,问题处于两种状态之一: 背包剩余容量是j,没产生任何效益; 剩余容量j-wi,效益值增长了vi . 从n推至i+1, i算出最优值m(i, j) （ i=n,…,1） 。 m(1,C)为最优值。 然后用算法traceback找出最优解xi ，其中i，C为整值。
算法复杂度分析： 从m(i，j)的递归式容易看出，算法knapsack需 要O(nc)计算时间; traceback需O(n)计算时间 ； 算法总体需要O(nc)计算时间。当背包容量c很 大时，算法需要的计算时间较多。例如，当 c>2n时，算法需要Ω(n2n)计算时间。
0-1背包问题
问题实例： 有5个物品，其重量分别是{2, 2, 的容量为10。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
w1=2 v1=6 w2=2 v2=3 w3=6 v3=5 w4=5 v4=4 w5=4 v5=6
1
2 3 4 5
0-1背包问题
问题实例： 有5个物品，其重量分别是{2, 2, 6, 5, 4}，价 值分别为{6, 3, 5, 4, 6}，背包的容量为10。
6
6
6
10
6
10
6
0-1背包问题
问题实例： 有5个物品，其重量分别是{2, 2, 6, 5, 4}，价 值分别为{6, 3, 5, 4, 6}，背包的容量为10。
统计结果：
5．改进算法
为克服以上缺点，引入阶梯函数。利用序偶概念，改进 算法的计算时间复杂性为O(2n )。而当所给物品的重量wi是 整数时，其计算时间复杂性为 O(min{nc, 2n }) （略） 。 动态规划的其他应用实例（略） 凸多边形最优三角剖分 多边形游戏 图像压缩 电路布线 流水作业调度 最优二叉搜索树
对比
• 4. 分治法与动态规划适用条件: ① 分治法：原问题具有最优子结构性质的前提下,分解出的 子问题都绝对相互独立. ② 动态规划：原问题具有最优子结构性质的前提下,分解出 的子问题并不相互独立,求解一个子问题可能要用到已经求解 过的子问题的解,子问题间具有重叠性,即适合具有重叠子问 题性质的原问题. • 5. 分治法与动态规划复杂度分析: ① 分治法因为对子问题进行了多次求解,所以效率比动态规 划低一点.(时间复杂度相对高) ② 动态规划求解需要将子问题的解保存下来,所以会比分治 法多用一些空间.(空间复杂度相对高)
当wi（1 i n） 0-1背包问题的动态规划算法Knapsack如下： 为正整数时，用二 void knapsack( int []v, int []w, int c, int [][]m) 维数组m[][]来存 { 储m(i, j)相应的最 int n = v.length-1; 优值。 int jMax = min(w[n]-1, c) //背包剩余容量// for(int j = 0; j<=jMax; j++) //背包装不下w[n]的情况// m[n][j]=0; for(int j=w[n]; j<=c; j++) //背包装得下w[n]的情况// m[n][j]=v[n]; for(int i=n-1; i>1; i--) { jMax=min(w[i]-1, c); for(int j=0; j<=jMax; j++) //背包装不下w[i]的情况// m[i][j]=m[i+1][j]; //没产生任何效益// for(int j=w[i]; j<=c; j++) //背包装得下w[i]的情况// m[i][j]=max(m[i+1][j], m[i+1][j-w[i]]+v[i]); //效益值增长vi ？//
0 1
0 0 0
2
6 3 0
3
6 3 0
4
9 6 6
5
9 6 6
6
12 9 6
7
12 9 6
8
15 9 6
9
15 10 10
10
15 11 11
0
w1=2 v1=6 w2=2 v2=3 w3=6 v3=5 w4=5 v4=4 w5=4 v5=6
1
2 3 4 5
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
6
6
6
6
6
6
（2）能得一族解，有利分析结果是否有用或进行选择（决策）， 且大大节省工作量。 （3）能利用经验，提高求解效率。动态规划方法反映过程逐段 演变的前后联系，与实际进程更紧密。 （4）有广泛应用背景
对比
• 1. 分治法与动态规划主要共同点: 二者都要求原问题具有最优子结构性质,都是将原问题分而治 之,分解成若干个规模较小(小到很容易解决的程序)的子问题. 然后将子问题的解合并,形成原问题的解.
（2）数值求解中，当问题中的状态变量个数太多，由于计算机 存储量及计算速度限制而无法对付“维数障碍”。
总结
动态规划的优越之处:
（1）易于确定全局解。动态规划方法是一种逐步改善的方法， 它把原问题化成一系列结构相似的最优化子问题，而每个子 问题的变量个数比原问题少得多，约束集合也简单得多，故 较易于确定全局最优。特别当处理离散类型问题时，动态规 划是求出全局最优化解的唯一方法。
max
v x
i i 2
n
i
n wi xi C w1 y1 s.t. i 2 x {0,1}, 2 i n i
证明:使用反证法. 若不然,设(z2,z3,…,zn)是上述子问题的一个最优解,而 (y2,y3,…,yn)不是它的最优解.显然有 ∑ vizi > ∑ viyi (i=2,…,n) 且 w1y1+ ∑ wizi C 因此 v1y1+ ∑ vizi (i=2,…,n) > ∑ viyi, (i=1,…,n) 说明(y1,z2, z3,…,zn)是(3-4-1)0-1背包问题的一个更优解,导出 (y1,y2,…,yn)不是背包问题的最优解,矛盾.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
w1=2 v1=6 w2=2 v2=3 w3=6 v3=5 w4=5 v4=4 w5=4 v5=6
1
2 3 4 5
0 0 0 0 6 6 6 6 6 6 6
m[5][<4] = 0, m[5][>=4]=6
0-1背包问题
问题实例： 有5个物品，其重量分别是{2, 2, 6, 5, 4}，价 值分别为{6, 3, 5, 4, 6}，背包的容量为10。
}
3.算法描述
3.算法描述
m[1][c]=m[2][c]; //令m[1][c]=m[2][c]// if(c>=w[1]) //如果背包装得下w[1]// m[1][c]=max(m[1][c], m[2][c-w[1]]+v[1]); } void traceback(int [][]m, int []w, int c, int []x) //求最优解xi // { int n = w.length-1; for(int i=1; i<n; i++) knapsack算法的 if(m[i][c]==m[i+1][c]) x[i]=0; 一个缺点是要求 else { x[i]=1; 所给物品的重量 c= c- w[i]; } wi （1 i n） x[n]=(m[n][c]>0)?1:0; 是整数 } 说明:当wi为正整数时，用二维数组m[][]来存储m(i,j)相应的 最优值。
第3章 动态规划
(Dynamic Programming)
—3.4 0-1背包问题
0-1背包问题
问题描述： 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi， 其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择 装入背包中的物品，使得装入背包中物品的 总价值最大？
0-1背包问题： 对每种物品i装入背 包或不装入背包。不 能将物品i装入背包多 次，也不能只装入部 分的物品i。
• • • • • •
总结
动态规划算法适用于解最优化问题。 通常按以下几个步骤设计动态规划算法： （1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；
（2）递归地定义最优值；
（3）以自底向上的方式计算出最优值 （4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
总结
动态规划缺陷： （1）无一统一标准模型可供应用。利用“最优子结构性质”得 出递归关系式后，必须结合问题的特点，结合其他数学技巧 求解，且无统一处理方法。
2.递归关系
设所给0-1背包问题的子问题
n
max
v
k i
k xk
(3.4.2)
n wk xk j s.t . k i x {0,1}, i k n k
的最优值为m(i，j)，即m(i，j)是背包容量为j，可选择物品为i， i+1，…，n时0-1背包问题的最优值。
2.递归关系
由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算 m(i，j)的递归式如下： 第i个物品装入背包
第i个物品不装入背包
(3.4.3)
j wi m(i 1, j ), m(i 1, j wi ) vi } max{ m(i, j ) 0 j wi m(i 1, j )
0-1背包问题
给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi， 背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装 入背包中物品的总价值最大? 0-1背包问题描述:给定C >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一 n元向量(x1,x2,…,xn), xi∈{0,1}, ∑ wi xi≤C,且∑ vi xi达最大, 即一个特殊的整数规划问题。