机器人的空间描述与坐标变换ppt课件
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工业机器人坐标系 ppt课件
机器人坐标系
2020/12/27
1
坐标系
从一个称为原点的固定点通过轴定义平面或 空间。 机器人目标和位置通过沿坐标系轴的测量来 定位。 机器人使用若干坐标系，每一坐标系都适用 于特定类型的微动控制或编程。
注意： 在每个机械单元中，系统将对线性动作模式默认使用基坐标系。 在每个机械单元中，系统将对重定向动作模式默认使用工具坐标系。 微动控制就是使用FlexPendant 控制杆手动定位或移动机器人或外轴。
2020/12/27
11
工件坐标系
A 大地坐标系 B 工件坐标系1 C 工件坐标系2
2020/12/27
对机器人进行编程时就是在 工件坐标系中创建目标和路 径。这带来很多优点：
• 重新定位工作站中的工件 时，您只需更改工件坐标系 的位置，所有路径将即刻随 之更新.
• 允许操作以外轴或传送导 轨移动的工件，因为整个工 件可连同其路径一起移动.
12
用户坐标系
A 用户坐标系 B 大地坐标系 C 基坐标系 D 移动用户坐标系 E 工件坐标系，与用户坐标系一 同移动
2020/12/27
用户坐标系可用于表 示固定装置、工作台 等设备。这就在相关 坐标系链中提供了一 个额外级别，有助于 处理持有工件或其它 坐标系的处理设备.
13
用户坐标系与工件坐标系
如焊接程序可以定义多个工具对应不同的干伸长度 • 工具被更换之后，重新定义工具即可直接运行程序
2020/12/27
9
工具坐标系
2020/12/27
10
工件标系
• 工件坐标系是由工件原点与坐标轴方位构成 • 使用了工件坐标系的指令中，坐标数据是相对工件坐标系
的位置，一旦工件坐标系移动，相关轨迹点相对大地同步 移动 • 默认工件坐标系wobj0与机器人基座标重合 • 程序中支持多个工件，可根据当前工作状态进行变换 • 通过重新定义工件，可使一个程序适合多台机器人 • 如果系统中含有外部轴或多台机器人，必须定义工件坐标 系 • 如果工作点的位置数据是手动输入的，可以方便的从图纸 上确定数值
2020/12/27
1
坐标系
从一个称为原点的固定点通过轴定义平面或 空间。 机器人目标和位置通过沿坐标系轴的测量来 定位。 机器人使用若干坐标系，每一坐标系都适用 于特定类型的微动控制或编程。
注意： 在每个机械单元中，系统将对线性动作模式默认使用基坐标系。 在每个机械单元中，系统将对重定向动作模式默认使用工具坐标系。 微动控制就是使用FlexPendant 控制杆手动定位或移动机器人或外轴。
2020/12/27
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工件坐标系
A 大地坐标系 B 工件坐标系1 C 工件坐标系2
2020/12/27
对机器人进行编程时就是在 工件坐标系中创建目标和路 径。这带来很多优点：
• 重新定位工作站中的工件 时，您只需更改工件坐标系 的位置，所有路径将即刻随 之更新.
• 允许操作以外轴或传送导 轨移动的工件，因为整个工 件可连同其路径一起移动.
12
用户坐标系
A 用户坐标系 B 大地坐标系 C 基坐标系 D 移动用户坐标系 E 工件坐标系，与用户坐标系一 同移动
2020/12/27
用户坐标系可用于表 示固定装置、工作台 等设备。这就在相关 坐标系链中提供了一 个额外级别，有助于 处理持有工件或其它 坐标系的处理设备.
13
用户坐标系与工件坐标系
如焊接程序可以定义多个工具对应不同的干伸长度 • 工具被更换之后，重新定义工具即可直接运行程序
2020/12/27
9
工具坐标系
2020/12/27
10
工件标系
• 工件坐标系是由工件原点与坐标轴方位构成 • 使用了工件坐标系的指令中，坐标数据是相对工件坐标系
的位置，一旦工件坐标系移动，相关轨迹点相对大地同步 移动 • 默认工件坐标系wobj0与机器人基座标重合 • 程序中支持多个工件，可根据当前工作状态进行变换 • 通过重新定义工件，可使一个程序适合多台机器人 • 如果系统中含有外部轴或多台机器人，必须定义工件坐标 系 • 如果工作点的位置数据是手动输入的，可以方便的从图纸 上确定数值
第三讲：机器人运动学和动力学_PPT幻灯片
讲座内容
位置姿态描述 齐次坐标及齐次变换 机器人连杆参数及D-H坐标变换 机器人运动学方程 微分运动学的概念 机器人动力学方程
位置姿态描述
空间点的描述
zA
px
AP
py
pz oA
xA
Ap
yA
位置姿态描述
刚体位姿
P
A B
R
A pBO
zA
旋转矩阵
A
B
R
A xB
A yB
A zB
yB zB
连杆的简化：
机器人连杆参数及D-H坐标变 换
转动关节连杆的参数：
机器人连杆参数及D-H坐标变
换
移动关节连杆的参数：
沿垂关两直节个于i关两轴关节个线节轴轴方轴线线向线i的，和的夹两i平+角1个面沿公内公垂，垂线两线之个的间公距的垂离距线离。 投影的夹角。
连杆长度ai ：
连杆扭角 i
偏置di ：
关节角 i
本方法由 Denavit 和 Hartenberg于
原点 Oi
Zi 轴
Xi 轴
机器人连杆参数及D-H坐标变换 1.当关节i轴线与关节i+1轴线 相交时，取交点。
与关节i+1的轴 线重合。
2. 当关节i轴线与关节i+1轴线
异面时，取两轴线的公垂线
沿连杆i两关 轴线之公垂 线，并指向关
节i+1。
连杆坐标系的建与关立节及i+D1的-H交坐点。标变换
cos3
0
a3
sin3
0
0 1 0
机器人运动学方程的应用
一、正向运动学
建立机器人运动学方程，已知各关节变量 时，求取终端（手部）位姿。
位置姿态描述 齐次坐标及齐次变换 机器人连杆参数及D-H坐标变换 机器人运动学方程 微分运动学的概念 机器人动力学方程
位置姿态描述
空间点的描述
zA
px
AP
py
pz oA
xA
Ap
yA
位置姿态描述
刚体位姿
P
A B
R
A pBO
zA
旋转矩阵
A
B
R
A xB
A yB
A zB
yB zB
连杆的简化：
机器人连杆参数及D-H坐标变 换
转动关节连杆的参数：
机器人连杆参数及D-H坐标变
换
移动关节连杆的参数：
沿垂关两直节个于i关两轴关节个线节轴轴方轴线线向线i的，和的夹两i平+角1个面沿公内公垂，垂线两线之个的间公距的垂离距线离。 投影的夹角。
连杆长度ai ：
连杆扭角 i
偏置di ：
关节角 i
本方法由 Denavit 和 Hartenberg于
原点 Oi
Zi 轴
Xi 轴
机器人连杆参数及D-H坐标变换 1.当关节i轴线与关节i+1轴线 相交时，取交点。
与关节i+1的轴 线重合。
2. 当关节i轴线与关节i+1轴线
异面时，取两轴线的公垂线
沿连杆i两关 轴线之公垂 线，并指向关
节i+1。
连杆坐标系的建与关立节及i+D1的-H交坐点。标变换
cos3
0
a3
sin3
0
0 1 0
机器人运动学方程的应用
一、正向运动学
建立机器人运动学方程，已知各关节变量 时，求取终端（手部）位姿。
机器人导论第二章 空间描述和变换
❖为什么要引进齐次坐标,它有什么优点?
❖机器人的坐标变换主要包括平移和旋转变换,平移是矩 阵相加运算,旋转则是矩阵相乘,综合起来可以表示为p’ = m1*p + m2(m1旋转矩阵,m2为平移矩阵,p为原向量,p’ 为变换后的向量).引入齐次坐标的目的主要是合并矩阵 运算中的乘法和加法,合并后可以表示为p' = M*p的形式. 即它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的 一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法.
A
P
BP
PA BORG
这个例子说明了如何将一个矢量从 一个坐标系映射到另一个坐标系。 映射的概念，即描述一个坐标系到 另一个坐标系的变换。
两个坐标系具有相同的姿态
关于旋转坐标系的映射
❖ 我们已知矢量相对于某坐标系{B}的定义 BP ，怎样求矢量相对 另一个坐标系{A}的定义 AP ？且这两个坐标系原点重合。
{B}绕 Zˆ 轴旋转30度
0.866
A B
R
0.500
0.000
0.500 0.866 0.000
0.000 0.000 1.000
0.0
已知：
B P 2.0
0.0
1.000
求出
AP
：
A
P BAR BP
1.732
0.000
❖齐次坐标
❖所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1 维向量来表示.有一个特定的投影附加于n维空间,也可以 把它看作一个附加于每个矢量的比例系数.
❖三维直 v x y zT ❖齐次 v wx wy wz wT
❖角坐标
❖坐标
显然,齐次坐标表达并不是唯一的,随w值的不同而不同. 在计算机图学中,w 作为通用比例因子,它可取任意正值, 但在机器人的运动分析中,总是取w=1.
机器人技术 PPT课件
长度(即H杆的长度)，则：
1) 圆C1:半径为 R1 l1 l2 h ， 圆C4:半径为 R4 l1 l2 h ，
分别是该操作机的总工作空 间的边界。它们之间的环形 而积即W(P) 。
2）圆C2:半径为 R4 l1 l2 h ， 圆C3:半径为 R1 l1 l2 h ， C4 C3
对于自由度 F 6 的机器人操作机，将操作机的前三杆(或前
三关节)划为一组，在第三杆上设置参考点P3(相当于腕点)，求
其绕将各后关面节各运杆动（形4、成5的、曲6 面杆的）包划络为，另得一到组界，限在曲末面杆上取W0(参P3) 考。点 P6(可取手心点)，求出其绕后面关节运动形成的曲面（线）的 包络让， W得3(Pn到) 沿界限W0曲(P3)面运动W3，(Pn)就。形成了双参数曲面族，可用相应 的包络面公式求出末杆上参考点的工作空间界限曲面 。 W0(Pn)
一、定义
空洞——在转轴 zi 周围，沿z的全长参考点Pn均不能达到
的空间。 空腔——参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的
空间。
1——空腔；2——空洞
22
第22页/共33页
二、空洞及空腔约形成条件 1、空洞的形成条件及其判别 工作空间 Wn (Pn )与其后级旋 转轴 zn1 若不相交，则在该旋 转轴的周围形成空洞。 空洞存在与否可根据前级空 间Wn (Pn )和后级旋转轴 zn1之 间的最小距离来判断。 若 Rxmin 0 。 则不存在空 洞； 若 Rxmin 0 则存在空洞。
14
第14页/共33页
腕点工作空间
15
第15页/共33页
PUMA560型机器人无结构限制时的工作空间轴剖面
16
第16页/共33页
2、图解法 用图解法求工作空间，得到的往往是工作空间的各类别
1) 圆C1:半径为 R1 l1 l2 h ， 圆C4:半径为 R4 l1 l2 h ，
分别是该操作机的总工作空 间的边界。它们之间的环形 而积即W(P) 。
2）圆C2:半径为 R4 l1 l2 h ， 圆C3:半径为 R1 l1 l2 h ， C4 C3
对于自由度 F 6 的机器人操作机，将操作机的前三杆(或前
三关节)划为一组，在第三杆上设置参考点P3(相当于腕点)，求
其绕将各后关面节各运杆动（形4、成5的、曲6 面杆的）包划络为，另得一到组界，限在曲末面杆上取W0(参P3) 考。点 P6(可取手心点)，求出其绕后面关节运动形成的曲面（线）的 包络让， W得3(Pn到) 沿界限W0曲(P3)面运动W3，(Pn)就。形成了双参数曲面族，可用相应 的包络面公式求出末杆上参考点的工作空间界限曲面 。 W0(Pn)
一、定义
空洞——在转轴 zi 周围，沿z的全长参考点Pn均不能达到
的空间。 空腔——参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的
空间。
1——空腔；2——空洞
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二、空洞及空腔约形成条件 1、空洞的形成条件及其判别 工作空间 Wn (Pn )与其后级旋 转轴 zn1 若不相交，则在该旋 转轴的周围形成空洞。 空洞存在与否可根据前级空 间Wn (Pn )和后级旋转轴 zn1之 间的最小距离来判断。 若 Rxmin 0 。 则不存在空 洞； 若 Rxmin 0 则存在空洞。
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腕点工作空间
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第15页/共33页
PUMA560型机器人无结构限制时的工作空间轴剖面
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2、图解法 用图解法求工作空间，得到的往往是工作空间的各类别
工业机器人坐标系ppt课件
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工具坐标系
10
工件坐标系
工件坐标系是由工件原点与坐标轴方位构成 使用了工件坐标系的指令中，坐标数据是相对工件坐标系
的位置，一旦工件坐标系移动，相关轨迹点相对大地同步 移动 默认工件坐标系wobj0与机器人基座标重合 程序中支持多个工件，可根据当前工作状态进行变换 通过重新定义工件，可使一个程序适合多台机器人 如果系统中含有外部轴或多台机器人，必须定义工件坐标 系 如果工作点的位置数据是手动输入的，可以方便的从图纸 上确定数值
工具坐标系定义机器人到达预设目标时所使用工具的位置 。
用户坐标系在表示持有其他坐标系的设备（如工件）时非 常有用。
5
基坐标系
• 基坐标系在机器人基座中有相应 的零点，这使固定安装的机器人 的移动具有可预测性。因此它对 于将机器人从一个位置移动到另 一个位置很有帮助。对机器人编 程来说，其它如工件坐标系等坐 标系通常是最佳选择。
11
工件坐标系
对机器人进行编程时就是在 工件坐标系中创建目标和路 径。这带来很多优点：
• 重新定位工作站中的工件 时，您只需更改工件坐标系 的位置，所有路径将即刻随 之更新.
• 允许操作以外轴或传送导 轨移动的工件，因为整个工 件可连同其路径一起移动.
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用户坐标系
用户坐标系可用于表 示固定装置、工作台 等设备。这就在相关 坐标系链中提供了一 个额外级别，有助于 处理持有工件或其它 坐标系的处理设备.
机器人坐标系
1
坐标系
从一个称为原点的固定点通过轴定义平面或空 间。 机器人目标和位置通过沿坐标系轴的测量来定 位。 机器人使用若干坐标系，每一坐标系都适用于 特定类型的微动控制或编程。
注意： 在每个机械单元中，系统将对线性动作模式默认使用基坐标系。 在每个机械单元中，系统将对重定向动作模式默认使用工具坐标系。 微动控制就是使用FlexPendant 控制杆手动定位或移动机器人或外轴。
工具坐标系
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工件坐标系
工件坐标系是由工件原点与坐标轴方位构成 使用了工件坐标系的指令中，坐标数据是相对工件坐标系
的位置，一旦工件坐标系移动，相关轨迹点相对大地同步 移动 默认工件坐标系wobj0与机器人基座标重合 程序中支持多个工件，可根据当前工作状态进行变换 通过重新定义工件，可使一个程序适合多台机器人 如果系统中含有外部轴或多台机器人，必须定义工件坐标 系 如果工作点的位置数据是手动输入的，可以方便的从图纸 上确定数值
工具坐标系定义机器人到达预设目标时所使用工具的位置 。
用户坐标系在表示持有其他坐标系的设备（如工件）时非 常有用。
5
基坐标系
• 基坐标系在机器人基座中有相应 的零点，这使固定安装的机器人 的移动具有可预测性。因此它对 于将机器人从一个位置移动到另 一个位置很有帮助。对机器人编 程来说，其它如工件坐标系等坐 标系通常是最佳选择。
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工件坐标系
对机器人进行编程时就是在 工件坐标系中创建目标和路 径。这带来很多优点：
• 重新定位工作站中的工件 时，您只需更改工件坐标系 的位置，所有路径将即刻随 之更新.
• 允许操作以外轴或传送导 轨移动的工件，因为整个工 件可连同其路径一起移动.
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用户坐标系
用户坐标系可用于表 示固定装置、工作台 等设备。这就在相关 坐标系链中提供了一 个额外级别，有助于 处理持有工件或其它 坐标系的处理设备.
机器人坐标系
1
坐标系
从一个称为原点的固定点通过轴定义平面或空 间。 机器人目标和位置通过沿坐标系轴的测量来定 位。 机器人使用若干坐标系，每一坐标系都适用于 特定类型的微动控制或编程。
注意： 在每个机械单元中，系统将对线性动作模式默认使用基坐标系。 在每个机械单元中，系统将对重定向动作模式默认使用工具坐标系。 微动控制就是使用FlexPendant 控制杆手动定位或移动机器人或外轴。
3机器人的位姿描述与坐标变换
利用旋转矩阵的正交性质:
假设：
整理得：
旋转变换通式
讨论：
（1）
（2）
（3）
例：坐标系B原来与A重合，将坐标系B绕过原点O的轴线
转动
，求旋转矩阵
解答：
1）
2）
3）带入旋转通式得：
2、等效转轴与等效转角
转轴和转角
旋转矩阵
1
2？
1）将方程两边矩阵的主对角线元素分别相加，则
2）将方程两边矩阵的非对角线元素成对相减得：
►绕多个坐标轴旋转的转动矩阵
1）、绕固定坐标系旋转
2）、绕运动坐标系旋转
ZYZ欧拉角
注意：多个旋转矩阵连乘时，次序不同则含义不同。1）绕新的动坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从左往右乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相同；2）绕旧的固定坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从右往左乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相反。
解：
1）
2）
Z
i
X
i
Y
i
P
坐标系j由坐标系i旋转而成
求点P在i坐标系的坐标：
已知点P在j坐标系的坐标：
P
☺
►姿态矢量矩阵
坐标系j相对于i的方位
旋转矩阵的性质：
旋转矩阵
►绕一个坐标轴旋转的转动矩阵
1）RX
2）RY
3）RZ
转动矩阵的特点：(1) 主对角线上有一个元素为1，其余均为转角的余弦/正弦；(2) 绕轴转动的次序与元素1所在的行、列号对应；(3) 元素1所在的行、列，其它元素均为0；(4) 从元素1所在行起，自上而下，先出现的正弦为负，后出现的为正，反之依然。
2、变换矩阵T的相乘 ★矩阵相乘的顺序一般不可换，特殊可换的情况为变换都是同参考系下的平移或绕同一坐标轴的旋转。
假设：
整理得：
旋转变换通式
讨论：
（1）
（2）
（3）
例：坐标系B原来与A重合，将坐标系B绕过原点O的轴线
转动
，求旋转矩阵
解答：
1）
2）
3）带入旋转通式得：
2、等效转轴与等效转角
转轴和转角
旋转矩阵
1
2？
1）将方程两边矩阵的主对角线元素分别相加，则
2）将方程两边矩阵的非对角线元素成对相减得：
►绕多个坐标轴旋转的转动矩阵
1）、绕固定坐标系旋转
2）、绕运动坐标系旋转
ZYZ欧拉角
注意：多个旋转矩阵连乘时，次序不同则含义不同。1）绕新的动坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从左往右乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相同；2）绕旧的固定坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从右往左乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相反。
解：
1）
2）
Z
i
X
i
Y
i
P
坐标系j由坐标系i旋转而成
求点P在i坐标系的坐标：
已知点P在j坐标系的坐标：
P
☺
►姿态矢量矩阵
坐标系j相对于i的方位
旋转矩阵的性质：
旋转矩阵
►绕一个坐标轴旋转的转动矩阵
1）RX
2）RY
3）RZ
转动矩阵的特点：(1) 主对角线上有一个元素为1，其余均为转角的余弦/正弦；(2) 绕轴转动的次序与元素1所在的行、列号对应；(3) 元素1所在的行、列，其它元素均为0；(4) 从元素1所在行起，自上而下，先出现的正弦为负，后出现的为正，反之依然。
2、变换矩阵T的相乘 ★矩阵相乘的顺序一般不可换，特殊可换的情况为变换都是同参考系下的平移或绕同一坐标轴的旋转。
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关节变量
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2
1.2 描述：位置、姿态和坐标系
位置描述
一旦建立坐标系，就能用一
个3*1的位置矢量对世界坐标 系中的任何点进行定位。因 为在世界坐标系中经常还要 定义许多坐标系，因此在位 置矢量上附加一信息，标明 是在哪一坐标系中被定义的。
例如：AP表示矢量P在A坐标系中的表示。
BP 表示矢量P在B坐标系中的表示。
c os90
c os120 c os30 c os90
XB XA
X
B
YA
X B Z A
c os90 c os90 cos0
]
YB X A YB YA YB Z A
ZB XA
ZB
YA
ZB Z A
ppt课件
5
坐标系的变换
完整描述上图中操作手位姿所需的信息为位置和姿态。机器人学中
在从多重解中选择解时，应根据具体情况，在避免碰撞的前 提下通常按“最短行程”准则来选择。同时还应当兼顾“多 移动小关节，少移动大关节”的原则。
ppt课件
23
4 PUMA560机器人运动学反解-反变换法
❖ 由于z4 , z5, z6 交于一点W,点W在基础坐标系中的位置仅与 1,2,3
有关。据此，可先解出 1,2,3 ，再分离出 4 ,5,6 ，并逐
PUMA560变换矩阵
ppt课件
21
将各个连杆变换矩阵相乘便得到PUMA560手臂变换矩阵
06T 01T (1)21T (2 )23T (3 )34T (4 )45T (5 )56T (6 )
什么是机器人运动学正解？ 什么是机器人运动学反解？
ppt课件
22
操作臂运动学反解的方法可以分为两类：封闭解和数值解、 在进行反解时总是力求得到封闭解。因为封闭解的计算速度 快，效率高，便于实时控制。而数值法不具有些特点为。 操作臂的运动学反解封闭解可通过两种途径得到：代数解和 几何解。 一般而言，非零连杆参数越多，到达某一目标的方式也越多， 即运动学反解的数目也越多。
机器人坐标系统.ppt
绕坐标系h各轴转动yawrollpitch第三章机器人坐标系统2020715第三章机器人坐标系统2020715第三章机器人坐标系统2020715第三章机器人坐标系统2020715第三章机器人坐标系统2020715第三章机器人坐标系统202071510仅仅只有平移第三章机器人坐标系统202071511仅仅只有平移第三章机器人坐标系统202071512先平移后旋转第三章机器人坐标系统202071513先旋转后相对于b平移ab第三章机器人坐标系统202071514有加法和乘法整合第三章机器人坐标系统20207151532正交坐标系321正交坐标系及矢量的基础知识右图是所谓的正交坐标系bxyz用来表示机器人的基坐标其中分别是三个坐标轴的单位向量
物体的姿态可由某个固接在物体上的坐标系来描述。设在 空间中除了有参考坐标系B外，还有物体质心上的一个笛卡尔正 交坐标系H，且H系与此物体的空间位置关系是固定不变的，那 么就可以H系的三个坐标轴的单位矢量相对于 B系的方向来表示H 系和B系的姿态。
2019/3/28
20
第三章 机器人坐标系统
2019/3/28
当用列向量表示单位矢量时，有
当用矩阵表示两个矢量的点乘时，有
n o n x ox n y o y nz oz n x ny
于是，变换矩阵R可以表示为：
n x R n o a n y nz
2019/3/28
o x T nz o y n o 0 oz
oa n
an o
对于单位矢量 i , j , k 也有同样的性质。 单位矢量 n , o , a在基坐标系中可表示为
n n x o o x a a x
2019/3/28
物体的姿态可由某个固接在物体上的坐标系来描述。设在 空间中除了有参考坐标系B外，还有物体质心上的一个笛卡尔正 交坐标系H，且H系与此物体的空间位置关系是固定不变的，那 么就可以H系的三个坐标轴的单位矢量相对于 B系的方向来表示H 系和B系的姿态。
2019/3/28
20
第三章 机器人坐标系统
2019/3/28
当用列向量表示单位矢量时，有
当用矩阵表示两个矢量的点乘时，有
n o n x ox n y o y nz oz n x ny
于是，变换矩阵R可以表示为：
n x R n o a n y nz
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o x T nz o y n o 0 oz
oa n
an o
对于单位矢量 i , j , k 也有同样的性质。 单位矢量 n , o , a在基坐标系中可表示为
n n x o o x a a x
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A
P 2 T P 1
A
（2-23）
齐次坐标变换总结：
1. 它是坐标系的描述。 A A T R 表示坐标系 {B}在坐标系{A}下的描述， 的各列是坐标系 B B A P Bo {B}三个坐标轴方向的单位矢量， 而表示坐标系 {B}原点位置 。 B 2. 它是不同坐标系间的坐标变换。如 APA T P B A A P 3.它是同一坐标系内的变换算子。 2 T P 1 齐次坐标变换是复杂空间变换的基础，必须认真理解和掌握。具体应 用的关键是理解它代表的是上面三种含义的哪一种，而不是简单的套用 公式！
坐标系{B}与机械手末端工具固连，工具的姿态 可以由坐标系{B}的方向来描述。而坐标系{B}的方 向可以用沿三个坐标轴的单位矢量来表示
A B
R
A
X B
A
Y B
r r r 11 12 13 A Z r r r B 21 22 23 r r r 31 32 33
B T
（2-6）
图2-4旋转变换
式（2-6）即为我们要求的旋转变换关系，该变换是通过两个坐 标系之间的旋转变换实现的。
5
3.复合变换
如果两个坐标系之间即存在平移 又存在旋转，如何计算同一个空间点 在两个坐标系下描述的变换关系？ 为了得到位置矢量BP和AP之 间的变换关系，我们建立一个中 间坐标系{C}。
A B
ZB
ZA
A
P(BP) YB
A A A
p p p
x y z
B B B
X Y Z
T B A T B A T B A
Pห้องสมุดไป่ตู้P P
（2-5）
YA XA XB
将（2-5）式写成矩阵形式得：
XA B T B A A B P Y A P B R P BZT A
8
其中I是33单位矩阵。例如若AQ=ai+bj+ck， 其中i、j和k分别表示坐标系{A}三个坐标轴的 单位矢量，则平移算子表示为
同样，我们可以研究矢量在同一坐标系下的旋转 变换，如图2-9，AP1绕Z轴转q角得到AP2。则
A
YA
A
P Rot ( z , q ) P 2 1
A
P2
A
（2-20）
机器人的空间 描述与坐标变 换
2.1位置方位表示与坐标系描述
1.位置描述
矢量 Ap 表示箭头指向点的位置矢量，其 中右上角标“A”表示该点是用{A}坐标系描述 的。 p
A
ZA
A
P
OA XA
p
p p
x
YA
y z
（2-1）
图 2 1 位 置 表 示
2.方位描述
（2-2）
图2-2方位表 示
2
3.位姿描述
固连坐标系把刚体位姿描述问题转化为坐标系的描述问题。图2-3 中坐标系{B}可以在固定坐标系{A}中描述为
{ B } R B
A
A
p Bo
A
（2-3）
P 描述坐标系 {B}的原点位 Bo
旋转矩阵 BA 描述坐标系 {B}的姿态，矢量 R 置。
3
2.2平移和旋转坐标系映 射
1.平移坐标变换
BP为坐标系{B}描述的某一空间位
{B}
置，我们也可以用AP（坐标系{A}）描 述同一空间位置。因为两个坐标系具有 相同的姿态，同一个点在不同坐标系下 的描述满足以下关系
A
B
P
{A}
A
P OB
A
PBO
P P P B o
B
A
（2-4）
OA
图2-3平移变换
4
2.旋转坐标变 换
旋转坐标变换的任务是已知坐标系{B}描述的 R 一个点的位置矢量BP和旋转矩阵 ，求在坐标 系{A}下描述同一个点的位置矢量AP。
C
{B}
{C}
B
P
{A}
A
P OB
A
PBO
OA
P RP RP B B
C A AB A
C B
A B
图2-5复合变换 （2-7） （ 2-8）
A
P P P R P P C o B B o
为了得到位置矢量BP和AP之间的变换关系，只需坐标系{B} 在坐标系 下{A}的描述。
6
2.3齐次坐标变换
1.齐次变换
坐标变换（2-8）可以写成以下形式
P BR 1 0
A A A
P P Bo 1 1
B
（2-9）
将位置矢量用41矢量表示，增加1维的数值恒为1，我们仍然用原 来的符号表示4维位置矢量并采用以下符号表示坐标变换矩阵
A
B R T B 0
cq 0 Rot ( y, q ) sq 0
0 1 0 0
sq 0 cq 0
0 0 0 1
9
定义了平移算子和旋转算子以后，可以将它们复合实现复杂的映射 关系。变换算子与前面介绍的坐标变换矩阵形式完全相同，因为所有描 述均在同一坐标系下，所以不需上下标描述（坐标系）。
0 0 0 1
Rot(z,q)称为旋转算子，其表达式为
cq sq Rot ( z , q ) 0 0 sq cq 0 0 0 0 1 0
q
ZA
P1 XA
（2-21）
图2-7旋转算子
同理，可以得到绕X轴和Y轴的旋转算子
1 0 Rot ( x, q ) 0 0 0 cq sq 0 0 sq cq 0 0 0 0 1
A
A
A
P P Q 2 1
A
A
{A}
A
A
P2
A
P1
P1
P Trans ( Q ) P 2 1
A
A
（2-13）
O
A
Q
Trans ( Q)
A
称为平移算子，其表达式为
A
I Trans ( Q ) 0
Q 1
（2-14）
图2-6平移算子
1 0 Trans ( a , b, c ) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 a b c 1
A A B
A
A
PBo 1
PBT P
（2-10 ） （2-11）
T 4矩阵，称为齐次坐标变换矩阵。可以理解为坐标系{B}在固定坐 是 4 标系{A}中的描述。
A B
齐次坐标变换的主要作用是表达简洁，同时在表示多个坐标变换 的时候比较方便。
7
2.齐次变换算子
在机器人学中还经常用到下面的变换，如图2-8，矢量AP1沿矢量 AQ平移至的AQ终点，得一矢量AP2。已知AP 和AQ求AP 的过程称之为 1 2 平移变换，与前面不同，这里只涉及单一坐标系。 （2-12） 可以采用齐次变换矩阵表示平移变换
P 2 T P 1
A
（2-23）
齐次坐标变换总结：
1. 它是坐标系的描述。 A A T R 表示坐标系 {B}在坐标系{A}下的描述， 的各列是坐标系 B B A P Bo {B}三个坐标轴方向的单位矢量， 而表示坐标系 {B}原点位置 。 B 2. 它是不同坐标系间的坐标变换。如 APA T P B A A P 3.它是同一坐标系内的变换算子。 2 T P 1 齐次坐标变换是复杂空间变换的基础，必须认真理解和掌握。具体应 用的关键是理解它代表的是上面三种含义的哪一种，而不是简单的套用 公式！
坐标系{B}与机械手末端工具固连，工具的姿态 可以由坐标系{B}的方向来描述。而坐标系{B}的方 向可以用沿三个坐标轴的单位矢量来表示
A B
R
A
X B
A
Y B
r r r 11 12 13 A Z r r r B 21 22 23 r r r 31 32 33
B T
（2-6）
图2-4旋转变换
式（2-6）即为我们要求的旋转变换关系，该变换是通过两个坐 标系之间的旋转变换实现的。
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3.复合变换
如果两个坐标系之间即存在平移 又存在旋转，如何计算同一个空间点 在两个坐标系下描述的变换关系？ 为了得到位置矢量BP和AP之 间的变换关系，我们建立一个中 间坐标系{C}。
A B
ZB
ZA
A
P(BP) YB
A A A
p p p
x y z
B B B
X Y Z
T B A T B A T B A
Pห้องสมุดไป่ตู้P P
（2-5）
YA XA XB
将（2-5）式写成矩阵形式得：
XA B T B A A B P Y A P B R P BZT A
8
其中I是33单位矩阵。例如若AQ=ai+bj+ck， 其中i、j和k分别表示坐标系{A}三个坐标轴的 单位矢量，则平移算子表示为
同样，我们可以研究矢量在同一坐标系下的旋转 变换，如图2-9，AP1绕Z轴转q角得到AP2。则
A
YA
A
P Rot ( z , q ) P 2 1
A
P2
A
（2-20）
机器人的空间 描述与坐标变 换
2.1位置方位表示与坐标系描述
1.位置描述
矢量 Ap 表示箭头指向点的位置矢量，其 中右上角标“A”表示该点是用{A}坐标系描述 的。 p
A
ZA
A
P
OA XA
p
p p
x
YA
y z
（2-1）
图 2 1 位 置 表 示
2.方位描述
（2-2）
图2-2方位表 示
2
3.位姿描述
固连坐标系把刚体位姿描述问题转化为坐标系的描述问题。图2-3 中坐标系{B}可以在固定坐标系{A}中描述为
{ B } R B
A
A
p Bo
A
（2-3）
P 描述坐标系 {B}的原点位 Bo
旋转矩阵 BA 描述坐标系 {B}的姿态，矢量 R 置。
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2.2平移和旋转坐标系映 射
1.平移坐标变换
BP为坐标系{B}描述的某一空间位
{B}
置，我们也可以用AP（坐标系{A}）描 述同一空间位置。因为两个坐标系具有 相同的姿态，同一个点在不同坐标系下 的描述满足以下关系
A
B
P
{A}
A
P OB
A
PBO
P P P B o
B
A
（2-4）
OA
图2-3平移变换
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2.旋转坐标变 换
旋转坐标变换的任务是已知坐标系{B}描述的 R 一个点的位置矢量BP和旋转矩阵 ，求在坐标 系{A}下描述同一个点的位置矢量AP。
C
{B}
{C}
B
P
{A}
A
P OB
A
PBO
OA
P RP RP B B
C A AB A
C B
A B
图2-5复合变换 （2-7） （ 2-8）
A
P P P R P P C o B B o
为了得到位置矢量BP和AP之间的变换关系，只需坐标系{B} 在坐标系 下{A}的描述。
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2.3齐次坐标变换
1.齐次变换
坐标变换（2-8）可以写成以下形式
P BR 1 0
A A A
P P Bo 1 1
B
（2-9）
将位置矢量用41矢量表示，增加1维的数值恒为1，我们仍然用原 来的符号表示4维位置矢量并采用以下符号表示坐标变换矩阵
A
B R T B 0
cq 0 Rot ( y, q ) sq 0
0 1 0 0
sq 0 cq 0
0 0 0 1
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定义了平移算子和旋转算子以后，可以将它们复合实现复杂的映射 关系。变换算子与前面介绍的坐标变换矩阵形式完全相同，因为所有描 述均在同一坐标系下，所以不需上下标描述（坐标系）。
0 0 0 1
Rot(z,q)称为旋转算子，其表达式为
cq sq Rot ( z , q ) 0 0 sq cq 0 0 0 0 1 0
q
ZA
P1 XA
（2-21）
图2-7旋转算子
同理，可以得到绕X轴和Y轴的旋转算子
1 0 Rot ( x, q ) 0 0 0 cq sq 0 0 sq cq 0 0 0 0 1
A
A
A
P P Q 2 1
A
A
{A}
A
A
P2
A
P1
P1
P Trans ( Q ) P 2 1
A
A
（2-13）
O
A
Q
Trans ( Q)
A
称为平移算子，其表达式为
A
I Trans ( Q ) 0
Q 1
（2-14）
图2-6平移算子
1 0 Trans ( a , b, c ) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 a b c 1
A A B
A
A
PBo 1
PBT P
（2-10 ） （2-11）
T 4矩阵，称为齐次坐标变换矩阵。可以理解为坐标系{B}在固定坐 是 4 标系{A}中的描述。
A B
齐次坐标变换的主要作用是表达简洁，同时在表示多个坐标变换 的时候比较方便。
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2.齐次变换算子
在机器人学中还经常用到下面的变换，如图2-8，矢量AP1沿矢量 AQ平移至的AQ终点，得一矢量AP2。已知AP 和AQ求AP 的过程称之为 1 2 平移变换，与前面不同，这里只涉及单一坐标系。 （2-12） 可以采用齐次变换矩阵表示平移变换